3刚体的定轴转动

《物理学》多媒体学习辅导系统

第三章 刚体得定轴转动

教学要求

一.理解定轴转动刚体运动得角速度与角加速度得概念,理解角量与线量得关系。 二.理解刚体定轴转动定律,能解简单得定轴转动问题。 三.了解力矩得功与转动动能得概念。

四.了解刚体对定轴得角动量定理及角动量守恒定律。

五.理解转动惯量得概念,能用平行轴定理与转动惯量得可加性计算刚体对定轴得转动惯量。

基本内容

本章得重点就是刚体定轴转动得力矩、转动惯量、角动量等物理量得概念与转动定律,难点就是刚体绕定轴转动得角动量守恒定律及其应用。

一.角量与线量得关系

2

ωαω

θr a r a r v r s ====n t

二.描述刚体定轴转动得物理量与运动规律与描述质点直线运动得物理量与运动规律有类比关系,有关得数学方程完全相同, 为便于比较与记忆,列表如下。只要将我们熟习得质点直线运动得公式中得x 、v 、a 与m 、F 换成θ、ω、α与I 、M , 就成为刚体定轴转动得公式。

表3—1

质点得直线运动 刚体定轴转动

位置 x 角位置 θ 位移 x ∆ 角位移 θ∆ 速度 t x v d d =

角速度 t

d d θω= 加速度 2

2d d d d t

x

t v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα==

匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x +

+= 2002

1

t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()02

02 2 θθαωω-=-

质量 m 转动惯量 i i m r I ∆=∑2

力 F 力矩

r F M θ=

牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力得功 ⎰

=

x

x x F A 0

d 力矩得功 ⎰=θ

θθ0

d M A

动能 221mv E =k 动能 k 22

1

ωI E = 动能定理

2

02210

mv mv x F x

x 2

1d -=⎰ 动能定理 2

022

121d ωωθθ

θ

I I M -=

⎰20

冲量

⎰

t

t t F 0

d 冲量矩

⎰

t

t t M 0

d

动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理

00

mv mv t F t t -=⎰

d 角动量定理

⎰

-=t

t I I t M 0

0d ωω

系统得机械能守恒定律 系统得机械能守恒定律

若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则

=+p k E E 常量 =+p k E E 常量

系统得动量守恒定律 系统得角动量守恒定律 若

0=∑外

F

,则 若0=∑外M ,则 =∑i

i v

m 常量

=∑i

L

常量

三.对于质点、刚体组成得系统,动能定理仍然适用,系统得动能包括系统内所有质

点得平动动能与刚体得转动动能。当系统内力只有保守力作功,其外力与非保守内力作得总功为零,则整个系统机械能守恒。

问题讨论

一.一长为l 、质量为m 得匀直细棒一端固定,可在竖直平面内转动,最初棒静止在水平位置,问放手后它下摆到竖直位置时得角速度。

有人这样解:放手后杆受重力矩2

l mg M =, 细杆绕点O 得水平轴转动得转动惯量为23

1ml I =, 由转动定律αI M =,解得l g 23=

α;又根据θαωω∆=-22

02,00=ω,2

πθ=∆得l

g

23πω=

。这种解法对吗？为什么？ 讨论:

上述计算方法就是错误得! 其根源在于忽视了转动定律得瞬时性。 刚放手时重力矩2l

mg

M =,角加速度l

g 23=α,但随着杆得转动,重力矩越来越小,在θ处,为θcos l mg M 2

1=;角加速度也随之减小,在θ处,为θαcos l

g

23=

。到竖直位置,0=M ,0=α。也就就是说,在杆转动过程中,角加速度就是变量,杆得摆动就是变加速运动,不可用匀变速转动得公式θαωω∆=-22

02

。

此题得解法有多种,我们介绍两种从功与能得角度求解得方法。 解法一:用动能定理

杆摆到任一θ角时,其所受得重力矩为

θcos 2

l

mg M =

杆从水平位置转到竖直位置时,重力对杆所作得功为

2

22

l mg l mg M A A ====⎰

⎰⎰θθθπd cos d d

由刚体得动能定理k E A ∆=

2022

1212ωωI I l mg -=

式中00=ω,2

3

1ml I = 解得

l

g

I mgl 3==

ω 解法二: 用机械能守恒求解

取杆与地球为系统,除重力外无其它力作功,机械能守恒。取竖直位置时杆得质心位置为重力势能零点,有