01型整数规划模型
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
01整数规划课程设计
0 1整数规划课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解整数规划的基本概念，掌握0-1整数规划的特点及适用场景；2. 学会构建0-1整数规划的数学模型，并能用相关数学语言进行表达；3. 了解0-1整数规划问题的求解方法，掌握其基本原理。
技能目标：1. 能够运用0-1整数规划解决实际问题，独立设计并优化解决方案；2. 学会使用计算工具（如Excel、Lingo等）求解0-1整数规划问题；3. 能够对0-1整数规划问题进行有效分析，提出改进措施。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对实际问题时，运用数学知识解决问题的积极态度和自信心；2. 增强学生的团队协作意识，培养沟通与表达的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解决问题的综合素质。
课程性质：本课程为数学学科的一门应用型课程，旨在帮助学生掌握0-1整数规划的基本知识，培养解决实际问题的能力。
学生特点：针对高中年级学生，具备一定的数学基础，对实际问题具有较强的探究欲望。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，提高学生的参与度和积极性。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 教学大纲：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景；b. 0-1整数规划数学模型的构建；c. 0-1整数规划求解方法及原理；d. 实际问题中的应用案例分析。
2. 教学内容安排与进度：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景（1课时）；- 介绍0-1整数规划的定义、特点；- 分析0-1整数规划在实际问题中的应用。
b. 0-1整数规划数学模型的构建（2课时）；- 学习如何用数学语言表达0-1整数规划问题；- 掌握构建0-1整数规划数学模型的方法。
c. 0-1整数规划求解方法及原理（2课时）；- 介绍求解0-1整数规划问题的主要方法；- 分析各种求解方法的原理及优缺点。
d. 实际问题中的应用案例分析（2课时）；- 分析典型实际问题，运用0-1整数规划求解；- 学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
关于01变量模型
库存1000吨 B x22
x21
x11 x12
约束 条件
汽油含原油A 的比例限制
A
x11 0.5 x11 x21 x11 x21
x12 0.6 2 x12 3x22 x12 x22
B
x21 x22
x11 x12
甲(A50%) 乙(A60%)
目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；
模型求解
整数规划(Integer Programming,简记IP)
IP可用LINGO直接求解
max =2*x1+3*x2+4*x3
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280x1 250x2 400x3 60000 1.5*x1+3*x2+5*x3<600
x3 My3 , x3 80y3 , y3 {0,1}
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 最优解同前 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000
原油采购与加工
库存500吨 原油A 库存1000吨 原油B
汽油甲 售价4800元/吨 (A50%) 汽油乙 售价5600元/吨 (A60%)
市场上可买到不超过1500吨的原油A： • 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； • 购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； • 购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。
excelmodule3整数规划01规划的应用
3.相依决策变量--建厂才建仓库， x1>=x3，x2>=x4
4.决策变量 xi = 0,1 (i = 1,2,3,4)
Chap 15-8
例4 连锁店选址
某连锁店计划在城区的东南西北部建店。有10个位置可供参考。每个 位置的预计投资额和利润如表。并有如下条件：
Cost ($/hour) Location 1 Location 2 Location 3 Location 4 Location 5
Machine 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
16
12
14
15
Machine 2
15
--
13
20
16
Machine 3
4
7
10
6
7Chap 15-23
指派（分配）问题是0-1规划的特例，也是运 输问题的特例，在指派问题模型中，每一个产地 的提供量和每一个目的地的需求量均为1，即n=m, ai=bi=1 。
Chap 15-18
指派问题一般模型
1.一般模型：
设c 0 : 第i个人完成第j项任务的效率 ij
（时间成本等）
引入x ij
1
0
第i个人完成第j项任务 否则
模型：
min
(
P
)
s.t
.
nn
f
cij
x ij
i 1 j1
n
x ij
1,
j
1,, n 每项任务一人
i 1
n
x ij
1,
i
1,, n
每人一项任务
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
01规划在各种实际问题中的应用以及lingo求解
i 1 5
xij
1
(
j
1,2,3,4,5)
j1
xij 0或1
lingo求解
• model: • sets: • m/1..5/; • n/1..5/; • link(m,n):a,x; • endsets • data: • a=25,29,31,42,37,39,38,26,20,33,34,27,28,40,32,24,42,36,
0-1规划
如果整数规划问题中的所有 变量仅限于取0或1两个值，则称 此问题为0-1整数规划，简称0-1 规划，其变量为0-1变量.
