电源输出功率最大问题

电源输出功率最大问题

一、用配方法求极值

例1．如图所示，已知电源内阻r ，电动势ε，滑动变阻器R 调在何处时，电源输出功率最大（R>r ）。

分析：由闭合电路欧姆定律知：I R r

ε

=

+，所以

22222

2

2

2

2

22

2

(

)()

224()44R

R

R

P I R R R r R r

R Rr r

R Rr r Rr

R r Rr

r R

ε

εεεε

===

=

=

=

-+++-++-++出

由于2

()0R r -≥，所以当R -r =0即R =r 时，输出功率有最大值2

4P r

ε=max 。

结论：当电源的内阻r 等于外电路电阻R 时，电源输出功率最大。

画电源输出功率随外电阻变化的变化规律图像，可采用取值、描点、绘图再连线的步骤得到的图像，也可用Excel 电子表格做出P —R 图像为：【ε=6V ，r =2，R =（0，1，2，3，4，5，6，7，8）】

由图像知：在峰值处R =r 时，电源输出功率最大。最大值为2

4P r

ε=

max 。

二、根据两项之积为常数，当两项相等时和有最小值求极值 函数b y ax x =+

，因b ax ab x ⋅=为常数，所以当b

ax x

=

即x =y

有最小值

min y =

例2．如图，已知电源电动势ε，内阻r ，外电路电阻R 1和可变电阻R ，在R 由零增加到最大值的过程中，求：可变电阻上消耗的热功率最大的条件和最大热功率。

分析：根据闭合电路的欧姆定律可得电路中的电流为1I r R R

ε

=

++，

所以2

2

2

2

2

111()

()

2()R P I R R r R r R R R r R R

εε==

=

++++

++。

讨论电阻R 上消耗的电功率，因为分母中两项之积为常数，当两项相等时，分母有最小值，即当

21()r R R R

+=

（

1

R r R =+）时，

R

P 有最大值：

2

2

1112()2()

4()

R P r R r R r R εε=

=

++++。

例3．如图，已知电源电动势ε和电源电阻r ，外电路电阻R 1与滑动变阻器并联，问滑动变阻器R 调在何处时，在电阻R 上消耗的热电功率最大？

分析：根据闭合电路欧姆定律和串并联电路的特点知： ε=Ir +U 外 ①

112U I R I R ==外 ②

12I I I =+ ③

则21122211()()I R R R r R r I r I R I R R ε++=+

+=，所以1

211()R I R R r R r

ε=++ 2

2

1

2

11(

)()R R P I R R R R r R r

ε==++ 2212

2

2

1111()2()()

R R

R R r R rR R r R r ε=

++++

22

122

1111()()2()R R r R R r R r R r R

ε=

++++

因为分母中两项之积为常数，当两项相等时分母有最小值，即当2

2

11()()R r R R r R

+=

（11R r R R r =+）时，R P 有最大值存在。max 22211

1114()4()

R R R P R r R r r R r εε==

++。