三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】三角函数公式：（1）.弧度制：180orad π=，'18015718oo rad π=≈弧长公式：l r α=，扇形面积公式：21122S r lr α==（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则：sin ,cos ,tan ;y x y r r xααα=== （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos ααααα+== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβαβαβ±±=（6）二倍角公式：22tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;（7）降幂公式：()()22111sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222ααααααα==-=+（8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b aϕ=。
2．三角函数图像和性质：（二）、函数图像的四种变换：（三）、函数性质： 1.奇偶性：（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。
偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数。
（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。
高中三角函数公式大全(免费)
高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aa cos sin 万能公式 sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosαtan （-α）= -tanαcot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinαcos （π-α）= -cosαtan （π-α）= -tanαcot （π-α）= -co tα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π-α）= -tanαcot （2π-α）= -cotα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高中三角函数和数列部分公式
公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2推导：cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……①在等式①两边加上1，整理得：cos(2α)+1=2cos^2(α)将α/2代入α，整理得：cos^2(α/2)=(cosα+1)/2在等式①两边减去1，整理得：cos(2α)-1=-2sin^2(α)将α/2代入α，整理得：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)推导：tan（α/2）=sin（α/2）/cos（α/2）=[2sin（α/2）cos（α/2] /2cos(α/2)^2=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：S n=S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。
4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
三角函数所有公式大全
三角函数所有公式大全三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
一两角和三角函数公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB二倍角三角函数公式三三倍角三角函数公式五和差化积三角函数公式六积化和差三角函数公式八万能三角函数公式十双曲函数公式十一其他三角函数公式01三角函数公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα02三角函数公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα03三角函数公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα04三角函数公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα05三角函数公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα06三角函数公式六：07公式七：。
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高中三角函数公式大全三角函数公式1. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+2. 倍角公式tan2A =Atan 12-Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3. 三倍角公式3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 4. 半角公式 sin(2A )=2cos 1A- cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +5. 和差化积sina+sinb=2sin 2b +cos 2ba -sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+6. 积化和差sinasinb = -2[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]7. 诱导公式 cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin8. 万能公式（不需要记）sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa - 9. 其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)210. 其他非重点三角函数csc(a) =a sinsec(a) =acos 111. 双曲函数sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a● 公式一：设 sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα ● 公式三：的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα ● 公式四：π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα ● 公式五：2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα ● 公式六： 2π±α及2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosαcos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotαcot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)ta n(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全以下为改写后的文章：高中三角函数公式大全三角函数公式：1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2.倍角公式tan2A = (2tanA)/(1-tanA)sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A-sin²A = 2cos²A-1 = 1-2sin²A 3.三倍角公式sin3A = 3sinA-4sin³Acos3A = 4cos³A-3cosAtan3A = tana·tan(A+π)·XXX(A-π) 4.半角公式sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2)tan(A/2) = ±√((1-cosA)/(1+cosA)) cot(A/2) = ±√((1+cosA)/(1-cosA)) 5.和差化积sin(a+b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a+b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a-b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)tan(a+b) = (tanA+tanB)/(1-XXX)6.积化和差sinA·sinB = (1/2)(cos(A-B)-cos(A+B)) cosA·cosB = (1/2)(cos(A-B)+cos(A+B)) sinA·cosB = (1/2)(sin(A+B)+sin(A-B)) cosA·sinB = (1/2)(sin(A+B)-sin(A-B)) 7.诱导公式sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAsin(π-A) = sinAcos(π-A) = -cosAsin(π+A) = -sinAcos(π+A) = -cosACos(π-a)=-cos aSin(π+a)=-sin aCos(π+a)=-cos aSin a万能公式：a^2 tan^2 a=a^2/(1+tan^2 a)a^2/(1-tan^2 a)=cos^2 a其他公式：2a sina+b cosa=(a^2+b^2)sin(a+c)，其中tanc=a sin(a)-b cos(a)=b/(a+cos a)1+sin a=(sin a+cos a)^2/2其他非重点三角函数：csc a=1/sin asec a=1/cos a双曲函数：sinh a=(e^a-e^-a)/2cosh a=(e^a+e^-a)/2XXX a公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα公式五：利用公式二和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα公式六：对于±α及±α，与α的三角函数值之间的关系为：sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα以下是一些常用的三角函数公式：tan（+α）= -cotα，cot（+α）= -tanα这两个公式表示正弦和余弦的相反数的比值等于余切和正切的相反数。
