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(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案

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必修5-解三角形-综合复习卷(含答案)

必修5-解三角形-综合复习卷(含答案)

2018年高中数学必修5 解三角形综合复习卷一、选择题：1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（）2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B=asin A，则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定4.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（）A. B. C. D.5.在△ABC中，已知a=2，则等于( )B.6.△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则等于( ).A. B. C. D.7.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C=lg 2，则△ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.在△ABC中，内角A,B,C所对边分别是a,b,c，若3a=2b，则值为（）A. B. D.9.已知锐角△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A=0，a=7，c=6，则b=( )10.在△ABC中，若，，则△ABC的面积等于（）C.11.若△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，则等于（）A. B. C. D.12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c最大值为（）A. C.二、填空题：13.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是__ _____.14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2=bc，sinC=2sinB，则A角大小为 .15.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，△ABC面积的最大值为.16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且a=3，则△ABC面积的最大值为.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值是__________.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则ab的最小值为.19.在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则取值范围是.20.在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，则△ABC面积的最大值等于.三、解答题：21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为。

完整版高中数学必修5解三角形测试题及答案

完整版高中数学必修5解三角形测试题及答案

高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5分，共60分〕1．在VABC 中，AB 3,A 45,C 75，那么BC=A ．33 B ． 2C ．2D ．3 32．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是．．A ．在VABC 中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ．VABC 中,a=bsin2A=sin2Ba =b+cC ．VABC 中,sin AsinB+sinCD ．VABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大sinAcosB B 的值为3．VABC 中,假设 a,那么bA ．30B ．45C ．60D ．90ab c，那么VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosAcosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当a=4,b=5,A=30时，三角形有一解。

B ．当a=5,b=4,A=60时，三角形有两解。

A 〕B 〕B 〕〔B 〕．等腰直角三角形D 〕C ．当a= 3,b=2,B=120时，三角形有一解。

D ．当a=3 6,A=60时，三角形有一解。

2,b=26．ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,那么∠B 等于〔 B 〕A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°7． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔 D〕A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1,∠B=45°8． 假设 (a+b+c)(b+c － a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC 是〔 B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=,a= 3,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3－1(D)3uur10．〔2021 重庆理〕设ABC 的三个内角A,B,C ，向量m ( 3sinA,sinB)，ruurr1cos(AB)，那么C =〔n(cosB,3cosA)，假设mgnC 〕A ．B ．25C ．D ．66 3 311．等腰△ABC 的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ．3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),那么A 点离地面的高度 AB 等于〔A 〕Aasin sinasin sin A ．)B ．)sin(cos(asin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBD C题号 1234567891011 12答案二、填空题：〔每题 5分，共 20分〕13．a 2，那么 abc _______2_______sinAsinBsinA sinC14．在ABC 1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.中，假设S ABC =4415．〔广东2021理〕点A,B,C 是圆O 上的点， 且AB4, ACB450 ，那么圆O 的面积等于8．rrr rrr16．a2,b4,a 与b 的夹角为3，以a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____2 3________三、解答题：〔 17题10分，其余小题均为 12分〕17．在ABC 中，c 2,b2 3 ,B450，解三角形ABC 。

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（ ）A ．4B C ．16D ．122．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ）AB ．CD ．3．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．64．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（ ）A ．4-B ．-C ．2-D ．5．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A ．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛⎝⎭ C ．,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形 8．在ABC 中，tansin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( )A ．(2,B ．(4⎤⎦C ．(4,2+D ．(2⎤+⎦9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ）A ．35mB ．10mC ．490013m D ．10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．32D 二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.14．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______.15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .18．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.19．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长； （3）求πsin(2)4A +的值． 23．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶3＋1)，求角A 的大小.24．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 22C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．2．C解析：C【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+， 由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin cos sin 2322444B B B B B B B π⎛⎫-⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB中，由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.11．D解析：D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=， 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 由题意得2c =，4b =， b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+， 令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=， 所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在(2,上单调递减，在()上单调递增，所以当26x <<时，()f x 的取值范围为2⎫⎪⎢⎪⎣⎭.所以cos C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<， 所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.15．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析：3【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积．【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈得3C π=故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.17．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015. 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.18．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此解析：28 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ． 【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．19．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=， 同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos α=, 故答案为：24. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．答案见解析 【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=，则1cos 2A =，故3A π=， 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=. 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22．（113；（2）2；（3）26. 【分析】（1）确定B 锐角，求得cos B ，由余弦定理求得b ，再由正弦定理得sin A ； （2）在ABD △中由余弦定理求得中线AD ，（3）确定A 是锐角，求得cos A ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】（1）在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b = 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==. 所以，bsin A（2）设BC 边的中点为D ，在ABD △中，cos 45B = 由余弦定理得:2AD ===， （3）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．23．45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>，由余弦定理得，222222644cos 2k k k b c aA bc+-+-===， 而A 为三角形内角，故45A =︒. 24．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-， ()()sin sin sin tan cos C A CA C A C -+=-， ∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sincos cos AA A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A=+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==， 又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】 关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.25．2+【分析】 利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】 由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

