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(2)结合律 ( ) ( )
(3) (4) ()
(5)k( ) k k
(6)(k l) k l
(7)k(l ) (kl) (8)1
满足（1）—（8）的 运算称为线性运算。
8
1 0
例1
已知
v1
0
,
v2
2
1 1
求 2v1 v2
9
§2 向量组的线性相关性
则称该向量组线性相关
反之，如果只有在k1=k2=…=km=0时上式才成立，就 称1,2 ,,m 线性无关。
向量组具有的线性相关或线性无关的性质称为向
量组的线性相关性
13
思考： 设向量组 1 , 2 ,, m，如果对任
何一组不全为零数 k1, k2 ,, km ，都有
k11 k22 + kmm 则该向量组的线性相关性如何？
答案：一定线性无关
14
例1 判断向量组 1 , 2 ,, n 的线性相关性。
其中， i 是 n 阶单位矩阵的第 i 列 (i = 1,,m)
解： 对任意的一组数k1,k2,…,kn都有 k11 k2 2 kn n (k1, k2 , , kn )T
Hale Waihona Puke 所以要使k11 k22 knn
当且仅当k1=k2=…=kn=0
因此1, 2 ,, n 线性无关。
1, 2 ,, n 是由 n 阶单位矩阵的各列组成的，
称为单位坐标向量
15
例2 讨论向量组 1= ( 1, －1, 1)T, 2= ( 2, 0, －2)T, 3=( 2, －1, 0)T的线性相关性。
解：设有一组数1， 2， 3 , 使 11 + 22 + 33 =
背景：研究向量时向量之间的线性关系（相关或无关）
极为重要，是许多与向量有关的问题的理论基础。
定义1:若干个维数相同的向量所构成的集合称为一个向量组
如:向量组 1,2 , ,m 根据向量的运算法则 k11 k22 kmm 完全有意义
定义2
设向量组1,2 , ,m 对于任何一组实数 k1 , k2 , , km 称 k11 k22 kmm 为
12
定义4 对于向量组 1,2 ,,m ，如果该向量组对零 向量只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法 唯一，则称向量组 1,2 ,,m 线性无关，否则，称 其线性相关。
定义4/ 对于 向量组 1,2 ,,m ，如果存在一组不全 m
为零的数k1,k2,…,km，使 kii k11 k22 kmm i 1
4
定义1 n个数 a1, a2, , an 组成的有序数组（a1,a2,…,an）
a1
或
a2
an
列向量
行向量
称为一个n维向量，简称为向量。
其中,数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个 向量的第i个分量或坐标。 分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向 量称为复向量。
0
0
0
0
1
2 1 0 0 0
可以看出
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 5 2 3 3 0 4
所以， 是 向量组 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 向量组 1, 2 , 3 ,4 线性表示。
说明：由于列向量就是一个列矩阵，所以列向量满
足列矩阵的所有运算法则和运算律。
6
因此，得到如下相关的定义
定义3 向量 与 的和 记为
规定 (a1 b1, a2 b2, , an bn )
数 k 与向量 的数量乘积（简称为数乘）记为 k
规定 k (ka1, ka2 , , kan )
该向量组的一个线性组合
思考:一个向量组有多少个线性组合?
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定义3：给定向量组A :1,2, ,m , 和向量 ，如
果存在一组实数 1, 2 ,, m 使得
11 22 mm
则称向量 是向量组A的一个线性组合，或称向量 可以由向量组A线性表示。
问题1. 零向量是任何向量组的线性组合吗?为什么？
5
注意:向量一般用小写的希腊字母, 等表示 ，
其中n为向量的维数。一般所说的向量都是指列 向量,行向量可看作是列向量的转置．
如: (a1, a2, , an )T
(b1, b2 , , bn )T
定义2 如果向量 和 对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为 。
当 k 1 时 -1 - =(-a1, -a2 , , -an ) 称为向量 的负向量
定义4 分量全为零的向量(0，0，…，0)T称为零向量
记为
向量的减法定义为 ( ) 7
向量的加法与数乘具有下列性质 ：
设k和l为两个任意的常数， , , 为任意的n维向量
(1)交换律
问题2.任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示吗？
答：1 01 02 0m 2 i 01 02 1i 0i1 0m
其中，问题１中的线性表示称为零向量的平凡表示 11
例如：
2 1 0 0 0
5 3
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
第三章
向量空间
1
背景：
向量及向量空间是最基本的数学概念之一，它不仅是 线性代数的核心，而且它的理论和方法已经渗透到自 然科学、工程技术、经济管理的各个领域，通过本章 的学习可以进一步加深对矩阵的理解，并且对后续内 容的学习会有很大的帮助。
2
§1、向量及其运算 §2、向量组的线性相关性 §3、向量组的等价与向量组的秩 §4、矩阵的秩及其行秩列秩 §5、向量空间的基
即 ( 1+ 22 + 23 , －1－3 , 1－22 )T = (0, 0, 0)T
1+ 22 + 23 = 0
3 = －1
有
－1 －3 1 －22
3
§1 向量及其运算
背景：
中学数学中已经接触过平面上的向量，可以称为二维 向量。高等数学介绍过空间几何中的向量，可以称为 三维向量。然而仅仅考虑平面几何中的向量和空间几 何中的向量是不够的。例如，人造卫星在太空运行中 考虑它在某一个时刻的状态必须知道目前处于什么位 置、其表面温度、此时受到的压力等等物理参数的情 况，这时二维和三维向量就无法表达这么多的信息， 必须推广到更多维数的向量。