高中数学几个常用函数的导数
高中数学导数公式
高中数学导数公式高中数学导数是一个重要的概念，它主要用来描述函数在各个点的变化率。
在实际应用中，导数可以用来求解最值、曲线的切线以及函数的极值等问题。
本文将介绍高中数学中常用的导数公式，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
1.常函数的导数：常函数是指函数的值在定义域的所有点上都相等的函数。
对于常函数y=c（c为常量），其导数为零。
这是因为所有点上的变化率都是相等的，即使在微小的区间内，函数的增量也为零。
2.幂函数的导数：幂函数是指以x为底的c次幂的函数，其中c是常数。
幂函数的导数仍然是一个幂函数，具体公式如下：y=x^c，则y'=c*x^(c-1)这一公式可以通过求导的定义以及幂函数的特性来推导。
3.指数函数的导数：指数函数是指以指数为底的x的函数，其中指数是常数。
指数函数的导数仍然是一个指数函数，具体公式如下：y = a^x，则y' = ln(a) * a^x这一公式可以通过求导的定义以及指数函数的特性来推导。
4.对数函数的导数：对数函数是指将指数函数的自变量和因变量互换的函数，其中底数是常数。
对数函数的导数仍然是一个对数函数，具体公式如下：y = log_a(x)，则y' = 1 / (ln(a) * x)这一公式可以通过求导的定义以及对数函数的特性来推导。
5.三角函数的导数：三角函数是指正弦函数、余弦函数以及正切函数等。
三角函数的导数具有以下通用的公式：a.正弦函数的导数：y = sin(x)，则y' = cos(x)b.余弦函数的导数：y = cos(x)，则y' = -sin(x)c.正切函数的导数：y = tan(x)，则y' = sec^2(x)这些公式可以通过求导的定义以及三角函数的特性来推导。
需要注意的是，上述的导数公式仅适用于常函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
其他函数的导数需要通过一些特殊的方法来求解，在高等数学中会有更多的讨论。
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
高中数学《几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案
3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．几个常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝□010f(x)＝x f′(x)＝□021f(x)＝x2f′(x)＝□032xf(x)＝1xf′(x)＝□04－1x2f(x)＝x f′(x)＝□0512x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝□06αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝□07cos xf(x)＝cos x f′(x)＝□08－sin xf(x)＝a x f′(x)＝□09a x ln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝□10e xf(x)＝log a x f′(x)＝□111x ln a(a>0且a≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝□121x3．导数的运算法则 设两个函数分别为f (x )和g (x )两个函数的 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝□13f ′(x )＋g ′(x ) 两个函数的 差的导数 [f (x )－g (x )]′＝□14f ′(x )－g ′(x ) 两个函数的 积的导数 [f (x )·g (x )]′＝□15f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的 商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□16f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f 1±f 2±…±f n )′＝□17f 1′±f 2′±…±f n ′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的求导公式可分为四类(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y′＝(a x)′＝a x·ln a，当a＝e时，e x的导数是(a x)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(log a x)′＝1x·ln a，也可记为(log a x)′＝1x·log a e，当a＝e时，ln x的导数也是(log a x)′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.()(3)若f(x)＝x32，则f′(x)＝32x.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)⎝⎛⎭⎪⎫1x3′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x则f′(x)－g′(x)＝________.答案(1)－3x4(2)2x ln 2(3)3x2－1x ln 3探究1利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝5x3；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2x2；(5)f(x)＝e x＋1e x－1.[解](1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25＝355x2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x . (5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x－1)2＝－2e x (e x－1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)当函数解析式能化简时，要先化简再求导．(2)当函数解析式能变形时，可以先变形再求导，要注意，变形的目的是为了求导更简单，如果变形后求导并不简单，那就不要变形，直接求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x －23 )′＝－23·x －23 －1 ＝－23·x －53(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]因为(e x)′＝e x，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．因为切线过原点，所以－e x0＝－x0·e x0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究]已知点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x＝1.y′＝(e x)′＝e x，e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x＝2x0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12， 所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.探究3 导数计算的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，即f (2)＝12.由f ′(x )＝a ＋bx 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.所以所求解析式为f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，即切线与直线x ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0,2x 0)．故点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1， 则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去． 若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即c －b 2＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去． 综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单．例如，求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x32 ，再求y ′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．下列运算：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3.