高中数学必修5第一章《解三角形》综合测试

高中数学必修5第一章《解三角形》综合测试

高中数学必修5第一章《解三角形》综合测试一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是【 】A ．B ．C ．D ．2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于 【 】 A ．o105 B ．o60 C ．o15 D ．o 105或o153.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 【 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19-4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b = 6c =，o 60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 】A ．①②B ．①④C ．①②③D ．②③6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是【 】A B C ．2 D ．3 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B +t a n t a nA B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 】A ．32 B ． C ．2D ．52 10.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC ( ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，则b =______.10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =o 120B =，则a =______.11.如果ABC ∆的面积是222S =C =____________.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为_________.13.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捉到一只小虫，然后向右转o105，爬行10cm 捉到另一只小虫，这 时它向右转o135爬行回它的出发点，那么x =_________.14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =- ，(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =_________.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.16.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知BA AD ⊥，10AB =，BC = o60BAC ∠=，o135ADC ∠=，求CD 的长.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =， 5b =，S =c .18.（本题满分14分）在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13. （1）判断ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.BDA19.（本题满分14分）海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东o75，距离为A处看灯塔C 在货轮的北偏西o30，距离为A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东o 120.求 （1）A 处与D 处之间的距离； （2）灯塔C 与D 处之间的距离.20.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． (1）求sin ABD ∠的值； (2）求BD 的长．21.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a += (1）求A cos 的值； (2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.● 以下两题任选一题作答20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题： （1）求C 的度数；（2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.20.（本题满分14分）ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若AB AC BA BC ⋅=⋅1=.解答下列问题：（1）求证：A B =； （2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积.。

