07与指数型整数相关的整除和同余问题
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
解：101－45=56 59－45=14 （56,14）=1414的约数有1、2、7、14，所以这个数可能为2、7、14。
数论知识点之整除与余数
整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
整除性与同余定理
对于同余定理问题，要熟练掌握扩展欧几里得算法、中国剩余定理等 技巧，善于将问题转化为同余方程进行求解。
04
在解题过程中，要注意细节和特殊情况的处理，避免因为粗心大意而 导致错误。
04 拓展延伸：费马小定理 和欧拉定理
费马小定理内容阐述
费马小定理是数论中的一个 重要定理，它给出了在模一 个质数p的情况下，任意整数
物理学
在量子力学和相对论等领域，同余定理可用于描 述物理现象的对称性和周期性规律。
06 总结回顾与展望未来
关键知识点总结
整除性定义
整除是数学中的一个重要概念，表示一个整数可以被另一个整数除尽，没有余数。整除性在数论、代数等领 域有广泛应用。
同余定理
同余定理是数论中的基本定理之一，它描述了整数在模运算下的性质。同余定理包括费马小定理、欧拉定理 等，是解决许多数论问题的基础。
k2使得a=b+k1m，c=d+k2m。
则
03
ac=(b+k1m)(d+k2m)=bd+(bk2+dk1)m+k1k2m
^2。
证明过程展示
因为m整除k1m和k2m，所以m也整除k1k2m^2，进而m整除ac-bd。
因此，ac≡bd(mod m)。
03 典型问题解析与技巧指 导
涉及整除性问题分类
整除性与同余定理
汇报人：XX
2024-01-29
目录
CONTENTS
• 整除性基本概念与性质 • 同余定理介绍与证明 • 典型问题解析与技巧指导 • 拓展延伸：费马小定理和欧拉定理 • 实际应用举例与探讨 • 总结回顾与展望未来
01 整除性基本概念与性质
整除定义及例子
同余问题解题技巧
同余问题解题技巧
同余问题是数论中的重要内容，解决它可以应用到大量的科学问题中。
本文介绍一种解决同余问题的技巧，以及与之相关的实例。
首先定义一些概念，以便理解同余问题的实质。
定义P、Q均
为正整数，如果存在正整数m，使得P*m=Q mod N，则称P
和Q模N具有同余性，记作P≡Q (mod N)。
解决同余问题的技巧很简单，具体来说就是首先找出所有满足
P*m=Q mod N的m，然后将这些m都加起来，如果结果是N
的整倍数，就说明P与Q是同余的。
举一个例子来说明该技巧的实际效果，假设我们要求P≡Q (mod 10)，我们只需要找出所有满足P*m=Q mod 10的m即可，显然m=1,3,7都是符合要求的。
将这三个m加起来，结果11，因此P和Q就是同余的。
实际上，这种技巧可以扩展到求解多项式同余问题，并可以利用中国剩余定理来解决。
因此，在解决同余问题时，应当充分考虑各种情况，以便及时捕捉解题技巧，从而提高工作效率。
同余问题知识点讲解
同余问题知识点讲解数论中的同余问题同余问题是数论中的一个重要知识点，也是各大数学竞赛和小升初考试必考的奥数知识点。
因此，学好同余问题对学生来说非常重要。
许多孩子都接触过同余问题，但也有不少孩子说“遇到同余问题就基本晕菜了！”。
同余问题主要包括带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理和同余定理），以及中国剩余定理和弃九法原理的应用。
带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，且0≤r＜b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
其中，当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
一个完美的带余除法讲解模型可以将带余除法的概念用一个图形化的模型来解释。
假设有一堆书，共有a本，这个a可以理解为被除数。
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色。
经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系，并且可以看出余数一定要比除数小。
三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
数论中的同余定理与模运算
数论中的同余定理与模运算数论是数学的一个分支，研究整数的性质和结构。
数论中，同余定理和模运算是重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的概念、模运算的定义和性质，并通过例子说明它们在数论中的应用。
一、同余定理同余定理是数论中的基本概念，它描述了两个整数在给定模数下的余数关系。
在数学中，我们用符号“≡”表示同余关系。
1. 同余关系的定义对于给定的正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，我们就说a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
