第5章 模糊线性规划
第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
模糊规划
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所谓规划问题，也就是最优化问题。长期以来，最 优化思想支配着人类生存和改造世界的活动，才使 人类社会得以不断发展。最优问题，在生活、生产 和社会行为的各个方面都普遍存在，因此优化是人 们普遍的思想。以前解决规划问题的常用的数学方 法，叫线性规划．这是用线性方程来研究规划问题 的方法。经典规划问题的目标函数和约束条件都是 明确的，但是，在实际问题中常常碰到模糊的目标 函数和约束条件，从面提出了模糊的规划问题，即 用模糊集方法来求解模糊最优化问题。
求一组变量(x1,x2,…, xn)使目标函数最大,且满足约 束条件.用矩阵可以表示为
Ax b
max
s Cx
s.t.
x
0
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为方便求解,需将不等式化为等式(加入松弛变量) (1)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
2. 可行解集中的点x是极点的充分必要条件是x为基 础可行解;
3. 线性规划问题的最优值仅在某极点上达到.
上述性质的证明见有关”线性规划”的书, 根据性 质3,求线性规划问题的最优解,只需从可行解集的 极点(基础可行解)中去找.
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经典线性规划-解法-图解法
例 max s=1.5x1+1.0x2 约束条件
(2)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得 ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
线性规划的标准形式为(松弛变量在目标函数中的系数为0)
系数为直觉梯形模糊数的模糊线性规划
１ 基 本 概 念
，
ｂ
一
０ｌ
， ’
。 ≤ ≤ ６； １ ’
ｂ≤ ≤ ；
定义 １ ［ １ － ２ ］ 设 是 一个 普 通 集 合 ， Ａ是论 域 上 的一 个直 觉模 糊集
五
（ ）＝ Ｃ — ＋ （ —ｄ １ ）
ｃ—ｄ１
， Байду номын сангаас
ｃ≤ ≤ ｄ１ ；
（ Ｉ 詈 十 ＋ ＋ 了 ＋ 号 了 ＋ Ｊ 詈 ） ，
从而 （ ＋ ） ＝ （ ａ ） ＋ （ 声 ） ， （ ＋ 声 ） （ ） ＋ （ 声 ） ， 显然就有 （ Ａ ， ＋ 声 ） ＝Ｖ （ Ａ ，
糊数 ， 如果 它 满足 ：
二旦
无 特别 说 明 ， 本 文 的 直 觉梯 形 模 糊 数 均 为 此 类模 糊 数．
定义４ 卜 。 ， 设 ＝（ ［ Ⅱ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ］ ； ， ） ， 声
＝
（ ［ 口 ， ６ ， ｃ ， ｄ ， ］ ； ， ） 为 两 个 直 觉 梯 形 模 糊
记 为
＝
（ ［ ０ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ］ ； ｘ Ｉ ， ） ．
［ Ａ ： （ ∞ ） ， Ａ Ｒ （ ∞ ） ］ ＝｛ ∈ ｌ Ａ （ ｘ ） ≥ ｝ ，
［ Ａ 一 （ （ ｃ Ｊ ） ， Ａ 一 （ ） ］ ＝｛ ∈ ｌ １ 一 Ａ （ ） ≥ ｝ 分 别称为直觉 模糊集 的极小 截集与极大 截集 定义 ３ ［ 】 直觉模 糊 数 ａ为直 觉 梯形 模
，
∞∈ 。 ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４—０ ７： 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ５— ０ ２ 作 者 简 介 ：秦 泽 健 （ １ ９ ８ ７一） ， 男， 硕士研究生 ． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ７ ３ ５ ６ ９ ２ ８ ８ ５ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ
模糊数学 之 模糊线性规划
中的M为足够大的正 中的 为足够大的正 , Ax = b ≥ 0数, 起“惩罚”作用 惩罚”作用, s.t. 以便排除人工变量. 以便排除人工变量 x ≥ 0. 单纯形解法是引入m个人工变量 大M单纯形解法是引入 个人工变量 n+1 , …, 单纯形解法是引入 个人工变量x xn+m将原问题变为 m
若约束条件带有弹性，即右端常数 若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 (bi – di , bi + di ) 内的某一个值，这里的d 内的某一个值，这里的 i＞0，它是决策人根据实 ， 际问题选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线 伸缩指标. 际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线 性规划. 性规划.
解多目标线性规划问题(P280) (P280)： 例2 解多目标线性规划问题(P280)：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; m f = 2x + 3x + x ; ax 2 1 2 3 x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, x + 4x x ≥ 6, s.t. 1 2 3 x1, x2 , x3 ≥ 0.