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab2C ．2a－2b<0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0B ．21 C ．23 D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝14. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为15.不等式21131x x ->+的解集是 ． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y =18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值．19.(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =AB ．C ．2D ．42．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，(b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）．A ．133,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．133,244⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A ．12+B ．C ．D ．6+7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．80B ．803C ．160D ．8058．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．211．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若8cos 3ABC bc A S =△，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 17．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____ 18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．20．对于ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； ②若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形； ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； ④若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．三、解答题21．在①tan 2tan B C =，②22312b a -=，③cos 2cos b C c B =三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 及其对边,,a b c ，若2c =，且满足___________.求ABC ∆的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 23．已知ABC 中，51tan 43A π⎫⎛-=⎪⎝⎭． （1）求2sin cos2A A +的值；（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值． 24．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在①()cos cos 3cos 0C A A B +-=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2.∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，解得a =，∴24sin 2a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项. 2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D【分析】根据角A的平分线交BC于E，满足0AE BC⋅=，得到ABC是等腰三角形，再由2221sin24+-==ABCa b cS ab C，结合余弦定理求解.【详解】因为0AE BC⋅=，所以AE BC⊥，又因为AE是角A的平分线，所以ABC是等腰三角形，又2221sin24+-==ABCa b cS ab C，所以2221sin cos22a b cab C Cab+-==，因为()0,Cπ∈，所以4Cπ,所以ABC是等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.4．D解析：D【分析】根据cos cosa Ab B=，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cosA AB B=，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为cos cosa Ab B=，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由正弦定理进行边角互化可得9c b=，由余弦定理可得22819cos 18b b A +-=，进而可求出cos A 的范围【详解】因为3a =，223cos cos a b B b A =+，所以22cos cos a ab B b A =+， 所以()22sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin A A B B B A B A B B C =+=+=，即29a bc ==，所以9c b=，则22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==．因为(b ∈，所以()212,18b ∈，81y x x=+在()12,18上递增, 所以22817545,42b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则133cos ,244A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用b 表示cos A .6．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =， 2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是623a b c ++=+.故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒，由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ， ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案. 【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC ∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 1222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈sin 2sin cos 2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】由三角形的面积公式结合等式可求得然后利用二倍角余弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值【详解】因为所以则故故答案为：【点睛】本题考查利用三角形的面积公式二倍角余弦公式诱导公式以及弦化切求值考查解析：12-【分析】由三角形的面积公式结合等式8cos 3ABC bc A S =△，可求得3tan 4A =，然后利用二倍角余弦公式、结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为881cos sin 332ABC bc A S bc A ==⨯△，所以4cos sin 3A A =，则3tan 4A =，故()()22cos sin 1cos sin sin cos sin cos 22sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A A A A A A A A A π++-+++--===---- tan 112tan 12A A -==--. 故答案为：12-.【点睛】 本题考查利用三角形的面积公式、二倍角余弦公式、诱导公式以及弦化切求值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．19．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--， CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．20．③④【分析】举出反例可判断①②；由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④；即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析：③④ 【分析】举出反例可判断①、②；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断④；即可得解.【详解】 对于①，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故①错误； 对于②，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故②错误；对于③，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， ∴222sin sin sin A B C +<，∴根据正弦定理得222a b c +<，∵222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故③正确；对于④，∵,4,6C c a x π===，∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，∴8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，∴1sin 12A <<，∴48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故④正确．故答案为：③④． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题21．条件选择见解析；最大值为3. 【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到22312b a -=，再由余弦定理得28cos 2b A b -=，进而求得sin A ，利用面积公式求得ABCS ∆=，即可求解. 【详解】选择条件①：因为tan 2tan B C =，所以sin cos 2sin cos B C C B =， 根据正弦定理可得cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 又由2c =，可得22312b a -=，根据余弦定理得22228cos 22b c a b A bc b+--==，则sin A ===，所以1sin 22ABCSbc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件②：因为22312b a -=，由余弦定理得22228cos 22b c a b A hc h+--==，所以sin A ===，1sin 22ABC S bc A b b∆==⨯=，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3.选择条件③：因为cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 因为2c =，可得22312b a -=，又由余弦定理得：22228cos 22b c a b A bc b+--==，所以sin 2A b===，1sin 2ABCS bc A b ∆===， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 2224ABCSac B ==⨯=. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 23．（1）45；（2）2. 【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，1tan 2A =，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计算可得； 【详解】 解：（1）5tan tan 44A A ππ⎫⎫⎛⎛-=-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3A A -==+，解得1tan 2A =，故2222cos sin cos2sin cos AA A A A+=+214tan 15A ==+． （2）由（1）可知，sin 1tan cos 2A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；联立①②，解得sin A =，cos A =．又1sin 42S bc A ==，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．24．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③． 因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >．又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b C b C b C c B C C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =． 【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠ 所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，代入上式得sin sin cos 3C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①） 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。

高中数学必修五解三角形测试题及答案

高中数学必修五解三角形测试题及答案

高中数学必修五解三角形测试题及答案1.在三角形ABC中，如果C=90度，a=6，B=30度，那么c-b的值是多少？选项：A。

1 B。

-1 C。

2/3 D。

-2/32.如果A是三角形ABC的内角，那么下列函数中一定取正值的是什么？选项：A。

XXX3.在三角形ABC中，角A和角B都是锐角，并且cosA>sinB，那么三角形ABC的形状是什么？选项：A。

直角三角形 B。

锐角三角形 C。

钝角三角形 D。

等腰三角形4.在等腰三角形中，一条腰上的高为3，这条高与底边的夹角为60度，那么底边的长度是多少？选项：A。

2 B。

3 C。

3/2 D。

2/35.在三角形ABC中，如果b=2sinB，那么角A等于多少？选项：A。

30度或60度 B。

45度或60度 C。

120度或60度 D。

30度或150度6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是多少？选项：A。

90度 B。

120度 C。

135度 D。

150度填空题：1.在直角三角形ABC中，如果C=90度，那么sinAsinB 的最大值是1/4.2.在三角形ABC中，如果a=b+bc+c，那么角A的大小是60度。