例如，对于任意整数a，有a ≡ 0 (mod 2)，即a与0在模2下同余；有a ≡ 1 (mod 3)，即a与1在模3下同余。
2. 同余关系的性质同余关系具有以下性质：（1）自反性：对于任意整数a，有a ≡ a (mod m)。
（2）对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
（3）传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。
这些性质使得同余关系成为一个等价关系，即它满足自反性、对称性和传递性。
二、模运算模运算是计算机科学和数论中常用的一种运算，它是同余定理的具体应用。
模运算是指将一个整数除以一个正整数，得到的余数即为模运算的结果。
1. 模运算的定义对于给定的正整数m和整数a，模运算a mod m的结果是a除以m 所得的余数。
例如，5 mod 3的结果为2，因为5除以3等于1余2。
2. 模运算的性质模运算具有以下性质：（1）加法性：(a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
（2）乘法性：(a * b) mod m = (a mod m * b mod m) mod m。
（3）幂运算：a^n mod m = (a mod m)^n mod m。
这些性质使得模运算具有良好的性质和可计算性，经常在数论和计算机算法中得到应用。
三、同余定理与模运算的应用同余定理和模运算在数论中有许多重要的应用，这里介绍其中两个常见的应用。
第二次课整除与同余
（3）因为性c质a3，：如则果存c在a且整c数b，q则1，cu使a+vb，其中u，v是整数
a = q1c
①
两边同乘以整数u，有
ua=p1c (其中p1=uq1) ② 同理cb，有
vb=p2c (其中p2=vq2) ③
②+③ 得出：
pc=ua+vb
其中p=p1+p2=uq1+vq2 ， 故cua+vb．
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素．
推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1．
证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件．
如果存在u，v，使 ua+vb = 1．
则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1． 整除性质3
3824 = 21837+150 1837 = 12150+37
150 = 437+2 37 = 182+1
2 = 21 得(3824，1837) = 1， 故(3824，1837) = 1．
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存在两个整数u， v，使 (a，b)= ua+vb．
显当r = 0时，ba．
证明
带余除法：
例3 1）a = –37， b= 5，则 –37 = (8)5+3，r = 3． 2）a = 67，b= 7，则 67 = (9)( 7)+4，r = 4．
最大公因子（定义）
定义2：
1）设a，b是两个整数，如果整数ca且cb，则c称为a，b的
公因子．
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题引言奥数是指数学奥林匹克竞赛（IMO）或全国中学生数学奥林匹克竞赛（NOI）等数学竞赛的简称。
同余问题是奥数中常见的一个重要概念，也是一种常用的解题方法。
本文将介绍同余问题在奥数中的应用，并通过一个具体的奥数题来详细讲解同余问题的解题过程。
同余问题定义在数论中，给定两个整数a和b，如果它们除以正整数m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
其中≡表示“同余”，mod表示“对模”。
这里m被称为模数。
性质1.如果a ≡ b (mod m)，则对于任意整数k，有a + km ≡ b (mod m)。
2.如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)，ac≡ bd (mod m)。
3.如果a ≡ b (mod m)，则an ≡ bn (mod m)，其中n为任意正整数。
常见应用同余问题在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着广泛应用。
在奥数中，同余问题常用于解决数字特征和数列性质相关的问题。
下面通过一个具体的奥数题来说明同余问题的应用。
奥数题示例题目描述一串由0-9组成的数字序列，长度为n。
现在要从这个序列中选择若干个数字，使得它们组成的整数能够被7整除。
问有多少种不同的选择方案。
解题思路我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个数字中选取若干个数字，它们组成的整数对7取模等于j的方案数。
那么我们可以得到状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(10*j+digit)%7]其中digit表示第i个数字。