1.游泳队员的分配问题
• 某游泳拟选用A、B、C、D四名游泳运动员 组成一个4×100m混合泳接力队，参加运动 会.他们的100m自由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳 的成绩如下表.
23,45,0,0,0,0,1000; • enddata • [obj]min=@sum(link(i,j):a(i,j)*x(i,j)); • @for(n(j):@sum(m(i):x(i,j))=1;); • @for(m(i):@sum(n(j):x(i,j))=1;); • @for(link(i,j):@bin(x(i,j));x(i,j)>=0;); • end
56 74 61 63 63 69 65 71 57 77 63 67 55 76 62 62
01整数规划模型在城市商业网点最佳选择中的应用曾惠清
科技信息1、引言城市商业网点空间布局旨在明晰的城市定位和城市发展战略的前提下，以可持续发展的眼光确定城市商业网点的数量与规模、业态结构和空间分布，促进城市商贸的有序发展和对外扩张，满足本地周边居民、外来游客甚至全球消费者的需求，打造城市的综合竞争力和核心竞争力，最终达到使城市品位不断提升和城市商贸经济可持续发展的目的。
对于一个国家、城市和区域的商业网点来说，不同种类、规模、档次和品位的商业网点就组成了不同级别的商业网点系统。
相应地，不同商业网点的组合和布局也就决定了该区域的商贸业繁荣程度和可持续发展能力。
针对城市商业特色及其内涵，通过实例，建立0-1整数规划模型、城市商业网点规划理论和利用WinQSB2.0软件的模拟仿真计算来实现城市商业网点的最佳布设，本文的研究提供了一种新的科学计算和模拟仿真方法解决城市商业网点选址问题，具有较高的理论与应用价值。
2、城市商业网点规划理论概述我国城市商业网点的发展逐渐呈现出一些新的趋势和特点：合理化布局，逐渐形成以传统的繁华区或商业界为中心向外辐射，即同心圆向外扩张的模式；组织化创新，多种业态形式的商业设施，大力开展连锁化经营，物流业加速整合；人本化服务，坚持先进市场设计理念与本土消费习惯相结合，立足实际，充分体现“以人为本”的精神，利民便民，充分体现为人服务的功能；法制化建设，形成良好的投资环境，推动商贸流通体系的发展；信息化助动，网络化运行，规模化发展，借助现代网络技术对传统商业加以改造，大幅度提高商业服务质量和效率；生态意识，注意维护和改善生态环境，有利于社会经济的可持续发展；区域协调意识，既要注意到城市内商业网点的空间布局，也要考虑市外尤其是周边地区商业网点的空间布局，从实际出发，从全局着眼，统筹规划；适度超前意识，在把握城市经济和消费发展趋势的同时，借鉴国内外商贸业发达地区的成功经验，放眼世界，在网点分布、业态设置、购物环境等方面适度超前，留有发展空间。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
基于01规划的数学模型设计
基于01规划的数学模型设计01规划是一种常见的数学规划方法，广泛应用于各种优化问题中。
它是一种整数规划方法，主要解决的是在给定条件下，如何最优地分配资源，或者是最大化或最小化一个目标函数。
本文将介绍基于01规划的数学模型设计。
01规划的数学模型通常可以表示为以下形式：max z = f(x1, x2,..., xn)s.t. ci(x1, x2,..., xn) ≤ 0, i = 1, 2,..., mx1, x2,..., xn ∈ {0,1}其中，z为目标函数，x1, x2,..., xn为决策变量，ci(x1, x2,..., xn)为约束条件，且ci(x1, x2,..., xn) ≤ 0表示该约束条件是一个不等式约束。
x1, x2,..., xn ∈ {0,1}表示决策变量只能是0或1。
求解01规划的方法有很多种，其中比较常用的有：穷举法：对于小规模的问题，可以通过穷举所有可能的解，然后选择最优的解。
分支定界法：对于大规模的问题，可以通过分支定界法来求解。
该方法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后逐个求解。
在求解的过程中，可以不断剪枝，从而缩小问题的搜索空间。
智能算法：对于一些复杂的问题，可以通过智能算法来求解。
例如遗传算法、蚁群算法等。
这些算法可以模拟生物进化、社会行为等自然现象，从而寻找到最优解。
01规划的应用非常广泛，例如在生产计划、资源分配、物流运输等领域都有广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以通过01规划来优化生产线的配置，从而提高生产效率。
在资源分配中，可以通过01规划来优化资源的分配方式，从而提高资源的利用效率。
在物流运输中，可以通过01规划来确定最佳的运输路径和运输方式，从而提高物流效率。
基于01规划的数学模型设计是一种非常有用的数学工具，它可以解决各种优化问题。
在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的求解方法，从而得到最优的解决方案。
