初一奥数数学竞赛第一讲_有理数的巧算

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第一讲有理数的巧算1

第一讲有理数的巧算1有理数运确实是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在明白得有理数的有关概念、法则的基础上，能依照法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于依照题目条件，将推理与运算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，进展思维的灵敏性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，能够依照运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1运算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，专门是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，如此便于运算．例2运算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直截了当运算专门苦恼，依照运算规则，添加括号改变运算次序，可使运算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来运算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一样思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3运算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出那个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．假如按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式运算，就能得到一系列的“-1”，因此一改“去括号”的适应，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，因此有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，因此有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，因此在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，可不能改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，因此任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．因此，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使运算大大简化．2．用字母表示数我们先来运算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．因此我们得到了一个重要的运算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①那个公式叫平方差公式，以后应用那个公式运算时，不必重复公式的证明过程，可直截了当利用该公式运算．例5运算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6运算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7运算：分析与解直截了当运算繁．认真观看，发觉分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，因此分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，因此原式=24 690．例8运算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数差不多上前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就能够连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9运算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．那个公式也能够反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题确实是一个例子．通过以上例题能够看到，用字母表示数给我们的运算带来专门大的益处．下面再看一个例题，从中能够看到用字母表示一个式子，也可使运算简化．例10运算：我们用一个字母表示它以简化运算．3．观看算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请运算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直截了当把20个数加起来，明显运算量较大，粗略地估量一下，这些数均在90上下，因此可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，如此会大大简化运算．因此总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 运算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观看发觉：第一算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，因此可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一样地，一列数，假如从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都能够用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13运算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观看发觉，上式从第二项起，每一项差不多上它前面一项的5倍．假如将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，因此两式相减将使差易于运算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①因此5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明假如一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 运算：分析一样情形下，分数运确实是先通分．本题通分运算将专门繁，因此我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再运算，这种方法叫做拆项法．解由于因此说明本例使用拆项法的目的是使总和中显现一些能够相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中专门常用．练习一1．运算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试运算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

七年级奥数培训讲义第一章有理数

七年级奥数教学讲义七年级奥数讲义第一章《有理数》要求：掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。

同号相加号不差，绝对值要相加；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；（异号相加取绝大，大绝要把小绝压；）谁同0加谁当家，相反数相加0自夸。

遇到减法细观察，改变符号再相加。

乘除符号意义大，同正异负莫出差；谁同0乘0自夸，互为倒数1当家。

混合运算顺序化，乘方乘除再相加；运算律的好处大，合理运用能简化；分配侓，别漏乘，定符号，再相乘。

括号由里小中大，切记负号别拉下。

认真仔细基础打，长大当个科学家。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

1-1⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

注：“0”的9 种说法：（1）既不是正数也不是负数的数．（2）最大的非正数．（3）最小的非负数．（4）与其相反数相等的数．（5）最小的非负整数．（6）最大的非正整数．（7）最小的自然数．（8）绝对值最小的有理数．（9）没有倒数的数．4、有理数的概念【定义】：整数与分数统称为有理数（注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。

）⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

七年级奥数题(有理数的巧算)