代码实现def solve(sequence):n = len(sequence)dp = [[0] * 7 for _ in range(n+1)]dp[0][0] = 1for i in range(1, n+1):digit = int(sequence[i-1])for j in range(7):dp[i][j] = dp[i-1][j]dp[i][(10*j+digit)%7] += dp[i-1][j]return dp[n][0]sequence = input("请输入一串由0-9组成的数字序列：")print("方案数：", solve(sequence))解题过程假设输入的数字序列为12345。
整除问题和余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题姓名得分一、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？二、整除问题竞赛提高题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
同余的性质及应用
. -同余的性质及应用1 引言数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.我国古代孙子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…,(mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡,1,2,...,i k =,i m 是k 个两两互质的正整数，12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法.同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆内格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题.数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.2 同余的概念给定一个正整数m，把它叫做模，如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说对模m同余，记作(mod)≡,如果余数不同，就说对模m不同余.a b m由定义得出同余三条性质：（1）(mod)≡；a a m（2）(mod)≡；b a ma b m≡,则(mod)（3）(mod)a c m≡.≡,则(mod)b c m≡,(mod)a b m定义也可描述为:整数a,b对模m同余的充分必要条件是m a b-,即a b mt=+,t是整数.3 同余的八条基本性质由同余的定义和整数的性质得出[1]：（1）若(mod)≡,则(mod)a cb d m+≡+c d m≡,(mod)a b m若(mod)≡-a cb ma b c m+≡, 则(mod)（2）若(mod)ac bd m≡≡, 则(mod)a b m≡,(mod)c d m特别地,若(mod)≡ak bk m≡,则(mod)a b m（3）若11......(mod )k k A B m ∂∂∂∂≡,(mod )i i x y m ≡,0,1,...,i n =则1111...1...1......(mod )k k k k k k A x x B y y m ∂∂∂∂∂∂∂∂≡∑∑（4）若1a a d =,1b b d =,(,)1d m =,(mod )a b m ≡,则11(mod )a b m ≡ （5）若(mod )a b m ≡,0k >, 则(mod )ak bk m ≡；若(mod )a b m ≡,d 是a ,b 及m 任一正公因数,则(mod )a b m d d d≡ （6）若(mod )i a b m ≡,1,2,...,i k =,则12(mod[,,...,])k a b m m m ≡其中12[,,...,]k m m m 是12,,...,k m m m , k 个数最小公倍数 （7）若(mod )a b m ≡,d m ,0d >,则(mod )a b d ≡（8）(mod )a b m ≡,(,)(,)a m b m =,若d 能整除m 及a ,b 两数之一,则d 必整除a ,b 另一个.4 同余性质在算术里的应用4.1 检查因数的一些方法例1 一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除. 证:按照通常方法,把任意整数a 写成十进位数形式,即1101010...n n n n a a a a --=+++, 010i a ≤<.因101(mod3)≡, 所以由同余基本性质,即3a 当且仅当3ia ∑；同法可得9a 当且仅当9ia ∑，0,1,...,i n =.例2 设正整数11010001000...n n n n a a a a --=+++，01000i a ≤<，则7（或11或13）整除a 的充要条件是7（或11或13）整除0213(...)(...)(1)i i a a a a a ++-++=-∑，0,1,...,i n =.