⑴解普通线性规划问题： 解普通线性规划问题：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, s.t.x + 4x x ≥ 6, 2 3 1 x1, x2 , x3 ≥ 0.
得最优解为x 得最优解为 1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值 为2，此时 f 2 = 8. ，
⑶再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通 再分别将两个目标函数模糊化, 线性规划问题： 线性规划问题：
ax λ, m x1 + 2x2 x3 + 2λ ≤10, 2x1 + 3x2 + x3 12λ ≥ 8, s.t. x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, 此时f 此时 1 = 5.43, x1 + 4x2 x3 ≥ 6. f 2 = 14.86.
模糊线性规划实验报告
姓名： 学号：实验二 求解模糊线性规划实验目的：掌握将模糊线性规划转化为一般线性规划的方法，会使用数学软件Matlab 工具箱求解一般线性规划. 实验学时：2学时 实验内容：将已知模糊线性规划问题标准化后，再用Matlab 工具箱求解相应的各个线性归化问题，最后得到模糊最优解。
实验日期：2017年12月02日实验步骤： 1 问题描述：某种药物主要成分为A 1、A 2、A 3，含量分别为585±-1mg 盒∙、5100±-1mg 盒∙、10100±-1mg 盒∙。
这三种成分主要来自五种原材料B 1、B 2、B 3、B 4、B 5，各种原表一2 解决步骤设成本为)(b f ，买入原材料B 1、B 2、B 3、B 4、B 5分别为54321b b b b b 、、、、千克。
为使成本最小，建立如下模糊线性规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++=++++=++++++++=0,,,,]10,100[200120150120001]5,010[601609015008]5,85[120801206085.8.17.16.15.11.3)(min 5432154321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s b b b b b b f（1）求解没有伸缩率经典线性规划:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++=++++=++++0,,,,10020012015012000110060160901500885120801206085.54321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图一 没有伸缩率经典线性规划求解结果因此我们可以得知：0000.0b 3021.00.00000000.01.014454321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.8322)(=b f（2）求解有伸缩率的普通线性规划:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++++≤++++≥++++≤++++≥++++≤++++0,,,,90200120150120001110200120150120001956016090150081056016090150088012080120608590120801206085.54321543215432154321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图二 有伸缩率的普通线性规划求解结果因此我们可以得知：0000.0b 3500.00.43330000.00.000054321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.2883)(=b f（3）0.54391.2883-1.8322==d ，最后求解线性规划：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-++++≤+++++≥-++++≤+++++≥-++++≤+++++≤+++++0,,,,,9010200120150120001110102001201501200019556016090150081055601609015008805120801206085905120801206085 1.83220.54398.17.16.15.11.3.min 5432154321543215432154321543215432154321λλλλλλλλλb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图三 最后求解线性规划因此我们可以得知：0000.0b 3482.00.00000000.00.756554321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.3826)(=b f实验心得：通过这次实验，让我学会了如何解决实际问题中的约束条件可能带有弹性、目标函数可能不是单一的、价值系数可能带有模糊性的模糊线性规划。
模糊数学5-模糊线性规划
具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
玉米
发热量 蛋白含量 4Mcal/kg 90g/kg
大豆饼
2Mcal/kg 300g/kg
配比要求
>2.8Mcal/kg > 220g/kg
价格
2元/kg
1.6元/kg
解：设1公斤混合饲料中玉米为x1,大豆饼为x2,
目标函数为：z=2x1+1.6x2
s.t. 4x1+2x2 2.8
90x1+300x2
最优值为z2=20，此时z1=10 兼顾两个目标函数可知 z 1 [ 2 , 1 0 ], z 2 [ 8 , 2 0 ]
d 于是选取伸缩分别为： 1 10 2 8 , d 2 20 8 12
模糊数学5模糊线性规划PPT课件
s.t.
0 0
.5x1 .7x1
0.6x2 0.7x2
0.6x3 0.8x3
0.8x4 0.8x4
1000 1300
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
二. 模糊线性规划的求解方法
普通线性规划：
模糊线性规划
m in f T x x
Ax b Aeqx=beq
lbxub
m ax f T x x Ax b ~
加工每件产品工时
单位时段可
设备
供使用或必
甲
乙
丙
丁
须使用时数
A
1.0
1.2
1.4
1.5
2100
B
0.5
0.6
0.6
0.8
1000
C
0.7
0.7
0.8
0.8
1300
每件利润 12
15
8
10
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4
maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x1 1.2x2 1.4x3 1.5x4 2100
~~~
相应地改成 ,, 即可
11
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x1+ 4x2 -6x3
x1 x2 x3 8
s
.t
.