3.在三角形ABC中，如果b=2，B=30度，C=135度，那么a的大小是2.4.在三角形ABC中，如果5.在三角形ABC中，如果AB=2(6-2)，C=30度，那么AC+BC的最大值是5.解答题：1.在三角形ABC中，如果acosA+bcosB=ccosC，那么三角形ABC是等腰三角形。

2.在三角形ABC中，证明：b-a/c = c-b/a。

3.在锐角三角形ABC中，证明：XXX>XXX。

4.在三角形ABC中，如果a+c=2b，A-C=π/3，那么sinB 的值是1/2.1.在△ABC中，若 $\log(\sin A) - \log(\cos B) - \log(\sin C) = \log 2$，则△ABC的形状是（）A。

直角三角形 B。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．4532+ 2．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km C ． 3 km D ． 2 km3．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B 415C 215D ．56．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．)3,27．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,2sin 3BAC ∠=,32AB =3BD =, 则cos C ( ) A ．63B ．33C ．23D ．138．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，23BC =ABC 的面积为 A ．3B ．4C ．23D 310．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．2312．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④36cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A ．103mB ．12mC ．122mD ．123m二、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．16．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222b a c ac +-=，3sin B =，则C =__________． 17．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．18．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)2cos cos b a C c A -=．（1）求角C 的大小； （2）若2a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．22．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求tan DAC ∠的值． 24．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,7a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.25．在①2222b ac a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，2b =ABC 的面积.26．已知,,A B C 为ABC 的三内角，且其对边分别为,,a b c ，若()cos 2cos 0a C c b A ++=.（1）求A ；（2）若3a =4b c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABCS SS=+可化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+2113||||sin ||222OA OB AB θ=⋅+⨯⨯()221321sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅ 3sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯ 53sin 3cos θθ=-+532sin 3πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为53853244++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 2．A解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.3．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC 中，由正弦定理得162sin 231sin 22CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.4．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈， 所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：AB =所以A 与B的距离3AB =. 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．6．A解析：A 【分析】 由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围. 【详解】由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 662A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 23A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin A C +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos 3BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin 3ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒3cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，4sin B=，所以sin 1B =， 所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.10．D解析：D【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即222312233h h =+-⋅，解得123h =选①②③④，则3AB h =，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形 13【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.3cos cos S a B b A =+31sin cos cos 2ab C a B b A =+， 31sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=， 即sin 23b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故13a =. 13 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.14．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．15．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力 解析：(3,23)【分析】利用正弦定理得到sin 23A =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 123B A <=<，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.16．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=，整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=，故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.17．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ． 【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒=设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--，CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠，整理得249255BD BD =+-， 解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒， 所以45BDC ∠=︒， 由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin1203BD BC ⋅︒==︒.故答案为：3【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可. 【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴cos 2C =． ∵()0,πC ∈，∴π4C =． （2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--= 化简，得222a b =．又∵a =∴1b =．∴ABC的面积111sin 12222ABC ab C S ==⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．（1）3π；（2） 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】 （1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB ∠＝sin3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠23sin3π4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝3（32cos θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3． 【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.23．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 322222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =52=，得5sin C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，25cos 1sin 5C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 55ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=， 由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， 5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故25sin 25DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 24．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.25．条件选择见解析；ABC【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 2a c b B ac +-===因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以11sin 22ABC S ab C ===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△.（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积． 26．（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2sin cos 0B B A +=，由于sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合()0,A π∈，可求A 的值.（2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵()cos 2cos 0a C c b A ++=，∴由正弦定理可得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ++=， 整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=， 即：()sin 2sin cos 0A C B A ++=， 所以sin 2sin cos 0B B A +=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∵()0,A π∈，∴23A π=.（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∴2212()22cos 3b c bc bc π=+--，即有1216bc =-， ∴4bc =，∴ABC 的面积为112sin 4sin223S bc A π==⨯⨯= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：22()22cos a b c bc bc A =+--、()sin sin A C B +=、()cos cos A C B +=-.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