证：1000与-1对模7（或11或13）同余，根据同余性质知，a 与(1)i i a -∑对模7（或11或13）同余即7（或11或13）整除a 当且仅当7（或11或13）整除(1)i i a -∑，0,1,...,i n =. 例3 a =5874192，则587419236i a =++++++=∑，0,1,...,i n =能被3，9整 除，当且仅当a 能被3，9整除 解：由例1证法可知，该结论正确.例4a =435693，则43569330i a =+++++=∑，0,1,...,i n =能被3整除，但ia ∑不能被9整除当且仅当3是a 的因数，9不是a 的因数. 解：由例1的证法可得.例5 a =637693，则6371000693a =⨯+，69363756i a =-=∑，0,1,...,i n =能被7整除而不能被11或13整除当且仅当7是a 的因数但11，13不是a 的因数. 解：由例2的证法可知，该结论正确.例6 a =75312289，27510003121000289a =⨯+⨯+2893127552i a =-+=∑，0,1,...,i n =能被13整除，而不能被7，11整除当且仅当13是a 的因数，而7与11不是a 的因数. 解：由例2的证法可知.例7 应用检查因数的方法求出下列各数标准分解式1535625 ②1158066解：①65432115356251105103105106102105=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，153562527ia =++++++=∑，927∴91535625，21535625110005351000625=⨯+⨯+，021()625153591a a a +-=+-=，由例2得1391，791，∴71535625，131535625，又51535625，951374095⨯⨯⨯=，15356253754095=， 5375，375755=，25， ∴54153562535137=⨯⨯⨯.②6543111580661101105108106106=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，11586627ia =+++++=∑，927∴91158066，2115806611000158100066=⨯+⨯+，021()66115891a a a +-=+-=-，由例2得791，13∴71158066，131158066，又21158066，971321638⨯⨯⨯=，11580667071638=，7707，∴2115806629713101=⨯⨯⨯⨯.4.2 弃九法（验证整数计算结果的方法）我们由普通乘法的运算方法求出整数a ，b 的乘积是P ，并令1101010...n n n n a a a a --=+++，010i a ≤< 1101010...n n n n b b b b --=+++，010i b ≤<， 1101010...n n n n P c c c --=+++，010i c ≤<，如果()()i j a b ∑∑与k c ∑对模9不同余，那么所求得的乘积是错误的.特别的，在实际验算中，若i a ，j b ，k c 中有9出现，则可去掉（因90(mod9)≡）.例1 a =28997，b =39495，按普通计算方法算得a ，b 乘积是P =1145236515， 按照上述弃九法8(mod9)a ≡，3(mod9)b ≡，5(mod9)P ≡. 但83⨯与5对模9不同余，所以计算有误.例2 若a =28997，b =39495，P =1145235615，那么P a b =⨯？ 解：按照上述弃九法，8(mod9)a ≡，3(mod9)b ≡，6(mod9)P ≡.虽然83⨯与6对模9同余，但是由通常乘法计算得到1145236515a b ⨯=， 故P a b =⨯不成立.注：当使用弃九法时，得出的结果虽然是()()i j a b ∑∑(mod9)k c ≡∑也还不能完全肯定原计算是正确的.4.3 同余性质的其他应用 例1 求7除5047的余数.解：由147(2)2(mod7)≡-≡-，2247(2)4(mod7)≡-≡，5547(2)1(mod7)≡-≡-，∴50516247(47)47144(mod7)≡⨯≡⨯≡， 即5047除以7余数为4.例2 试证：形如87()k k N +∈的整数不能表为三个平方数之和.证：假定22287(,,)N k a b c a b c Z =+=++∈，则2227(mod8)a b c ++≡，但这不可能.因为对模8而论.每一个整数最小非负余数只能是0，1，2，3，4，5，6，7中的一个数.而200(mod8)≡，211(mod8)≡，224(mod8)≡，231(mod8)≡，240(mod8)≡，251(mod8)≡，264(mod8)≡，271(mod8)≡.因此，任一整数平方对模8必与0，1，4三个数之一同余，而从｛0，1，4｝中任取三个数，其和都不可能与7对模8同余，所以对于任何整数a ，b ，c 都有222a b c ++与7对模8不同余.即形如87()k k N +∈的整数不能表为三个平方数之和. 例3 试证：53335333-能被10整除.