∴所给三个都不正确．2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3 D ．x 3＋3x ·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.5．已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝2x n －nx 2(n ≠0)，且f ′(2)＝0，则n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由已知得f ′(x )＝2nx n －1－2nx .因为f ′(2)＝0，所以2n ·2n －1－2n ·2＝0，即n ·2n －4n ＝0.当n ＝2时，2×22－4×2＝0成立．故选B.2．已知f (x )＝1x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝( )A ．－25B ．－125 C.125 D ．25答案 B解析 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125.3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 答案 C解析 由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，∴x2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.4．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D ．1 答案 B解析 设切点为(x 0，y 0)，由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线方程得－12＝12＋b ，解得b ＝－1.故选B. 5．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 B解析 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－1，∴动点P 处的切线的斜率k ＝3x 20－1≥－1，∴tan α≥－1.又α∈[0，π)，∴0≤α<π2或3π4≤α＜π.二、填空题6．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ′＝－12·x －32 ，∴y ′|x ＝a ＝－12·a －32 ，∴在点(a ，a －12 )处的切线方程为y －a －12 ＝－12·a －32 ·(x －a )．令x ＝0，得y＝32a－12，令y ＝0，得x ＝3a ，由题意得a >0，∴12×3a ×32a －12＝18，解得a ＝64.7．已知f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝52x 4－92x 2＋1解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－92，c ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.8．已知f (x )＝x －2x ＋lg 2，则f ′(x )＝________.答案 12x －12－2x ln 2解析 因为f (x )＝x12 －2x＋lg 2，所以f ′(x )＝12x －12 －2x ln 2.注意(lg 2)′＝0，避免出现(lg 2)′＝12ln 10的错误．三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x .解 (1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x.10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y＋5＝0，求函数的解析式．解 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0，f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，①又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，f ′(－1)＝－12，f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，f ′(－1)＝－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，② 由①②解得，a ＝2，b ＝3(b ＋1≠0，b ＝－1舍去)． 所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.B 级：能力提升练1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2018(x )＝________.答案 －sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2018共2019个数，2019＝4×504＋3，所以f 2018(x )＝f 2(x )＝－sin x .2．已知函数f (x )＝x 2a －1(a >0)的图象在x ＝1处的切线l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 ∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a .又∵f (1)＝1a －1， ∴切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)． 分别令x ＝0，y ＝0得y ＝－1a －1，x ＝a ＋12， ∴三角形的面积为S＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a＋12＝14⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1.当且仅当a＝1a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.。
高中常用函数导数表
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
高中数学 同步学案 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
导数的计算第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P81～83,思考并完成以下问题1．函数y ＝c,y ＝x,y ＝x －1,y ＝x 2,y ＝x 的导数分别是什么？能否得出y ＝x n的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数函数导数 f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝1xf′(x)＝－1x 2f(x)＝xf′(x)＝12x[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础,都是通过导数的定义求得的,都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导． 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x(a>0且a≠1)f′(x)＝a xln_a f(x)＝e xf′(x)＝e x f(x)＝log a x(a>0且a≠1)f′(x)＝1xln af(x)＝ln xf′(x)＝1x[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若y ＝2,则y′＝12×2＝1( )(2)若f′(x)＝sin x,则f(x)＝cos x( ) (3)f(x)＝1x 3,则f′(x)＝－3x 4( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝0,则y′＝0B ．若y ＝5x,则y′＝5C ．若y ＝x －1,则y′＝－x －2D ．若y ＝x 12,则y′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3,则y′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：y ＝x ＋1利用导数公式求函数导数[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x；(5)y ＝log 5x.[解] (1)y′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y′＝(3x)′＝3x ln 3. (5)y′＝(log 5x)′＝1xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式．[活学活用] 求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x.