(完整word版)数学-高中必修五-解三角形-经典题目

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解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形 例1在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====Q 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，，∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴)sin （150°-A ）.∴)[sinA+sin(150°)·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2；② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b 的取值范围为,8+考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km 2C 3 kmD 2 km2．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12π C ．12π D ．3π3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则23a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．3-5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2aB c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 17．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABCS =2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．3B C D ．10．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则AEF 的周长的最小值为（ ）A ．36sin 20︒B ．C ．12D ．11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．2C ．32D 二、填空题13．已知ABC 的面积为4，2tan 3B =，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若AM =，则BC =___________.14．在ABC 中，3B π=，2AC =，则4AB BC +的最大值为_______． 15．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.16．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________． 20．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，AB 边上的高为CD ，且2CD AB =，则a bb a+的取值范围是___________. 三、解答题21．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ， ∠BAD =34π，2AB =BD =4.（1）求cos ∠ADB ； （2）若BC 22CD .22．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若272,cos b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：7cos cos 14a B b A ac +=；条件②：72cos 27b C ac =-． 23．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？24．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ()3cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan 3tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,10a b c =+=ABC 的面积. 25．已知ABC 中，632AB BC ==225AC AB +=． （1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠． 26．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.5323338h h h h =+-⨯⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⨯⎪，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,2R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =．∵212cos sin sin (2cos )sin 222A ABC A --=+=，易知2cos 0A -≠， ∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴2sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin 3cos 0b A a B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin 3cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 30B B ∴=，tan 3B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果. 【详解】11c sin60=424︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc c由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 3++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 10．D解析：D 【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，1AA ∴==，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．11．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】 根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式建立关于的方程再分别求根据余弦定理求结合条件求得的值【详解】得：解得：①中利用余弦定理②由①②可得解得：或即当时得此时不成立当时得此时成立故故答案为：4【点解析：4 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式，建立关于,a c 的方程，再分别求,a c ，根据余弦定理求b ，结合条件AB AC >，求得BC 的值. 【详解】2tan 3B =，得：sin B =，cos B =11sin 42213ABCSac B ac ==⋅=，解得：ac =① ABM中，利用余弦定理222252cos 542413a a a c c B c ac =+-⋅⋅=+-= ②由①②可得22174ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， AB AC >，即c b >当2a c ==时，2222cos 32b a c ac B =+-=，得b =c b <，不成立，当4,a c == 2222cos 5b a c ac B =+-=，得b =c b >，成立，故4BC a ==. 故答案为：4 【点睛】易错点点睛：本题的易错点是求得,a c 后，还需满足条件AB AC >这个条件，否则会增根.14．【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为：【点睛】求三角形有关代数式的取值范围【分析】利用正弦定理可将4AB BC +表示关于角A 的三角函数，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得4AB BC +的最大值. 【详解】由正弦定理可得21sin sin sin sin 3BC AB ACA CB π====，则sin BC A =，sin AB C =，3B π=，203A π∴<<，则()14sin 4sin sin 4sin sin 4sin 2AB BC C A A B A A A A+=+=++=++()9sin 2A A A ϕ=+=+， 其中ϕ为锐角，且tan ϕ=，23A πϕϕϕ∴<+<+， 所以，当2A πϕ+=时，4AB BC +取【点睛】求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.15．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系再利用余弦定理求解出角A 的值再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值【详解】因为所以根据正弦定理得:化简可得:即(A 为【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-， 化简可得:222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正解析：3【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】利用三角形三边大小关系余弦定理即可得出【详解】因为三角形两边之和大于第三边故解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边大小关系余弦定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：【分析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．22224cos 0224c C +-=<⨯⨯，解得c >c ∴∈．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：2,⎡⎣【分析】由余弦定理得出2222cos a b c ab C =++，由三角形的面积公式得出22sin c ab C =，进而可得出4b a C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得a bb a +的取值范围. 【详解】 如下图所示：由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c ab C ∴+=+，1122CD AB c ==，由三角形的面积公式得11sin 222ABC c S ab C c ==⋅△，得22sin c ab C =，()222sin cos 22sin 4a b ab C C ab C π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，则22224b a a b C a b ab π+⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 0C π<<，5444C πππ∴<+<，当42C ππ+=时，即当4C π时，b aa b+取得最大值2由基本不等式可得2b a b a a b a b+≥⋅=，当且仅当a b =时，等号成立， 因此，a bb a+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2,22⎡⎣.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）14cos 4ADB ∠=；（2）32CD =【分析】（1）ABD △中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而得出答案； （2）BCD △中，利用余弦定理可得CD ． 【详解】（1）ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin 2ADB =∠，解得sin 4ADB ∠=，故cos 4ADB ∠=； （2）sin cos ADB CDB ∠==∠ BCD △中，222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅，即2224424CD CD+-=⋅⋅，化简得(0CD CD -+=，解得CD =22．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解； 选用条件②：由正弦定理求得cos 14B =，得出sin 14B =，再由cos 7C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos a B b A +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==． 选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin B C A C =2sin()B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin 0B C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin 14B =，又由cos 7C =，可得221sin 1cos 7C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.23．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN 的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得OM ==所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 602sin 60OM OM θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒+︒.所以()()11271sin 30242cos 2sin 6016sin 60cos OMNSOM ON θθθθ=⋅⋅⋅︒=⋅⋅=⋅+︒+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅27271616==2727168==272784==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S △最小值为(22722727km 444-==.【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.24．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=；方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c 的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A = 又()0,A π∈， 所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈， 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A = 所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 2ABC S bc A ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.25．（1）4ABC π∠=；（2）tan PBA ∠=． 【分析】（1）由已知求得25AC =-cos 2ABC ∠=，即可求得ABC ∠；（2）由题可得PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简即可求出. 【详解】解：（1）由AB BC ==，知AB BC ==，由225AC AB +=，知2525AC AB =-=-在ABC 中，由余弦定理得：222cos22BC AB AC ABC AB BC +-∠===⨯，0ABC π<∠<，4ABC π∴∠=； （2）,44PBA PBC PCB PBC BPC πππ∠+∠=∠+∠=-∠=， PBA PCB ∴∠=∠，设PBA α∠=，则在PBC 中，由正弦定理得,2sin 3sin sin 4PB BC PB απα=∴=， 在APB △中，由正弦定理得：,56sin sin 66PBAB PB παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，化简可得：tan α=，故tan PBA ∠=. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 26．2S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b是方程220x -+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b cC abab -⨯-+--+-====⨯，解得c =所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯=。

