偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2

1

)(n R x x b x Ax x J ∈-=

，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令

),(2

),()()()(2

000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+

-+=+=, (3分)

0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有

0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)

反之,若

n

R x ∈0满足

b

Ax =0,则对于任意的

x ,)(),(2

1

)0()1()(00x J x Ax x x J >+

==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧

==∈=+-=0

)(,0)()

,()('

b u a u b a x f

qu dx

du p dx d Lu

其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]

,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和

Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)(),,(|{11

=∈=a u b a H u u H E

为求解函数空间,检验函数空间.取),(1

b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)

)().(),(v f fvdx dx quv dx

dv dx du p v u a b a b

a ==+=⎰⎰,),(1

b a H v E

∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

令⎰-+=-=

b a dx fu qu dx

du

p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1

*b a H u E

∈,使)(m in )(1

*u J u J E

H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u

x

u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为

0222

1

,1,2

,1,1=+-+

+-+--+h

u u u h

u u u k j jk k j k

j jk k j (5分)

应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y u

x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)

(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13

/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分)

⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152

/12

L A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]

L =

2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516

u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333

(3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----B I

I B I

I B

,⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分) 评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形

式3分,B 的形式2分

四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<+∂∂=∂∂T t t u t u x x x u T

t x bu x u

a t

u 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ （1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立六点对称格式(Nicolson Crank -格式) 并写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

解:(1) 区域离散,格式为

k j k

j x k j

k j bu u h

a

u u +=-+2211δτ

, (5分) 应用Taylor 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x u ah t u k

j k j ++∂∂-

∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分)

(2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分) (3) 格式为

)(2))1((1122

1

k

j k j k j k j x k j

k j u u b u u h

a u u ++-+=

-+++θθδτ

, (3分) 低阶项归入)(τO 中,格式是无条件稳定的. (2分)