随着城市的发展，高层建筑物越来越普遍，而随之而来的是疏散路径的优化问题。
运筹学01整数规划
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
运筹学课件第四节0-1型整数规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
0-1整数规划
0-1整数规划0-1整数规划1.什么是0-1整数规划？0-1 整数规划是⼀种特殊形式的整数规划，这时的决策变量x i 只取两个值0或1，⼀般的解法为隐枚举法。
2.什么时候采⽤0-1整数规划法？正如计算机只懂得0,1两个数，1代表是，0代表否。
同样的，在0-1整数规划中的0和1并不是真真意义上的数，⽽是⼀个衡量事件是否发⽣的标准。
⼀般来说，我们在从多个事物中选出其中⼀部分，在⼀定的条件下求解最优情况时可以采⽤0-1整数规划法。
⼀、0-1整数规划的求解例1 求解下列0-1规划问题1231231231223123max 3252 2 (1)4 4 (2).. 3 (3) 4 6 (4),,01Z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤??++≤??+≤??+≤??=?或解：对于0-1 规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，⼀般会⽤穷举法来解，由上表可知，问题的最优解为X*=( x1 =1x2=0x3=1 ) 但此法太繁琐，⼯作量相当⼤。
⽽隐枚举法就是在此基础上，通过加⼊⼀定的条件，就能较快的求得最优解：找到x1 =0x2=0x3=1是⼀个可⾏解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3≥5作为⼀个约束，凡是⽬标函数值⼩于5的组合不必讨论，如软件进⾏求解。
⼆、0-1整数规划模型的建⽴值得注意的是在0-1整数规划模型建⽴的时候，0,1仅表⽰物件是否被选取，事件是否发⽣，⽆其他含义。
例2⼀个旅⾏者要到某地作两周的带包旅⾏,装背包时,他发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公⽄重的东西.他打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公⽄⼜能使使⽤价值最⼤.这4种东西的重量和使⽤价值(这⾥⽤打分解：建⽴模型为()12341234max Z=6x 7392345s.t. 0,11,2,3,4i x x x x x x x x i ++++++≤==??1 234思考：某公司拟在东、西、南三个区建⽴门市部,拟议中有七个点(建⽴门市部的地点)A j(j=1,2,…,7)可供选择;由于某种需要⽽规定:在东区:由A1,A2,A3中⾄多选2个点;在西区:由A4,A5中⾄少选1个点;在南区:由A6,A7中⾄少选1个点;据估计,如选A j点建⽴门市部,则需要投资a j元.⽽每年可获利润c j元,但这笔投资总额不能超过b元.问应选择哪⼏个点可使该公司的年利润为最⼤？。
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
运筹学(01规划)1
1、将目标函数的系数按递增或递减的顺序重新排列。 2、参照目标函数的排列，列出问题所有可能取到的点，并检查是否可行，若可 行，则算出相应的目标函数值。 3、比较可行解的目标函数值，找出最优解和最优值。 以上题为例， 按系数递增重新排列） 以上题为例，1、max=15X3+20X1+30X2(按系数递增重新排列） 2、参照目标函数系数的排列，依次序列出所有可能取到的点，并检 参照目标函数系数的排列，依次序列出所有可能取到的点， 查可行性，算出相应的目标函数值，如下表： 查可行性，算出相应的目标函数值，如下表：
在可行解中比较，点（1，0，1）的目标函数值最大，所以最优解为： X=(1,0,1),相应的目标函数值为Z=35(万元）
？
最优解
二、指派问题
在生产管理上，管理者总希望能够将人员分配的最佳，以发挥其最大 的工作效率，这就是所谓的“指派问题”。
特点： 特点：把n项工作指派给n个人去做时，每个人仅能接受一项任务，而 项工作指派给n个人去做时，每个人仅能接受一项任务， 项任务也只能由一个人去做。（指派问题也是整数规划的一个分支） 。（指派问题也是整数规划的一个分支 且一项任务也只能由一个人去做。（指派问题也是整数规划的一个分支）
完全枚举法（显枚举法） 完全枚举法（显枚举法） Xj的取值有0和1两种情况，三种方案就有8种组合，把每种组合列出，带入约束 方程检验是否可行，再比较目标函数的大小，从而求得最优解
因此，人们设计出了一种只需要检查一部分可能的变量组合，就可以达 到最优解的方法-------------------
隐枚举法（部分枚举法） 隐枚举法（部分枚举法）
虽
可
