2007年华中师范大学高等代数834考研真题
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分
2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=． 故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值． 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
07年考研数学试题（线性代数）
07年考研数学试题（线性代数）第一篇：07年考研数学试题(线性代数)07年考研数学试题（线性代数）选择题（每小题4分）⎡2-1-1⎤⎢⎥1.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A=-12-1，⎢⎥⎢⎣-1-12⎥⎦⎡100⎤⎥，则A与B（）B=⎢010⎢⎥⎢⎣000⎥⎦（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；2.（07020904、07030704、07040704）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）α1-α2,α2-α3,α3-α1 ；（B）α1+α2,α2+α3,α3+α1；（C）α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1 ；（D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.二、填空题（每小题4分）⎡0⎢03.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A=⎢⎢0⎢⎣0秩为.三、解答题 100001000⎤0⎥⎥，则 A3 的1⎥⎥0⎦⎧x1+x2+x3=0⎪4.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组⎨x1+2x2+ax3=0①⎪2⎩x1+4x2+ax3=0与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量α1=(1,-1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 TB = A5-4A3 + E，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.第二篇：考研数学一线性代数公式1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯ (-1)③、上、下三角行列式（④、 ◤◥ = ◣2；）：主对角元素的乘积；n(n-1)2和◢：副对角元素的乘积⨯ (-1)ACOB=AOCB；、CBAO=OBAC=(-1)mγn⑤、拉普拉斯展开式：=ABAB⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明①、A=0的方法：；③构造齐次方程组Ax=0A=-A，证明其有非零解；④证明r(A)<n⑤证明0是其特征值；2、矩阵1.是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；A⇔⇔⇔⇔⇔⇔r(A)=nA（是满秩矩阵）有非零解；的行（列）向量组线性无关；=0齐次方程组Ax∀b∈Rn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；TAA⇔⇔⇔⇔AAA是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；=AA=AE*A2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A-1无条件恒成立；-1)=(A)TT**-1(A-1)T=(A)**T(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BAT(AB)=BA*(AB)=B-1A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若⎛A1 A=⎝A2O⎫⎪⎪⎪⎪As⎭-1，则：Ⅰ、A=A1A2ΛAs ；Ⅱ、A-1⎛A1 =⎝-1-1A2OAs⎫⎪O⎭-1-1-1⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭；⎛A②、⎝O⎛A④、⎝OO⎫⎪B⎭C⎫⎪B⎭-1⎛A=⎝OO⎫-1⎪B⎭-A-1⎛O；（主对角分块）③、 ⎝BCB-1-1A⎫⎪O⎭-1⎛O=-1⎝A-1B；（副对角分块）O⎫-1⎪B⎭-1⎛A=⎝O-1B⎫⎪⎭⎛A；（拉普拉斯）⑤、⎝CO⎫⎪B⎭⎛A=-1-1⎝-BCA；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m⨯n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F⎛Er=⎝OO⎫⎪O⎭m⨯n；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) =r(B) ⇔ AγB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A , E) γ (E , X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当Ar=AE-1；就变成A-1变为时，BB，即：(A,B) ~ (E,A-1B)；rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)γ(E,x)，则A可逆，且x=A-1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1②、Λ=⎝λ2O⎫⎪⎪⎪⎪λn⎭，左乘矩阵A，λi乘A的各行元素；右乘，λi乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：①、0≤r(Am⨯n)≤min(m⑥、r(A+j)，且E(i,j)-1⎛=E(i,j)，例如：1⎝⎫⎪⎪1⎪⎭-1⎛=1 ⎝⎫⎪⎪1⎪⎭；,n)；②、r(A)=r(A)T；③、若AγB，则r(A)=r(B)；④、若P、Q可逆，则；（※）r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))≤；（※）⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B))r(A,B)≤r(A)+r(B)B)≤r(A)+r(B)⨯n；（※）⑧、如果A是m矩阵，B是n⨯s矩阵，且AB=0n=0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)+r(B)≤解（转置运算后的结论）；；⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1②、型如 00⎝a10c⎫⎪b⎪1⎪⎭的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r(A*)=⎨1⎪⎩0r(A)=n r(A)=n-1r(A)<n-1*-1*；②、伴随矩阵的特征值：Aλ(AX=λX,A=AA ⇒ AX=AλX)；③、A*=AA-1、A*=An-18.