解：(1)y′＝(lg x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln 10′＝1xln 10.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2.(3)y′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x.(4)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 13x ′＝1xln 13＝－1xln 3.导数公式的综合应用[典例] (1)曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y ＝x 在点(2,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a ＝( ) A.22B.24C ．－2 2D ．2 2[解析] (1)因为y′＝－sin x,切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12, 所以切线的斜率k ＝y′|x＝π3＝－sin π3＝－32, 所以切线方程为y －12＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3,令x ＝0,得y ＝12＋3π6,故选C.(2)因为y ＝x ＝x 12,所以y′＝12x －12＝12x ,所以切线的斜率k ＝y′|x ＝2＝122,由已知,得－a ＝－22,即a ＝22,故选D. [答案] (1)C (2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤1．曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )A.53B.89C.2512D.412解析：选C 可求得y′＝23x －13,即y′|x ＝1＝23,切线方程为2x －3y ＋1＝0,与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0, 与x ＝2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53, 围成三角形面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12×53＝2512.2．当常数k 为何值时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A(x 0,x 20＋k)．∵y′＝2x,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切,且切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 12.层级一 学业水平达标1．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f′(x)＝a x ln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3,故f′(－1)＝ln 33. 2．已知f(x)＝x 2·x,则f′(2)＝( ) A ．4 2B ．0 C. 2D ．5 2解析：选D 原函数化简得f(x)＝x 52,所以f′(x)＝52·x 32,所以f′(2)＝52×232＝5 2.故选D.3．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝－2,则α的值等于( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2,则f(x)＝x 2,∴f′(x)＝2x, ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4B ．2C ．16D ．8解析：选A ∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y′＝x 2,∴y′|x ＝1＝1,∴切线的倾斜角α满足tan α＝1,∵0≤α<π,∴α＝π4.6．已知f(x)＝1x ,g(x)＝mx,且g′(2)＝1f′2,则m ＝________.解析：∵f′(x)＝－1x 2,∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m,∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f′2,得m ＝－4.答案：－47．曲线y ＝ln x 在点M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴y′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e),即x －ey ＝0.答案：1ex －ey ＝08．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2,过第一象限的点(a,a 2)作抛物线C 的切线l,则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a,a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点, ∵y′＝2x,∴直线l 的方程为y －a 2＝2a(x －a)． 令x ＝0,得y ＝－a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,－a 2)． 答案：(0,－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y′＝(log 3x)′＝1xln 3.(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e 2)′＝0.10．已知P(－1,1),Q(2,4)是曲线y ＝x 2上的两点, (1)求过点P,Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x,P(－1,1),Q(2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y′|x ＝－1＝－2, 过Q 点的切线的斜率k 2＝y′|x ＝2＝4,过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1),即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2),即4x －y －4＝0. (2)因为y′＝2x,直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1,切线的斜率k ＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12,所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14, 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12,即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t,则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523 B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s′＝15t －45.∴当t ＝4时,s′＝15·1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x ＞0)的一条切线,则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y′＝1x ,∴令1x ＝12,得x ＝2,∴切点为(2,ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b,得b ＝ln 2－1.3．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1)解析：选D 因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1,即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1,则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)． 4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1,得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1,∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0,得x n ＝n n ＋1, ∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×nn ＋1＝1n ＋1, 故选B. 5．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________. 