冀教版数学八年级上册第十七章小结与复习
八年级数学上册 17 特殊三角形小结与复习冀教版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————第十七章小结与复习【知识梳理】一．等腰三角形1.相关概念：有两边相等的三角形是等腰三角形（在未知是否为等腰三角形时，不能先说有两腰相等的三角形叫等腰三角形，防循环论证）；三边都相等的三角形叫等边三角形（也称之为正三角形），它是特殊的等腰三角形．2.等腰三角形及等边三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线就是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°．二．直角三角形１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：4.直角三角形全等的判定：三．勾股定理勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在直角三角形中，已知两边可利用此定理求第三边的长.可从三边的平方关系中判断一个三角形是否为直角三角形，可解决面积问题等等．1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 +b2 = c22.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形；3.满足a2 +b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．四．反证法1.用反证法证明找出命题结论的反面是关键，“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”；2.用反证法证明一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与定义、定理的矛盾．【典例分析】例1．等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角分别是_________．解：设顶角与底角分别为x ，4x ，根据题意，有x +4x +4x=180．（以下略）掌握概念、把握方法、灵活运用数学思想，善于数形结合，就能掌握等腰三角形．例2.如图1，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =425cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm分析:本题考查折叠的有关知识及勾股定理的应用.∵△ABC ≌△AEC ,∴∠EAC=∠BAC , 又∵四边形ABCD 为矩形,∴DC=AB=8,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC =∠FCA, ∴AF =FC =425,∴DF=DC-CF =8-425=47, 又∵∠D=090,∴AD =(),636474252222cm DF AF ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-故选C. 例3.如图2，有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至1A （1A A ，在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．分析:求几何体表面的最短距离时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转化成平面图形,于是问题可迎刃而解.把圆柱的侧面展开如图3,金属线的最短长度()22222212142h r h r B A AB AA +=+=+=ππ. 评析: 解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化.方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求.例4．如图，AB=AC ，D 为BC 上一动点，DE ⊥AB于E ，图1 图2 A1A 1ADF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120°，BC ＝10cm,则DE ＋DF ＝ 。
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
【数学】冀教版八年级上册第17章特殊三角形全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用．等腰三角形是轴对称图形，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．勾股定理1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(第1题)(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．三个性质性质1等腰三角形的性质(第2题)2.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°性质2等边三角形的性质3．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：BD＋CD＝AD.(第3题)性质3含30°角的直角三角形的性质4．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.求：(1)∠CBD的度数；(2)线段AB的长．(第4题)三个判定判定1直角三角形的判定5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n为整数且n＞1)的式子表示：a ＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．(第6题)判定2等腰三角形的判定7．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC ＝1∶2∶1，连接MD，NE，MN，MD与NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．(第7题)判定3等边三角形的判定8．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，R点离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？(第8题)勾股数9．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数(x，y，z)叫做勾股数，如，(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数；(________，________，________)，(________，________，________)；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．