七年级奥数题(有理数的巧算)有理数的巧算1.计算题1.计算(1)2002的值。

答案：B。

12.a为有理数，则a+2000的值不能是什么？答案：C。

03.计算2007{2006[2007(20062007)]}的值。

答案：B。

20094.计算(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)的结果。

答案：A。

-15.计算(-1)2006+(-1)2007÷(-1)2008的结果。

答案：A。

06.计算-2÷(-2)+(-2)的结果。

答案：D。

07.计算：3.825×(-1.825)+0.25×3.825+3.825×0.的结果。

答案：无8.计算：2002-2001+2000-1999+。

+2-1的结果。

答案：无9.计算：(-1)3÷2.5×(-0.75)×(-1)÷(-1)的结果。

答案：无10.计算：-5×+6×的结果。

答案：无11.练：计算2-2+2-3+2-4+。

+2-29+2-10的结果。

答案：2n(2-1)=2n-112.计算：(1/3)1+(1/3)2+(1/3)3+。

+(1/3)10的结果。

答案：(1-1/3^10)/(1-1/3)=2.13.计算：(1/2)+(2/3)+(3/4)+。

+(98/99)+(99/100)的结果。

答案：无14.求x+1+x-2的最小值及取最小值时x的取值范围。

答案：最小值为-1/2，x的取值范围为[1/2，2]15.练：已知实数a,b,c满足-1c>a，求c-1+a-c-a-b的值。

答案：-2b7年级奥数教案——有理数的巧算1.计算 $(-1)^{1998}+(-1)^{1999}+\cdots+(-1)^{2007}$ 的值为（C）A。

1B。

$-1$C。

0D。

102.若 $m$ 为正整数，那么 $1-\dfrac{(-1)^{m^2-1}}{4}$ 的值为（B）A。

初一奥数-有理数的巧算42页PPT

敢地走到底，决不回头。 ——左
初一奥数-有理数的巧算
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本身就是讲道理 ……法律，也 ----即明示道理。— —爱·科克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一定颓败。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。 ——波洛克
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

【七年级奥数】第1讲有理数的巧算（例题练习）

第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。

3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。

5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。

初一奥赛培训《有理数的巧算》重点

A普通股每股市价 B普通股每股股利 C每股市场利得 D普通股每股股利与每股市场利得之和108.利润表上半部分反映经营活动,下半部分反映非经营活动,其分界点是( BA净利润 B营业利润 C利润总额 D主营业务利润109.企业管理者将其特有的现金投资于”现金等价物”项目,其目的在于（ C ）A企业长期规划 B控制其他企业 C利用暂时闲置的资金赚取超过持有现金的收益D谋求高于利息流入的风险报酬110.利润分配表中未分配利润的计算方法是（ D ）A年初未分配利润-本年净利润 B本年净利润-本年利润分配C年初未分配利润+本年净利润 D年初未分配利润+本年净利润-本年利润分配111下旬各项指标中,能够反映收益质量的指标是A每股经营现金流量B市盈率C营运指数D 每股收益112.财务报表分析是对象是A企业的投资活动B企业的筹资活动C企业的各项基本活动D企业的经营活动113.如果企业速动比率很小,下列结论成立的是（ A ）A企业短期偿债风险很大B企业资产流动性很强C企业流动资金占用过多D企业短期偿债能力很强114产权比率的分母是( C 。

A负债总额 B资产总额 C所有者权益总额 D资产与负债之和115下列各项中，不属于投资活动结果的是（） A应收帐款B存货C长期投资D股本116投资报酬分析最主要的分析主体是（ B ） A上级主管部门B投资人C长期债权人D短期债权人117下列各项中,属于经营活动结果的是（ D ）A补贴收入B营业外收入C投资收益D主营业务利润118ABC公司2009年度的净资产收益率目标为20%,资产负债率调整为45%,则其资产净利率应达到（ A ）A11% B55% C9%D 20%119如果企业速动比率很小,下列结论成立的是（ C ）A企业流动资金站用过多B企业短期偿债能力很强 C企业短期偿债风险很大 D企业资产流动性很强120经营者分析资产运用效率的目的是（ C ）A判断财务的安全性 B评价偿债能力 C发现和处置闲置资产 D评价获利能力121从营业利润率的计算公式可以得知,当主营业务收入一定时,影响该指标高低的关键因素是（ B ）A主营业务利润 B营业利润 C利润总额 D净利润二．多选题1. 比较分析法按照比较的对象分类，包括（ABD ）P15A历史比较 B同业比较 C 总量指标比较 D预算比较 E财务比率比较2. 下列各项中，决定息税前经营利润的因素包括（ABCD）P54A主营业务利润 B其他业务利润 C营业费用 D管理费用 E财务费用3. 下列各项中属于股东权益的有（ABCDE）P48 01A股本 B资本公积 C盈余公积 DE法定公益金4. 依据杜邦分析法，当权益乘数一定时，影响资产净利率的指标有（AC ）P157A销售净利率 B资产负债率 C资产周转率产权比率一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×２]÷0.46C投资收益2 E管理费用3、计算：S=1﹣2+3,却不能偿还到期债务,n+1?n．4、在数1，2，3，，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（使销售收入增长高于成本和费用的增加幅度2+1）（24+1）（28+1D16E 提高销售净利率32+1）．9、计算：（1﹣）（1）,（1﹣）（1﹣）下列各项活动中,_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91C94，88，93，91，89，10. ，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+,+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+,+599+5100属于筹资活动结果的有（14、计算：）++,+．15、计算下列各式的值：（）﹣D应收账款E9+11﹣，12.财务报表初步分析的内容有（ABCD）P36 17﹣18+,+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）47263413.2﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+,+244；（7）1+（8）114.财务报表附注中应披露的会计政策有16、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83所得税的处理方法 D.存货的计价方法 E.固定资产的使用年限84，，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85E.现金流动分析答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）A（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×２]÷0.46（2.）考点）P132专题：计算题。