关于A矩阵秩的描述：①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)≥n，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Ax=b，其中A为m⨯n矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；10.线性方程组Ax=b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；4、向量组的线性相关性11.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出⇔Ax=b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示⇔AX=B是否有解；（矩阵方程）12.矩阵Am⨯n与Bl⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14)13.14.r(AA)=r(A)nT；(P101例15)⇔α=0维向量线性相关的几何意义：；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ①、α线性相关②、α,β线性相关共面；⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；15.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,Λ,αs线性相关，则α1,α2,Λ,αs,αs+1必线性相关；若α1,α2,Λ,αs线性无关，则α1,α2,Λ,αs-1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤向量组A能由向量组B 线性表示⇔AX=Br(B)≤s(二版P74定理7)；；（P86定理3）r(A)=r(A,B)有解；⇔（P85定理2）向量组A能由向量组B等价⇔ r(A)=①、矩阵行等价：A~crr(B)=r(A,B)（P85定理2推论）=P1P2ΛPl17.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵P1,P2,Λ,Pl，使AB⇔PA=B；=0（左乘，P可逆）⇔Ax=0与Bx同解18.19.20.21.②、矩阵列等价：A~B⇔AQ=B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B⇔PAQ=B（P、Q可逆）；对于矩阵Am⨯n与Bl⨯n：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；④、矩阵A的行秩等于列秩；若Am⨯sBs⨯n=Cm⨯n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx=0 只有零解⇒ Bx=0只有零解；②、Bx=0 有非零解⇒ ABx=0一定存在非零解；设向量组Bn⨯r:b1,b2,Λ,br可由向量组An⨯s:a1,a2,Λ,as线性表示为：（P110题19结论）（B=AK）其中K为s⨯r，且A线性无关，则B组线性无关⇔r(K)=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Θr=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,∴r(K)=r；充分性：反证法）(b1,b2,Λ,br)=(a1,a2,Λ,as)K=m注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；22.①、对矩阵Am⨯n，存在Qn⨯m，AQ=Em ⇔r(A)②、对矩阵Am⨯n，存在Pn⨯m，PA=En、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；⇔r(A)=n23.若η*为Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r为Ax=0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,Λ,ξn-r线性无关5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵⇔AA=ET或A-1=AT（定义），性质：⎧1=⎨⎩0i=ji≠j(i,j=1,2,Λn)①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A-1=AT；也为正交阵，且A=±1；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,Λ,ar) b1=a1；b2=a2-[b1,a2][b1,b1]γb1ΛΛΛ[b1,ar][b1,b1]γb1-[b2,ar][b2,b2]γb2-Λ-[br-1,ar][br-1,br-1]γbr-1br=ar-;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔PAQ=B，P、Q可逆；⇔r(A)=r(B)，A、B同型；②、A与B 合同⇔CTAC=B，其中可逆；TT⇔xAx与xBx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似⇔P-1AP=B； 5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=B⇒AγB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：T⇔A的正惯性指数为n⇔A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CAC=E⇔A的所有特征值均为正数；⇔A的各阶顺序主子式均大于0⇒aii>0,A>0；(必要条件)第三篇：2013线性代数考研复习建议2013考研线性代数复习建议2013考研备考已经开始了，网校老师结合往年考研复习情况，也2013年考研的学生们一点建议。