四种方法方法1化曲(折)为直法10．如图所示，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度是多少(用含n的式子表示)？【导学号：42282081】(第10题)11．如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸(直线l)的距离分别为AC ＝400米，BD＝200米，已知CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短总路程是多少？(第11题)方法3旋转法12．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．【导学号：42282082】(第12题)13．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：(1)AC的长度；(2)△ABC的面积．(第13题)两个应用应用1勾股定理的应用14．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸如图②所示．单位：cm)(第14题)应用2勾股定理的逆定理的应用15．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军的甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截(甲巡逻艇从A基地出发，乙巡逻艇从B 基地出发)，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．(第15题)16．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角．(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？三种思想思想1方程思想17．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC 的垂线交CN于点P.(1)若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；(2)若AP＝8，BP＝16，求AC的长；(3)若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．【导学号：42282083】(第17题)18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB 和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．(第18题)思想2转化思想19．求下列图形中阴影部分的面积．(1)如图①，AB＝8，AC＝6.(2)如图②，AB＝13，AD＝14，CD＝2.(第19题)思想3分类讨论思想20．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B.21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发时间为t s.(1)出发2 s后，求△ABP的面积．(2)当t为何值时，BP平分∠ABC.(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【导学号：42282084】(第21题)答案1．解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝625.∴AB ＝25.(2)S △ABC ＝12AC·BC ＝12×20×15＝150. (3)∵CD 是边AB 上的高，∴12AC·BC ＝12AB·CD. ∴CD ＝12.2．A 点拨：方法一：因为DA ＝DB ，所以∠DBA ＝∠DAB ＝20°.因为DA ＝DC ，所以∠DCA ＝∠DAC ＝30°.在△ABC 中，有∠DBC ＋∠DCB ＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC ＝180°－(∠DBC ＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.方法二：在△ADB 中，由方法一可得∠ADB ＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC ＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC ＝360°－140°－120°＝100°.故选A .3．解：因为△ABC ，△BDE 均为等边三角形，所以BE ＝BD ＝DE ，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°.所以∠ABE ＋∠EBC ＝∠DBC ＋∠EBC.所以∠ABE ＝∠DBC.在△ABE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，所以△ABE ≌△CBD(SAS )．所以AE ＝CD.又因为AD ＝AE ＋ED ，ED ＝BD ，所以BD ＋CD ＝AD.4．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠A ＝60°，∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠CDB ＝∠ABD ＝30°.又∵∠DBC ＝∠BDC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°.(第4题)(2)如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，交AB 于点E ，连接DE ，易得DE ＝EB ， ∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°.∵∠CDM ＝30°，∠CMD ＝90°，∴CM ＝12CD ＝12×4＝2. 又∵∠EBM ＝∠CBM ＝30°，∠EMB ＝∠CMB ＝90°，BM ＝BM ，∴△EBM ≌△CBM ，∴EM ＝CM ＝2.∴DE ＝2EM ＝4.∵∠DEA ＝∠EDB ＋∠EBD ＝60°，∠A ＝60°，∴∠DEA ＝∠A ，∴AD ＝DE ＝4.又∵∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AD ＝8.点拨：含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．5．解：(1)n 2－1；2n ；n 2＋1(2)是直角三角形．证明：因为a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4＋2n 2＋1，c 2＝(n 2＋1)2＝n 4＋2n 2＋1，所以a 2＋b 2＝c 2.所以以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形．6．