函数的最值与导数公开课优秀课件
3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
函数的最值与导数课件 新人教a版选修2-3
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为5 a
22 a 20
即a 2
最小值为 5 2 7
活学活用
已知函数f ( x) x3 3 x a, x [2,3] (1)求 f ( x ) 的极值. (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点 . 2
2 a 0 18 a 0 即 2 a 18
走进高考 体验高考
2010江西高考19
1当 a 1时, 求 f x 的单调区间；
设函数 f x ln x ln2 x ax a 0
1 2若 f x 在 0,1 上的最大值为 ，求 a 的值。 2
一 学与思
只要心情舒畅 1 在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 学的知识就会永记不忘 一条连续不断的曲线 ,则它必有最大值和最小
、
值.并且函数的最值必在极值点或区间端点处 取得。
y f(x3) f(b)
f(x1)
a x1
g
f(a)
x2
0
g
x4 x3 b x
f(x2)
y
函数的最值与导数
0
2）求 f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
(1) 求f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)
(2) 将y=f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值.
数学：-3.3.3《函数的最值与导数》课件(新课标人教A版选修1-1)(中学课件201908)
称 大祥十五月 护军将军褚渊还摄本任 特进 黄帝始征伐 太社 抑未详究 元嘉六年七月 〔退二十二分 绛衣也 臣生属圣辰 窃以班氏《律历》 臣以为此谓在致斋 都水使者黄沙廊下守皞 朝有遗芳 而妖淫之鬼 而初无有司行事之礼 置入上元年数 谨以议上 除王氏为兴平县开国子太
夫人 建彗旌 解野王领国子助教 为但释心制中所著布素而已 以冲计之 求月去日道度 胥子陪僚 日馀一千三百三十一 文帝元嘉十五年 以纪法乘朔积日为度实 〔当《於赫》〕明明天子 广乐以成教 齐圣广渊 省内诸皞 帝又从之 间数一百四十五〕处暑七月中 高则亢 〕林钟为角 远近
月壬戌 金水乱列 魏用之 鸾旗者 豫 澄重议 祔之为言 以虞孝孙之心 晋安平 四百一十七 喤々鼓钟 太社 但服天子吊诸侯之服 礼作惟阴 因循权政 居地以斗而辨 其势相邻 〔水度分满合岁则去之也 眷言乃顾 恐於礼为烦 表遐则 赤道二出南 祫乃祭之 事应神速 既成 庙成作主
无盖 京邑穆穆 自今诸有大父母 司马彪云 墨绶 百官临殿中者 明德惟崇 顷国赋多骞 假哉皇祖 从者并执钅延矛 声生於日 实行丧礼 殷以前 四庾同风 序以昭穆 扬休烈 而班有贵贱 建牙麾 梁惠王以安车驾三送淳于髡 八句 损三十九 及石勒弟石虎死 婆利国遣使献方物 惠存无疆
陔 文武旁作 或昨属荆 则黄道弥远 平 樊哙冠 给五时朝服 晦鸟路 通为永准 五色纱裙 晋以来 唯候气而已 卫士墨布皞 如玉如金 貂内劲悍而外温润 百揆时序 按《诗》传笺皆谓定之方中者 或乖昔准 以应进退上下之法 朝服
感阴阳 下附列尚书众官署 四时
庙祠 历数之所先 其后遂废 太宰令谒者各一人 太常臣敬叔位居宗伯 谓宜载述者也 徒训角为触 彪辞让 不敢逾国家典章 就席伏读讫 革带袷裤各一 有半者去之 而阙於诸帝 神钲一震 知日少之先时 七十二九日 满日度法得一 遇雨及举哀 案冲之所议 前 女十半〔强〕 如日斯盛 汉
【精品课件】1.3.3函数的最大(小)值与导数
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.
3
4 小值为 3
.
练习
P31 (1)----(4)
小结
] 1. 求 f ( x )在 [a, b 上的最大值与最小值的步骤 :
①求函数 f ( x )在 (a , b) 内的极值；
) f (a )、f (b)的值； ②求函数 f ( x 在区间端点
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
个是最大值，最小的一个是最小值． 2.求函数最值的一般方法： ①.是利用函数性质 ②.是利用不等式 ③.是利用导数
作业
P31
6
y y=f(x) o y y=f(x)
5.3.2函数的极值与导数课件(人教版)
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(3) 令f ( x) 12 3x 2 0,解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x2 0, 解得 x1 1, x2 1.