-
x x
1 1
+6x -3x2
2 -x3 -x3
6 4
1'
x1 ,x 2 , x 3 0
MATLAB程序如下
f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1);
具有三角模糊数的线性规划的一种方法
具有三角模糊数的线性规划的一种方法这种方法是利用了模糊数学隶属度的概念，我们选取一种计算方法，在该方法下，可以根据精度要求将计算过程细化，即可以分成多个计算区间，这个区间分的越细，我们所用来比较隶属度的样本就越多，从而可以更精确的找出隶属度最大的那个区间，那么在该区间上计算出来的结果就应该是我们想要的结果。
上面所说的隶属度是描述了我们所分区间的到的样本结果是否从属与理想结论的程度，同下面的方法中用距离来刻画是相似的。
记所用三角模糊数形式为0(,,)mpc c c c =设模糊线性规划中带有三角模糊数的目标函数有如下形式：123111()nnnpm i i i i i i f x w c x w c x w c x ====++∑∑∑上式中：w 1+2w +3w =1,0c --------消极量，m c --------可能量，p c -------乐观量，x Q ∈.设001231212(1)p m p mi i i i i i i f wc w c w c wc w c w w c =++=++--根据三角模糊数的性质可以知道001212(1)p m i i i i c wc w c w w c ≤++-- （1）由（1）可以推出 012()/()1p m m i i i i w w c c c c ≤--+ 我们作如下相应记法：102,m p m i i i i i i c c P c c P =-=-那么可以得到：21211i iP w w ≤+P （2）同样 01212(1)pm p i i i i w c w c w w c c ++--≤ （3） 由（3）可以推出2211(1)ii w P w P -≥作如下相应记法：()()22222122111122222212211112(1)(1)(1)max(,,....,)4min(1,1,...,1)5n n n n w P w P w P n P P P w P w P w Pm P P P ---==+++可以得到 1n w m ≤≤ （6）对于1w 是否存在，我们需要做一些限定，我们假定下面的条件成立，即：22222222212122221111111122(1)(1)(1),1,1...,1n n n n w P w P w P w P w P w P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+++≠∅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7） 因此若201w ≤≤，那么显然（7）是成立的。
关于模糊规划的问题回答
关于模糊规划所提问题回答第三组1.P23三个模糊变量具体要如何解释？答：回收物流系统具有高度复杂性、目标多样性、供需失衡性等显著特点，因而产品回收量、产品处理能力这些参数很难用精确数值表达，存在不确定性，所以那三个变量是不确定变量。
2.P66语言标签部分具体处理还是三角吗？答：语言标签空间是一个个三角的叠加，他用三角模糊数来描述事件发生的可能，而每一件事件所对应的值是一定的，在去模糊化的过程中，采用期望值描绘众事件，然后进行无差异化组合来代替。
3.线性规划和模糊规划的区别？答：线性规划问题的数学模型是将实际问题转化为一组不等式或等式约束下求线性目标函数的最小（大）值问题，它都可以化为矩阵形式；模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解。
二者区别如下：（1）模糊规划目标函数或者约束函数中的变量有一个或多个为模糊量，而线性规划中的约束条件和目标函数都是确定的。
（2）在求解时，普通线性规划可直接求解，而模糊规划要先去模糊化成普通线性规划再进行求解。
使用模糊规划，主要是由于普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理。
4.针对于不同的问题，如何选用最适合去模糊的方法，选择的依据是什么，以及优缺点？答：从这次汇报来看，所涉及到的去模方法有四种，分别为截集，模糊模拟，期望值以及无差异曲线。
选用哪个方法，首先要看模糊变量的选择方式，若对三角模糊数而言，截集是最简明的，而对语言标记空间而言，截集是得不到效果的。
具体的选用什么去模方式方法，需要结合具体的问题来看。
5.混合智能模型解决了模糊规划中的什么问题？（东）答：混合智能算法并不是基于模糊提出的的，本文视角看，由于双层规划一般都是非线性和非凸的,用解析解法来求解是非常困难的,因此通常用智能算法来获得该问题的全局最优解。
6.软件运用中问题如何实现问题的去模？答：在本次汇报中，主要针对的问题是如何建立模糊规划模型以及如何求解。
模糊数学5-模糊线性规划
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)
模糊数学建模方法
其中d=(d1 ,d2, …,dm)T为伸缩指标。 设Z0是(1)的最优解，设Z1是(2)的最优解 目标函数的弹性可表示为Z0≤Z=Cx≤ Z1
隶属函数为：
0 n n G ( x ) g ( c j x j ) ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 j 1 1
变形得
max Z
n aij x j d i bi d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n c j x j ( z1 z0 ) z0 j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n)1 3 x2 3 x1 2 x2 1500 x1 400 s.t . x2 250 x , x 0. 1 2
(1) (2) (3)
根据实际情况，假设约束条件(1)(2)(3)的伸
缩系数分别为d1=50(元)， d2=5(套)， d3=5 (套)，为
x X
则模糊规划转化为普通规划问题
max Z
n 1 ( aij x j bi ) d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n) j
min f1 x1 2 x2 x3 max f 2 2 x1 3 x2 x3 x1 3 x2 2 x3 10 s.t . x1 4 x2 x3 6 x , x , x 0. 1 2 3
解得λ =0.57, x1=6.29, x2=0.29, x3=1.43,此时
6 x1 2 x2 21, s.t . x1 , x2 0.