解：在Rt △ACD 中，S △ACD ＝12AC·CD ＝30 cm 2， ∵DC ＝12 cm ，∴AC ＝5 cm .∵AB 2＋BC 2＝25，AC 2＝52＝25，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形．∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×3×4＝6(cm 2)． 7．证明：在△ABC 中，因为AB ＝AC ，且AE ∶EM ∶MB ＝1∶2∶1，AD ∶DN ∶NC ＝1∶2∶1，所以AD ＝14AC ，AE ＝14AB ＝14AC ， 所以AE ＝AD.同理AM ＝AN.在△ADM 与△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠MAD ＝∠NAE ，AM ＝AN ，所以△ADM ≌△AEN ，所以∠AMD ＝∠ANE.又因为AM ＝AN ，所以∠AMN ＝∠ANM ，所以∠AMN －∠AMD ＝∠ANM －∠ANE ，即∠OMN ＝∠ONM ，所以OM ＝ON ，所以△OMN 是等腰三角形．8．解：连接RQ ，RB ，设BR 与PQ 交于点M.∵∠RPA ＝75°，∠QPB ＝45°，∴∠RPQ ＝180°－75°－45°＝60°.又∵PR ＝PQ ，∴△PRQ 为等边三角形．∴RP ＝RQ.在Rt △BPQ 中，∵∠BPQ ＝45°，∴∠BQP ＝90°－45°＝45°，∴∠BPQ ＝∠BQP ，∴BP ＝BQ.∴点R ，B 在PQ 的垂直平分线上，∴BM ⊥PQ.在Rt △BMP 中，∵∠BPQ ＝45°，∴∠RBA ＝45°.在Rt △RAB 中，∵∠ARB ＝90°－∠RBA ＝45°，∴∠ARB ＝∠RBA ，∴AR ＝AB ，即d ＝a.点拨：若两个点到线段两端点的距离分别相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．9．(1)解：6；8；10；9；12；15(答案不唯一)(2)证明：x 2＋y 2＝(2n)2＋(n 2－1)2＝4n 2＋n 4－2n 2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，即x，y，z为勾股数．10．分析：要求所用细线最短，需将长方体的侧面展开，根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体的侧面展开，连接AB ′，如图所示．因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.所以AB′＝10 cm.所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(8n)2＋62＝64n2＋36.所以其长度为216n2＋9(cm)．(第10题)11．分析：作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B交CD于点M，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，连接AM，则在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交其延长线于点H，在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800米，BH＝BD ＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(米)，由勾股定理得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1 000 000，故A′B＝1 000米，所以最短总路程是1 000米．(第11题)点拨：本题考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，解题的关键是明确当点B，M，A′在一条直线上时，A′B的长是最短总路程．12．解：如图，连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2.∠ABE＝∠CBE′.又因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC ＝90°.即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8.在△EE′C 中，CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE 2.由勾股定理的逆定理，可知∠EE′C ＝90°.又因为BE ＝BE′，∠EBE′＝90°，所以∠BE′E ＝180°－90°2＝45°， 所以∠BE′C ＝∠BE′E ＋∠EE′C ＝45°＋90°＝135°.(第12题)13．解：(1)∵AD 是BC 边上的中线，BC ＝10，∴BD ＝CD ＝5.∵52＋122＝132，∴BD 2＋AD 2＝AB 2.∴∠ADB ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝169.∴AC ＝13.(2)S △ABC ＝12BC·AD ＝12×10×12＝60. 14．解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，∵1202＋902＝22 500，∴彩旗的对角线长为150 cm .所以h ＝320－150＝170(cm )．彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170 cm .15．解：6分钟＝0.1小时，AC ＝40×0.1＝4(n mile )，BC ＝30×0.1＝3(n mile )．因为AB ＝5 n mile ，所以AB 2＝BC 2＋AC 2，所以∠ACB ＝90°.又由已知条件得∠CBA ＝90°－37°＝53°.所以∠CAB ＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.16．解：(1)因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m )，第二组行走的路程为40×30＝1 200(m )，9002＋1 2002＝1 5002，而此时两组同学相距1 500 m ，所以两组同学行走的方向成直角．(2)设x min 后两组同学相遇．根据题意，得30x ＋40x ＝1 500.解这个方程，得x ＝1507. 即这两组同学若以原来的速度相向而行，1507min 后能相遇． 17．(1)证明：∵AC ⊥AP ，∴∠CAP ＝90°，∵∠APC ＝30°，∴∠ACP ＝60°，∵∠ACP ＝2∠BAC ，∴∠BAC ＝30°，∴∠ABP ＝30°，∴∠ABP ＝∠APC ，∴AB ＝AP.(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠ABP ，∴AC ＝BC ，设AC ＝x ，在Rt △ACP 中，由勾股定理建立方程得x 2＋82＝(16－x)2， 解得x ＝6.所以AC ＝6.