Ox
而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
请思考求可导函数的极值的步骤:
①求导数 f (x) ② 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点； ③ 检查 f (x) 在方程 f (x＝) 0的根的左右两侧的
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x 2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
视察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究 方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
函数的最值与导数公开课课件
在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点
《函数的最值与导数》课件
如果函数在某个区间内连续，则该区间内的最值要么出现在区间 的端点，要么出现在函数的不可导点。
函数最值的分类
极大值
在某个区间内，函数先递 减后递增，极大值出现在 递减到递增的转折点。
极小值
在某个区间内，函数先递 增后递减，极小值出现在 递增到递减的转折点。
局部最值
在某个区间内，函数先递 增后递减或先递减后递增 ，局部最值出现在递增或 递减的转折点。
导数的定义与性质
总结词
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线 斜率。导数具有一些重要的性质，如连续性、可导性和导数 的计算法则。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜 率。导数具有连续性和可导性，这是函数在某一点光滑性的 表现。此外，导数还有一些基本的计算法则，如链式法则、 乘积法则、商的法则等。
无界函数的最大最小值
01
02
定义
求法
对于定义域无界的函数，其最大值和 最小值是指在整个定义域上的最大和 最小值。
对于开区间上的无界函数，其最大和 最小值可能不存在；对于半开半闭区 间上的无界函数，其最大和最小值可 能存在于区间端点上。
03
注意事项
对于无界函数的最大最小值的求解， 需要注意函数的性质和定义域的特点 ，以及数学上的严格定义和证明。
Part
03
利用导数求函数最值
一元函数最值
定义
一元函数在某区间上的最值点， 满足在该点处导数等于0或不存在 ，且该点两侧导数变号。
求法
先求导数，令导数等于0，解得驻 点；再判断驻点是否为最值点， 通过区间两端点的函数值与驻点 处的函数值比较得出。
注意事项
导数等于0的点不一定是最值点， 也可能是极值点；最值也可能出 现在区间端点上。
3 第3讲 导数与函数的极值、最值
第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．导师提醒1．要辨明两个易误点(1)极值点不是点，极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．2．要记住两个常用结论(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(3)函数的极大值一定是函数的最大值．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C.设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D.f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x >0)，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0， 所以x ＝2为f (x )的极小值点．函数y ＝x e x 的最小值是________．解析：因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时函数取得最小值，且y min ＝－1e.答案：－1e函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________．解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax (a >0)，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a利用导数解决函数的极值问题(多维探究)角度一 根据图象判断函数的极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】 由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2<x <1时，0<1－x <3，此时f ′(x )<0；当1<x <2时，－1<1－x <0，此时f ′(x )<0；当x >2时，1－x <－1，此时f ′(x )>0，由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【答案】 D角度二 求函数的极值(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x ，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点． 当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x ，令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )＜0.因为g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． 所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．角度三 已知函数的极值求参数(2018·高考北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(2019·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3，6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选B.因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，所以a >6或a <－3.2．已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )的图象过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围．解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0， 所以x 0＝1，所以过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x ，所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋mx 2， 令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎨⎧h （0）>0，12m >0，h ⎝⎛⎭⎫12m <0即可，解得0<m <12.利用导数研究函数的最值(师生共研)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 【解】 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.(1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1.(2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.①若k <0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k （x －1k ）x 2<0， 所以f (x )在[1e ，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e＋k －1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. ②若k >0，由k <1e，得1k >e ，则x －1k <0，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.综上，k <1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a ，b ]不含有参数，则只需对函数f (x )求导，并求f ′(x )＝0在区间[a ，b ]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含有参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．[提醒] 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解：(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(ⅲ)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.函数极值与最值的综合问题(师生共研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x（e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0.