初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算

初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算第一篇：初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算金苹果文化培训学校奥数学提高班第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．金苹果文化培训学校奥数学提高班3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．2399100例6 计算1+5+5+5+…+5+5的值．例7 计算：金苹果文化培训学校奥数学提高班(6)1+4+7+ (244)1111(7)1++2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2000333***9-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅＋－(8)1-+***99002．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．金苹果文化培训学校奥数学提高班再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．99100 解设S=1+5+52+…+5+5，①所以231001015S=5+5+5+…+5+5．②②—①得1014S=5-1，例7 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．第二篇：初一奥数提高班第03讲-绝对值_金苹果文化培训学校奥数学提高班第3讲绝对值（1）一主要知识点回顾1．有理数：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零2.数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数（符号相反且绝对值相等的两数）绝对值一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数二典型例题分析:例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．三.专项练习(一).填空题:1.a＞0时，|2a|=________；(2)当a＞1时，|a-1|=________；2.已知a++b-3=0，则a____b______3.如果a>0，b<0，a<b，则a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来)4.若xy>0，z<0，那么xyz=______0．5.上山的速度为a千米/时，下山的速度为b千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时(二).选择题:6.值大于3且小于5的所有整数的和是（）A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理数，如果a+b=0，则下列说法正确的是（）A.a、b中一定有一个是负数B.a、b都为0C.a与b不可能相等D.a与b的绝对值相等8.下列说法中不正确的是()Ａ．0既不是正数,也不是负数B．0不是自然数C．0的相反数是零D．0的绝对值是09.列说法中正确的是（）A、-a是正数B、—a是负数C、-a是负数D、-a不是负数10.x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—111.<0时，化简aa等于（）A、1B、—1C、0D、±112.若ab=ab，则必有（）A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab≥013.已知：x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—1(三).解答题:14.a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．15..若x-y+y-3=0，求2x+y的值.16.当b为何值时，5-2b-有最大值，最大值是多少？17.已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab+c求式子的值.22-a+c+418.若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。

初一奥赛培训01：有理数的巧算甄选

初一奥赛培训01：有理数的巧算（优选.)一、解答题（共16小初一奥赛培训01：有理数的巧算题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）2、计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．3、计算：S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．9、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．14、计算：+++…+．15、计算下列各式的值：（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）4726342+472 6352﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+ (244)（7）1+（8）116、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）考点：有理数的混合运算。

第一讲-七年级有理数的巧算

第一讲有理数（1）一、知识提要1、整数和分数统称为有理数。

2、有理数还可以这样定义：形如mp （其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。

3、有理数的数系表：正整数正整数整数零正有理数负整数正分数有理数正有限小数或有理数零正分数负整数正无限循环小数负有理数分数负分数负有限小数负分数负无限循环小数4、有理数可以用数轴上的点表示。

5、零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。

6、如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。

如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。

7、有理数的运算法则：（1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。

（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘，积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。

（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯；乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。

②如果a < b , 那么b > a 。

③如果a < b , b < c , 那么 a < c④如果a = b , b = c , 那么 a = c⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。