解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x ,所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1.答案：16．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2, 又∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴1x ＝2,解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝07．已知曲线方程为y ＝f(x)＝x 2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0,x 20)． ∵y ＝x 2,∴y′＝2x,∴k ＝f′(x 0)＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B(3,5)代入上式,得5－x 20＝2x 0(3－x 0), 即x 20－6x 0＋5＝0,∴(x 0－1)(x 0－5)＝0,∴x 0＝1或x 0＝5, ∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5), 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x 0,y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a2x 20(x －x 0)．令x ＝0,得y ＝2a2x 0；令y ＝0,得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
高中常用导数公式大全
高中常用导数公式大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在高中数学学习中，导数公式是必须掌握的知识点。
本文将为大家总结高中常用的导数公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。
1. 常数函数的导数。
对于常数函数 f(x) = C，其中 C 为常数，其导数为 f'(x) = 0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率恒为零，即变化率为零。
2. 幂函数的导数。
幂函数 f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2 的导数为 f'(x) = 2x。
3. 指数函数的导数。
指数函数 f(x) = a^x（其中 a 为常数且 a>0, a≠1）的导数为 f'(x) = a^x ln(a)。
这是指数函数导数的特殊性质。
4. 对数函数的导数。
对数函数 f(x) = log_a(x)（其中 a 为常数且 a>0, a≠1）的导数为 f'(x) = 1 / (xln(a))。
对数函数的导数也是其特殊的性质。
5. 三角函数的导数。
常见的三角函数包括正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数 tan(x) 等，它们的导数分别为 cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
这些导数公式是高中数学中需要牢记的知识点。
6. 反三角函数的导数。
反三角函数包括反正弦函数 arcsin(x)、反余弦函数 arccos(x)、反正切函数arctan(x) 等，它们的导数分别为 1 / √(1-x^2)、-1 / √(1-x^2)、1 / (1+x^2)。
这些导数公式也是高中数学中的重要内容。
7. 基本导数法则。
在求导数时，我们需要掌握基本的导数法则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则、商数法则等。
这些法则是求导数过程中的基础，也是高中数学中的重点内容。
8. 链式法则。
对于复合函数，我们需要使用链式法则来求导数。
求导公式大全
求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。
2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。
高中生常用的12个数学求导公式
高中生常用的12个数学求导公
式
高中数学中经常用到求导公式。
一般只要涉及到函数问题，求导是必不可少的。
求导时一定要用到一些导数公式，但是很多同学经常反映记不住这些公式。
今天潘老师整理了这些导数公式，方便学生学习。
让我们一起学起来吧！
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1 x^2
12.y=arccotx y'=-1/1 x^2
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高中常用导数公式有哪些
高中常用导数公式有哪些一、常见的导数公式1. 常数函数的导数公式对于常数函数f(f)=f，其中f为常数，则它的导数为$\\frac{d}{dx} c = 0$。
2. 幂函数的导数公式对于幂函数f(f)=f f，其中f为任意实数，则它的导数为$\\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$。
3. 指数函数的导数公式对于指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0,f≠1，则它的导数为$\\frac{d}{dx} a^x = a^x \\ln(a)$。
4. 对数函数的导数公式对于对数函数$f(x) = \\log_a(x)$，其中f为常数且f>0,f≠1，则它的导数为$\\frac{d}{dx} \\log_a(x) =\\frac{1}{x \\ln(a)}$。
5. 三角函数的导数公式•正弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\sin(x) = \\cos(x)$•余弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\cos(x) = -\\sin(x)$•正切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\tan(x) = \\sec^2(x)$•余切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\cot(x) = -\\csc^2(x)$6. 反三角函数的导数公式•反正弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arcsin(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•反余弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arccos(x) = \\frac{-1}{\\sqrt{1-x^2}}$•反正切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arctan(x) = \\frac{1}{1+x^2}$二、导数的性质1.导数的和与差如果f(f)和f(f)都在某一点可导，则(f+f)′(f)=f′(f)+f′(f)，(f−f)′(f)=f′(f)−f′(f)。
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)讲义
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝□18mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x)′＝a x·ln a ，当a ＝e 时，e x的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x·log a e ，当a＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x)′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35 )′＝35x － 25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5. (3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝x ＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.解法二：因为f (x )＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝x－－x －x －2＝－2e xx －2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x2；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x＝x 2e x(3＋x )． (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. 