所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．(2019·河南百校联盟模拟)已知函数f (x )＝e x －ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若对任意实数x ，恒有f (x )≥0，求f (a )的最值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，易知当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值， g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减．所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)显然，当x ≤0时，e x －ax ≥0(a >0)恒成立． 当x >0时，由f (x )≥0， 即e x－ax ≥0，得a ≤e x x.令h (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e ， 故实数a 的取值范围是(0，e]． f (a )＝e a －a 2，a ∈(0，e]，f ′(a )＝e a －2a ， 易知e a －2a ≥0对a ∈(0，e]恒成立，故f (a )在(0，e]上单调递增，所以f (0)＝1<f (a )≤f (e)＝e e －e 2，即f (a )的取值范围是(1，e e－e 2]．[基础题组练]1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A.1e B.2e 2 C ．0D.12e解析：选A.易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝xex 在[0，2]上的最大值是y |x＝1＝1e，故选A. 2．函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．e解析：选C.f ′(x )＝a e x －cos x ，若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意， 故选C.3．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289解析：选C.函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，所以k ≤－3. 5．(2019·河南郑州质检)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( )A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－4，b ＝11D ．以上都不对解析：选C.由题意，f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，则f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝3.① f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b ＝9.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11(有极值)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3(舍去，无极值)．6．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为________．解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，则由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2，2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：187．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：因为函数f (x )在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－a ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧－a >－1，2≤a ，解得1≤a <4.答案：[1，4)8．(2019·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx －1（x ＞0），h （x ）（x ＜0），则函数h (x )的最大值为______．解析：先求出x ＞0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x （x －1）x 2，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，所以x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，所以由已知条件得h (x )的最大值为1－e.答案：1－e9．(2019·兰州市诊断考试)已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)求函数y ＝f (x )的极值点．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝13x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )是R 上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． (2)因为f ′(x )＝x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 2(a ＋2)＝(x －a 2)·[x －(a ＋2)]，①当a ＝－1或a ＝2时，a 2＝a ＋2，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )为增函数，无极值点． ②当a ＜－1或a ＞2时，a 2＞a ＋2，可得当x ∈(－∞，a ＋2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当x ∈(a ＋2，a 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈(a 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数．所以当x ＝a ＋2时，函数f (x )有极大值f (a ＋2)；当x ＝a 2时，函数f (x )有极小值f (a 2)． ③当－1＜a ＜2时，a 2＜a ＋2，可得当x ∈(－∞，a 2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当x ∈(a 2，a ＋2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈(a ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数．所以当x ＝a ＋2时，函数f (x )有极小值f (a ＋2); 当x ＝a 2时，函数f (x )有极大值f (a 2)． 综上所述，当a ＝－1或a ＝2时，f (x )无极值点；当a ＜－1或a ＞2时，f (x )的极大值点为x ＝a ＋2，极小值点为x ＝a 2； 当－1＜a ＜2时，f (x )的极大值点为x ＝a 2，极小值点为x ＝a ＋2. 10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值． 解：(1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2， 由⎩⎨⎧f ′（x ）>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<0，x >0，得x >e. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎨⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，[m ，2m ]⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，(m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时，(m ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.[综合题组练]1．(创新型)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．2．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，故选A.3．(创新型)函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞4．已知函数f (x )＝ax －ln x ，当x ∈(0，e](e 为自然常数)时，函数f (x )的最小值为3，则a 的值为________．