必修5《解三角形》综合测试题及解析【教师版】

必修5《解三角形》综合测试题及解析【教师版】

专题复习 正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．高考模拟1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于___5___．解析 ∵S ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×c ×sin 45°＝2. ∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b 2＝25，b ＝5.2．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是____等腰或直角____三角形．解析 由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于____－34____． 解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于___725_____．解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解．由b sin B ＝c sin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为___6365___．解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)· cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝___4___.解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝___－12__. 解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32和sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__[2，5]___．解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －a 2bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋cb＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)， 所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋cb 的取值范围是[2，5]．9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β. (1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？ 解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β＝hd ＋H(H －h )d≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值． (1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13， 因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.11．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )， 故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.《解三角形》综合测试题（A ）Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是 【 A 】A ．B ．C ．D ． 答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =.故选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于 【 D 】 A ．o 105 B ．o60 C ．o15 D ．o105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C =，得sin sin c A C a ==，则o 45C =或o135C =.故 当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 【 D 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅= ||AB ⋅ ||cos(BC π )B -=1975()1935⨯⨯-=-.故选D .4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A .5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =， 6c =，o 60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】A ．①②B ．①④C ．①②③D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是 【 A 】A ．2B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin 8A =，故1242S =⨯⨯82=.故选A . 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++t a n t a nA B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ． C D ．52 答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即t a n ()A B +=又A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.故选C . 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos 3B =，1a =，则b =_________.解析：由cos B =，得sin 3B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =o 120B =，则a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a +-0=，解得a =(舍去负值).11.如果ABC ∆的面积是222S =C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.. 解析：由o 11sin sin 6022S bc A c ===4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =故sin sin sin a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =- ，(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________.答案：6π或o30.解析：由m n ⊥ 得0m n ⋅=sin 0A A -=，即sin 0A A -=，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin aB b A cC +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o60C ∠=时，o o 180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =.当o120C ∠=时，o o 180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =.故1b =，o60C ∠=，o75B ∠=或1b =，o120C ∠=，o15B ∠=.