三角函数公式
第一部分三角函数公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n, 5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n -4)α·sin^4α-…·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1 -cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cos β·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tan α·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a /2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/ 2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2[转]洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理来源：王艺璇的日志洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
最全面三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例2021
成三角公式总表⒈L = R= nπR= n R弧长80 S 扇L R= R= 60⒉正弦定理： asin Ab=sin Bc=sin C= R（R 为三角形外接圆半径）⒊余弦定理：a =b +c -bc cos A b =a +c -ac cosBc =a +b -ab cosC cos A b c abc⒋S⊿= a ha=ab sinC = bc sin A= ac sin B = abc =R4Rsin A sin B sinCa sin Bsin C=b sin Asin C=c sin Asin B= =pr= p( p a)( p b)( p c)sin A s in B sinC积(其中p 极( a bc) , r 为三角形内切圆半径)向⒌同角关系：上，探⑴商地关系：①tg = y =索x 自己y sincos= sin sec ②ctgx cosy sinrcos csc本③sin cos tg④sec tg csc 身r x价值x rcos，⑤cos sin ctg ⑥csc ctg sec 学业有⑵倒数关系：⑶平方关系：sinsinrcsccoscos secsectgtgctgcscyctgsin⑷a sin b cos a b sin( ) （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tg b）a⒍函数y= A sin( x ) k 地图象及性质：（0, A 0 ）振幅A ，周期T= , 频率f = , 相位x ，初相T2自 值 业⒎五点作图法： 令 x依次为 0,作图 ⒏诱导公试,,求出 x 与 y ， 依点 x, ysincos tg ctg- - sin + cos - tg - c tg - +sin - cos - tg - ctg +- sin - cos + tg + ctg - - sin + cos - tg - ctg k++sin+ cos+ tg+ ctg积极向上，sin con tg ctg 探 索+ cos+sin + ctg + tg 己 本 + cos - sin - ctg - tg 身价 - cos - s in + ctg + tg ， 学 - cos+sin- ctg- tg有 成⒐与差角公式三角函数值等于地同名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号；即：函数名不变，符号看 象限三角函数值等于地异名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号;即：函数名改变， 符号看象 限①sin( ) sin coscos sin②cos( )cos cossin sin③ tg()tg tg tg tg ④ tgtg tg( )( tg tg )⑤ tg() tg tgtg tgtg tg tgtgtg tg tgtg其中当 A+B+C= π时,有:i). tgA tgB tgC tgA tgB tgCii). tg A tgBtg A tg Ctg B tg C自⒑二倍角公式：(含万能公式)①sin sin cos tg1 tg②c os cos sin 2 cos sintgtg③tg tgtg④s intgtgcos⑤cos cos ⒒三倍角公式：①sin sin 4 s in 4 sin sin( 60 ) sin( 60 )②cos c os 4 cos 4 cos cos(60 ) cos(60 )tg tg积③tg tg tg (60) tg(60 ) 极tg向上⒓半角公式：（符号地选择由，探所在地象限确定）索①sin 己cos ②sincos ③cos cos本身④cos 价值1 cos⑤cos 2 sin ⑥cos cos，⑦学业sin (cos sin ) cos sin有成⑧tg coscos sincoscossin⒔积化与差公式：sin cos coscossin(cos() sin() cos()) sin sincos sincos(1sin() cos) sin( )⒕与差化积公式：，①sin③cossincoss in2coscoscos②sin④cossincoscossinsinsin⒖反三角函数：名称函数式定义域值域性质⒗反正弦函数y arcsin xy arccosx,arcsin(-x) -arcsinx 奇最简反余弦函数y arctgxarccos( x) arccosx单反正切函数,arctg(-x) - arctgx 奇地反余切函数积极向上方程探y arcctgxarcctg ( x) arcctgx 三角索方程方程地解集自己sin x a本身a x | x k arcsin a, k Z价值，cos x aa x | x k k arcsin a, k Z学业有成tgx a a x | x ka x | x karccos a, k Zarccos a, k Zctgx ax | x kx | x karctga , k Zarcctga , k Z 1,1 增R1,1 减增0,R 减0,3 4本等差数列求与公式地四个层次等差数列前 n 项与公式 S n( aa n )nnan(n1) d, 为数列部分最重要公式之一, 学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次 :1. 直接套用公式积 从公式 S n极 向 (aa n )n (a m a n m)nnan(n) d中, 我们可以看到公式上 中出现了五个量 , 包括 ， 探 a , d , a n , n , S n , 这些量中已知三个就可以求另外两个了 .索 从基本量地观点认识公式、理解公式、掌握公式这为最低层次要求.自 己 例 设等差数列 身 a n 地公差为 d, 如果它地前 n 项与 S n n , 那么价 ( ).(99年三南高考试题 )值 ， 学 (A) a n 业 有 (C) a 成n , dn , d(B)(D)a nna nn, d,d解法由于 S nn且a S n S n 知, a n n(n )n,da n a nn[ ( n )], d, 选(C).解法S nnan(n ) dn, 对照系数易知 d ,此时由 nan( n )n 知a , 故a nn, 选(C).例 设S n 为等差数列 a n 地前 n项与, 已知 S 与S 地等比中项为41n n3 3 极 本 成S , S 与S 地等差中项为 , 求等差数列 a 地通项 a .(997年全国高考54nn54文科)解 设a n 地通项为 a na (n1) d , 前 n 项与为 S nnan(n) d.由题意知 S S 4 SS 4( S 5) 5 , (a 即 d) (4a 4 4 d) (5a55 4 d)(a d)(4a 4 4 d)化简可得ad 5d0 d , 解得 0 或 d 5 ada5a4积 由此可知 a 向 或a n4 (n )() 5n. 55上 经检验均适合题意 , 故所求等差数列地通项为 ， 探 索 . 