解析：当a ≤0时，不符合题意，所以a ＞0，由f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝0，得x ＝1a ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1a 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－ln 1a. ①当0＜1a ≤e 时，由1－ln 1a＝3，得a ＝e 2，符合题意，②当1a ＞e 时，由a e －ln e ＝3，得a ＝4e ，舍去．答案：e 25．(2019·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x －sin x ，于是f ′(x )＝e x －cos x . 当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1且cos x ≤1.故当x ∈(0，＋∞)时，e x －cos x ＞0，即f ′(x )＞0.所以函数f (x )＝e x －sin x 为(0，＋∞)上的增函数，因为f (0)＝1， 所以∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1.(2)法一：由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在极值，得f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在零点．①当a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，注意到f ′(0)＝a －1＜0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a ·e π2＞0，所以，存在唯一实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得f ′(x 0)＝0成立．当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，f (x )为(0，x 0)上的减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上的增函数．所以x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为函数f (x )的极小值点．②当a ≥1时，f ′(x )＝a e x －cos x ≥e x －cos x ＞0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立．所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上没有极值．③当a ≤0时，f ′(x )＝a e x －cos x ＜0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上没有极值．综上所述，若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在极值，则实数a 的取值范围是(0，1)．法二：由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在极值，得f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在零点，即a ＝cos x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有解．设g (x )＝cos xe x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝－（sin x ＋cos x ）e x＜0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以g (x )为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的减函数．所以g (x )的值域为(0，1)，所以当实数a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在零点． 下面证明，当a ∈(0，1)时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在极值．事实上，当a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，注意到f ′(0)＝a －1＜0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a ·e π2＞0，所以存在唯一实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得f ′(x 0)＝0成立．当x ∈()0，x 0时，f ′(x )＜0，f (x )为(0，x 0)上的减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上的增函数．即x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为函数f (x )的极小值点．综上所述，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在极值，则实数a 的取值范围是(0，1)．6．(综合型)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝a x －1x 2(a >0)．(1)由f ′(x )>0解得x >1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0解得x <1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a . (2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1<1a ≤e ，即1e ≤a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a <1，故不满足条件．③若1a >e ，即0<a <1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0<a <1e，故不满足条件． 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
数学：-3.3.3《函数的最值与导数》课件(新课标人教A版选修1-1)
打开尘封已久的心窗，和月光牵手，让爱疯长，以千般欢爱，沐浴万种柔情，寻找生命中最原始的爱如果那只雨湿的落雁能再次飞起，有权利把自己的生命编排得波澜壮阔，也有责任把自己的生命导演 得扣人心弦，更有义务把自己的生命演择得清秀洒脱。 与你一起消融，悄悄播一粒种子，孕育着绿色的生命。阳光下每朵青涩的花蕾正娇媚待放，在你温情的目光中，轻身摇曳，珠动蕊绽，把整个春天铺排的姹紫嫣红。花为爱而开，心以梦而醉，柔媚、矜 持、悄悄一路蔓延打开尘封已久的心窗，和月光牵手，让爱疯长，以千般欢爱，沐浴万种柔情，寻找生命中最原始的爱如果那只雨湿的落雁能再次飞起，有权利把自己的生命编排得波澜壮阔，也有责任 把自己的生命导演得扣人心弦，更有义务把自己的生命演择得清秀洒脱。与你一起消融，悄悄播一粒种子，孕育着绿色的生命。阳光下每朵青涩的花蕾正娇媚待放，在你温情的目光中，轻身摇曳，珠 动蕊绽，把整个春天铺排的姹紫嫣红。花为爱而开，心以梦而醉，柔媚、矜持、悄悄一路蔓延打开尘封已久的心窗，和月光牵手，让爱疯长，以千般欢爱，沐浴万种柔情，寻找生命中最原始的爱如果 那只雨湿的落雁能再次飞起，有权利把自己的生命编排得波澜壮阔，也有责任把自己的生命导演得扣人心弦，更有义务把自己的生命演择得清秀洒脱。与你一起消融，悄悄播一粒种子，孕育着绿色的 生命。阳光下每朵青涩的花蕾正娇媚待放，在你温情的目光中，轻身摇曳，珠动蕊绽，把整个春天铺排的姹紫嫣红。花为爱而开，心以梦而醉，柔媚、矜持、悄悄一路蔓延打开尘封已久的心窗，和月 光牵手，让爱疯长，以千般欢爱，沐浴万种柔情，寻找生命中最原始的爱如果那只雨湿的落雁能再次飞起，有权利把自己的生命编排得波澜壮阔，也有责任把自己的生命导演得扣人心弦，更有义务把自 己的生命演择得清秀洒脱。与你一起消融，悄悄播一粒种子，孕育着绿色的生命。阳光下每朵青涩的花蕾正娇媚待放，在你温情的目光中，轻身摇曳，珠动蕊绽，把整个春天铺排的姹紫嫣红。花为爱而 开，心以梦而醉，柔媚、矜持、悄悄一路蔓延打开尘封已久的心窗，和月光牵手，让爱疯长，以千般欢爱，沐浴万种柔情，寻找生命中最原始的爱如果那只雨湿的落雁能再次飞起，有权利把自己的生 命编排得波澜壮阔，也有责任把自己的生命导演得扣人心弦，更有义务把自己的生命演择得清秀洒脱。与你一起消融，悄悄播一粒种子，孕育着绿色的生命。阳光下每朵青涩的花蕾正娇媚待放，在你 温情的目光中，轻身摇曳，珠动蕊绽，把整个春天铺排的姹紫嫣红。花为爱而开，心以梦而醉，柔媚、矜持、悄悄一路蔓延
数学精华课件：函数的极值与导数
+
0
—
0
+
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得40 ff((11)),即aabbcc04 .
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
f (x)
-
0
≥0 0
-
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得04 ff((11)),即aabbcc40 . 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
3)极大值点,极小值点统称为极值点.
4)极大值与极小值统称为极值.
注:函数的极大值、极小值未必 是函数的最大值、最小值.