华中师范大学《高等代数》《数学分析》考研真题(2009-2017汇总)
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第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
华中师范大学04-07年真题
华中师范大学 2004年语言学真题考试时间：元月 11日上午一、 填空（ 30分）1、语言的本质功能是（）和（ ）。
共同语是（ ），亲属语是（ ），自然语言是（ ）。
文字是（ ）。
根据文字符号与语言的音义关系， 文字体系可以分为 （ ）和（ ）。
2、语言符号的主要特征有（）、（ ）、（ ）、（ ）。
3、历史语言学的奠基人主要有 （ ）、（ ）和（ ）。
结构主义语言学的创始人是 （ ）， 其后形成的三个分支学派是（）、（ ）和美国描写语言学派。
美国描写语言学派的代表）。
转换生成学派的代表人物是 （ ），其代表作是 （ ）。
4、文化可以分为（5、根据交际意图的实现方式的不同，言语行为可以分成（ ）和（ ）。
6、语言发展变化的主要规律有（）、（ ）和（ ）。
二 、简释（注意适当举例。
30 分，每小题 6分）1、组合关系2、音位变体3、语义单位4、语义指向三、分析（ 30分，每小题 6分）1 、分析下列音节的构成成分a [sti:l]b [xau]c [ie]2 、动词的义素结构模式可概括为 各个动词的义素结构模式。
{动词 }=［主体、方式、动作、客体、结果 ］，试分析下列{ 走}= { 跑}= { 跳 }=3、 分析下列句子的述谓结构：老李昨天在新华书店替我买了一本书。
4、分析下列句子的预设和预设触发语：a •他不再打老婆。
b •请把电扇打开。
c •他后悔没来开会。
5．新飞冰箱生产厂曾经在中央电视台播出一则广告：“广告做的好，不如新飞冰箱好！ ”后来又改为 “新飞广告做的好， 不如新飞冰箱好！ ”试分析前后两则广告语的区别以及为什么要 这么改为后者。
四、 简答（注意举例， 30分，每小题 6分）1、语言和言语的重要区别。
2、依附性副语言。
3、二元义场4、指示语5、零形式五、论述（30分，语言学及应用语言学专业做 1、2题，汉语言文字学专业做 3、4题。
） 1•语言信息处理对语言研究有什么影响？ （10分）二零零五年研究生入学考试试题招生专业： 语言学及应用语言学、 汉语言文字学 研究方向：所有方向考试科目及代码：理论语言学 327人物布隆菲尔德的代表作是 （ ）四种类型。
2007年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与（A ）1-（B ）ln（C 1 （D ）1-（2）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（6）设曲线:(,)1L f x y =（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （A ）(,)d Tf x y x ⎰. （B ）(,)d Tf x y y ⎰（C ）(,)d Tf x y s ⎰. （D ）(,)d (,)d x y Tf x y x f x y y ''+⎰. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.[ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）12211e d x x x=⎰=__________. （12） 设(,)f u v 是二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ __________. （13） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（14） 设曲面:||||||1x y z ∑++=，则()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分） 计算曲面积分 d d 2d d 3d d Ixz y z yz z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤ 的上侧. （19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===.（Ⅰ）证明：22,1,21n n a a n n +==+L ； （II ）求()y x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求ZX Y =+的概率密度.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ)；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学试题答案解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→ (B)A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D)(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
硕士研究生入学统一考试2007数一、数二、数三、数四试题完整版试题详解及评析
x =1
= 1 ⇒ ln c = 1, c = e 。则得特解为： y =
⎛ 1 ⎞ ∂z ⎛ x ⎞ ∂z ⎛− y⎞ ⎛1⎞ ⎟ = fu′⎜ 2 ⎟ + f v′⎜ = f u′⎜ ⎟ + f v′⎜ ， ⎜ ⎟ ⎜ − y2 ⎟ ⎟ ∂x ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎝ y ⎠ ∂y ⎝ ⎠
x y x y x ∂z ∂z −y = − f u′ + f v′ − f u′ + f v′ x y x y ∂x ∂y
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy 等于（
π
） 。
（A） （C）
∫
1
0 1
dy ∫
π
π + arcsin y π + arcsin y
f ( x, y ) dx
（B） （D）
∫
1 0
1
0
dy ∫
π − arcsin y
f ( x, y ) dx
∫ dy ∫π
0
f ( x, y )dx
（C）30
（D）40
dQ P − 2P = = 1 ，则 P = 40 。 dP Q 160 − 2 P
本题考点：导函与微分应用。相同例题参见水木艾迪 2007 模拟试题数四 18 题。 (6)曲线 y = （A）0
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