逆向活用公式自 a n 或a n n. 55己 在公式地学习中 , 不仅要从正向认识公式 , 而且要善于从反向分析弄清 身 价 公式地本来面目 . 重视逆向地认识公式 , 逆向运用公式 , 无疑将大大地提高公 值 ， 学 式地解题功效 , 体现了思维地灵活性 .业 有 例设n N, 求证:n(n )n(n )n(n) .(985 年全国高考文科 )证明n(n )n ,又,,, n n(n ) ,n( n )n(n ) .又n(n )4 (n ),且 ,,4 4,, n(n ) n ,4 4 11 1 1 n，本成n(n )n(n ).例4 数列a n对于任意自然数n 均满足S n( aa n ) n , 求证:a n为等差数列. (994 年全国高考文科)证明欲证ana n为常数,由Sn( a a n )n 及S(a a n)( n1)可得na n a (n )a n推出( n ) a n 1 a na n ,作差可得na n na n na n 2 , 因此a n anana n.由递推性可知:证.积anananana a d (d 为常数), 所以命题得极这为九四年文科全国高考试题, 高考中得分率极低, 我们不得不承认此向上为公式教学与学习中地一个失误, 倘若能重视逆向地认识公式, 理解公式, 应探索用公式, 还“与”为“项”, 结局还能如此惨重吗?自己. 横向联系, 巧用公式身价在公式地学习过程中, 还要从运动、变化地观点来认识公式, 从函数及数值，学列结合地角度分析透彻理解公式, 公式S n 业nan(n )d表明为关于n 地二次有函数, 且常数项为0, 同时也可以看出点列(n, Sn) 均在同一条抛物线上, 且此抛物线过原点, 体现了思维地广阔性, 请再看例.解设Snan bn , 则可得( a b ) (a 44 b 4) [ (a 555b)](9a b) (6a4 4b)n 1， 成解得 a 0或 a b b6 5 , 所以 S n6 5n 或 S n6 n56 n, 5从而a n 或a nn. 55例 5设等差数列 a n 地前项与为 S n , 已 知 a, S 0, S0, 指出S, S ,S ,, S 中哪一个值最大 , 并说明理由 . (99年全国高考试题 )解 由于 S n nan(n) d表明点列y(n, S n )都 在 过 原 点 地 抛 物 线 上 , 再 由S0, S 0,易知此等差数列公差 d<0, 且 a积极 示,向 0, 图象x 0x如 图 所上 易知其对称轴为 x 探 x 0 , x 0 (6,6.5) , O索 于为a 6 自 0, a 7 0 , 故 S 6 最大.己 本 4. 恰当变形妙用公式身 价 对公式进行适当变形 , 然后再运用公式为公式应用地较高层次 , 从而丰值 ， 学 富了公式本身地内涵 , 往往给解题带来捷径 , 体现了思维地深刻性 .业 有 对于公式 S( aa n )n , 变形可得(a m na n m) n(aa m )m (a ma n )( nm),对于公式 S n na n(n ) d, 变形可得 S n nn d, 它表明对于任意 n N , 点列( n , S n) 都在同一直线 nl : ydx (a d) 上.例 6 等差数列 a n 地前 m 项与为 0, 前 m 项与为 00, 则它地前 m 项与为( )(A)0(B)70(C)0(D)60(996年全国高n S a 11上 35考试题)解法S m( aa m )m 又由于 S m0 a m1 mm00 ,m(a m a m) 40 , m(a a m ) m( a m a m) 40 ,从而 S m 400, 选(C).解法由于点此(m , S m ) m (m,S m ) m (m, S m ) m在同一直线 ydx (a d) 上, 因S m m mS m m mS m m mS mm , 化简可得 : mS m (S mS m )0 , 选(C).积 在上文我们曾给出 97 年高考试题两个解法 , 这里我们再给出两个解法 . 极 向 解法 由于点列 ， 探 索 而可得自 ( n , S n ) 均在同一直线上 , 说明数列n S n成等差数列 , 从n己 S S 5 本 5 身 S S2 S 44 S S S 45 8 价 值 ， S 学 业 有 4 ( 5 ) 45 S 44, 解得 S 4 S 5a 4 或 S 45 5 S 5 46成从而可求得a 4a 5 或4 5 ,a 8 5故 等 差 数 列 a n 通 项 为 a n 或yn. Al55P解法 4 由于点列所示,(n , S n) 均在同一直线nOB上 如 图xPl1P 1a nS S S 1 S S S SS S 4 3 42 3及 3 4 5极 本由 S知 A 点坐标为 (.5,).4若直线 l 与 x 轴无交点 , 即平行于 x 轴, 则d=0, S nn , n N ,, 显然也满足条件4( S 5 ) 5, 从而 S n, a n , n N. 若直线 l 与 x 轴相交, 设其交点为 B(x,0), P (, S ), P ( 4, S 4 ), 4P (5, S 5 ), 由5 4 ( S 5 ) 4 4 5 4 知 S 0, S 4 0, 且 S 5 4 5 0. 若 不 然 S 0,S 4 0, S 5 4 5 0 . , 由单调性知不可能有4 4SS 5 ( S 5 ) 5 , 因此点 B 应 落在 (4,0),(5,0)之间. 由 SS(S ) 可得5 , 45S 5 S 4 54即有x5 x 5 x , 解得 x 4 x. 积由 A 、B 两点坐标可求 向 (n , S n) n 所在直线方程为 S nn6 ( n 5)6 n6 ,5 5上 S n ， 6 n 5 6 n, a 5n. 5 5 探 索 综上所述所求等差数列通项公式为 自 a n 或a nn.55己 从以上可以看出 , 对公式地学习不应仅仅停留在公式地表面 . 对公式深身 价 刻而丰富地内涵忽视或视而不见 , 而应充分挖掘出这些隐藏在内部地思想方 值 ， 学 法为我所用 , 提高公式地解题功效 , 才能达到灵活运用公式地较高境界 .业有成含参变量地对数高考高考试题解法综述含参变量地对数问题常常在高考试题中出现 , 本文对这一类问题地解法作以总结 , 以揭示这类问题地一般解题规律 .1. 直接转换3n na 1直接转换 : 即把已知条件等价变形 , 而使问题获解 , 这里一定要注意等价变形. 例已知 a0, a, 试求使方程log a ( xak )log(xa ) 有解地 k 地取值范围.(989 年全国高考试题 )解: 原方程等价于 ( x ak )x a①x ak 0② xa③由①可得 xka④k显然④满足不等式③ , 将④代入②可得 k或 0k 即为所求 .积例 解不等式 极 loga () x.(996 年全国高考试题 )向 解( Ⅰ) 当a 上 时原不等式等价不等式组， 0探 x 索 自a己 x 本 a, 从而 x 0.xa身 ( Ⅱ) 当 0 a 价 时原不等式等价于不等式组值 0① ， x学 业a ②有 x成x.a由①知x 由②得0或x0 xa综上所述 , 当a 时原不等式解集为 x |a x 0} ,当 0 a 时原不等式解集为x |x} a2. 消参策略根据题目特征 , 消去参数可大大减少不必要地讨论 .例 设 0 x 且a0, a , 试比较 log a (x) 与 log a ( x) 地大小. (98 年业成全国高考试题)解: 0x , 0 x , x , 0 xx于为log a ( x)log a ( x)log (x) ( x) log (x) ( x) log( x) log (x)( x)因此loga( x) > log a ( x)3. 引参策略恰当地设立参数, 使问题得到简化, 计算量减少, 这为解题中常用技巧.例4 设对所有实数x, 不等式x log 4(a ) ax log (alog ) 0 恒成立,a a 4 a求a 地取值范围. (987 年全国高考试题)积极向上解: 令t ，探loga, 则原不等式可转化为a( t) x tx t 0 .索要使原不等式恒成立, 必须有自己t 0本身t 0 tt 0或t 0价t 0 值， a即log4t 8t ( t) 0 0, 解之0 a .学a有适当地引入参数, 另辟蹊径解题十分巧妙, 请再看例.解: 原方程等价于x ak x a ( x a)a 0, k x x a, x a.a设x acsc , ( ,0) (0, ), 则ksinctg当( ,0) 时k cossinctg又( ,0), k .4 1 xaa a aa a n 上 自 价 成当 (0, ) 时kcos sintg又(0, ), 0 4k . 综上所述可知 k 地范围为 k或 0k .4. 分类讨论分类讨论为解决含参变量问题地重要手段之一 , 值得注意地为在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论 .例 5 已知自然数 n, 实数 a>, 解关于 x 地不等式log a x( 4) log a xlog a xn( ) nlog x( ) nlog( x a ). (99 年全国高考试题 )积极 向 解: 原不等式等价于， 探( )nlog a x( )nlog a(xa ).索 ()n为奇数时 己本 log a x log ( xa ) 即 ax4 a身 ()n为偶数时 值 log a x log a ( xa ) 即 x4a， 学 例 6 设a 业 0, a , t 0 , 比较 1 log t 与 log t地大小, 并证明你地结论 .(988有 年全国高考试题 )解: 当 t>0 时, 由均值不等式有 tt , 当且仅当 t=时取“ =”号, 所以①t=时logt =log t② t 时 若0 a , 则logt >logt若a 则log t <log t分类讨论应注意 : ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量 , ②按先主后次顺序分层次讨论 , ③必须确定讨论地全集及分类标准, 各类必须互不a a a aaa本 业相容, 否则产生重复讨论各类子集地并集必须为全集 , 否则产生遗漏现象 .5. 