第五章 模糊规划
第五章 模糊规划简介第一节 模糊极值第二节 具有弹性约束的模糊规划 第三节 具有模糊系数的模糊规划第一节 模糊极值以条件极大值为例来进行讨论。
一、有界函数的极值和模糊极值定义 1 设 R X f →:； )(x f x ，为有界函数，令)}(max )({**x f x f x M Xx f ∈==， （5.1）称M 为f 的优越集。
)(max )(**x f x f y Xx ∈==为函数的极值（最大值）。
显然)(}{*M f y =。
定义种指的是经典极值的概念。
当M x ∈我们达到了最优目标，当M x ∉时，虽然未达到最优目标，但是各点程度确有很大的差别。
为了全面反映各点的优越程度，可以设想一个模糊优越集，以它的隶属函数来表示各点的优越程度。
)(x f 达到最大值的点隶属度为1，)(x f 达到最小值的点隶属度为0，其它的点的隶属度介于区间)1,0(内。
定义2 设R X f →:为有界函数，构造模糊集如下：X x x f x f x f x f x M f ∈∀--=,)(inf )(sup )(inf )()(~， （5.2）称f M ~为函数)(x f 的无条件模糊优越集，并称)~(f M f 为函数)(x f 的无条件模糊极大值，其中R y x M y M f f x f y f ∈∀=∨=,)(~))(~()(， （5.3）当)(max )(1x f x f Xx ∈=，1)(~1=x M f ；当)(min )(2x f x f Xx ∈=，0)(~2=x M f ；当)()(21x f x f ≥，时)(~)(~21x M x M f f ≥。
因此)(~x M f 反映了在模糊意义下x 的优越程度。
))(~(y M f f 反映了在模糊意义下，y 对)(x f 的模糊极大值的隶属程度。
二、普通限制下，目标函数的极值与模糊极值定义3 设目标函数R X f →:，而X A ⊂为限制条件，令)}(max )(,{****x f x f A x x M Ax ∈=∈=， （5.4）若φ≠*M ，则称*M 为f 在A 上的优越集，称为)(max *x f y Ax ∈=为f 在A 上的条件极大值。
M02-5 模糊线性规划
2*x1-5*x2+x3>=10;
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2.1 模糊约束线性规划 模糊约束的线性规划的一般形式如下
maxz c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ~ b2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ~ (2.5.2) s .t .......... .......... ........ a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 ~ x 0 j 1,2,...,n j 其中“”表示一种弹性约束 , 可读作“近似小于等于”
~
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为求解模糊线性规划，首先引入模糊约束集概念。 定义2.5.1 设 X 相应地有X中的一个模糊子集 Di 与之对应,它的隶属度 m ~ 函数为 1 aij x j bi ,
m 1 m Di f ( aij x j ) 1 ( aij x j bi ) ~ j 1 d i j 1 0
但我们主要用LINGO进行求解
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1.2 实例说明 例1.求解线性规划问题： 解 LINGO程序如下：
min z 2 x1 x 2 x 3 x1 x 2 2 x 3 6 x1 4 x 2 x 3 4 s .t . 2 x1 2 x 2 x 3 12 x1 0, x 2 0, x 3 5
运行后得到输出结果：
min=-2*x1-x2+x3; x1+x2+2*x3=6; x1+4*x2-x3<4; 2*x1-2*x2+x3<12; x3<5;
模糊规划在运筹学中的建模与求解技术研究
模糊规划在运筹学中的建模与求解技术研究摘要：本文旨在探讨模糊规划在运筹学中的建模与求解技术研究。
首先介绍了模糊规划的基本概念和特点，然后重点阐述了模糊规划在线性规划、非线性规划和多目标规划中的应用，同时探讨了模糊规划中的求解方法。
最后，本文总结了模糊规划在运筹学领域中的重要性和研究前景。
1. 引言运筹学作为一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科，已经在许多领域发挥了重要作用。
然而，在实际问题中，决策变量和约束条件往往存在不确定性。
传统的数学规划方法难以处理这些不确定因素，因此模糊规划应运而生。
2. 模糊规划的基本概念和特点模糊规划是在决策变量和约束条件中引入模糊数或模糊集合的一种数学规划方法。
模糊数是介于0和1之间的值，表示某一变量或条件的不确定程度。