(3)解：∠AMP 的大小不发生变化，∠AMP ＝∠B ＋12∠APC ＝12∠ACP ＋12∠APC ＝12(∠ACP ＋∠APC) ＝12×90° ＝45°.18．解：因为△ADB 和△ACE 都是等边三角形，所以∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠CAE ＝60°＋∠BAC ＋60°＝120°＋∠BAC ，∠DBC ＝60°＋∠ABC.又因为∠DAE ＝∠DBC ，所以120°＋∠BAC ＝60°＋∠ABC ，即∠ABC ＝60°＋∠BAC.又因为△ABC 是等腰三角形，所以AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝60°＋∠BAC.设∠BAC ＝x°，因为∠BAC ＋2∠ABC ＝180°，则x ＋2(x ＋60)＝180，解得x ＝20.所以∠ACB ＝∠ABC ＝60°＋∠BAC ＝60°＋20°＝80°.所以△ABC 三个内角的度数分别为20°，80°，80°.19．解：(1)∵AB ＝8，AC ＝6，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝100，BC ＝10.∴BO ＝5.∵S △ABC ＝12AB ×AC ＝12×8×6＝24， S 半圆＝12π×52＝252π， ∴S 阴影＝252π－24. (2)∵AD ＝14，CD ＝2，∴AC ＝12.∵AB ＝13，∴CB 2＝AB 2－AC 2＝25，CB ＝5.∴S 阴影＝2×5＝10.20．解：设∠B 为x°.因为∠A 比∠B 的2倍少50°，所以∠A 为2x°－50°.因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠C ＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.当AB ＝AC 时(如图①)，此时有∠B ＝∠C ，则x ＝230－3x.解得x ＝57.5°.当AB ＝BC 时(如图②)，此时有∠A ＝∠C ，则2x －50＝230－3x.解得x ＝56°.当AC ＝BC 时(如图③)，此时有∠A ＝∠B ，则2x －50＝x.解得x ＝50°.综上所述，∠B 为57.5°或56°或50°.点拨：本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的代数式来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类讨论．(第20题)21．解：(1)如图①，∵∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，∴AC ＝8 cm .根据题意，得PC ＝2 cm ，则AP ＝6 cm .故△ABP 的面积为12×AP ×BC ＝12×6×6＝18(cm 2)． (2)如图②，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，当BP 平分∠ABC 时，有PD ＝PC ，易证Rt △BPD ≌Rt △BPC(HL )，∴BD ＝BC ＝6 cm ，∴AD ＝10－6＝4(cm )．设PC ＝x cm ，则PA ＝(8－x) cm .∴x 2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3.∴当t ＝3 s 时，BP 平分∠ABC.(第21题)(3)如图③，若点P 在边AC 上时，CP ＝CB ＝6 cm ，故t ＝6 s 时，△BCP 为等腰三角形；若点P 在AB 边上时，有三种情况：情况一：如图④，若使BP ＝BC ＝6 cm ，此时AP ＝4 cm ，点P 运动的路程为12 cm ，故t ＝12 s 时，△BCP 为等腰三角形；情况二：如图⑤，若CP ＝BC ＝6 cm ，过C 作斜边AB 的高CD ，由AB·CD ＝AC·BC ，即CD ＝ ，得CD 为4.8 cm ， 6810´根据勾股定理，得PD＝62－4.82＝3.6 cm，BP＝7.2 cm，∴P运动的路程为18－7.2＝10.8(cm)，∴故t＝10.8 s时，△BCP为等腰三角形；情况三：如图⑥，若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP＋∠BCP＝90°，∠PBC＋∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC.∴PA ＝PB＝5 cm.∴点P运动的路程为13 cm，∴故t＝13 s时，△BCP为等腰三角形．综上所述，当t＝6 s或12 s或10.8 s或13 s时，△BCP为等腰三角形．。
八年级数学第十七章知识点
八年级数学第十七章知识点第十七章数列一、数列的概念与表示方法数列是有限或无限多个数按一定顺序排列而成的序列。
常用的表示方法有通项公式、递推公式和文字形式。
二、数列的分类1. 根据通项公式是否存在，数列可以分为等差数列和等比数列。
2. 根据前后两项的差或比是否固定，数列可以分为等差数列、等比数列和其他数列。
三、等差数列1. 概念若一个数列从第二项起，每一项都等于前一项加上同一个常数，则这个数列称为等差数列，该常数称为等差。
2. 通项公式若等差数列的首项为 a1，公差为 d，则该等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d。
3. 求和公式等差数列的前 n 项和公式为 Sn=n(a1+an)/2。
四、等比数列1. 概念若一个数列从第二项起，每一项都等于前一项乘以同一个常数，则这个数列称为等比数列，该常数称为公比。
2. 通项公式若等比数列的首项为 a1，公比为 q，则该等比数列的通项公式为 an=a1q^(n-1)。
3. 求和公式等比数列的前 n 项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，q≠1。
五、数列的应用1. 等差数列和等比数列广泛应用于求和问题。
2. 数列在实际生活中应用较广，如人口增长问题、气温变化问题等。
六、练习题1. 判断下列数列的类型并写出其通项公式。
(1) 1，4，7，10，…(2) 5，10，20，40，…2. 求下列等差数列及等比数列的前 n 项和。
(1) 2，4，6，8，…(2) 3，9，27，81，…参考答案一、略。
二、略。
三、等差数列1. 略。
2. 略。
3. 略。
四、等比数列1. 略。
2. 略。
3. 略。
五、略。
六、略。
冀教版初中数学八年级上册第十七章特殊三角形复习课件
• A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
பைடு நூலகம்
• C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
• D、a:b:c=12:13:15
• 3、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
的是（
）
• A、一条直角边和一个锐角分别相等
• B、两条直角边对应相等
• C、斜边和一条直角边对应相等
• D、两个锐角对应相等