数形结合数与形为整个数学发展过程中地两大柱石 , 数形结合为数学中十分重要地思想方法, 某些问题 , 不妨可借助于几何图形来考虑 , 因为几何图形直观、 形象, 易于求解 , 请再看例 . 解 :原 方程 等价 于ylog a ( x ak) log a( xa ) ,转化为考虑曲线 yx ak ( y 0) 与曲线yx a ( y0) , 要使原方程有解 , 只须积aax极 上半直 线 与 上 半双曲 线 有交 点, 由向 上 y x ak， 探 索 平行于双曲线一条渐近线 y 自 x , 如图, 0 ka a己 或ak 身 a 从而解得 ) k 或k时原方程有解 .价 对例 5 也可有如下解法 .值 ， nn学 原不等式等价于 有 ( )log a x( )log ( xa ). ,成y在 同一 坐标 系 中 作 出y=x(y>0), y xa ( y 0) 地图象. 由图象知 x a , 由xx a 求得交点 P横坐标为 x4a , x4a ( 舍)aax( ) n当 n 为 奇 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a> 由 图 象 知a a2a x4a .( ) n 当 n 为 偶 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a>, 由 图 象 知4a x.仿上方法同理可求解例 , 这里从略 .步骤: ①把原不等式 ( 方程) 等价变形为f ( x)g ( x)( f( x)g(x)), ②作出 yf ( x)与 y g (x) 图象, ③由 f (x) g( x) 求交点 , ④由图象及函数性质确定范围 , 从而求解.积6. 分离参数 ( 主次转化 )极 向 更换问题中地参变量与变量位置 , 常常得到新颖简洁地解法 , 请再看例 4. 上 ， 解: 将原不等式变形为 x( xx ) loga0,探a索 自 己 xx ( x )0, logax ,本 a身 价 x(x )a 值 又对于任意 x R , ， (x )0 , 因此必须且只须 log0,a学 a 业 即,解之 0<a<.有 a成所求 a 地取值范围为 0<a<.例 7 设 f ( x)x xlg( n )xnn xa, 其中 a 为实数, nN ,n , 如果当x (,) 时, f (x) 有意义, 求 a 地取值范围 . (990年全国高考试题 )解: 由题设知 x (,) 时不等式 xx( n ) xn x a 0 恒成立,x xx a [( ) ( ) ( ) n nn( n )x] 恒成立. na 即1 ，令 ( x)x [( ) n x x ( ) ( ) nn ( n ) x] , x ( n ,) 时为增函数 . 因此 x= 时 ( x)max(n n nn ) na( x) 恒成立,an.仿上述解法可对例 再给出如下两个解法 : 解法以 k 为主参数考虑由 kxa (k) , 知k k, f ( x)ax 在(ak , ) 为a增函数, 故 f ( x)x k 即 ka kk , 解之 k或 0k .解法以 a 为主参数 , 由akx0 知 k 与 x 同号, 代入 x ak0 知 xkxkk积①当 x>0 时, 则 k>0, 故k0 k极k 向 上 ， ②当 x<0 时, 则 k<0, 故kk探索 自 综上可知 k ( 己 本, )k(0,) .身 分离参数一般步骤为 : ①将含参数 t 地关于 x 地方程或不等式变形为 g(t) 与价 值 (x) 学 地等式或不等式 , ②根据方程或不等式地解(x) 地范围确定函数 ( x) 地取业 值范围 D,③由 D 以及 g(t) 与 有 成从而求出参数 t 地范围. 说明: 这里①为前提 , ②为关键(x) 地相等与不等关系确定为 g(t) 地取值范围 ,从以上数例可以看出 , 只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件, 从而获得问题地最佳解决方法 , 不断提高自己地解题能力 ..2x 1。
三角函数所有公式大全
倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
初中高中三角函数公式大全
初高中三角函数公式大全三角函数公式倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积 sina+sinb=2sin2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinaco s(π+a) = -cosa tgA=tanA =aa cos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a -其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan （-α）= -tanαcot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinαcos （π-α）= -cosαtan （π-α）= -tanαcot （π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π-α）= -tanαcot （2π-α）= -cotα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A。
三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例
三角公式总表⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π⒉正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）⒊余弦定理：a2=b2+c2-2bc Acos b2=a2+c2-2acB cosc 2=a 2+b2-2ab C cos bca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)⒌同角关系：⑴商的关系：①θtg =xy =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg r x ⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角与ϕ点（a,b ）在同一象限，且ab tg =ϕ）⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T =ωπ2, 频率f =T1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ， 依点()y x ,作图 ⒏诱导公试 三角函数值等于的同名三角α函数值，前面加上一个把看作锐角时α，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于的异名三角α函数值，前面加上一个把看作锐角时α，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限⒐和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tgA tg⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±=④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+⑦2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- ③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-⒖反三角函数： ⒗最简单的三角方程等差数列求和公式的四个层次等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中,,,,,1n n S n a d a 已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.例 1 设等差数列的{}n a 公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试题)(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).解法2 ,2)1(21n d n n na S n -=-+= 对照系数易知,2-=d 此时由知故选21)1(n n n na -=--,11-=a ,12+-=n a n (C). 例 2 设是等差数列n S {}n a 的前n 项和,已知与的等比331S 441S 中项为551S ,331S 与的等差中项441S 为1,求等差数列的{}n a 通项n a .(1997年全国高考文科)解 设的通项为前{}n a ,)1(1d n a a n -+=n 项和为.2)1(1d n n na S n -+= 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅24131)51(4131432543S S S S S , 即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+2)2344(41)2233(31)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a化简可得解得,2252053121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d a d d a ⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=45121a d 由此可知1=n a 或.512532)512)(1(4n n a n -=--+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或1=n a .512532n a n -= 2.