证：由已知条件有533(mod10)≡，225339(mod10)≡≡，555337(mod10)≡≡，445331(mod10)≡≡，∴5341541553(53)53(3)3133(mod10)≡⨯≡⨯≡⨯≡ 又333(mod10)≡，223339(mod10)≡≡，553337(mod10)≡≡，443331(mod10)≡≡，∴33484833(33)33(3)3133(mod10)≡⨯≡⨯≡⨯≡∴53335333(mod10)≡，即533310(5333)- 也就是说，53335333-能被10整除.例4 设,,a b c N ∈且6()a b c ++，求证：3336)a b c ++证：对模6来说每一个整数的最小非负数余数为0，1，2，3，4，5300(mod6)≡，311(mod6)≡，322(mod6)≡，333(mod6)≡，344(mod6)≡，355(mod6)≡，即对任何整数k ，3(mod6)k k ≡∴3(mod6)a a ≡，3(mod6)b b ≡，3(mod6)c c ≡ ∴333()()(mod6)a b c a b c ++≡++又()0(mod6)a b c ++≡∴333()0(mod6)a b c ++≡ 故3336()a b c ++例5 若(5,)1n =，证明5n n -能被30整除. 证：设n N ∈，(mod6)n k ≡则0,1,2,3,4,5k =由500(mod6)≡，511(mod6)≡，522(mod6)≡，533(mod6)≡，544(mod6)≡，555(mod6)≡，∴5(mod6)k k ≡即55(mod6)n k k n ≡≡≡，56)n n - 同理可知55()n n - 又(5,6)1=∴530()n n - 故5n n -能被30整除.5 同余性质在数论中的应用：求简单同余式的解5.1一次同余式、一次同余式解的概念在代数里面，一个主要问题就是解代数方程.而同余性质在数论中的应用主要体现在同余在方程中的应用，也就是求同余式的解.一次同余式的定义：若用()f x 表示多项式110...n n n n a x a x a --+++，其中i a 是整数，又设m 是一个正整数，则()0(mod )f x m ≡ 叫做模m 的同余式.若n a 与0对m 不同余，则n 叫做()0(mod )f x m ≡的次数.定义：若a 是使()0(mod )f a m ≡成立的一个整数，则(mod )x a m ≡ 叫做同余式()0(mod )f x m ≡ 的一个解.定理 一次同余式(mod )ax b m ≡,a 与0对模m 不同余,它有解充要条件是(,)a m .[3]5.2 孙子定理解一次同余式组引例 今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? 解:设x 是所求物数，则依题意有，2(mod3)x ≡,3(mod5)x ≡,2(mod7)x ≡ 孙子算经里介绍用下列方法求解由表格知，所求物数是23.孙子定理：设1m ,2m ,…,k m 是k 个两两互质的正整数，12...k m m m m =，i i m m M =，1,2,...,i k =,则同余式组11(mod )x b m ≡,22(mod )x b m ≡,... ,(mod )k k x b m ≡的解是111111222...(mod )k k k x M M b M M b M M b m ≡+++,其中11(mod )i i i M M m ≡,1,2,...,i k =[4]用表格形式概括如下例1 解同余式组1(mod5)x b ≡, 2(mod6)x b ≡，3(mod7)x b ≡，4(mod11)x b ≡. 解：此时567112310m =⨯⨯⨯=,16711462M =⨯⨯=,25711385M =⨯⨯=，35611330M =⨯⨯=, 4567210M =⨯⨯=.解11(mod )i i i M M m ≡,1,2,3,4i = 得113M =,121M =,131M =,141M = 即12341386385330210(mod2310)x b b b b ≡+++.例2 韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，求兵数？ 解:由题意，有1(mod5)x ≡，5(mod6)x ≡，4(mod7)x ≡，10(mod11)x ≡3462385533042101067312111(mod 2310)x ≡⨯+⨯+⨯+⨯≡≡.5.3 简单高次同余式组()0(mod )i f x m ≡, 1,2,...,i k =及()0(mod )f x p ∂≡,p 为质数，0∂>的解数及解法的初步讨论定理1 若1m ,2m ,…,k m 是k 个两两互质的正整数,12...k m m m m =,则同余式()0(mod )f x m ≡与同余式组()0(mod )i f x m ≡,1,2,...,i k =等价.若用i T 表示()0(mod )i f x m ≡,1,2,...,i k =,对模i m 的解数, T 表示()0(mod )f x m ≡对模m 的解数，则12...kT TT T =.[5]例1 解同余式()0(mod35)f x ≡，43()289f x x x x =+++.解: 由定理1知()0(mod35)f x ≡与同余式()0(mod5)f x ≡ ,()0(mod7)f x ≡等价.