模糊规划允许决策者根据自身经验和主观判断来对问题进行描述。
3. 模糊规划在线性规划中的建模与求解技术线性规划是运筹学中一种常用的数学规划方法。
模糊线性规划则是在线性规划的基础上引入模糊数和模糊集合。
模糊线性规划在某些实际问题中能够更好地反映决策者的主观意愿和不确定性。
4. 模糊规划在非线性规划中的建模与求解技术非线性规划是对目标函数或约束条件存在非线性关系的数学规划方法。
模糊非线性规划则是在非线性规划的基础上考虑不确定因素。
模糊非线性规划的求解方法包括模糊梯度法、模糊目标规划法等。
5. 模糊规划在多目标规划中的建模与求解技术多目标规划是在考虑多个目标函数的情况下进行决策的数学规划方法。
模糊多目标规划则是在多目标规划的基础上引入模糊数和模糊集合。
模糊多目标规划的求解方法包括模糊加权和和模糊互补法等。
6. 模糊规划中的求解方法模糊规划的求解方法包括传统数学规划方法的改进和基于模糊理论的特殊算法。
传统数学规划方法的改进主要包括模糊随机模型、模糊二次规划和模糊动态规划等。
基于模糊理论的特殊算法主要包括模糊决策树和模糊模拟退火算法等。
7. 模糊规划在运筹学中的重要性和研究前景模糊规划作为一种能够更好地处理问题不确定性的方法，已经在运筹学领域中得到广泛应用。
模糊规划与模糊优化算法研究
模糊规划与模糊优化算法研究第一章引言1.1 研究背景在现实生活中，我们常常面临到一些复杂的问题，这些问题往往存在着多个不确定因素，这给问题的解决带来了困难。
传统的规划和优化方法往往基于确定性的假设，无法处理这些存在不确定性的问题。
因此，模糊规划和模糊优化算法应运而生。
1.2 研究意义模糊规划和模糊优化算法可以帮助我们解决现实生活中的复杂问题。
通过引入模糊集合和模糊关系，模糊规划和模糊优化算法可以处理不确定性因素，使问题的解决更加灵活和准确。
1.3 研究目的本文旨在研究模糊规划和模糊优化算法的原理与方法，探讨其在实际问题中的应用。
通过对相关理论的分析和算法的实验，提出更具有针对性的解决方案，为问题的解决提供指导和支持。
第二章模糊规划理论2.1 模糊集合模糊集合是模糊规划的基础，它是传统集合的一种扩展。
模糊集合的特点是元素的隶属度不是确定的，而是以概率形式存在。
通过隶属度函数，可以描述元素与集合之间的隶属关系。
2.2 模糊关系模糊关系是模糊规划的重要概念，它描述了两个或多个模糊集合之间的关系。
模糊关系可以通过模糊矩阵或模糊图来表示，通过模糊关系，可以描述不同变量之间的相互影响和依赖关系。
2.3 模糊规划模型模糊规划模型是模糊规划的核心内容，它将问题的目标函数和约束条件转化为模糊集合和模糊关系的形式。
通过模糊规划模型，可以对问题进行量化和分析，为问题的求解提供数学基础。
第三章模糊优化算法3.1 模糊最大值和最小值算法模糊最大值和最小值算法是解决模糊规划问题的一种常用方法。
该算法通过计算目标函数和约束条件的模糊最大值和最小值，得到问题的最优解。
3.2 模糊分类算法模糊分类算法是一种常用的模糊优化算法，它通过对问题进行分类和刻画，将模糊规划问题转化为一系列子问题的求解。
通过模糊分类算法，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
3.3 模糊遗传算法模糊遗传算法是一种借鉴自然界进化原理的模糊优化算法。
该算法通过模拟遗传、交叉和变异的过程，不断优化问题的解空间，直到找到最优解。
第5章：模糊模式识别(高级运筹学-中南大学 徐选华)
( A, A)
1 1 [ A A (1 A A)] [1 (1 0)] 1 2 2
2、( A ,B ) = ( B ,A ) ≥ 0 3、 若 A B C ，即 x∈X ，A(x)≤ B(x)≤ C(x) 则 ( A ,C ) ≤ ( B ,C )
例5-1 A1、A2 是实数域 R 上两个正态模糊子集，其隶属函数为：
( x a1 2 ) b1
A ( x) e
1
,xR
1 C
A ( x) e
2
x a2 2 ( ) b2
,xR
a1 a2 2 ) b1 b2
则：A1 A2 e
(
,
o
a1
( 小中取大，故为交点 C )
B C B CT
0.1 0.2 (0.5,0.6,0.5,0.7,0.8) 0 0.1 0.2 0 0.3 0.4 0.4 0.3 0.4
5
例5-5 企业“经济效益好”这个模糊概念，在论域 “利润” 与论域 “费用” 上分别表现为模糊 向量： A = ( 0.5，0.9，0.3，0.2 )，B = ( 0.1，0.8，0.4 )， 则： “经济效益好”这个模糊概念，在两个论域 “利润” 与 “费用” 之间的转换关系为：
10
例5-10 识别三角形：取论域 U = {( A,B,C )| A + B + C = ，A≥B≥C≥0 }， 其中A,B,C为三角。 定义以下几个模糊子集，并给出其隶属函数： ① 近似等腰三角形 I： I ( A, B, C ) 1 ② 近似直角三角形 R： R ( A, B , C ) 1 ③ 近似正三角形 E：