探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，所以所求切线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)．因为切线过原点，所以－ex 0＝－x 0·ex 0，x 0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.y ′＝(e x )′＝e x，ex 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′| x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 探究3 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即b 2－2b 2＋c ＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1， 即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x 32 ，再求y ′＝32x 12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f (x )＝5，则f ′(1)等于( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 C解析 因为f (x )＝5，所以f ′(x )＝0，所以f ′(1)＝0. 2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，∴f ′(x )＝3x 2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1. 5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。
求导基本公式高中
求导基本公式高中
求导是微积分中的重要概念，对于高中数学来说，掌握基本的求导公式是必要的。
以下是一些常用的求导公式：
1. 常数函数的导数：对于常数函数 y = C，其导数为 0，即 dy/dx = 0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数 y = x^n，其导数为 n x^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数 y = e^x，其导数为 e^x。
4. 对数函数的导数：对于对数函数 y = ln(x)，其导数为 1/x。
5. 正弦函数的导数：对于正弦函数 y = sin(x)，其导数为 cos(x)。
6. 余弦函数的导数：对于余弦函数 y = cos(x)，其导数为 -sin(x)。
7. 正切函数的导数：对于正切函数 y = tan(x)，其导数为 sec^2(x)。
8. 反三角函数的导数：对于反三角函数 y = arcsin(x)，其导数为 1/sqrt(1-x^2)；对于反三角函数 y = arccos(x)，其导数为 -1/sqrt(1-x^2)；对于反三角函数 y = arctan(x)，其导数为 1/(1+x^2)。
以上是高中数学中常用的求导公式，掌握这些公式对于解决一些复杂的数学问题非常有帮助。
高中数学公式大全导数的计算与应用公式
高中数学公式大全导数的计算与应用公式高中数学公式大全：导数的计算与应用公式1. 导数的定义与计算在微积分中，导数是用来描述函数变化率的重要工具。
对于函数f(x)，导数可以用极限来定义，并可以使用以下公式进行计算：(1) 一阶导数：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h(2) 高阶导数：f''(x) = (d/dx) [f'(x)](3) 链式法则：若函数f(x)和g(x)都可导，则复合函数 (f(g(x))) 的导数可以计算为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)2. 常用导数公式(1) 常数函数导数：如果f(x)是一个常数c，则f'(x) = 0(2) 幂函数导数：对于函数f(x) = x^n，其中n是实数常数，则f'(x) = n * x^(n-1)(3) 指数函数导数：对于函数f(x) = a^x，其中a是常数且a>0且a≠1，则f'(x) = a^x * ln(a)(4) 对数函数导数：对于函数f(x) = log_a(x)，其中a是常数且a>0且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))(5) 三角函数导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)cot'(x) = -csc^2(x)sec'(x) = sec(x) * tan(x)csc'(x) = -csc(x) * cot(x)3. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域。
(1) 切线与法线：导数可以用来求解函数在某一点的切线和法线。
函数在某一点的导数即为该点切线的斜率，法线的斜率为切线斜率的负倒数。
(2) 极值点与拐点：通过求解函数的导数为零的点，可以判断函数的极大值和极小值。
高中数学同步学案 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一教师用书
3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 学 习 目 标核 心 素 养1.能根据定义求函数y ＝c,y ＝x,y ＝x 2,y ＝1x ,y＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数,培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f ′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝1xf′(x)＝－1x2思考：根据上述四个公式,你能总结出函数y ＝x α的导数是什么吗？ [提示] 若y ＝x α,则y′＝αx α－1.2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a xf′(x)＝a xln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1xln a(a>0,且a≠1)f(x)＝ln xf′(x)＝1x1．函数f(x)＝0的导数是( ) A ．0 B ．1 C ．不存在D ．不确定A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0,故选A ．] 2．下列结论正确的个数为( ) ①f(x)＝ln 2,则f′(x)＝12；②g(x)＝cos x,则g′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12； ③h(x)＝2x,则h′(x)＝2xln 2； ④φ(x)＝log 5x,则φ′(x)＝1xln 5. A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [对①,f ′(x)＝(ln 2)′＝0；对②,g′(x)＝－sin x,g′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12；对③,h′(x)＝2x·ln 2；对④,φ′(x)＝1xln 5.故选D ．] 3．求下列函数的导数．(1)(2x)′＝________；(2)(log 3 x)′＝________；(3)(sin 30°)′＝________；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝________. [答案] (1)2xln 2 (2)1xln 3 (3)0 (4)－4x5利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝5x 3；(3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝3x.[解] (1)y′＝(x 12)′＝12x12－1＝12x 11.(2)y′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.(3)∵y＝2sin x 2cos x2＝sin x,∴y′＝cos x.(4)y′＝(log 12x)′＝1xln12＝－1xln 2.(5)y′＝(3x)′＝3xln 3.用导数公式求函数导数的方法1若所求函数是基本初等函数,则直接利用公式求解. 2对于不能直接利用公式的类型,关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式,如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练] 求下列函数的导数：(1)y ＝5x ；(2)y ＝－1x 5；(3)y ＝ln 3；(4)y ＝x x 3.[解] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5. (2)y′＝－(x －5)′＝5x －6＝5x 6.