Z=C12+C24+C31+C43+C55=7+6+7+6+6=32 Min Z=C12+C24+C31+C43+C55=7+6+7+6+6=32
整数线性规划问题
实 例
1
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。
单价
销地
厂址
生产能力
建设费用
销量
设： xij 表示从工厂i 运往销地j 的运量(i=1.2…m、j=1.2…n), 在Ai 建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 不在Ai 建厂 模型：
（3）0－1整数规划问题
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
一位旅行者出发前准备在自己的背包里 携带必需的物品,已知可供选择的物品有n种, 第j种物品的重量为 公斤,其价值为 ,若 背包所带物品的总重量不得超过b公斤,问他 应如何选择所带物品，以使总价值最大。
物品
1 2 … j … n
方式
数学模型表示为： 设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数
混合整数规划问题
某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m), 又有n个地点B1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？
运筹学 0-1整数规划
n ∑ a ij x j < = b i + M i y i j =1 p ∑1 y i = p - q i=
三、固定成本问题
某公司制造小、 大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、 例4.8 某公司制造小、中、大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、劳 动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示： 动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示： 不考虑固定费用， 大号容器每售出一个其利润分别为4万元 万元、 不考虑固定费用，小、中、大号容器每售出一个其利润分别为 万元、 5万元、6万元，可使用的金属板有 万元、 万元 可使用的金属板有500吨，劳动力有 万元， 万元 吨 劳动力有300人/月，机器有 人月 100台/月，另外若生产，不管每种容器生产多少，都需要支付一笔固定 台 月 另外若生产，不管每种容器生产多少， 费用：小号为100万元，中号为 万元， 万元， 万元。 费用：小号为 万元 中号为150万元，大号为 万元 大号为200万元。问如何制定 万元 生产计划使获得的利润对大？ 生产计划使获得的利润对大？
0－1 整数规划求解方法
0－1 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的 － 整数规划是一种特殊形式的整数规划， 决策变量x 只取两个值0或 ，一般的解法为隐枚举法。 决策变量 i 只取两个值 或1，一般的解法为隐枚举法。 例一、求解下列0－ 例一、求解下列 －1 规划问题 max Z = 3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3
(1) (2)
•
工序B 只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（ ） 工序 3只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（1）和（2）就成为 ） 相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入0-1变量 相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入 变量
0—1 型整数规划
例5 求解maxZ=3x1-2x2+5x3 解：调整x1,x2的顺序，使目标函数 x1+2x2-x3≤2 中变量的系数呈递增（不减）的顺 x1+4x2+x3≤4 序,则问题变为： maxZ=-2x2+3x1+5x3 x1+ x2 ≤3 2x2+x1-x3≤2 ① 4x2+x3≤6 4x2+x1+x3≤4 ② x1,x2,x3=0或1 x2+x1 ≤3 ③ 解 约束条件 目 4x2 +x3≤6 ④ 标 ① ② ③ ④ （x2，x1，x3） 值 x1,x2,x3=0或1 0 √ √ √ √ （0 0 0） 按二进制数码从小到大的顺序排列 5 √ √ √ √ （0 0 1） 并检查各个解，先计算解的目标值， 若目标值小于目前可行解最好的目 （0 1 0） - - - 标值，则不必检查是否满足约束条 8 √ √ √ √ （0 1 1） （1 0 0） - - - - 件，当所有解被检查完毕，就可判 （1 0 1） - - - - 断出最优解。计算结果可列表表示， 见左表。 （1 1 0） - - - 最终得到最优解：x1=1，x2=0， （1 1 1） - - - 6 x3=1，最优值：Z=8