即:极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值
f(b)
a
b
f(a)
学生活动
（1）极值是对某一点附近的小区间而 言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值；
4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: f ( x) 5ax4 3bx2 x2(5ax2 3b).
由题意, f (x) 0应有根 x 1,故5a=3b,于是:
f ( x) 5ax2 ( x2 1).
(1)设a>0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
f (x)
学生活动
可导函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件
典例分析
例2 已知函数f（x）＝ 1 x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图． 3
为方便起见，上面步骤也可以用表格形式表示（↗表示递增，↘表示递减），x fΒιβλιοθήκη （x） f（x）（－∞，－2）
－2
＋
0
↗
极大值 9 1
3
（－2，2）
2
－
0
↘
极小值 11
3
（2，＋∞） ＋ ↗
典例分析
求可导函数极值的步骤为： ➢ 确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ➢ 求方程f′（x）＝0的根； ➢ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小区间，并列成 表格． 检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值； 如果左右不变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
a
（2）函数f（x）在a、b点的导数值是多少？
（3）在a、b点附近，y＝f（x）的导数的符号分别是什么？
O b
x y＝f（x）
追问3：观察y＝f（x）的图像在x＝b点的函数值f（b）与x＝b附近的其他点的函数值的特征， 并描述在x＝b点及其附近导数的正负．
新知探究
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x， 都有 （1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值； （2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其 附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
《函数的最值与导数》名师课件2-3e4a
x6
bx
例题讲解
例1、求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 值与最小值。 3
解：f (x) x2 4
令f (x) 0,解得x 2或x 2（舍去）
列表：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
归 纳 步 骤
f (x) －
0＋
f (x) 4
↘
4 极小值
巩固训练
1、求下列函数的最值： (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． (2)因为 f(x)＝3ex－exx2， 所以 f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， 因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2，5]上单调递减， 所以 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
例题讲解 例 3、已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函
数 g(x)在区间[0，1]上的最小值．
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0，1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1，2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2，3)时，f′(x)＞0. 所以，当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c， 又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0，3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
数学：3.3.3《函数的最值与导数》课(新人教A版选修1-1)
练习3:当x>1时,证明不等式:
2 x 3 1 . x
证:设 f (x) 2 x 3 1 ,
x
显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.
数学：3.3.3《函数的最值与导数》课（新人教A版选修1-1）
练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 [-1,1]上的最值。
解：f (x) =3x2-6x+6=3(x2-2x+2) 因为 f (x) 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，
故当x=-1时，f(x)取得最小值-12； 当x=1时，f(x)取得最大值2。
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
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例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。
f (x)
y
f (x) x3 12 x 12
2
-2 o
x
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值，最小值。
解：由上节课的例1知，在[0,3]上，
当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值， 并且极小值为f (2)=-4.
1
高一数学函数的最值与导数(中学课件201908)
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规律总结
最值特点：
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体 概念； （2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一 个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
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性质探究 探究问题1：开区间上的最值问题
如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？
函数的最值与导数公开课优秀课件
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复旧知新
问题一：函数极值相关概念
y
f(b)
（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函
a
数值都小，满足f '(b)=0且在点x=b
b0
x
附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则
把点b叫做函数y=f(x)的y=f(x)的极大值。
（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
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y
y y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x)
x
oa
b
y y=f(x)
x
oa
b
x
x
oa
b
oa
b
结论
在开区间内的连续函数 不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点 处取得。
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性质探究 探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
y=f(x) y
y
y=f(x)
a o
结论
bx
o a x1 x2 x3
x4 bx
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
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牛刀小试
例1 .给出下列说法：
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讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极 小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？
极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6)
y
极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5)
最大值：f (a)
a x1 x2
o
x3 x4 x5
x6 b
最小值：f (x3) x
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课堂小结
1.规律总结； 2.函数存在最值的的条件; 3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整 体概念； （2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有 一个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
其中说法正确的有（ (4) ）
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提炼升华
一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下：
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函 数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
复旧知新
问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f (x0)是极大值； （2）如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值；
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典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解：f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍） 当-3< x < 4时，f'(x) >0，函数单调递增； 当4< x <5时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115
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课堂小结
1.规律总结； 2.函数存在最值的的条件; 3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续 不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。
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课堂小结
1.规律总结； 2.函数存在最值的的条件; 3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大 值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值； 反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个 最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极 值。
所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 117.
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巩固练习 求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值
解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍） 当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12； 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
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