必修四4.平面向量的数量积(教案)

2、4 平面向量得数量积

教案Ａ

第１课时

教学目标

一、知识与技能

1．掌握平面向量得数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;

３.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;

二、过程与方法

本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.

三、情感、态度与价值观

通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.

教学重点、难点

教学重点:平面向量数量积得定义．

教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、

教学关键:平面向量数量积得定义得理解.

教学方法

本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.

学习方法

通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算．

教学准备

教师准备: 多媒体、尺规、

学生准备：练习本、尺规、

教学过程

一、创设情境,导入新课

在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力Ｆ得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算:

W=｜F | | ｓ｜cosθ,

其中θ就是Ｆ与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量).

故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.

二、主题探究,合作交流

提出问题

①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?

②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得

乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律?

师生活动：已知两个非零向量ａ与b，我们把数量|ａ||b｜cｏsθ叫做a与ｂ得数量积（或内积)，记作a·b，即

a·b=|a||b|coｓθ（0≤θ≤π).

其中θ就是a与b得夹角,|a|ｃosθ(|b|cｏsθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.

在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:

(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量，它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;

(2）零向量与任一向量得数量积为0,即a·0＝０；

（3)符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替；

(４）当0≤θ<时cosθ>0,从而ａ·ｂ>0;当<θ≤π时,coｓθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积得运算律.

已知a、b、c与实数λ，则向量得数量积满足下列运算律：

①a·b=b·a(交换律);

②（λa)·b=λ(a·b）＝a·（λb)(数乘结合律）；

③(a+b)·c=ａ·c+b·c(分配律）.

特别就是:（1)当a≠0时，由ａ·b=0不能推出b一定就是零向量.这就是因为任一与ａ垂直得非零向量b,都有ａ·b=0．

注意：已知实数ａ、ｂ、c(b≠０）,则aｂ=bca=c.但对向量得数量积,该推理不正确,即a·ｂ=b·ｃ不能推出a=ｃ.由上图很容易瞧出,虽然a·ｂ＝ｂ·c,但a≠ｃ．对于实数a、ｂ、ｃ有(a·b)c＝a(ｂ·c);但对于向量a、b、ｃ,(a·b）ｃ＝a（b·ｃ)不成立．这就是因为(a·b)c表示一个与c共线得向量,而ａ(b·c)表示一个与a共线得向量，而ｃ与a不一定共线，所以(a·b）c=a(b·ｃ)不成立.

提出问题

①如何理解向量得投影与数量积?它们与向量之间有什么关系？

②能用“投影”来解释数量积得几何意义吗？

师生活动:教师引导学生来总结投影得概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量得数量积得定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性得总结,提出注意点“投影”得概念,如下图.

定义:|ｂ|coｓθ叫做向量b在a方向上得投影.并引导学生思考、

A、投影也就是一个数量,不就是向量;

Ｂ、当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|ｂ|．

教师结合学生对“投影”得理解,让学生总结出向量得数量积得几何意义:

数量积a·ｂ等于a得长度与ｂ在a方向上投影｜ｂ|cosθ得乘积.

让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零,所以我们说向量得数量积得结果就

是一个实数.教师与学生共同总结两个向量得数量积得性质:

设a、ｂ为两个非零向量,θ为两向量得夹角，e就是与ｂ同向得单位向量.

Ａ、ｅ·a＝a·e=|ａ｜coｓθ.

Ｂ、a⊥ba·ｂ=0．

C、当a与b同向时,ａ·b＝|a||ｂ|；当a与b反向时,a·b=-|ａ||b|.

特别地a·a＝｜ａ|２或|a|=.

Ｄ、cosθ=.

E、｜a·b｜≤|ａ||b|．

上述性质要求学生结合数量积得定义自己尝试推证,教师给予必要得补充与提示，在推导过程中理解并记忆这些性质.

讨论结果:

①略．

②向量得数量积得几何意义为数量积ａ·b等于a得长度与b在a方向上投影|ｂ|co ｓθ得乘积.

三、拓展创新,应用提高

例1 已知|a｜=5,|b|＝4,ａ与b得夹角为1２0°，求a·b

活动:教师引导学生利用向量得数量积并结合两向量得夹角来求解．解:a·b=|ａ||b｜cosθ

=5×4×ｃｏs120°

=５×４×()

=-１０.

点评: 确定两个向量得夹角，利用数量积得定义求解.

例 2 我们知道,对任意a,ｂ∈R,恒有(ａ+ｂ)2=ａ2+2ab+ｂ２,（ａ+b）（a-b)=ａ2-b2.对任意向量a、b,就是否也有下面类似得结论?

（1)(a+b)2=ａ２＋2a·b+b2；

(２）(a＋b）·（ａ-b）=a2-b2．

解:(1)(a+b)2=(a+b）·（a＋b)

=ａ·b＋ａ·b+b·a＋b·b

＝ａ2＋２a·b＋ｂ2;

(2）(a+b）·(ａ-b)=a·a-a·b+b·a-b·b

=a２-ｂ2.

例3已知|ａ|=6,|b|=4，a与b得夹角为６0°，求(ａ+2b)·(ａ-3b)．

解：(a＋2b)·（a－3b)=a·a-ａ·b-6b·ｂ

=｜a|2－a·ｂ-6｜b|2

=|a|２-|a||b|cosθ－6｜ｂ|２

＝6２-6×4×cos６0°-6×4２

＝－72．

例4已知|ａ|＝3,｜b｜=4，且a与b不共线,当k为何值时，向量a+k b与a－ｋb互相垂直？