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =，5b =，S =c .解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=sin C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-.（1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =；（2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =综上可知c .20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数；（2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==12222⨯⨯=.《解三角形》综合测试题（B ）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.在ABC ∆中，已知sin 1B =，3b =，则此三角形 【 D 】A .无解B .只有一解C .有两解D . 解的个数不确定答案：D .解析：由sin 1B =得o90B =，只知一边3b =，故三角形解的个数不确定.故选D .2.在ABC ∆中，已知o60A =，19b =，ABC ∆的面积S =，则a 等于 【 C 】 A .84 B .48 CD答案：C . 解析：由o 11sin 19sin 6022S bc A c ==⋅⋅=84c =，故222a b c =+o 2cos60bc - 5821=，故a =故选C .3.在ABC ∆中，o60A =，a =b =B 等于 【 A 】 A . o45 B .o 135 C .o 45或o135 D . 以上答案都不对 答案：A .解析：由正弦定理可求得sin B =<b a ，故o <60B A =，故o45B =.故选A . 4.在ABC ∆中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆一定是 【 B 】A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 以上都有可能 答案：B .解析：由已知根据正、余弦定理得22222222b c a a c b a b cac ab+=+-+-+，整理得2222()()b a b c a c -+- ()bc b c =+，即233()()()()b c a b c bc b c bc b c +=+++=+，故22222a b bc c bc b c =-++=+，故ABC ∆为直角三角形. 故选B .5.在ABC ∆中，lg lg lg(sin )a b B -==-B 为锐角，则A 为 【 D 】 A . o90 B . o45 C . o60 D . o30 答案：D . 解析：由已知得sin a B b ==，又B 为锐角，故o45B =；又sin sin a A b B ==，故1sin 2A =，故o 30A =.故选D .6.在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设2B A =，则ba的取值 范围是 【 D 】 A . (2,2)- B . (0,2) C .D. 答案：D .解一：因2B A =，故o o 1801803C A B A =--=-，故o o o o o o o 0<<900<2<900<1803<90A A A ⎧⎪⎨⎪-⎩，解得o30<o <45A，故sin 2cos sin b BA a A==∈，故选D . 解二：由正弦定理得sin sin 22cos sin sin b B A A a A A ===，因02<<B π，故022<<A π，即0< 4<A π，又A B C π++=，故3C A π=-，由题意得032<<A ππ-，故63<<A ππ，又04<<A π，故64<<A ππ<cos <A<2cos <A ，即2cos A ∈，即ba∈.故选D . 7.在ABC ∆中，若3sin 4B =，10b =，则边长c 的取值范围是 【C 】A . 15(,)2+∞B . (10,)+∞C . 40(0,]3D . (0,10)答案：C .解析：由正弦定理可得40sin 3c C =，因0<sin 1C ≤，故400<3c ≤.故选C . 8.在ABC ∆中，若223coscos 222C A a c b +=，则a 、b 、c 的关系是 【 A 】 A .2a c b += B . a b c += C . 2b c a +=D . a b c ==答案：A . 解析：由已知得1cos 1cos 3222C A a c b ++⋅+⋅=，即(1cos )(1cos )3a C c A b +++=，由正弦定 理，得sin (1cos )sin (1cos )3sin A C C A B +++=，故sin sin cos sin A A C C +++sin cos C A3sin B =，即sin sin sin()3sin A C A CB +++=，又sin()sin AC B +=，故sin sin A C += 2sin B ，由正弦定理，得2a c b +=.故选A .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上）9.三角形一边长为14，它的对角为60，另两边之比为8:5，则此三角形的面积为____________.答案：解析：设另两边的长为8x 和5x ，由余弦定理，得222o2(8)(5)14cos6080x x x +-=，解得2x =，则另两边的长为16和10，故此三角形的面积为o11610sin 602S =⨯⨯⨯=10.在ABC ∆中，50a =，o 30B =，o120C =，则BC 边上的高的长度是__________.答案：.解析：由已知得o30A =，由正弦定理得o o 50sin 30sin120AB=，解得AB =BC 边上的高12AD AB == 11.三角形的两边分别为5和3，它们的夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的 面积S 为___________. 答案：6.解析：由方程解得3cos 5α=-，则4sin 5α=，故1453625S =⨯⨯⨯=.12.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是_________.解析：由2220b bc c --=，得2b c =；由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，得2246c c +-7228c c =⨯⨯⨯，解得2c =，故4b =，故1242S =⨯⨯= 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知3sin 5A =，sin cos <0A A +，a =5b =.求c .解：因为sin cos <0A A +，且3sin 5A =，故4cos 5A ==-；又a =5b =，故由2222cos a b c bc A =+-，得2224525()5c c =+-⨯⨯⨯-，即28200c c +-=，解得2c =或10(c =-舍去).故2c =. 点评：解此题的关键是由3sin 5A =求出cos A ，应注意根据sin cos <0A A +先判断cos A 的正负，以防产生漏解.18．（本题满分14分）设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.解：（1）由2sin a b A =根据正弦定理，得sin 2sin sin A B A =，故1sin 2B =.因ABC ∆为锐角三 角形，故6B π=.（2）1cos sin cos sin()cos sin()cos cos 662A C A A A A A A πππ+=+--=++=++2A)3A π=+.由ABC ∆为锐角三角形，知<<22B A ππ-，而226B πππ-=-3π=，故<<32A ππ，故25<<336A πππ+，故1<sin()<232A π+，<)23A π+3<2.故cos sin A C +的取值范围是3()22.。