逆向活用公式在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.例3 设,N n ∈求证:.2)3()1(32212)1(+<+++⋅+⋅<+n n n n n n (1985年全国高考文科)证明 ,3212)1(n n n ++++=+又,211⋅<,322⋅<,)1(,+<n n n.)1(32212)1(+++⋅+⋅<+∴n n n n 又),1(4322)3(+++++=+n n n且,221<⋅,332<⋅,443<⋅,1)1(,+<+n n n.2)3()1(3221+<+++⋅+⋅∴n n n n 例4 数列对于任意{}n a 自然数n 均满足2)(1na a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. (1994年全国高考文科)证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1n a a S n n +=及2)1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n作差可得因此,221+++=n n n na na na .112n n n n a a a a -=-+++由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++ 为常数),所以命题得证.这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?3.横向联系,巧用公式在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关d n n na S n 2)1(1-+=于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同),(n S n 一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.解 设bn an S n +=2,则可得⎪⎩⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯2)416(41)39(31)]55(51[)44(41)33(312222b a b a b a b a b a解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n=或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.512532n a n -=例5 设等差数列的{}n a 前项和为nS ,已知指出中哪,0,0,1213123<>=S S a 12321,,,,S S S S 一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)解由于表明点列d n n na S n 2)1(1-+=),(n S n 都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S易知此等差数列公差d<0,且图象如图所,01>a 示,易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大.4.恰当变形妙用公式对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.对于公式2)(1na a S n n +=,变形可得 2))((2)(2)(111m n a a m a a n a a S n m m m n m n -+++=+=++-,对于公式d n n na S n 2)1(1-+=,变形可得,211d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列都在同一),(n S n n 直线)2(2:1da x d y l -+=上. 例6 等差数列的前{}n a m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和Oy为( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(1996年全国高考试题)解法1 23)(313ma a S m m += 又由于100230212=⋅++=+m a a S mm m,140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m ,从而,210231403=⨯=m S 选(C). 解法2 由于点在同一),(m S m m )2,2(2m S m m )3,3(3m S m m 直线)2(21da x d y -+=上,因此mm m S m S m m m S m S mm m m --=--222323223,化简可得:210)(323=-=mm m S S S ,选(C).在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法. 解法3 由于点列均在),(n S n n 同一直线上,说明数列成等⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 差数列,从而可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=⋅⋅=+ 243)5(434253432543453S S S S S S S S ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=== 5S 43543S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===458524543S S S 从而可求得或⎩⎨⎧==1154a a ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=52851654a a , 故等差数列通{}n a 项为1=n a 或.512532n a n -=解法4 由于点列均在),(nS n n同一直线上如图所示, 由知A 点坐标2413143=+S S 为(3.5,1). 若直线l 与x 轴无交点,即平行于x 轴,则d=0,,,1N n n S n ∈=,显然也满足条件2543)51(4131S S S =⋅,从而.,1,N n a n S n n ∈== 若直线l 与x 轴相交,设其交点为B (x,0),),3,3(31S P ),4,4(42SP ),5,5(53S P 由2543)51(4131S S S =⋅及2413143=+S S 知,033>S ,044>S 且.055<S 若不然,033>S ,044>S .055>S ,由单调性知不可能有2543)51(4131S S S =⋅,因此点B 应落在(4,0),(5,0)之间.由2543)51(4131S S S =⋅可得,45534553S S S S =即有,4553x x x x --=--解得313=x . 由A 、B 两点坐标可求所在直线方),(n S n n 程为,52656)313(56+-=--=n n n S n,526562n n S n +-=∴.512532n a n -=综上所述所求等差数列通项公式为1=n a 或.512532n a n -=从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.含参变量的对数高考高考试题解法综述含参变量的对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题的解法作以总结,以揭示这类问题的一般解题规律.1.直接转换直接转换:即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变形.例1 已知1,0≠>a a ,试求使方程有)(log )(log 222a x ak x a a -=-解的k 的取值范围.(1989年全国高考试题)解:原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-③a x ②ak x a x ak x 00① )(22222 由①可得a kk x 212+= ④显然④满足不等式③,将④代入②可得或即为所1-<k 10<<k 求. 例2 解不等式1)11(log >-xa .(1996年全国高考试题) 解(Ⅰ)当时原不等式1>a 等价不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->-axx 11011,11x a >-⇒从而.011<<-x a (Ⅱ)当时原不等式10<<a 等价于不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<<<-<>>-a x ②a xx x x 110 ② 1101① ①011得由或知由 .111ax -<<∴综上所述,当时原不等式1>a 解集为{}011|<<-x a x , 当时原不等式10<<a 解集为{}111|ax x -<< 2.消参策略根据题目特征,消去参数可大大减少不必要的讨论.例3 设10<<x 且1,0≠>a a ,试比较与的大)1(log x a -)1(log x a +小. (1982年全国高考试题)解:xx x x x -<+<∴<-<-<∴<<1110,11,110,102 于是1)1(log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(=+>-=--=-=+-++++x xx x x x x x x x a a 因此)1(log x a ->)1(log x a + 3.