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求解多层线性规划的模糊规划法
关键词 多层 线性规划，模糊规 划，隶属函数，满意解
中图分类号 ０２ １ ２
数学分类号 ９ Ｃ７ ， ０ ５ ０ ０ ９ Ｃ０
Ｆｕｚ ｙ ｏ ｒ ｍ ｍ ｉ ｐｐｒ ｃ ｚ Ｐｒ ｇ ａ ｎｇ Ａ ｏａ ｈ
ｆ ｒ Ｍ ｕｌｉｅ ｌＬｉ ａ ｏ ｒ ｍ ｍ ｉ ｏ ｔ ｌ ｖｅ ｎｅ ｒ Ｐｒ ｇ ａ ｎｇ
，
ｐ ｏ ｒ ｍ ｍ ｉ ｇ．Ｔｈ ｒ ｐｏ ｅ ｐ ｒ ａ ｈ ｏ ｌ ｅ ｄ ｏ ｓ ｌ ｅ ａ ｓ ｒｅ ｆ ｉ ｅ ｒｐｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｇ ｒｇ ａ ｎ ． ｅ ｐ ｏ ｓ ｄ ａ ｐ ｏ ｃ ｎ ｙ ｎ ｅ ｓｔ ｏ ｖ ｅ ｉｓ ｏ ｎ ａ ｏ ｒ ｍ ｌ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓ ａ ｌ ｎ ｔ ｉ ｒ ａ ｅ ｔ ｏ ｐ ｅ ｉｉ ｓｏ ｒ ｇ ｎ ｌｐ ｏ ｅ ｓ ｒ ｂｌｍ ｎｄ ｗｉｌ ｏ ｎｃ ｅ ｈｅ ｃ ｍ ｌ ｘ ｔｅ ｆｏ ｉ ｉ ａ ｒ ｂｌｍ ．Ｆｉ ａ ｌ ， ｌ ｓ ｒ ｔｖ ｓ ｎ ｌ ｉ ｕ ｔ ａ ｉｅ ｙ ｌ
ｋ
ｂ∈Ｒ ∑ ｎ ＝ 佗， ｘ 和 ｆ（） ｐ， ｉ ｉ ｉ 分别为第 ｉ ｘ 层决策者的决策变量和 目标函数．定义
ｔ １ ＝
∑ Ａ
≤
ｂ
（． １ 的约束集为 Ｘ ＝ ｘ∈Ｒ ｌ Ａ ≤ｂＸ ≥０ｉ ，， ，） １． １） “∑ ，ｉ ， ＝１２… ．
：１
定 义下 列 问题 为 第 ｉ 问题 的松弛 问题 ： 层
反映在 目标函数及可行决策集上．多层规划的决策过程可以描述为：上层决策者做出一 个决 策 ，并要 求下 层决策 者在 上层决 策 的基础 上独 立地 做 出 自 己的最 优决策 ，这个 决策 再返 回到 上层决 策者 手 中，上 层决 策者在 考虑 整体 利 益的基 础上 再做 出决 策 ，这个 过 程 继续 下 去，直 到找 到一 个最优 决策 Ｊ ． 多 层线性 规 划是 多层 规划 中最 简单 的形 式 ，在 过 去三 十多 年里 ， 已提 出 了一些方 法 来 求解 多层线性 规 划 问题 ，大 多数 的方 法是 以顶 点枚 举法 和转 换方法 为基 础 ．前 者是 以 调 整上 层的控制 变 量为基 础用 单纯形 算法 在约 束域 的顶 点上 寻找 问题 的解 ，缺 点是 当模 型 复杂 和变量 很 多时，该方法 缺乏效 率 ；后者 用 Ｋ Ｔ条 件或罚 函数 法把 下层规划 转换成 — 上层 的约束 ，由于在转 换后 的约 束上 出现 了非 线性 或拉格 朗 日条件 ，使得在 运算 处理 上 增 加 了困 难度 与复 杂性 ．另外 ，上 、下层 决策 者 的 目标都 是最 大化 自己的 利益 ，他 们在 本 质上 存在 着冲 突，如果 目标过 于冲 突，最后 的解 决方 案很 可能 有利 于下 层决策 者制 定 的决策 ，即下层 决策 者 比上层决 策者更 有权 利制 定决 策 ，这是 上 层决策 者不 愿接 受 的结 果 ．因此 ，他 们的解决方 案不 可能很 好的解 决 实际 中多层决 策 问题 ．目前 ，对 多层线性 规 划 问题 的研 究大 多局 限于双 层规划 问题 ，尽管 问题很 简 单，但 多层规 划本 质上 的非 凸非 可微性 使得 对其研 究较为 困难 ，并 被 Ｂ ｎＡ ｅ ｅ— ｙｄ和 Ｂａｒｊ 明是 Ｎ —ａｄ问题 ． ｌ ［证 ｉ０ Ｐ ｈｒ 本 文用模 糊 集理论 中 的隶属 函数来 描 述多 层线性 规划 中各层决 策者 的 目标 函数 ，在 第一层 给定 一个最 小满 意水 平条 件 下，先通 过求 解第 二层 和第 三层对 应 的模糊 规 划，确 定 出第 二层 的最 小满意 度 ．然后 在保证 第 一层和 第二 层满足 它 们的最 小满 意度条 件 下， 通 过求 解第 三层 和第 四层对 应 的模 糊 规划 ，来确 定第 三层 的最 小满 意度 ．按 照 上述方 法 做 下 去，直到求 出各 层均 满意 的解为 止 ．本 文在第 二 节 中提 出了多层 线性规 划 的模型 ， 在决策 的容 许范 围 内利用模 糊集 理论 建立 每层决 策者 目标 的隶属 函数 并确 定最 高层 的最 小满 意度 ，考虑 最 高层最 小满意 度和 约束 条件 ，依次从 上到 下通 过更 新满 意度 得到 除最 底层以外的其它各层均满意的有效解．第三节用数值例子说 明了所给方法的可行性和有 效性 ．最后对 本文进 行 了总结 ．
模糊数学内容(多目标决策的处理,模糊聚类分析方法等)
目录一．隶属度分析二．多目标决策的处理三．模糊聚类分析方法四．层次分析法五．模糊线性规划一．隶属度分析（见06年D题的安全度分析课件）二．多目标决策的处理求约束规划：max() min() ............. .............. ..............P XQ X ⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩目标函数约束条件注：可以推广到更多个目标函数情况。