初一奥数题有理数的运算技巧简便计算

el usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo巧算技运有理数的肁姓名袀有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。

只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。

下面介绍几种运算技巧。

膄一. 巧用运算律螂例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂求和蚈9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。

11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂6060606044433292?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88螇二. 巧用倒序法芆4005123??? ?例2. 计算节20032003200320031234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁20032003200320034005400421A????? 腿2003200320032003将两式相加，得蚆1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃2003200320032003200320032A?2?4005A50?40即，所以袂所以原式＝4005 芇巧用拆项法. 三肅．例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃1111? ??1???________ 计算虿0?2?3??10?21?21??31?2?341分析：直接计算难上加难。

应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。

利用上面介绍蚀1122211????，而的反序相加法，不难求得最后两项为，004950550999?1009910?4950509 221??同理，薅1010550010那么本题就不难解决了。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005解析原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。

知识延伸】一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

7113 1 1例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)86 36 4 12 48解析⑴原式=-(2000-])><168= -(3200-2) = -31998(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22?・6 36 4 12 3 37 1点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8 8法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.1991 QI log? 09例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序1992 92 1993 93排列是 __________________________________ •a 疋1992(1 92 ,1 1993(1 93(11991 1991 91 91 1992 1992 92 92点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法•实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…199991一'921 1<922 311999999而丄9191-92< >丄9292-939391-92, < 92-9192一93 <一93一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 << 2 3929999 19'- 9 1 1三. 有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.1 •倒序相加法例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ・・・+2003 + 2004：(2)1 — 2 + 3—4+・・・ + 2003 — 2004・解析(1)设S=l+2+3 + ・・・ + 2003+2004 ①则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)=2005X2004,即原式=2009010・(2)原式=(1 一2)+(3—4)+・・・ + (2003 — 20Q4)= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用“I 表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

七年级王牌竞赛第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算【趣题引路】(第6届“希望杯”竞赛试题改编)计算：2004×20032003＋2005×20042004－2003×20042004－2004×20052005解析原式＝2004×20032003－2003×20042004＋2005×20042004－2004×20052005＝(2004×2003×10001－2003×2004×10001)＋(2005×2004×10001－2004×2005×10001)＝0点评:abcabc型式子通常将它化成abc×1001型式子，有的问题还利用到1001＝7×11×13这一特点来进行考查，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。

【知识延伸】一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

例1 计算：(1)719998-×16；(2)11311()()63641248--+-÷-解析(1)原式＝1 (2000)8--×16＝－(3200－2) ＝－31998(2)原式＝－1131()48 636412--+-⨯＝－(－8－43＋36－4)＝－2 223.点评:(1)像719998、2003等数字在参与运算时，往往将其写成120008-、2000＋3的形式；(2)利用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.例 2 (1992年“缙云杯”初中数学邀请赛试题)把199191199292,,,199292199393----四个分数按从小到大的顺序排列是.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-而是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；11n n n n -<+(n 是正整数)，如12342345<<<<⋅⋅⋅。