（B）1 （C）2 （D）3
【解】 答案 D。 垂直渐近线 x = 0 ， 水平渐近线 y = 0( x → −∞ ) ， 斜渐近线 y = x ( x → +∞ ) 。 特别提示：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见 水木艾迪考研数学 36 计例 5-10，基础班讲义例 4-24，强化班第 2 讲例 43。 （7）设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关，则下列向量组线性相关 的是 ．．．． （A） a1 − a 2 , a 2 − a 3 , a 3 − a1 （C） a1 − 2a 2 , a 2 − 2a 3 , a 3 − 2a1 （B） a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 − a1 （D） a1 + 2a 2 , a 2 + 2a 3 , a 3 + 2a 3
2007级全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题.doc
mnhjllyyyyyy 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题一、 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.l n ()B +1C.1c D - （2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (C)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则'(0)f 存在（3） 如图。
连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =-- （4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ） .A10arcsin (,)x dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10a r c s i n (,)y d y f x y d y ππ-⎰⎰ .C 1a r c s i n 02(,)y d y f x y d x ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3。
华中师范大学高等代数试卷 2007
华中师范大学2007 –2008学年第一学期期末考试试卷B11022234300542113A--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪-⎝⎭的迹为（ C ）A 2-;B 1-;C 0;D 1.2．空间中曲面方程为2222221x y za b c+-=则它是（ B ）A 椭球面;B 单叶双曲面;C 双叶双曲面;D 椭圆抛物面.3下面叙述错误的是（ C ）A. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;B. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的所有特征根是正的;C．一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式1,,det0,1,,1,,mA m nm⎛⎫≥=⎪⎝⎭;D. 正定矩阵的合同矩阵也是正定的.4. 设204060402A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,下列是矩阵A的特征向量的是:（ A ）A (101)T -; B(12)T; C (201T; D(0,0,1)T .1．已知1P AP B -=, ()f x 为一个k 次多项式, 那么1()P f A P -=()f B .2．设矩阵142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 则A 的伴随矩阵*A 的三个特征为 .3．空间上的仿射坐标变换公式为:111213111121321222322122233132333313233''det 0'x r r r x t r r r y r r r y t r r r z r r r z t r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 4. 空间上的二次曲面方程为: (,1)01T T Q L X X L k ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 那么它的欧式不变量为: 123,,,det T Q L L k λλλ⎛⎫⎪⎝⎭.1． 用欧式坐标变化化平面二次曲线:22245416140x xy y x y +++++=为标准形.2. 二次型123121323(,,)242f x x x x x x x x x =++, 求: (i) 写出二次型对应的实对称矩阵f A ;(ii) 求可逆矩阵P , 使得1f P A P -为实对称矩阵f A 的标准形; (iii) 求以上二次型的正、负惯性指数, 并判定二次型的正、负定性.解：(i) 012101.210f A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii)下面用合同变换化该是对称矩阵为标准型 如下：11111111222222229339331122222222111012100113110213110101010101010101010210001210001210001213110200110000001012001100004⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭→----11111111222220011000001210041210000100000010010011002⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎫⎛⎫⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故1212100P ⎫-⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (iii)正惯性指数是1， 负惯性指数是2， 此二次型既非正定亦非负定.1．证明: 21()12!(1)!!n nx x x f x x n n -=+++++- 没有重因式.证：21'()1,2!(1)!n x x f x x n -=++++- 所以21gcd(((),'())gcd(()'(),'())gcd(,1) 1.2!