方法一：固定一个目标函数值的范围，求另一个目标函数的最优值。
1.max()(),.........................................P XQ X a≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩目标函数（a的大小根据题意确定）约束条件2.min()(),.........................................Q XP X b≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩目标函数（b的大小根据题意确定）约束条件方法二：将多目标规划化为单目标规划。
1.需将多目标进行无量纲化、归一化。
2.根据目标的重要程度，合理恰当地确定各个目标对应的权系数的大小。
方法有：①专家估值法；②二项系数加权法；③层次分析法等。
3.两类不同性质的目标综合成统一的一个目标时，也需要进行归一化处理。
其他方法？参考文献：…………三．模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
由于分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
例：环境单元分类每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物4个要素，环境单元的污染物在4个要素中含量的超限度来描述，设论域12345{,,,,}U x x x x x =为5个单元，它们的污染数据如下表所示，则可将该5个单元分为几类比较合理。
1 第一步：数据标准化 1.1 数据矩阵设论域12{,,......,}n U x x x =为被分类的对象，每个对象又由m 个指标表示其性状，即12(,,......,),(1,2,...,)i i i im x x x x i n ==，于是，得到原始数据矩阵为111212122212.....................m m n n nm x x x xx x x x x ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭。
M02-5 模糊线性规划
6/43
⑤输出x是最优解，fval是最优值; ⑥输出exitflag描述了程序的运行情况，若其值大于 零，表示程序收敛到最优解x；若其值等于零， 表示计算达到了最大次数；若其值小于零，表示 问题无可行解，或程序运行失败; ⑦ 输出output表示程序运行的某些信息，如迭代次 数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度 (cgiterations)等; ⑧ lambda表示解x处的拉格朗日乘子，其中lower, upper, ineqlin, eqlin分别对应于下界、上界、 不等式约束与等式约束;
Reduced Cost 0.000000 6.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 -8.666667 -1.000000 2 0.000000 0.3333333 3 0.000000 1.666667 4 2.000000 0.000000 5 4.333333 0.000000
6 April 2019
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[x,fval]=linprog(f,A,b): 用于不等式约束，求目标函数 minfTx最小值; x：最优解;
fval: 目标函数最小值; [x,fvel]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用于等式、不等式约束，求目标函数最 小值，若没有等式约束 ，则Aeq,beq要 用空矩阵[ ]代替。
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5
模糊集合 判别分析法 模糊聚类分析 模糊综合评价 模糊线性规划
Fuzzy mathematical model and its application
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引言 一、普通线性规划 及其Lingo实现
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模糊目标线性规划求解方法 ㈠
模糊目标线性规划求解方法 ㈡(1)
模糊目标线性规划求解方法 ㈡(2)
模糊目标线性规划求解方法补充说明 从实际应用的角度考虑,不管是哪一种解法, 如果价值系数在其可能变化的范围内波动时,最 优解不变,则是最好的方法. 或者在其最优解下, 最优值更接近于真实最 优值的方法,是一种较好的方法.