同余式()0(mod5)f x ≡有两个解，即1,4(mod5)x ≡ 同余式()0(mod7)f x ≡有三个解，即3,5,6(mod7)x ≡ 即()0(mod35)f x ≡有六个解，即1(mod5)x b ≡,2(mod7)x b ≡ 由孙子定理有，122115(mod35)x b b ≡+即得()0(mod35)f x ≡的解为31,26,6,24,19,34(mod35)x ≡.定理2 设1(mod )x x p ≡,即11x x pt =+,10,1,2,...t =±±是()0(mod )f x p ≡的一解，并且p不整除1()f x ,(1()f x 是()f x 的导函数),则11x x pt =+刚好给出()0(mod )f x p ∂≡，p 为质数，0∂>的一解x x p t ∂∂∂=+,0,1,2,...t ∂=±±, 即(mod )x x p ∂∂≡, 其中1(mod )x x p ∂≡.[6]例2 解同余式3262717200(mod30)x x x +++≡.解: 由定理1知()0(mod30)f x ≡与()0(mod 2)f x ≡,()0(mod3)f x ≡,()0(mod5)f x ≡等价.显然，()0(mod 2)f x ≡有两解0,1(mod 2)x ≡()0(mod3)f x ≡有一解2(mod3)x ≡()0(mod5)f x ≡有三解0,1,2(mod5)x ≡同余式()0(mod30)f x ≡有六个解即1(mod 2)x b ≡,2(mod3)x b ≡,3(mod5)x b ≡,10,1b =；22b =；30,1,2b = 由孙子定理得12315106(mod30)x b b b ≡++,以1b ,2b ,3b 值分别代入，得()0(mod30)f x ≡全部解为20,2,26,5,11,17(mod30)x ≡.例3 解同余式()0(mod 27)f x ≡，4()74f x x x =++.解:()0(mod3)f x ≡有一解1(mod3)x ≡，并且3不整除1(1)f ，以113x t =+ 代入()0(mod9)f x ≡得11(1)3(1)0(mod9)f t f +≡但(1)3(mod9)f ≡，1(1)2(mod9)f ≡即13320(mod9)t +⨯≡即1210(mod3)t +≡因此1213t t =+而2213(13)49x t t =++=+是()0(mod9)f x ≡的一解；以249x t =+代入()0(mod 27)f x ≡即12(4)9(4)0(mod27)f t f +≡,2189200(mod 27)t +⨯≡即2220(mod3)t +≡, 2323t t =+即3349(23)2227x t t =++=+为所求的解.5.4 简单二次同余式2(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =解的判断二次同余式一般形式为20(mod )ax bx c m ++≡,a 与0对模m 不同余，由上面所学知识，经总结，判断一般二次同余式有解与否问题，一定可以转化为判断形如2(mod )x a p ∂≡,0∂>有解与否问题.先讨论单质数模同余式2(mod )x a p ≡,(,)1a p =有解与否问题若它有解，则a 叫做模p 的平方剩余，若它无解，则a 叫做模p 的平方非剩余.定理1 若(,)1a p =,则a 是模p 的平方剩余的充要条件是121(mod )p ap -≡且有两解；而a 是模p 的平方非剩余充要条件是121(mod )p a p -≡-.[7]()a p是勒让得符号，它是一个对于给定单质数p 定义在一切整数a 上的函数，它的值规定如下:当()1a p=时，a 是模p 的平方剩余； 当()1a p=-时，a 是模p 的平方非剩余； 当（pa ）=0时，p a .[8]讨论质数模同余式2(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =有解与否问题定理22(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =有解的充要条件是()1a p=，并且在有解情况下，解数是2.[9]讨论合数模同余式2(mod 2)x a ∂≡,0∂>,(2,)1a =有解与否问题定理3 设1∂>,当2∂=,1(mod 4)a ≡时，2(mod 2)x a ∂≡,0∂>,(2,)1a =有解，且解数是2；当3∂≥，1(mod8)a ≡时，上式有解，解数是4.[10]例 解257(mod64)x ≡.解: 因571(mod8)≡故有4个解.把x 写成3(14)x t =±+代入原同余式,得到23(14)57(mod16)t +≡, 由此得 31(mod2)t ≡, 故44[14(12)](58)x t t =±++=±+是适合257(mod16)x ≡的一切整数，再代入原同余式得到24(58)57(mod32)t +≡, 由此得40(mod 2)t ≡, 故55(582)(516)x t t =±+⨯=±+是适合257(mod32)x ≡的一切整数,再代入原同余式得到25(516)57(mod64)t +≡, 由此得51(mod2)t ≡, 故66[516(12)](2132)x t t =±++=±+是适合257(mod64)x ≡的一切整数，因此21,53,21,53(mod64)x ≡--是所求四个解.6 结论本文从同余概念及其基本性质出发，通过实例概括总结出同余性质在算术及数论中的一些简单应用.