x =
1 ,是 0 ,否
4.1 引入 引入0—1 变量的实例 1.确定投资方案——相互排斥的计划 例4 某市工商银行拟抽调a万元资金对小五金、小百货和洗 涤剂三个行业给予低息贷款。由于资金有限，只能在四个小五金 企业A1、A2、A3、A4 中至多选两个；在五个小百货企业A5、A6、 A7、A8 中至多选三个；在四个洗涤剂企业A9、A10、A11、A12 中 至多选两个给予低息贷款。已知企业Ai得到贷款ai万元后，可获 利bi万元。问工商银行应如何发放贷款，可使总利润最大？ 解：因为本问题只要求解决是否给企业贷款，因此可用0—1 变量描述所求方案。设 1, 给A 贷款 i xi = ,i =1,2,L,12 不给A 贷款 0, i 于是，根据题意，本问题可描述为： 12 maxZ= ∑bi xi
01型整数规划模型
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21ΛΛ的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的专业推广者推广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a −b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。
上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若不行，考虑争取4 人。
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++= 2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题 1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。
设),4 ,3 ,2 ,1( ,1 ,0=⎩⎨⎧=j j j x j 项工程不上马第项工程可上马第因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数25千元，故该0—1型整数规划问题的约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≤+++≤+++4,3 ,2 ,1 ,1|02410210822697188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i由于期望收益尽可能大，故目标函数为：432130204020ax x x x x z m +++=3）模型的建立与求解至此，我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：432130204020ax x x x x z m +++=约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≤+++≤++++4,3 ,2 ,1 ,1|0(3)24102108(2) 22697(1)188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i下面用隐枚举法求其最优解。
易知，该0—1型整数规划模型有一可行解（0，0，0，1），它对应的目标函数值为：30=z 。
自然，该模型的最优解所对应的目标函数值应不小于30，于是，我们增加一过滤条件为：30302040204321≥+++x x x x （4）在此过滤条件（过滤条件可不唯一）下，用隐枚举法求0—1型整数规划模型的最优解的步骤为：（1）先判断第一枚举点所对应的目标函数值是否满足过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，再判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z1（本例中，z130≥）作为新的目标值，并修改过滤条件为：1432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；(2) 再判断第二枚举点所对应的目标函数值是否满足新的过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，接着判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z2（z2 ≥z1）作为新的目标值，并修改过滤条件为：2432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；(3) 重复步骤（2），直至所有的枚举点均比较结束为止。
由隐枚举法的求解步骤，我们可给出该问题的求解过程如下表所示，并得到最优解为：)1,1,1,0(),,,(4321xxxx，相应的目标值为90（千元）。
