常微分课后答案第一章培训讲学

常微分课后答案第一

章

第一章 绪论

§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型

§1.2 基本概念

习题1.2

1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：

（1）

y x dx

dy

-=24； （2）0122

22=+⎪⎭⎫

⎝⎛-xy dx dy dx y d ；

（3）0322

=-+⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy x dx dy ；

（4）x xy dx dy

dx

y d x sin 3522=+-；

（5）

02cos =++x y dx

dy

； （6）x e dx y d y

=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．

2．试验证下面函数均为方程0222=+y dx

y

d ω的解，这里0>ω是常数．

（1）x y ωcos =；

（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；

（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；

（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．

解 （1）y x dx y d x dx

dy

2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02

2

2=+y dx

y d ω，故x y ωcos =为方程的解．

（2）y x C y x C y 2

2

11cos ,

sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx

y

d ω，

故x C y ωcos 1=为方程的解．

（3）y x dx y d x dx

dy

2

22

2sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dx

y d ω，故x y ωsin =为方程的解．

（4）y x C y x C y 2

2

22sin ,

cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dx

y

d ω，故

x C y ωsin 2=为方程的解．

（5）

y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,

cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以

022

2=+y dx

y

d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故

022

2=+y dx

y

d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．

3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x

x

y sin =

，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；

（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；

（6）x y 1

-=，1222++='xy y x y x ；

（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =

，)

()

()()(2x f x g y x g x f y '-'='．

证明 （1）因为2

sin cos x x

x x y -='，所以

x x

x

x x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．

（2）由于2

1x

Cx y --

='，故

x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(22

22=-++--⋅-=+'-．

（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以

0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．

（6）从21x y ='，得11111222

22++=+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．

（7）由x y 2='，得到

x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．