第5章 模糊线性规划
重点：理解线性规划模型的原理 掌握模糊线性规划求解的方法 难点：模糊线性规划求解
5.1 线性规划模型简介
5.1.1 线性规划问题的数学模型
最优生产计划的数学模型
目标函数 约束条件
运输问题
运输问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
线性规划问题转换方法
单纯形解法
大M单纯形解法
投资品种 收益率ri 风险损失率qi 交易费率pi ui (元)
S1 S2 S3 S4
28 21 23 25
2.5 1.5 5.5 2.6
1 2 4.5 6.5
103 198 52 40
⑵ 模型建立
⑶ 模型求解
投资方案
最优投资方案的选择
求解多目标线性规划 (1) 例 解多目标线性规划问题(P204)
解
⑴ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (2) ⑵ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (3)
求解多目标线性规划 (4) ⑶ 再分别将两个目标函数模糊化
求解多目标线性规划 (5) ⑷ 采用对称型模糊判决,即将所有目标函数 与所有约束条件平等看待,然后解普通线性规划
模糊约束转化为普通约束
求解模糊线性规划 (1)
(P203)
解
⑴ 解普通线性规划
求解模糊线性规划 (2) ⑵ 解普通线性规划
求解模糊线性规划 (3)
求解模糊线性规划 (4) ⑷ 解普通线性规划
5.3.2 多目标线性规划 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最 好的满足,这便是多目标规划.若目标函数和约束 条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最 优值, 因此只能求使各个目标都比较“满意”的 模糊最优解. 下面通过具体例子来说明,如何用模糊方法求 解多目标线性规划问题.
5.1.2 线性规划问题的常用软件求解方法 1 lindo软件
2 lingo软件
lingo软件编程方法 当数据量很大时,可采用下述代码：
5.2 模糊环境下的条件极值
目标函数模糊化
模糊判决
多目标模糊化方法
年轻人中的最高者
年轻人中的最高者求解
大衣购买选择
大衣购买选择求解
大衣购买选择对称型模糊判决求解
第5章 重要概念与公式方法 线性规划模型 模糊化的方法 模糊线性规划求解的方法 多目标线性规划求解的方法 模糊数的隶属函数
风险投资策略 ⑴ 问题的简述 市场上有n种资产(如股票、债券等)Si ( i = 1, 2, …, n) 供投资者选择,某公司有数额为M的一 笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为ri , 并预测出购买 Si 的风险损失率为qi . 考虑到投资越分散,总的风险越小.公司确定 当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用 所投资的 Si 中最大的一个风险来度量.
大衣购买选择加权型模糊判决求解
5.3 模糊线性规划模型
5.3.1 资源限量带有模糊性
带有弹性的约束条件
把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为
注意模糊线性规划与普通线性规划区别
约束条件模糊化
目标函数模糊化
隶属函数的 – 截集
模充说明
目标函数转化为普通约束
⑴ 问题的简述
购买Si要付交易费,费率为pi ,并且当购买额不超过 给定值 ui 时,交易费按购买 ui 计算(不买当然无须付费). 另外, 假定同期银行存款利率是 r0 (r0 = %5),且既无交 易费又无风险. 已知 n = 4 时相关数据如表.试设计一种投资组合方 案,即用给定的资金 M,有选择地购买若干种资产或存 银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.
5.3.3
价值系数带有模糊性
模糊数的隶属函数
0, xc 1 , cL c ( x) 1, xc 1 , cR 0,
x＜ c cL;
c c L≤ x ＜ c ; x = c; c ＜ x ≤ c + c R; x＞ c + cR.