同余性质在算术中的应用主要是通过检查因数和弃九法验算结果的实例作出阐述;数论中同余性质的应用主要体现在简单一次同余式组及高次同余式的求解,以及二次同余式是否有解的判断.参考文献[1]闵嗣鹤,严士健编. 初等数论(第二版)[M].:高等教育,1982.9:37-93.[2]余元希等.初等代数研究(上)[M].:高等教育,1988:53-82.[3]赵振成.中学数学教材教法(修订版)[M].:华东师X大学,1999.12:53-56.[4]王书琴，X晓卫.剩余定理及一次同余式组[J].XX师X大学自然科学学报, 2002-1-17.[5][法]C.布尔勒，X广才译. 代数[M].:XX科技,1984.3:72-121.[6]曹才翰，沈伯英. 初等代数教程[M].:师X大学,1987:76-85.[7]X合义.谈数论中的同余及其应用[J].XX学院学报,2007:2-6.[8]H.B.勃罗斯库列亚柯夫，X品三译. 数与多项式[M].:高等教育,1980:42.[9]林国泰,司徒永显. 初等代数研究教程[M].:暨南大学,1996:81-96.[10]林六十. 初等代数研究[M].:中国地质大学,1989:145-158.致在大学的生活和学习中, 一直得到应用数学系领导和老师们的关心和帮助, 是在他们的谆谆教导下, 我在专业知识的学习中打下了坚实的基础, 在个人修养方面我从他们身上看到了“学高为师、身正为X”的教师风X, 吸取了踏实、严谨、刻苦、认真的治学精神, 以及正直、诚实、守信的人格魅力, 并且在日常生活中身体力行, 以他们为榜样, 加强教师道德修养, 努力丰富自己、完善自己.我在大学期间取得的所有成绩都是和系领导以及老师们的帮助和教诲分不开的, 在此向他们致以衷心的感谢和良好的祝愿.在这学期撰写毕业论文的过程中, 得到了孙善辉老师的悉心指导, 熟悉了撰写论文的一般格式和许多注意事项, 这对于我以后的学习和生活都具有很好的示X作用. 感谢孙善辉老师的帮助和指导！在我论文的撰写和校对过程中, 还得到了许多同学的帮助, 是他们帮助我发现论文里的某些小小的错误, 这使我节省了时间去完成其他的工作, 在此向他们表示感谢.最后, 再次感谢孙善辉老师的辛勤指导！。
同余定理的定义与应用
同余定理的定义与应用同余定理（Congruence theorem）是数论中一种重要的工具，用于描述整数之间“除以某个数的余数相同”的关系。
它在密码学、代数、组合数学等领域都有广泛的应用。
本文将从同余定理的定义和基本性质入手，介绍其在数论和应用领域的具体应用。
一、同余定理的定义在数论中，同余定理指的是：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b除以n的余数相同，即a ≡ b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
同余关系具有以下几个性质：1. 自反性：a ≡ a (mod n)；2. 对称性：若a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)；3. 传递性：若a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)。
二、同余定理的基本性质1. 同余的运算性质（1）同余的和与差性质：若a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，则a+c ≡ b+d (mod n)，a-c ≡ b-d (mod n)；（2）同余的积性质：若a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，则a·c ≡ b·d (mod n)。
2. 模运算的唯一性对于每一个正整数n，模n同余关系分割整数集合Z成了n个完全的互不相交的子集，即[Z] ≡ [0],[1],[2],...,[n-1]。
任何整数都可以唯一地属于其所对应的整数集合。
三、同余定理在数论中的应用1. 同余方程的求解对于形如ax ≡ b (mod n)的同余方程，可以利用同余定理来求解。
设d是a与n的最大公约数，若b能被d整除，方程有解；否则方程无解。
若方程有解，则可以使用扩展欧几里得算法求出方程的一组特解，并通过枚举生成其他所有解。
2. 质数测试同余定理在质数测试中有着重要的应用。
费马小定理和欧拉定理就是同余定理在质数测试中的两个重要应用。
根据费马小定理，若p为质数且a是整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
整数的整除性与同余分析
a b(mod M )
定理５(费尔马定理) 设 p 为素数, ( p, a) 1, 则有
a p1 1(mod p)
亦即
a a(mod p)
p
a.奇偶性分析举例
例1 在1,2,3,,2009这2009个数的前面任意添加 一个正号或负号, 问得到的代数和为奇数还是 偶数？ 解 由于a b 与 a b有相同的奇偶性, 故对给定 的数任意添加正号或负号得到的代数和与
1 2 3 2009
(其中有奇数项为奇数) 的奇偶性相同,为奇数.