5、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，
• ∴∠1=∠2（等角的余角相等） • ∴BM=CM（等角对等边）
A
E
M
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例2.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和
AC上，且BD=CE，M是AB的中点.
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
• 证明：∵AB=AC • ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） • ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E • ∴∠BEC=∠CDB=90° • ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
学习目标
1、知识与能力 能利用等腰三角形、等边三角形、直 角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题 2、过程与方法 通过对特殊三角形的学习，进一步 认识各类三角形，培养学生视察、类比的思维能力， 体会数学知识在解决实际问题中的作用 3、情感态度与价值观 在探索三角形性质的过程中， 感受数学逻辑推理的重要性，体会数学在现实生活 中的广阔应用，提高数学的学习兴趣
八年级数学上册 第十七章实数复习教案 冀教版
第十七章实数回顾与反思〖教学目标〗（－）知识目标1用对比的方法复习概念2.熟练实数的运算（二）能力目标1．引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识.（三）情感目标通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果,对学生进行爱国主义教育.〖教学重点〗1．无理数、实数概念的理解2．实数的运算〖教学难点〗无理数的概念的理解〖教学过程〗一、课前布置1.阅读P121~P122回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点，盲点，出错点.2.查阅“圆周率π”有关资料圆周率π趣闻在日常生活中，人们经常与π打交道。
自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。
当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。
”中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。
根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。
在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。
西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。
东汉张衡(公元78-139年)认为π=10=3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。
三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。
他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。
冀教版数学八年级上册17
17.5 反证法工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语学习目标：1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤.2.学会运用反证法证明有关命题.学习重点：反证法的一般步骤.学习难点：运用反证法证明有关命题.一、知识链接1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________证明的方法.2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？答：第一步_________________________________________________________ 第二步_________________________________________________________ 第三步_________________________________________________________二、预习新知1.除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法.2.在证明一个命题时,有时先假设命题的________不正确,然后从这个___________出发,经过逐步_______________,最后推出与___________、__________、____________相矛盾的结果,从而得出________是错误的,__________正确的.这种证明命题的方法叫做反证法.3.用反证法证明一个命题是真明题的一般步骤是：第一步_________________________________________________________ 第二步_________________________________________________________第三步_________________________________________________________三、自学自测1.写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）有且只有一个交点；（5）一个三角形中最多有一个直角；（6）a，b中至少有一个等于0.2.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知：如图，a∥b，c与a相交于点P求证： c与b相交四、我的疑惑abcP_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点：用反证法证明有关命题例1.试证明命题“三角形中最多有一个角是直角.【纳总结】若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定，才能肯定原结论是正确的.【针对训练】试证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知： . 求证：.21H F G E D C BA 证明：假设 ，则 .∴ .即 .这与 矛盾．假设不成立．∴ ．例2.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.已知： . 求证： .证明：假设 ，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有 条直线与直线c 平行，这与“过直线外一点 ”矛盾.∴假设不成立.∴ .