引参策略恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常用技巧.例4 设对所有实数x ,不等式恒成立04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++a a a a x a a x ,求a 的取值范围. (1987年全国高考试题)解:令aa t a21log +=,则原不等式可转化为022)3(2>+-+t tx x t . 要使原不等式恒成立,必须有φ⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒>==+t t t t 020203或⎩⎨⎧>⇒<+-=∆>+00)3(84 032t t t t t 即,021log 2>+aa 解之.10<<a 适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1. 解:原方程等价于)(22a x a x ak x >-=-.,,022a x aa x x k a >--=∴≠设)2,0()0,2(,csc ππθθ -∈=a x ,则θθctg k -=sin 1当)0,2(πθ-∈时2sin cos 1θθθctg k =+=又.1),0,4(2-<∴-∈k πθ当)2,0(πθ∈时2sin cos 1θθθtg k =-=又.10),4,0(2<<∴∈k πθ 综上所述可知k 的范围为或1-<k .10<<k 4.分类讨论分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.例5 已知自然数n ,实数a>1,解关于x 的不等式).(log 3)2(1log )2(log 12log )4(log 2132a x x n x x x a na n a a a n --->-+++-+- (1991年全国高考试题)解:原不等式等价于).(log 3)2(1log 3)2(12a x x a na n --->-- (1)n 为奇数时即)(log log 2a x x a a ->2141++<<a x a (2)n 为偶数时即)(log log 2a x x a a -<2141++>a x 例6 设0,1,0>≠>t a a ,比较与的大小t a log 2121log +t a ,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)解:当t>0时,由均值不等式有t t ≥+21,当且仅当t=1时取“=”号,所以①t=1时t a log 21=21log +t a②1≠t 时 若,10<<a 则t a log 21>21log +t a若1>a 则t a log 21<21log +t a分类讨论应注意: ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量, ②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论的全集及分类标准,各类必须互不相容,否则产生重复讨论各类子集的并集必须是全集,否则产生遗漏现象. 5.数形结合数和形是整个数学发展过程中的两大柱石,数形结合是数学中十分重要的思想方法,某些问题,不妨可借助于几何图形来考虑,因为几何图形直观、形象,易于求解,请再看例1. 解:原方程等价于)(log )(log 22a x ak x aa -=-,转化为考虑曲线)0(>-=y ak x y 与曲线)0(22>-=y a x y ,要使原方程有解,只须上半直线和上半双曲线有交点,由ak x y -=平行于双曲线一条渐近线x y =,如图,a ka <<0 或从而解得或a ak -<1)<<k 1-<k 时原方程有解. 对例5也可有如下解法.原不等式等价于).(log 3)2(1log 3)2(12a x x a na n --->--, 在同一坐标系中作y=x(y>0),)0(2>-=y a x y 的图象.由图象知a x >,由求得交点P x x =2横坐标为2141++=a x ,2141+-=a x (舍)当n 为奇数时,由03)2(1>--n知)(log log 2a x x a a ->因a>1由图象知2141++<<a x a . 当n 为偶数时,由03)2(1<--n知)(log log 2a x x a a -<因a>1,由图象知2141++>a x . 仿上方法同理可求解例2,这里从略.步骤:①把原不等式(方程)等价变形为)),()()(()(x g x f x g x f =>②作出)(x f y =与)(x g y =图象,③由)()(x g x f =求交点,④由图象及函数性质确定范围,从而求解.6.分离参数(主次转化)更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4.解:将原不等式变形为,021l og )22(3222>++-+aa x x x ,01)1(2222>+-=+-x x x 1)1(321log 222+-->+∴x x a a , 又对于任意R x ∈,01)1(322≤+--x x ,因此必须且只须,021log 2>+a a 即,121>+aa 解之0<a<1. ∴所求a 的取值范围为0<a<1. 例7 设其中a 是实,)1(321lg)(n an n x f x x x x +-++++= 数,2,≥∈n N n ,如果当)1,(-∞∈x 时,)(x f 有意义,求a 的取值范围. (1990年全国高考试题)解:由题设知时不)1,(-∞∈x 等式0)1(321>+-++++a n n x x x x 恒成立,即])1()3()2()1[(xx x x nn nn n a -++++-> 恒成立. 令])1()3()2()1[()(xx x x nn n n n x -++++-= ϕ,)1,(-∞∈x 时为增函数.因此x=1时21)121()(max nn n n n x -=-+++-= ϕ. )(x a ϕ> 恒成立,21na ->∴. 仿上述解法可对例1再给出如下两个解法:解法1 以k 为主参数考虑由)1(22k a kx +=,知ax k k =+212,a x x f =)(在),(+∞ak 为增函数,故k a xx f >=)(即k kk >+212,解之1-<k 或.10<<k解法2 以a 为主参数,由知k 与x 同0122>+=k kxa 号,代入0>-ak x 知2212k x k x +>①当x>0时,则k>0,故1011222<<⇒<+k k k ②当x<0时,则k<0,故111222-<⇒>+k k k 综上可知)1,0()1,( --∞∈k .分离参数一般步骤为:①将含参数t 的关于x 的方程或不等式变形为g (t)与 )(x ϕ的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数的取值范围)(x ϕD,③由D 以及g(t)与的相等与不)(x ϕ等关系确定为g (t)的取值范围,从而求出参数t 的范围. 说明:这里①是前提,②是关键从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.。
初中高中三角函数公式大全
初高中三角函数公式大全三角函数公式倍角公式tan2A = 2 1 tan 2ASin2A=2SinA?CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA) 33cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan( 3 +a)·tan( 3 -a) 两角和公式 sin(A+B) = sin(A-B)=cos(A+B) sinAcosB+cosAsinBsinAcosB-cosAsinB = cosAcosB-sinAsinB cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = tanA tanB1- tanAtanBtan(A-B) = tanA tanB1 tanAtanBcot(A+B) cotAcotB -1 cotB cotAcot(A-B)=cotAcotB 1 cotB cotA半角公式cot( A )= 1 cosA2 1 cosAA 1 cosA sinA tan( )= = 2 sin A 1 cosAcos( 2A )= 1 cosA2 tan( 2A )= 1 cosA1 cosA和差化积a b a b sina+sinb=2sin cos 22a b a b sina-sinb=2cos sin 22 a b a b cosa+cosb = 2cos cos 22 a b a b cosa-cosb = -2sin sin 22 sin(a b) tana+tanb=cosa cosb积化和差sinasinb = 1- [cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb1= [cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 1[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 1[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = - sina cos(-a) = cosasin( -a) = cosa cos( -a)2= sinasin( +a)2= cosa cos( +a) = -sinasin( -πa) = sinacos( π-a) = -cosasin( π +a)- s=i na cos( π +a) -=c osa sina tgA=tanA cosa万能公式sina= a 2 1 (tan ) 2 2a 21 (tan 