(3)y′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y＝x x 3,∴y＝x 52,∴y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52′＝52x 52－1＝52x 32＝5x x2.利用导数公式求曲线的切线方程【例2】 已知点P(－1,1),点Q(2,4)是曲线y ＝x 2上两点,求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [思路点拨] 直线PQ 的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程． [解] 因为y′＝(x 2)′＝2x,设切点为M(x 0,y 0),则y′|x＝x 0＝2x 0,又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1,而切线平行于PQ,所以k ＝2x 0＝1,即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12,即4x －4y －1＝0.1．本例中,是否存在与直线PQ 垂直的切线？若存在,求出切线方程,若不存在,说明理由．[解] 假设存在与直线PQ 垂直的切线,因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1,所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1, 设切点为(x 1,y 1), 则y′|x＝x 1＝2x 1,令2x 1＝－1,则x 1＝－12,y 1＝14,切线方程为y －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12,即4x ＋4y ＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y ＝ln x,试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a,b), 因为k PQ ＝1,则由f′(a)＝1a＝1,得a ＝1,故b ＝ln 1＝0,则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1,即x －y －1＝0.解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用： 1切点处的导数是切线的斜率； 2切点在切线上；3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式．解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x,所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化．1．判断正误(1)(log 3π)′＝1πln 3.( ) (2)若f(x)＝1x,则f′(x)＝ln x ．( ) (3)因为(sin x)′＝cos x,所以(sin π)′＝cos π＝－1.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线,则k ＝________. 1e [y′＝(ln x)′＝1x ,则1x ＝k. 所以x ＝1k ,所以y ＝k×1k＝1.所以曲线y ＝ln x 过点1k ,1,即1＝ln 1k ,所以k ＝1e.]3．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为__________．x －y ＋1＝0 [y′＝e x,y′|x ＝0＝e 0＝1,故切线方程为y －1＝x,即x －y ＋1＝0.]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y ＝x －3相切,求a,b,c 的值． [解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1), 所以a ＋b ＋c ＝1.y′＝2ax ＋b,曲线在点(2,－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2,－1), 所以4a ＋2b ＋c ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a,b,c 的值分别为3,－11,9.。
高中基本导数公式16个
高中基本导数公式16个高中数学中，导数可是个相当重要的知识点，特别是那 16 个基本导数公式，就像是打开导数世界大门的钥匙。
咱先来说说这 16 个公式都有啥。
像常数的导数，那就是 0 啦。
比如说常数 5 的导数就是 0。
再看幂函数的导数，(x^n)' = nx^(n - 1) ，这可是个常用的公式。
比如 x²的导数就是 2x 。
还有指数函数的导数，(a^x)' = a^x * ln a ，特别是当 a = e 时，(e^x)' = e^x ，这 e 可是个神奇的数。
还有对数函数的导数，(logₐ x)' = 1 / (x * ln a) 。
三角函数的导数也很重要，(sin x)' = cos x ，(cos x)' = -sin x 。
给大家讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次上课，我给学生们讲这些公式，有个学生就一脸迷茫地看着我，说：“老师，这些公式感觉好复杂，记不住啊。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一个一个来，你就把它们想象成你的好朋友，多和它们打打交道，自然就熟悉啦。
”然后我就带着他们做练习题，通过实际的题目来理解和运用这些公式。
比如有一道题是求 y = 3x³ - 2x² + 5 的导数。
那我们就一个一个来，3x³的导数是 9x²， - 2x²的导数是 - 4x ，5 是常数，导数是 0 ，所以整个函数的导数就是 9x² - 4x 。
在解题的过程中，有些同学一开始会出错，但多练几次，慢慢就掌握了。
咱们再回到这 16 个基本导数公式，大家一定要牢记它们，因为这是进一步学习导数应用的基础。
比如说求函数的单调性、极值、最值等等，都离不开这些公式。
而且啊，这些公式不仅仅是为了应付考试，在实际生活中也有很多应用呢。
比如在研究物理中的位移、速度、加速度的关系时，导数就大有用处。
所以，同学们，可别小看这 16 个基本导数公式，好好掌握它们，为未来的学习打下坚实的基础！就像我跟那个一开始觉得记不住公式的同学说的，多和它们打交道，你会发现它们其实也没那么难，反而还挺有趣的呢！总之，高中数学的这 16 个基本导数公式是我们在数学学习道路上必须要攻克的一个小难关，只要我们用心去理解、去练习，就一定能够熟练掌握，让它们成为我们解题的得力工具！。
人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)． 得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知 曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a， 则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3， 那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名 称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华 求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲 线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设 出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符 号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自 然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的 倒数．
高中数学 第三章3.2.13.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 x.
3
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝(12)xln 12＝－(12)xln 2；
(3)∵y＝x
x＝
x
3 2
，∴y′＝32
x
1 2
；
(4)y′＝ 1 1＝－xln1 3. xln 3
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a (a>0) f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝ xln a(a>0 且 a≠1)
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问题 5 画出函数 y＝1x的图象.根据图象，描述它的变化情 况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 结答合案函数函图数象y＝及1x其的导图数象y如′图＝所－示x12，发现，当 x<0 时，随着 x 的增加，函数 y＝1x减少得越 来越快；当 x>0 时，随着 x 的增加，函数减少得越来越慢.