【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出与已知公理或定理之间的矛盾.【针对训练】用反证法证明平行线的性质定理一： .已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与直线AB 、CD 交于点G 、H ，∠1和∠2是同位角.求证：∠1＝∠2.例3.如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【归纳总结】反证法主要用于直接证明比较困难的命题.如结论以否定形式出现的命题，唯一性命题，结论含有“至少”“至多”等词.【针对训练】如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合二、课堂小结反证法的意义反证法反证法的一般步骤用反证法证明有关命题1.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时第一步应先假设（）A．每一个内角都小于60°B．至多有一个内角小于60°C．每一个内角大于或等于60°D．至多有一个内角小于或等于60°2.在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（）A．三角形至少有一个角是直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角3.反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设.4.已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．5.已知a2=5，证明：a是无理数．6.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
完整版冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列命题中，正确的有（）①Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边长为5；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，C，若a2+c2=b2，那么∠C=90°；④若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形．A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A.4 cmB.3 cmC.5 cmD.4cm3、在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC=3，AC=4，则线段CD的长是（）A.2B.3C.D.54、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC=3 ，则点D到AB的距离为（）A.2B.3C.4D.55、已知：如图，∠C=∠D=72°，AD=BC，AC=BD=AB，则图中共有（）个等腰三角形．A.6B.5C.4D.36、如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB=AC，若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠AED的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.45°7、一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1=115°，则∠2的度数为（）A.65°B.70°C.75°D.80°8、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P边AB上的一个动点（不与顶点A 重合），则∠BPC的值可能是（）A.135°B.85°C.50°D.40°9、如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（）A.25°B.130°C.50°或130°D.25°或130°10、如图,AD是△ABC的边BC上的高,添加下列条件中的某一个,不能推出△ABC 为等腰三角形的是( )A.∠BAD=∠ACDB.∠BAD=∠CADC.BD=CDD.∠B=∠C11、如图已知在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交和于点、，给出以下五个结论正确的个数有（）① ；② ；③ ≌ ；④ 是等腰直角三角形；⑤当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），.A.2B.3C.4D.512、下列命题中，（）①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等②对角线相等的四边形是矩形A.①正确②正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①错误②错误13、一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A.13，12，12B.12，12，8C.13，10，12D.5，8，414、如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的两点，且BD ＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交与点F，连接AD、AE．其中①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE2+BD2＝DE2；④当∠DAE＝45°时，AD2＝DE•CD．符合题意结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且，则△ABC底角的度数为（）A.45°B.75°C.15°或45°或75°D.60°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中．BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________cm17、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=5，则CD=________．18、如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上，且AD＝，AE＝3 ，则AC＝________.19、点P（-3，-4）到原点的距离为________ .20、如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是________21、已知等腰内接于半径为5的，已知圆心O到的距离为3，则这个等腰中底边上的高可能是________.22、如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则________.23、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．