2a )2 cosa= 21 (tan a ) 22 a 2tan2 tana= a 2 1 (tan )2 2其它公式b a?sina+b?cosa= (a 2b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= ] a2 2 a a?sin(a-)b?cos(a) = (a 2 b 2) ×cos(a-c) [其中 tan(c)= ] b a a 2 1+sin(a) =(sin +cos )2 a a 2 1-sin(a) = (sin -cos )2其他非重点三角函数双曲函数a -a sinh(a)= e - e2a -acosh(a)=e 2e tg h(a)=c s o in s h h ((a a ))三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b| ≤|a|+|b-|b ||a ≤|a|+|b| |a| -≤b ≤b<a=≤>b|a-b| ≥ |-a|b|| -|a| ≤ a ≤ |a|csc(a) = 1 sina sec(a) = cosa2tan a 2一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根ctg(A/2)= √((1+cosA)/(-(c1osA)) ctg(A/2)=- √ ((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9⋯+ +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+⋯+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+⋯+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+⋯n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ ⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：( a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*r a 是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L 是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共 4 组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1) anA+tanB+tanC=tanA ta·nB ·tanC(2) sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3) cosA+cosB+cosC=4sin(A/2) sin(·B/2) si·n(C/2)+1(4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinA sin·B ·sinC(5) cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1已知sin α=m sin( α+2β), |m求|＜证1, tan( α+β)=(1+m)-/(m1)tan β 解:sin α=m sin( α+2β)sin(a+ -β )=msin(a+ β +β )sin(a+ β )co-scoβs(a+ β)sin β =msin(a+ β)cos β +mcos(a+β )sin βsin(a+ β )cos-βm)(=1cos(a+ β)sin β (m+1)tan( α +β )=(1+m-)/m(1)tan β三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)= √(-(c1osA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)= √((1+cosA)/2) cos(A/2-)√= ((1+cosA)/2) tan(A/2)= √-(c(1osA)/((1+cosA)) tan(A/2)=- √((1-cosA)/((1+cosA))公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α） cos （2k π＋α） tan （2k π＋α） cot （2k π＋α）= sin α= cos α= tan α= cot α公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= cos （π＋α）= -sin α-cosα tan （π＋α）= tan αcot （π＋α）= cot α 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sin α cos（- α）= cos α32tan （-α）= -tan α cot （-α）= -cot α 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （ cos tan （ cot （ 公式五：利用公式 -和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sin cos （2π-α） tan （2π-α） cot （2π-α） 公式六： ±α及32 π-α) π-α) π-α) π-α) = sin α = -cos α = -tan α = -cot α= cos = -tan = -cot α的三角函数值之间的关系： cot +α) = cos +α) = -sin +α) = -cot +α) = -tan-α)= cos-α) = sin -α) cot -α) tan ±α与 2 sin cos ( tan cotsin cos ( tan 2 2 2 2 2 2 2 sin cos ( tan cot2 3 +α)= -cos 2 3 +α)= sin 2 3 +α)= -cot 2 3 +α)= -tan 2 sin -α)= -cos α3 cos（-α）2tan（3 -α）2cot（3 -α）2 = -sin α= cot α= tan α(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A?sin( ωt+θ)+ B?sin( ω t+A2φ )B =2 2 ABcos( )×t arcsin［（Asin Bsin ）sin2 2A2 B2 2ABcos（）。
三角函数公式大全关系
三角函数公式大全关系：倒数tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例
1 1 1 S 5 , S 3 与 S 4 的等差中项为 1,求等差数列 an 的通项 an .(1997 年全国高考 5 3 4
文科)
解
设 an 的通项为 an a1 (n 1)d , 前 n 项和为 S n na1
n(n 1) d. 2
1 1 1 2 3 S3 4 S 4 ( 5 S5 ) 由题意知 , 1 1 S3 S 4 2 4 3 3 2 1 43 1 5 4 2 1 ( 3 a d ) ( 4 a d ) ( 5 a d) 1 1 1 3 2 4 2 25 2 即 1 3 2 1 43 (3a1 d ) (4a1 d) 2 2 4 2 3
r 1 tg csc x cos
y cos tg r
x sin ctg r
r 1 ctg sec y sin
⑵倒数关系： sin csc cos sec tg ctg 1 ⑶平方关系： sin 2 cos2 sec2 tg 2 csc2 ctg 2 1 ⑷ a sin b cos
+ cos + sin + ctg + tg + cos - sin - cos - cos - sin - ctg - tg
2 3 2 3 2
+ ctg + tg - tg
+ sin - ctg
⒐和差角公式
① sin( ) sin cos cos sin ③ tg ( )
12 3a1d 5d 2 0 d 0 d , 化简可得 解得 或 5 5 2a1 d 2 a1 1 a 4 1 2
数学函数公式大全
数学函数公式大全一、代数函数1. 线性函数：y = ax + b，其中a和b是常数，x是自变量。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，x是自变量。
3. 三次函数：y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d是常数，x是自变量。
4. 指数函数：y = a^x，其中a是常数，x是自变量。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a是常数，x是自变量。
二、三角函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其中x是自变量。
2. 余弦函数：y = cos(x)，其中x是自变量。
3. 正切函数：y = tan(x)，其中x是自变量。
4. 余切函数：y = cot(x)，其中x是自变量。
5. 正割函数：y = sec(x)，其中x是自变量。
6. 余割函数：y = csc(x)，其中x是自变量。
三、反三角函数1. 反正弦函数：y = arcsin(x)，其中x是自变量。
2. 反余弦函数：y = arccos(x)，其中x是自变量。
3. 反正切函数：y = arctan(x)，其中x是自变量。
4. 反余切函数：y = arccot(x)，其中x是自变量。
5. 反正割函数：y = arcsec(x)，其中x是自变量。
6. 反余割函数：y = arccsc(x)，其中x是自变量。
