数学物理方法(张民)章 (2)

x
() d c
x0
由式(2.13)和式(2.15)容易解得
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x ( ) d c
x0
2
f2
(x)
1 2
(x)
1 2a
x ( ) d c
x0
2
9
(2.15) (2.16) (2.17)
将f1(x)和f2(x)中的x分别换成x＋at和x－at，代入式(2.12)
得
3
2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出
对于无限长弦的自由振动、无限长杆的纵向自由振动以及无
限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问
题。
泛定方程：
utt＝a2uxx (－∞<x<∞，t>0) 初始条件：
(2.1)
u(x，0)＝j(x)
就是自由弦振动方程(式(2.1))的通解。
下面我们利用初始条件(式(2.2))来确定任意函数f1和f2，
即求满足定解条件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得
u(x，0)＝f1(x)＋f2(x)＝j(x) (2.13)
ut
(
x,
0)
af1
(
x)
af
2
(
x)
(
x)
(2.14)
8
即
1
f1(x) f2 (x) a
第2章 行 波 法
➢2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 ➢2.2 半无限长弦的自由振动 ➢2.3 三维波动方程的泊松公式 ➢2.4 强迫振动 ➢2.5 三维无界空间的一般波动问题 ➢2.6 本章小结 ➢习题2
1
第1章学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即 确定定解问题，
那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的 方法，主要包括行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法 等。
ut(x，0)＝y(x)
(2.2)
4
式中，j(x)、y(x)为已知函数。
因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的
区域，所以不需提出边界条件，此定解问题即为初值问题。
为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出式(2.1)的通
解。作变量代换，引入新的自变量
x＝x－at
h＝x＋at
(2.3)
利用复合函数求微商的法则，可以得到
13
图2.1 行波示意 14
同理，第二项u2＝f2(x＋at)表示一个以速度a沿x轴负向传播 的行波。所以说达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波 形式分别向两个方向传播出去的，其传播的速度正好是弦振动方 程中的常数a。也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法 叫做行波法。
j(x)＝x，y(x)＝4，故由达朗贝尔公式(式(2.18))有
u x,t 1 x at x at 1
xat
4d
2
2a xat
x 4t
(2.20)
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2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义
首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔
公式的通解式(式(2.12))的物理意义。
a a(u u ) a(u u )
a2 u 2u u
（2.7）
6
将上面得到的utt和uxx代入式(2.1)，得到 a2(uxx－2uxh＋uhh)＝a2(uxx＋2uxh＋uhh)
即
uxh＝0 求上面方程的解，先对h积分，得
(2.8) (2.9)
u u d 0d c c
我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再 用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种 思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说，先求出 偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。
2
通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很 难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要 通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此， 一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求 解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题， 尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可 以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看， 齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振 动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起 的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到 通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法， 本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。
先考察第一项：
u1＝f1(x－at)
(2.21)
它是方程(2.1)的解，对于不同的t值，就可以看到弦在不同
时刻相应的振动状态。
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在t＝0时，u1(x，0)＝f1(x)，它对应于初始时刻的振动状态， 假如图2.1(a)曲线表示的是t＝0时的弦振动的状态(即初始状态)； 在t＝1/2时，u1(x，1/2)＝f1(x－a/2)的图形如图2.1(b)所示； 在t＝1时，u1(x，1)＝f1(x－a)的图形如图2.1(c)所示；在t＝2 时，u1(x，2)＝f1(x－2a)的图形如图2.1(d)所示。这些图形说明， 随着时间的推移，u1＝f1(x－at)的图形以速度a向x轴正向移动， 所以u1＝f1(x－at)表示一个以速度a沿x轴正向传播的行波。
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
() d
2
2a xat
(2.18) 这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。它是一维无 界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。
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例2.1 求解初值问题
utt a2uxx u |t0 x, ut |t0 4
(2.19)
解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，
5
ux ux ux u u
（2.4）
uxx (ux ) x (ux )x (ux ) (ux )
(u u ) (u u ) u 2u u
ut ut ut a(u u )
（2.5） （2.6）
utt (ut ) t (ut )t a (ut ) (ut )
再对x进行积分可得
(2.10)
u , c d f2 f1 f2
(2.11)
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式中，f1(x)、f2(h)分别是x、h的任意函数。把式(2.3)代入式 (2.11)，得到
u(x，t)＝f1(x－at)＋f2(x＋at)
(2.12)
容易验证，只要f1、f2具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)