24、有一半径为1m的圆形铁片，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，用来围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是________．25、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2 ，CD＝4，BC＝8，求四边形ABCD的面积．28、如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB于A，∠BAC=120°，AE=3cm.求BC的长.29、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP 与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．30、如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（－1,0），（5,0），（0,2）（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式．（2）若点P从Ａ点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB．若点P运动的时间为ｔ秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S．①求S与ｔ的函数关系式．②当ｔ是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、C4、B5、B6、D7、B8、B9、C11、D12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
冀教版八年级上册第十七章单元知识点测试卷内含知识点解析与答案(含分值)
第十七章单元知识点测试卷（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1.等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )A.25B.25或32C.32D.19 答案：C解析：根据三角形的两边之和大于第三边得三角形的三边长6,13,13，∴起周长为13+13+6=32.难易度：知识点：2.在下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为32、42、52C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边长为7、24、25 答案：D解析：因为72+242=252，所以以7、24、25为三边长的三角形是直角三角形．难易度：知识点：3.如图所示,AB=AC,BD=CE，若用反证法证明AD=AE，首先应假设( )A.AB≠ACB.BD≠CEC.∠B=∠CD.AD≠AE答案：D解析：应项假设AD≠AE,故选D.难易度：知识点：4.如图，小红把一块长方形红绸布按如图那样折叠，重合部分是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法确定答案：B解析：利用全等三角形的对应角相等，和平行线的性质可得.难易度：知识点：5.如图，阴影部分的面积是( )A.9 cm2B.24 cm2C.45 cm2D.51 cm2答案：C=15(cm),所以面积等于15×3=45(cm2)．难易度：知识点：6.如图所示，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的关系是( )A.BD>CDB.BD<CDC.BD=CDD.不能确定第3题图第4题图第5题图第6题图第7题图答案：C解析：∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,又∵AB=AC.AD=AD.∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD.难易度：知识点：7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线，则∠1与∠2的关系是( )A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能确定答案：B解析：∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,又∵CE 是斜边AB的中线，∴CE=AE,∴∠A=∠ACE,又∵∠A=∠BCD,∴∠ACE=∠BCD,∵CF 平分∠ACB.∴∠ACF=∠BCF∴∠ACF-∠ACE=∠BCF-∠BCD即∠1=∠2难易度：知识点：8.如图所示，我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为( )A.13B.19C.25D.169 答案：C解析：设大正方形的边长为c，则c2=13，∵大小正方形的面积分别为13和1，∴每个三角形的面积为3，即12ab=3，∴(a+b)2 =a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25．难易度：知识点：第8题图第9题图9.（2013·邯郸）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD,垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，若AC=5，BC=3，则BD的长为( )A.2.5B.1.5C.2D.1答案：D解析：在△BCD和△ECD中，∠BCD=∠ECD，DC=DC，∠BDC=∠EDC=90°,∴△BCD≌△ABE.∴BC=EC=3,BD=ED.∵∠A=∠ABE,∴BE=EA,∵AC=5,∴BE=EA=2,∴BD=ED=1.难易度：知识点：10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°,DE垂直平分AB,点E为垂足，交BC于点AC的长为( )B.8C.16答案：C解析：∵DE垂直平分AB,∴∴∠BAD=∠B=22.5°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°,又∵∠C=90°,∴∠DAC=45°,在Rt△ACD中，由勾股定理得2AC2=AD2,∴AC=16. 难易度：知识点：二、填空题(每小题3分，共24分)11.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°,AD=2 cm，则AB的长度是cm.答案：8解析：如图,∵∠C=90°,CD⊥AB,∴∠ACD=∠B=30°,∵AD=2,∴AC=2AD=4,∵∠B=30°,∴AB=2AC=8.难易度：知识点：12.在△ABC中，AB=AC=17 cm,BC=16 cm,AD⊥BC于点D，则AD= cm. 