例2 设 n为奇数,a1 , a 2 , , a n为1,2,, n 的任意一 排列,证明(a1 1)(a2 2) (an n) 必为偶数.(匈牙利) 证明 (反证法) 若该乘积为奇数,则a1 1, a2 2,, an n 都是奇数, 而 n 为奇数, 故 (a1 1) (a 2 2) (a n n) 为奇数. 另一方面, 由于a1 , a 2 , , a n 为1,2, , n 的任意一 排列,故 (a1 1) (a 2 2) (a n n) (a1 a 2 a n ) (1 2 n) 0. 为偶数. 矛盾. 综上, (a1 1)(a 2 2) (an n) 为偶数.
注：上述证明先利用整除性质简化问题, 再根 据给定数的特征, 采用分类讨论、考察完全平 方数的特征性质等方法, 使整除性逐步暴露出 来.本题如果用余数分析法则比较方便(见后面 同余分析).
16 p 4 1.
例3 设 p 是大于5的素数,求证 240 p 4 1. 证明 240 16 32 5 , 2 注:2 本题用到 4 p 1 ( p 1)( p 1) ( p 1)( p 1)( p 1). 了余数分析 2 首先, p 是大于5的素数,为奇数, 故 2 p 1; 又 p 1、p 1是两个相邻偶数, 故其中一个是2的倍 数,另一个必是4的倍数,有8 ( p 1)( p 1), 于是,
数论中的同余与模运算
数论中的同余与模运算数论是研究整数性质和整数运算规律的一门学科，其中同余与模运算是数论中的重要概念。
本文将介绍同余的定义和性质，以及模运算的运算法则和应用。
1. 同余的定义和性质在数论中，同余是指两个整数除以某个整数所得的余数相等。
具体来说，设a、b、m为整数，如果a除以m的余数等于b除以m的余数，即a≡b(mod m)，则称a与b同余，m为模数。
同余具有以下性质：1.1 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
1.2 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
1.3 偏移性：若a≡b(mod m)，则a±k≡b±k(mod m)，其中k为任意整数。
1.4 乘法性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
1.5 幂法性：若a≡b(mod m)，则a^n≡b^n(mod m)，其中n为正整数。
同余的定义和性质在数论中具有重要的地位，为后续的模运算提供了基础。
2. 模运算的运算法则模运算是指对整数在同余关系下的加法、减法、乘法和幂运算。
2.1 模加法：设a、b、p为整数，p>0，则(a+b) mod p = [(a mod p) +(b mod p)] mod p。
2.2 模减法：设a、b、p为整数，p>0，则(a-b) mod p = [(a mod p) -(b mod p)] mod p。
2.3 模乘法：设a、b、p为整数，p>0，则(a*b) mod p = [(a mod p) *(b mod p)] mod p。
2.4 模幂运算：设a、b、p为整数，p>0，则(a^b) mod p = [(a modp)^b] mod p。
模运算的运算法则可以方便地计算在同余关系下的运算结果，有助于解决实际问题和简化计算步骤。
3. 模运算的应用模运算在密码学、编码与解码、随机数生成等领域有广泛的应用。