3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(一)
【学习要求】 1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
【学法指导】 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项
式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求 导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容 的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例.公式 5 与公式 7 中 ln a 的位置的不同等.
高中数学常用的导数公式有什么
高中数学常用的导数公式有什么高中数学常用的导数公式1、y=c(c为常数)y=02、y=x^ny=nx^(n-1)3、y=a^xy=a^xlna4、y=e^xy=e^x5、y=logaxy=logae/x6、y=lnxy=1/x7、y=sinxy=cosx8、y=cosxy=-sinx9、y=tanxy=1/cos^2x10、y=cotxy=-1/sin^2x11、y=arcsinxy=1/√1-x^212、y=arccosxy=-1/√1-x^213、y=arctanxy=1/1+x^214、y=arccotxy=-1/1+x^2如何提高数学成绩不论学什么学科，课前预习还是有必要的，因为课前预习可以让你大概了解一下老师下一节课上什么东西，我哪里不会，上课时有针对性的解决。
此外，上课要积极举手回答问题，我就是这样，一步步对数学有了浓厚的兴趣，学好数学的关键在于兴趣。
勤做笔记，把那些你经常错的题目、经典的题目和不会的题目进行一个归类，也就是题目相似的放在一起，这样有利于理解和看的清楚，理解对数学来说特别重要，什么公式我从来不记，只是平常在不断做题目理解，而不知不觉的记住了，关键在于，公式记住要会灵活运用，只有才能提高。
高考前怎么复习数学建议每天适当安排运算能力的练习，运算能力是一个长期积累的过程，不可速成。
有些同学在数学开考前一天还要认真做题，是有一定道理的，保持自己思维的活跃性。
所以每天适当安排数学的运算练习，在这个阶段能够维持运算技能的熟练即可。
在习题的选择方面，考生可以反复去练习真题，互联网的便利条件给考生提供了很多帮助，大家可以在网络上找一些题目新颖、样式新颖的模拟题型来做，如今数学科目在高考在各种形式上摒弃了“八股”化模式，题目变得非常灵活，高考实际主要落实的是基本知识、基本技能，新题型则是训练学生的考试应变能力。
做题之后，要加强反思。
同学们一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目，而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。
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x
0
x x0
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
1 B. 9
1 2、已知函数 f ( x) ，则 f (3)等于 x
(5) y e
2.D
达标训练三
1.(2011江西文)曲线 y e 在点A（0,1） 处的切线斜率为（ A ） 1
x
A.1
'
B.2
x
C.
e
D.
e
0
析：y e ,当x 0, k切 y / x0 e 1
0
小结: 基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
(2) y f ( x) x
x 1
2
(3) y f ( x) x
( x ) 2 x
2
一起做一做
1 求函数 y f ( x) 的导数。 x
猜想？ 当f ( x) x 时
n
f(x)=?
' n-1 归纳: 若f ( x) x n , 则 f(x)=nx (
'
3.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在点x0处的导数,就是曲线y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
动手做一做
请同学们求出下列函数的导数:
y 解 : y f ( x) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x (1) y f ( x) C(C为常数 ) y f ( x) C lim 0. x 0 x
达标训练二
1.写出下列函数的导数 （1）y=cosx；（2)y=sinx;(3) y=2x ;(4)y=lnx； （5） y=ex
1 D. 1 D. A.4 9 4 答案:1. (1) y sin x (2) y cos x 1 x (3) y 2 ln 2 (4) y x x
(1) y x
15
我们今后可以直接使用的 基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
3.2.1 几个常用函数的导数
一.知识回顾
1.函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,
y | x x0 = f ( x0 ) lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) x 0 x x
n R)
达标训练一
看谁做得快
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1.求下列函数的导数:
y ' 15 x 4 3 (2) y x ( x 0) y ' 3x 1 5 5 4 y ' x 4 (3) y x ( x 0) 4 1 2 3 2 (4) y x ( x 0) y ' x 3 3
２.过曲线y=lnx上点P(1,0)且与过这一点
x y 1 0 的切线垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿
关键: 求斜率
看谁脑筋转得快
已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
析: 关键求切线的斜率及切点(x0,y0).
k切=kPQ=f′(x )