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（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

4．在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。

（数学5必修）第一章：解三角形[综合训练B 组] 一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-7．在△ABC 中，若tan 2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。

3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。

4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。

5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。

6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。

三、解答题1． 在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,。

2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。

3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。

4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。

5．在△ABC 中，若223cos cos 222C A ba c +=，则求证：2a c b +=（数学5必修）第一章：解三角形[提高训练C 组] 一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比cba +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2BA -3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。

3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。

4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+-+C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos ______。

5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。

6．在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。

三、解答题1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。

2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-求△ABC 的面积的最大值。

3． 已知△ABC 的三边c b a >>且2,2π=-=+C A b c a ，求::a b c4． 在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长（数学5必修）第一章 [基础训练A 组]一、选择题1.C 00tan 30,tan 302bb ac b c b a=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>4.D 作出图形5.D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 二、填空题1.12 11sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤2.0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=3.26- 00sin 215,,4sin 4sin154sin sin sin 4a b b A A a A A B B ======⨯ 4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 5. 4,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC ABB AC B A C+===+AC BC +sin )cos22A B A BA B +-=+= max 4cos 4,()42A BAC BC -=≤+=三、解答题1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=所以△ABC 是直角三角形。

2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 222-+=代入右边得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab+-+--=-=22a b a b ab b a-==-=左边，∴)cos cos (aA bB c a b b a -=- 3．证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sincos 4sin cos 2222A C A CB B+-=，∴1sincos 222B A C -==，而0,22B π<<∴cos 2B =∴sin 2sincos 222B B B ===839参考答案（数学5必修）第一章 [综合训练B 组]一、选择题1.C 12,,,::sin :sin :sin ::1:2632222A B C a b c A B C πππ====== 2.A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-= 3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 4.D sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==，等腰三角形5.B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 6.C 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =-7.D 2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++， tan2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+，或tan 12A B += 所以A B =或2A B π+=二、填空题1.3392211sin 4,13,22ABC S bc A c c a a ∆======sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++2.> ,22A B A B ππ+>>-，即sin()2tan tan()2cos()2B A B B πππ->-=-cos 1sin tan B B B ==，1tan ,tan tan 1tan A A B B>>3. 2 sin sin tan tan cos cos B CB C B C+=+sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2B C B C B C AB C A A +++===4. 锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角5. 0602228231cos 22b c a A bc ++-+-====6．222222222222213,49,594a b c c a c b c c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>+><<<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩三、解答题1.解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆=== 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b >所以4,1==c b2. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B CA B C A B C A B C>>∴1tan tan tan >⋅⋅C B A3. 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos2222A B A B A B A B+-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B +-+=+2cos 2cos cos 222C A B =⋅4cos cos cos 222A B C=∴2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++4．证明：要证1=+++ca bc b a ，只要证2221a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-=而∵0120,A B +=∴060C =2222220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab+-=+-==∴原式成立。

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