故应上马的工程为2号、3号、4号工程。
注：在该表中，√表示满足相应条件，×表示不满足相应条件。
例2 工序的流程安排问题1）问题的提出一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程中，每站都要完成一道或几道工序，假定一共有六道工序，这些工序按先后次序在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总时间不能超过10分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数为最少？2）模型分析与变量的假设下面，我们先讨论工序与工作站的关系，并试图建立起该问题的0—1型整数规划模型。
对任一工序而言，它要么属于工作站j ，要么不属于工作站j ，故决策变量可定义为：⎩⎨⎧=行 运 上 j 不在工作站 若工序 0行 运 上 在工作站 若工序1i j i x ij这种定义，使我们能根据最优解中ijx 的值来很快确定工序i 与工作站j 之间的隶属关系。
又因工序1，2，3所需的工作时间不超过10分钟，故工序1，2，3的工作可以在一个工作站上完成，此时，工序4，5，6只能分别在各自的工作站上工作，该可行解对应的工作站数为4个。
也就是说，对最优解而言，该装配线上所需的工作站个数不会多于4个。
因此，我们再定义变量如下：⎩⎨⎧=j j w j 作站 工 要 需 不 中 解 优 若在最0 站 作 工 要 需 中 解 优 若在最1 至此，我们得到所需的目标函数为：4321 m ax w w w w z +++=再考虑该模型的约束条件：（1） 每道工序均隶属于一个工作站，且每一工序都必须完成，故有以下六个约束：6)5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i（2）在任一工作站上完成隶属工序所用的时间不能超过10分钟，故有以下四个约束：4)3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x（3）最后，我们再考虑各道工序所受的先后次序约束的条件。
先考察工序2与工序3的关系，因工序2在工序33隶属于工作站4，则工序2无论属于那个工作站均可；若工序3隶属于工作站3，则工序2可属于工作站1或2或3；此时，变量3)2, ,1( 2=j x j 应满足的约束条件为：33232221x x x x ≥++；同理，若工序3隶属于工作站2或1，则变量3)2, ,1( 2=j x j 应满足的约束条件为：322221x x x ≥+3121x x ≥同理，根据其它工序的优先关系，可仿此法给出其相应的约束条件，由上图知，六个工序之间有五个优先关系，故这类约束条件共有15个。
另外，在最优解中，若有一个工作站4)3, 2, 1,(=p w p 不用（即pw =0），则隶属于该工作站的全部6)5, 4, 3, 2, 1,(=i x ip 必须为0，于是，有以下四个约束条件：4)3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j3）模型的建立与求解至此，我们得到了该问题的0—1型整数规划模型，它共包含28个变量，29个约束条件，这样的模型用枚举法求解，人工计算是很难胜任的，这时，只能求助于计算机求解了。
我们给出该问题的模型如下，求解的过程望感兴趣的读者自己完成之。
该问题的目标函数为：4321 m ax w w w w z +++=约束条件为：6)5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i4)3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x33232221x x x x ≥++； 322221x x x ≥+； 3121x x ≥ 53232221x x x x ≥++；522221x x x ≥+；5121x x ≥；43131211x x x x ≥++； 421211x x x ≥+； 4111x x ≥； 43333231x x x x ≥++； 423231x x x ≥+； 4131x x ≥； 63434241x x x x ≥++；624241x x x ≥+；6141x x ≥； 4)3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j10987654321m ax w w w w w w w w w w f +++++++++=5101100110*2600*<∑∑==i j ija4.0*10*2556.0*)100*5002101*100**100(810110011011001>+∑∑∑∑====i j iji j ijaa101010ij i a =<≤∑10010100ij j a =<≤∑12100...10(1,2...10)i i i i a a a w i +++≤=。