参数方程ppt课件
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人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
高中数学精品课件：第二节 参数方程
当 a＜－4 时，d 的最大值为－a1＋7 1.
由题设得－a＋1＝ 17
17，解得 a＝－16.综上，a＝8 或 a＝－16.
返回
[解题师说] 1．方法要熟 (1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时， 一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关 系来解决问题． (2)对于形如xy＝＝yx00＋＋batt， (t 为参数)的参数方程，当 a2＋ b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
解析：由xy＝＝35scions
φ， φ
(φ 为参数)得，2x52＋y92＝1，
当 AB⊥x 轴时，|AB|有最小值．
所以|AB|min＝2×95＝158. 答案：158
返回
3．曲线
C
的参数方程为xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C 的普
通方程为____________．
解析：由xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，得 y＝2－2x2(－
1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
返回
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
x＝1＋12t，
y＝
3 2t
(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋y42＝1，设直线
l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为___________．
第二 节
参数方程
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
返回
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
常见曲线的参数方程课件
=1+cos
.
. . . .
令 cos2 = 0, θ k
例3.求曲线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 θ θ , 联立后得交点坐标 y
由 sin > 0, θ
y
P r
x
o
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆 内缘无滑动地 滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。 –a
a 4
o
a x
y
.
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
直角坐标方程为：
x y a
2 3
2 3
2 3
P
.
.
–a
o
a x
极坐标方程为
x a cos3 3 y a si n
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x 3 t 1 2 3 at y t3 1
(- t , t -1)
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程 x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
参数方程 课件
(α为参数)．
M 是 C1 上的动点，P 点满足O→P＝2O→M，P 点的轨迹为曲线 C2.
(1)求 C2 的方程；
(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ
＝π与 3
C1
的异于极点的交点为
A，与
C2
的异于极点的交点为
B，
求|AB|.
第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线 C1、曲线 C2 均用极坐标表示，再求射线 θ＝3π与曲线 C1、C2 的交点 A、B 的 极径即可．
θ， θ
(θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆ax22＋by22＝1
的参数方程为xy＝＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数)．
双曲线ax22－by22＝1 的参数方程为xy＝＝atasnecφφ， (φ 为参数)．
抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2， (t 为参数)．
2．若直线xy＝＝12－＋23tt， (t 为实数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常 数 k＝________. 解析 参数方程xy＝＝12－＋23tt，， 所表示的直线方程为 3x＋2y＝7， 由此直线与直线 4x＋ky＝1 垂直可得－32×－4k＝－1，解得 k ＝－6. 答案 －6
3
．
二
[审题视点] (1)求圆心到直线 l 的距离，这个距离减去圆的半径
即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参
数方程代入得关于参数 t 的一元二次方程，这个方程的 Δ≥0.
解 (1)当 α＝23π时，直线 l 的直角坐标方程为 3x＋y－3 3＝0，
圆 C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离 d＝223＝ 3，圆
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
参数方程.PPT课件
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中 注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值 范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
最新课件
29
普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数：
x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
最新课件
7
练习
1、曲线
x y
1 t2 (t为参数） 与x轴的交点坐标是(
4t 3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程xy
s in(为 cos
参
数 )所表示的曲线上一点的坐标是(
D．双曲线 19
4
点P(x,
y)是曲线
x y
2 2
cos sin
1
1(
为参数)上任意一点,则
x 2 y 2 的最大值为 2 2 .
5 已知点P是圆 x2 y2 16 上一个动点,定点A(12, 0)，
点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动
时，求点M的轨迹．
解：设点M的坐标是(x, y), xOP
B．6
C．26 D．25
2
点P(x,
y)是曲线xy
cos sin
2
(为参数)上任意一点，则
y x
的最大值为( D )
A1 B2 C 3
D3
3
3 圆 x 2 y 2 4 R x c o s 4 R y s i n 3 R 2 0 ( R 0 )
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中 注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值 范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
最新课件
29
普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数：
x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
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7
练习
1、曲线
x y
1 t2 (t为参数） 与x轴的交点坐标是(
4t 3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程xy
s in(为 cos
参
数 )所表示的曲线上一点的坐标是(
D．双曲线 19
4
点P(x,
y)是曲线
x y
2 2
cos sin
1
1(
为参数)上任意一点,则
x 2 y 2 的最大值为 2 2 .