四、双曲函数1. 双曲正弦函数：y = sinh(x)，其中x是自变量。
2. 双曲余弦函数：y = cosh(x)，其中x是自变量。
3. 双曲正切函数：y = tanh(x)，其中x是自变量。
4. 双曲余切函数：y = coth(x)，其中x是自变量。
5. 双曲正割函数：y = sech(x)，其中x是自变量。
6. 双曲余割函数：y = csch(x)，其中x是自变量。
数学函数公式大全五、积分函数1. 不定积分：∫f(x)dx，其中f(x)是函数，x是自变量。
2. 定积分：∫a^bf(x)dx，其中f(x)是函数，a和b是积分区间。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全高中三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+倍角公式 tan2A =A tan 12tanA2-Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角公式 sin(2A )=2cos 1A- cos(2A )=2cos 1A+ tan(2A )=A Acos 1cos 1+- cot(2A )=A Acos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A Acos 1sin +和差化积 sina+sinb=2sin 2ba +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2ba +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2ba +sin 2ba - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a acos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2aa-其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b]a •sin(a)-b •cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a)21-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2其他非重点三角函数 csc(a) =a sin 1sec(a) =a cos 1双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）= sin αcos （2k π＋α）= cos αtan （2k π＋α）= tan αcot （2k π＋α）= cot α公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sin αcos （π＋α）= -cos αtan （π＋α）= tan αcot （π＋α）= cot α公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sin αcos （-α）= cos αtan （-α）= -tan αcot （-α）= -cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sin αcos （π-α）= -cos αtan （π-α）= -tan αcot （π-α）= -cot α公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sin αcos （2π-α）= cos αtan （2π-α）= -tan αcot （2π-α）= -cot α公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cos αcos （2π+α）= -sin αtan （2π+α）= -cot αcot （2π+α）= -tan αsin （2π-α）= cos αcos （2π-α）= sin αtan （2π-α）= cot αcot （2π-α）= tan αsin （23π+α）= -cos αcos （23π+α）= sin αtan （23π+α）= -cot αcot （23π+α）= -tan αsin （23π-α）= -cos αcos （23π-α）= -sin αtan （23π-α）= cot αcot （23π-α）= tan α(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ)+B •sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................部分证明已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ11天道酬勤。
三角函数公式
sin()(1)sin k k παα+=-cos()(1)cos k k παα+=-tan()tan k παα+=三角函数公式公式一：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα (k ∈z) 公式二：sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -ta nα 公式四：sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα 公式五：sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα 公式六：sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sin αsin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinαsin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinαsin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -si nα两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA +-倍角公式Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2Atan2A =Atan 12tanA2- 补充诱导公式(k ∈z)222222sin cos (sin cos )a b a x b x a b x x a b a b +=+⋅+⋅++三角函数的图像与性质一、知识要点1．函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质．性质y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x一周期简图最小正周期 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间 Z ∈+-k k k ],2ππ2,2ππ2[ [2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z Z ∈+k k k ],2ππ,2π－π[ 上是增函数 减区间 Z ∈+-k k k ),23ππ2,2ππ2( [2k π，2k π＋π]，k ∈Z 对称性对称轴 Z ∈+=k k x ,2ππ x ＝k π，k ∈Z对称中心Z ∈k k ),0,2π( 对称 中心 (k π，0)，k ∈ZZ ∈+k k ),0,2ππ( 2．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ． 频率是2f ωπ=，相位是ωx ＋φ，初相是φ。
高中数学三角函数和数列公式
三角函数、解三角形三角函数的图像：-11y=sinx-2π2π3π/2ππ/2-3π/2-π-π/2oyx-11y=cosx-2π2π3π/2ππ/2-3π/2-π-π/2oyx同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin .正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）两角和与差公式：（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.二倍角公式： （1） sin 2sin cos ααα=.（2）2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.（3）22tan tan 21tan ααα=-. 公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+=三角函数的周期：（1）函数sin()y x ωϕ=+，cos()y x ωϕ=+，x ∈R 的周期2T πω=；（2）函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈的周期T πω=. 辅助角公式： )sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===.::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-; 2222c o s b c a c a B=+-; 2222cos c a b ab C =+-.三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.数列等差数列：通项公式：（1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。