初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算

初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础(它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算(不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性(1(括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单(例1 计算:分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号(因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化(第 0 页共 1 页注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算(例2 计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445(分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单(本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算(解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000(说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧( n+1 例3 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)?n(分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”(如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法( n+1 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)?n(第 1 页共 2 页下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时，上式是n,2个(-1)的和，所以有n+1 当n为奇数时，上式是(n-1),2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)?n=n，所以有例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少,分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性(在1，2，3，…，1998中有所得的代数和总为1998?2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，奇数，故最小非负数不小于1(现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0(这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1(所以，所求最小非负数是1(说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化(2(用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:第 2 页共 3 页(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-422=100-2(这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为2222(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b(于是我们得到了一个重要的计算公式22(a+b)(a-b)=a-b， ?这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算(例5 计算3001×2999的值(解3001×2999=(3000+1)(3000-1)2=30002-1=8 999 999(例6 计算103×97×10 009的值(解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)22=(100-9)(100+9)42=100-9=99 999 919(例7 计算:第 3 页共 4 页分析与解直接计算繁(仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数:12 345，12 346，12 347(可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为2n-(n-1)(n+1)(应用平方差公式化简得22222n-(n-1)=n-n+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690(例8 计算:2481632(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(24 分析式子中2，2，2，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，22就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a-b了(2481632 解原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)×(2+1)(2+1)22481632 =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)×(2+1)4481632 =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=……3232 =(2-1)(2+1)64 =2-1(例9 计算:分析在前面的例题中，应用过公式22(a+b)(a-b)=a-b(这个公式也可以反着使用，即第 4 页共 5 页22a-b=(a+b)(a-b)(本题就是一个例子(通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处(下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化( 例10 计算:我们用一个字母表示它以简化计算(第 5 页共 6 页3(观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分(87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88(分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算(所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)?20=89.95(例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值(后项减前项的差都等于2;其次算式中分析观察发现:首先算式中，从第二项开始，首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法(解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999( ?再将S各项倒过来写为第 6 页共 7 页S=1999+1997+1995+…+3+1( ?将?，?两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500(从而有 S=500 000(说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决(2399 例13 计算1+5+5+5+…+5+5100的值(分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍(如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算(解设99100S=1+5+52+…+5+5， ?所以231001015S=5+5+5+…+5+5( ?—?得1014S=5-1，第 7 页共 8 页说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决(例14 计算:分析一般情况下，分数计算是先通分(本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法(解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用(第 8 页共 9 页练习一1(计算下列各式的值:-1，3-5，7-9，11-？-1997，1999(1) ;11，12-13-14，15，16-17-18，？，99，100(2) ;(3) 1991×1999-1990×2000; (4)1+4+7+ (244)22 (6) 47263+4726345- 472633×472635-472634×472 636;2(某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分(73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78， 81，72，77，83，74，85(第 9 页共 10 页。

初一奥数培训教材(1—8讲)

第1讲有理数的加减【例1】有理数加法计算：（1）12()()33-+-；（2）(10.8)(10.7)-++；（3）(6)0-+；（4）4452(52)77+-.【例2】有理数减法计算：（1）6(3)--；（2）0(2)--；（3）(7)(5)---；（4）(2)0--【例3】有理数混合计算：（1）263(59.8)()(12.8)55+--+-+；（2）311(2)(2)38(3)843-+---++.【例4】有理数混合计算：（1）3212()(31)()(31)4545-++-+-；（2）2253(7)(4)(2)(5)7575++-++-.【例5】在数23456789,,,,,,,1010101010101010的前面分别添上加“+”或“-”，使它们的和为1.你能想出多少种方法？（开放性题）【例6】一个水井，下面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却又下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，却又下滑了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口？课后练习: 1、计算：（1）3.2( 4.2)+-；（2）23()()55-+-；（3）(382.4)(382.4)-++；（4）0(24.1)+-；（5）11 ()() 36 -+-2、计算：（1）(3)(5)---；（2）(7)5--；（3）0 4.2-；（4）( 4.2)0--；（3）(20)3(30)5-----；（6）03(4)5(6)-----.3、计算：（1）0.2(0.3)(0.4)(0.5)-+---+-；（2）10(8)(6)(4)(2)--+---+-；（3）111()326---；（4）1110()5210--+-.4、潜水艇原来在水下200米处，若它下潜50米，接着又上浮130米，问这里潜水艇在水下多少米处？5、判断题：（1）若两个数的和为负数，则这两个数都是负数. （）（2）若两个数的差为正数，则这两个数都是正数. （）（3）零减去一个有理数，差必为负数. （）（4）如果两个数互为相反数，则它们的差为0. （）6、计算：（1）(1)2(3)4(5)6(7)8-++-++-++-+；（2）3313 04()(1)17575-+---+；（3）3232(1)4(2)(2)7373-+--+-；（4）511(3)(3)24(1)635-+---+-.7、请在数1，2，…，2006，2007前适当添加上“+”或“-”号，使它们的和的绝对值最小。