5 已知点P是圆 x2 y2 16 上一个动点,定点A(12, 0)，
点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动
时，求点M的轨迹．
解：设点M的坐标是(x, y), xOP
B．6
C．26 D．25
2
点P(x,
y)是曲线xy
cos sin
2
(为参数)上任意一点，则
y x
的最大值为( D )
A1 B2 C 3
D3
3
3 圆 x 2 y 2 4 R x c o s 4 R y s i n 3 R 2 0 ( R 0 )
参数方程ppt课件
考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念
直线的参数方程及弦长公式pppt课件
2
2
2
2
最新版整理ppt
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35 3542
（1）如何写出l的 直参 线数方程？
①
（ 2 ）如何A 求 ， B 所 出对 交应 点 t1， 的 t2? 参数
①
t1t22,t1t22
（ 3）AB 、 MA M与 Bt1， t2有 什 么 关 系 ？
由参数的几何意义得： |A B||t1t2|t1t224t1t210
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 2 5 10
பைடு நூலகம்
由 (* 解 ) x 得 1 1 2 ： 5 ， x 2 1 25
y13 25， y23 25
记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
(t为参数)
3、t的几何意义。
4、利用直线的参数方程解决问题
教学目标： 推导直线的参数方程。掌握直
线参数方程的设法。理解直线参数 方程中t的几何意义。
教学重难点： 理解直线参数方程中t的几何意义。 巧妙利用直线的参数方程解决问
题。
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|M A 最|新|版M 整B 理|p p|t t1t2|2
6
（ 1 ） M 1M 2t1t2 （2）t t1 t2
2
特 别 地 ， 若 中 点 为 M 0 , 最则 新版t 整理 ppt t 1 2 t 2 0 ， 即 t 1 2 70
直线
x
y
2 1t 2
1 1 2
参数方程课件
1 解：由x 1 t 0得 t 1 x 1 t 1 x 2 将其代入 y 1 t 得
1 y 1 2 1 x
利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去 参数。
x
1
x 1 3 t t为参数化成普通方程。 例3.将 y 2 4t 解：将参数方程变形为 通过将两参数
x 3 sin 4 cos 为参数 3 y 4 sin 3 cos 2 2 x y 1 解： 1 x 5且0 y 4 25 16
2 y 1 2 x 1 2 2 3x y 25
2
x 1
一.代数法消去参数
x 3t 1 t为参数化成普通方程。 例1 将参数方程 3 y t
解：由 x 3t 1得
x 1 t 3
将其代入 y t 得
3
y
x
1化为普通方程 例2.将参数方程 y 1 t2
参数方程
刘礼勇
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点P的坐标为( x, y ),圆半径为r , P0OP
, 根据三角函数定义 , 点P的横坐标x、 纵坐标y都是的函数,即
P(x,y)
5
x＝r cos a y =r sin a
并且对于
r
o
p0
5
①
-5
的每一个允许值 ,由方程组①所
普通方程是x 2 y 2 1 C 2是直线，普通方程是 x y C1与C 2有且只有一个交点 2 0
x at cos a , b, 均不为0， 已知参数方程 0 2 ， y bt sin 3 为参数. 分别取1t为参数； 2 为参数; 则方程表示什么曲线？
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第二讲：参数方程
1
曲线的参数方程
2
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
出 它 对 应 的 参 数 值.
16
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x=100t=1000, t=10, y=gt2/2=10×102/2=500m.
7
练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
6 3t
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
6
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞 行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气 阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多 少？（精确到1m）
参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数5 。
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2t2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
500
x=100t，离地面高度y，即：
y=500-gt2/2，
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投
放物资，可以使其准确落在指定位置。
4
参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一
点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t),
y
g
(t
).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点
M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
11
圆的参数方程
12
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
M0
o
x
13
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
cost x ,sin t y
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线 2
x
y
2 cos 3 s in
(为 参 数,0
2
)上,若 在
曲 线 上,求
r
r
即
x r cost
y
r
sin
t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数)
14
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援3点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t时刻，水平位移为
2
8
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
பைடு நூலகம்
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
9
5下列在曲线
x
y
sin 2 cos
sin
(为参数)
上的点是
( B)
A
(1 , 2
2)
B
( 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
10
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。
15
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
1
曲线的参数方程
2
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
出 它 对 应 的 参 数 值.
16
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x=100t=1000, t=10, y=gt2/2=10×102/2=500m.
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练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
6 3t
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
6
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞 行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气 阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多 少？（精确到1m）
参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数5 。
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2t2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
500
x=100t，离地面高度y，即：
y=500-gt2/2，
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投
放物资，可以使其准确落在指定位置。
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参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一
点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t),
y
g
(t
).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点
M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
11
圆的参数方程
12
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
M0
o
x
13
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
cost x ,sin t y
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线 2
x
y
2 cos 3 s in
(为 参 数,0
2
)上,若 在
曲 线 上,求
r
r
即
x r cost
y
r
sin
t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数)
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圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援3点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t时刻，水平位移为
2
8
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
பைடு நூலகம்
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
9
5下列在曲线
x
y
sin 2 cos
sin
(为参数)
上的点是
( B)
A
(1 , 2
2)
B
( 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
10
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。
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例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。