01型整数规划模型

甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的

专业推广者推

广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a −b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若

不行，考虑争取4 人。

§5.4 0—1型整数规划模型

1、 0—1型整数规划模型概述

整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。

0—1型整数规划的的数学模型为：

目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++= 2211)( 约束条件为：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1

| 0 ) ,() ,() ,(2211222221211

1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,2

1

这里，0 | 1表示0或1。

2、0—1型整数规划模型的解法

0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量

n

x x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中

求出最优解。这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n

2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也

几乎是不可能的。隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。此时，就只能用穷举法了。

3. 应用实例

例1 工程上马的决策问题 1）问题的提出

某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。

2）模型分析与变量的假设

这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。

设)

,4 ,3 ,2 ,1( ,1 ,0=⎩⎨⎧=j j j x j 项工程不上马第项工程可上马第

因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数25千元，故该0—1型整数规划问题的约束条件为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==≤+++≤+++≤+++4

,3 ,2 ,1 ,1|02410210822697188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i

由于期望收益尽可能大，故目标函数为：

4

32130204020ax x x x x z m +++=

3）模型的建立与求解

至此，我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：

4

32130204020ax x x x x z m +++=

约束条件为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==≤+++≤+++≤++++4

,3 ,2 ,1 ,1|0(3)

24102108(2) 22697(1)

188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i

下面用隐枚举法求其最优解。易知，该0—1型整数规划模型有一可行解（0，0，0，1），它对应的目标函数值为：30=z 。自然，该模型的最优解所对应的目标函数值应不小于30，于是，我们增加一过滤条件为：

30

302040204321≥+++x x x x （4）

在此过滤条件（过滤条件可不唯一）下，用隐枚举法求0—1型整数规划模型的最优解的步骤为：

（1）先判断第一枚举点所对应的目标函数值是否满足过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，再判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z1（本例中，z130≥）作为新的目标值，并修改过滤条件为：

1

432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；

(2) 再判断第二枚举点所对应的目标函数值是否满足新的过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，接着判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z2（z2 ≥z1）作为新的目标值，并修改过滤条件为：

2

432130204020z x x x x ≥+++，