(1)!n nx x f x f x f x f x f x x x n -=-=++++=-因此()f x 没有重根. 2．设1121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭, 求极小多项式()A m λ, 并且证明 323210A A A -+ 可逆. 解：2212211()3(210,0.()() 3.()det A E A A A f f f f f f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--∆=-==-=+-+≠≠=∆=-===A 3232i i i i 321i 又故m 且的特征值为则(A)=3A -2A +10A 的特征值为()=3-2+10,i=1,2.即(A)=3A -2A +10A 的特征值为(则(A)=()0f λ≠132(故3A -2A +10A 可逆.3．设,A C 为n 阶正定矩阵, 设B 是矩阵方程AZ ZA C +=的唯一解. 证明:(1) B 是对称矩阵;(2) B 是正定矩阵.五、证明题：（每题12分，共12分）设A 为n 阶实可逆矩阵, 证明:(i)存在正交矩阵P 和上三角矩阵T 使得A PT =; (ii)存在一个三角矩阵T 使得A T T '=.证：把A 的n 个列向量记作1,,n αα ，则它们是线性无关向量组（是n R 的基底）对他们做正交化：1111,,(1),2,.,j j i jj i i i i j n βααββαβββ-==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑再做标准化：,1,.(2)jj jj n βγβ==以1,n γγ 为列向量做矩阵1(,),n P γγ= 则是正交矩阵。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
07考研数一真题及答案
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。
07华中科技大学数学系考研高代解答
华中科技大学07年 高等代数 401一、证明1、若秩（A ）=0，则A=0，于是对B ∀，均有ABA=OBO=0=A ，即B 不惟一（舍）2、若0＜秩（A ）= r ＜n ，则满足条件的B 也是不惟一的，这是因为：秩（A ）= r ，于是∃可逆阵P.Q ，使000r E A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭，设E F B G H ⎛⎫=⎪⎝⎭，则由ABA=A 有000000r Q E P E P Q P Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴r Q EP E == ∴11E Q P--=∴11Q P F B GH --⎛⎫=⎪⎝⎭其中G 、F 、H 是任意的，即B 不是唯一的3、由1、2可知秩（A ）=n ∴||0A ≠，于是1A -存在。
在ABA=A 中左乘1A -有BA=E ，再右乘B ，有BAB=EB=B 。
二、证明考虑方程组 000ax by cz bx ay az cx ay bz ++=++=++= ……（※）结合条件知上述方程组有解(..)(..1)x y z x y =（非零） 这表明直线是相交的，并且（※）有非零解的充要条件的系数行列式||0A =。
即2221()[()()()]02ab c bc a a b c a b b c c a cab=-++-+-+-=∴0a b c ++=或a b c ==这与“123..l l l 是三条不同的直线”矛盾。
故有0a b c ++=。
三、1）验证欧氏空间的定义①对称性，由sylvester 公式 ||||m n E AB E BA λλλλ-=-（其中,m xn nxm B A ） 当m =n 时，有||||E AB E BA AB λλ-=-⇒相似于BA ∴trA B trB A = ②线性性，显然(,)(())()(,)(,)A B C tr A B C tr AC BC trAC trBC A C B C +=+=+=+=+ (,)(())()(,)kA B tr kA B krt AB k A B ===③非负性，∵A 为实对称阵 ∴A A '为半正定阵，故0i λ≥（i λ为A A '的特征值） ∴（A ，A ）=()()10tr AA tr A A i i λ'====≥当且仅当A=0时，A A '=AA 的主对角元全部为零，此时()(,)0tr AA A A ==，故V 是一欧氏空间。
华中师范大学2007年至2011年研究生文学理论考试试题
华中师范大学2007年至2011年研究生文学理论考试试题华中师范大学2007年至2011年研究生文学理论考试试题华中师范大学2007年研究生入学考试试题招生专业:中国语言文学各专业考试科目及代码:文学理论 615考试时间:元月21日上午一、术语解释(每题5分,共30分)1、互文性2、主题的多义性3、戏剧情境4、艺术构思5、文学思潮6、共鸣二、请指出下列著作的作者(每题1分,共10分)1、“遵四时以叹逝,瞻万物而思纷;悲落叶于劲秋,喜柔条于芳春”。
2、“唯陈言之务去”。
3、“诗者:根情,苗言,华声,实义”。
4、《薑斋诗话》5、《摩罗诗力说》6、“法国社会将写它的历史,我只能当它的书记。
”7、《艺术哲学》8、《判断力批判》9、“人不仅通过思维,而且以全部感觉在对象世界肯定自己。
”10、“倾向应当从场面和情节中自然流露出来,而不应当特别把它指点出来。
”三、阅读下面两则材料,根据需要回答问题。
(每题15分,共30分)1、亚里士多德:“就作诗的需要而言,一件不可能发生却可信的事,比一件可能发生但却不可信的事更为可取。
”分析并评价这段话说阐释的文学观点。
2、刘勰:“是以将阅文辞,先标之观:一贯位体,二观置辞,三观通变,四观奇正,五观事义,六观宫商。
”依据这段话,说明批评的具体步骤。
四、简答题(每题15分,共30分)1、在文学创作中,创作个性具体体现在哪些方面?2、文学批评具有哪些意义和功能?五、论述题(每题25分,共50分)1、以文学史为例,分析社会心理对文学活动的影响,并谈谈你是怎样认识文学与社会心理之间的关系。
2、论文学体裁的动态性,并举例说明。
华中师范大学2008年研究生入学考试试题招生专业:中国语言文学研究方向:各研究方向考试科目及代码:文学理论 321考试时间:元月15日上午一、术语解释 (每题6分,共30分)1、艺术思维2、意象叠加3、潜台词4、灵感5、边缘文学体裁二、请指出下列著作和言论的作者(每题1分,共10分)1、《随园诗话》2、《宋元戏剧考》3、《诗艺》4、《拉奥孔》5、《作为艺术的手法》6、《朦胧的七种类型》7、《机械复制时代的艺术》8、缀文者情动而辞发,观文者披文以入情9、有了小感触,就写些短文……得到较整齐的材料,则还是做短篇小说。