答案：15解析：在Rt△ADB中，AB=17 cm,BD=8 cm,由勾股定理得AD=172-82=15(cm).难易度：知识点：13.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，则∠CBE的度数为 . 答案：15°解析：∵ABCD为正方形，∴∠BCD=90°,∵△DCE为等边三角形，∴∠DEC=60°,∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°.在等腰△BCE中，∠CBE=∠CEB,而∠BCE=150°，∴∠CEB=15°.难易度：知识点：14.如图,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 .答案：a2解析：如答图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形M的面积，正方形C与D的面积和等于正方形N的面积，并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积，因此A、B、C、D的面积之和是最大正方形的面积．难易度：知识点：15.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于D，则∠CBD的度数为.答案：45°解析：∵AB=AC,∠A=30°, l为AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABD=30°,∠ABC=1 2(180°-∠A)=70°,∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.难易度：知识点：第13题图第15题图第17题图第18题图16.已知|x-12|+(y-13)2和z2-10z+25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是三角形.答案：直角解析：|x-12|+（y-13）2+(z2-10z+25)=0，即|x-12|+(y-13)2+(z-5)2=0．根据非负数的性质，得x-12=0，y-13=0，z-5=0，解得x=12，y=13，z=5．因为x2+z2=y2，所以是直角三角形.难易度：知识点：17.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.答案：15解析：∵DF=DE,CG=CD,∴∠DFE=∠DEF,∠CGD=∠CDG,由三角形的内、外角关系知：∠ACB=2∠CDG,∠CDG=2∠DEF,即∠DEF=14∠ACE=15°.难易度：知识点：18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 .答案：5.5解析：过点D作DM⊥AC，又∵AD平分∠BAC，DF⊥AB,∴DF=DM,又∵DE=DG∴Rt△EFD≌Rt△GMD(HL)∴S△EFD =S△FMD,易证△AFD≌△AMD,∴S△AFD =S△AMD,∴39+2S△EFD=50∴S△EFD=12×(50-39)=5.5.难易度：知识点：三、解答题（共56分）19.（8分）用反证法证明“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”.答案：证明：假设三角形的外角中有两个是锐角.根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数的和一定等于180度，与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中，外角最多有一个锐角.解析： 难易度： 知识点： 20.（8分）如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于O ，AC=BD.求证：（1）BC=AD ；（2）△OAB 是等腰三角形.答案：证明：（1）∵AC ⊥BC,BD ⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt △ACB 和Rt △BDA 中AB=BA,AC=BD,∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ）. ∴BC=AD.（2）由△ACB ≌△BDA 得∠CAB=∠DBA. ∴OA=OB.∴△OAB 是等腰三角形. 解析： 难易度： 知识点：21.(8分)如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A ，在点A 的对岸选取一个参照点C ，测得∠CAD=30°；小丽沿河岸向前走30 m 选取点B ，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.答案：解：如图，过点C 作CE ⊥AD 于点E. 由题意得，AB=30 m,∠CAD=30°.∠CBD=60°, 故可得∠ACB=∠CAB=30°，即可得AB=BC=30 m,在Rt △BCE 中，∠BCE=30°，∴BE=12BC=15 m.∴答：小丽自家门前的小河的宽度为解析： 难易度： 知识点：22.(10分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6 m 、8 m.现要将其扩建成以AB 为底的等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩建后的等腰三角形花圃的周长.答案：解：如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°,AC=8，BC=6由勾股定理有:AB=10， 扩充部分为Rt △ACD ， 设AD=BD=x ，则CD=x-6， 有勾股定理得：x 2=(x-6)2+82,解得x=253,得△ABD 的周长为803 m.解析： 难易度： 知识点：23.（10分）如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ，当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处，（折痕为AE ）,想一想，此时BC 有多长？答案：解：通过折叠知△ADE ≌△AFE ，∴AF=AD=BC=10，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，∴FC=4，设EC=x ，则EF=DE=8-x,有勾股定理得，x 2+42=(8-x)2,解得x=3,∴EC 长3 cm. 解析： 难易度： 知识点24.如图，三角形ABC 中，∠B=30°，∠ACB=90°,AC=AD,垂直于AB 于点D 的垂线交∠ACB 的平分线于E ，ED 和CD 是否相等？说明理由.答案：解：ED=CD.∵∠ACB=90°,∠B=30°.∴∠A=60°. 又∵AC=AD,∴△ADC 为等边三角形. ∴∠ACD=∠ADC=60°.∵∠ACE=45°,∴∠ECD=15°.而△CDE 中，∠CDE=60°+90°=150°, ∴∠E=180°-15°-150°=15°. ∴∠E=∠DCE.∴CD=ED. 解析： 难易度： 知识点。