第十一章 弹性波PPT课件
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弹性波动力学复习提纲课件

结果分析
对处理后的数据进行统计分析,得出试样材料的弹性波传播特性及 变化规律。
结果展示
通过图表、图像等方式将分析结果进行可视化展示,便于理解和记 忆。
弹性波的应用实例
地球物理学中的弹性波研究
地震波传播与地球内部结 构研究
地球内部结构复杂,地震波的传播规律对于 揭示地球内部构造、地震预测等具有重要意 义。弹性波在地球物理学中广泛应用于地震 波分析、震源机制解等研究。
弹性波动力学复 习提纲课 件
目录
绪论
弹性波动力学的研究对象
01 弹性波:在弹性介质中传播的波动现象。 02 弹性波的传播特性:波动速度、波长、频率等。 03 弹性波的激发与观测:物理实验与观测方法。
弹性波动力学的研究方法
理论分析
基于物理定律建立弹性波传播的控制方程。
数值模拟
利用计算机求解控制方程,模拟弹性波传播过程。
利用Green定理建立表示连 续体动力学的边界积分方程。
离散化方程
将边界积分方程离散化为线 性方程组。
边界条件处理
需要在边界上使用适当的边 界条件。
弹性波的实验研究
实验设备与材料
发射器
用于产生弹性波的设备,如声源、震动器等。
接收器
用于探测和记录弹性波的设备,如麦克风、加速度计等。
试样材料
研究不同材料对弹性波传播特性的影响,如金属、非金属、复合 材料等。
性,取得了一系列重要成果。
03
数值模拟与实验
发展了多种数值模拟方法和实验技术,有效地模拟和观测了弹性波传播
过程中的各种现象和规律。
存在的主要问题与挑战
复杂结构中弹性波的传播
在复杂结构(如多层、夹杂、周期性等)中, 弹性波的传播特性更加复杂,需要进一步深 入研究。
对处理后的数据进行统计分析,得出试样材料的弹性波传播特性及 变化规律。
结果展示
通过图表、图像等方式将分析结果进行可视化展示,便于理解和记 忆。
弹性波的应用实例
地球物理学中的弹性波研究
地震波传播与地球内部结 构研究
地球内部结构复杂,地震波的传播规律对于 揭示地球内部构造、地震预测等具有重要意 义。弹性波在地球物理学中广泛应用于地震 波分析、震源机制解等研究。
弹性波动力学复 习提纲课 件
目录
绪论
弹性波动力学的研究对象
01 弹性波:在弹性介质中传播的波动现象。 02 弹性波的传播特性:波动速度、波长、频率等。 03 弹性波的激发与观测:物理实验与观测方法。
弹性波动力学的研究方法
理论分析
基于物理定律建立弹性波传播的控制方程。
数值模拟
利用计算机求解控制方程,模拟弹性波传播过程。
利用Green定理建立表示连 续体动力学的边界积分方程。
离散化方程
将边界积分方程离散化为线 性方程组。
边界条件处理
需要在边界上使用适当的边 界条件。
弹性波的实验研究
实验设备与材料
发射器
用于产生弹性波的设备,如声源、震动器等。
接收器
用于探测和记录弹性波的设备,如麦克风、加速度计等。
试样材料
研究不同材料对弹性波传播特性的影响,如金属、非金属、复合 材料等。
性,取得了一系列重要成果。
03
数值模拟与实验
发展了多种数值模拟方法和实验技术,有效地模拟和观测了弹性波传播
过程中的各种现象和规律。
存在的主要问题与挑战
复杂结构中弹性波的传播
在复杂结构(如多层、夹杂、周期性等)中, 弹性波的传播特性更加复杂,需要进一步深 入研究。
大学物理《波动》课件

t 1.0s
波形方程
y 1.0 cos( π - π x) 2
1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
第二节 波动学基础
3) x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m)cos(π t - π)
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
第二节 波动学基础
讨 论 1)给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y -Acos2π ( t - x )
-
x)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第二节 波动学基础
3 ) 如图简谐波 以余弦函数表示,
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
(-π ~ π )
t =0 A y
Oa
-A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
-π 2
§8.5 波的干涉与衍射
波程差 r2 - r1
k k 0,1,2,
A A1 A2 振动始终加强
3 ) (k 1 2) k 0,1,2,
普通物理学第十一章机械波

与
x =2m处
0.05 cos ( 5×2 – 100 t ) 0.05 cos ( 100 t –10 ) 初相为–10
x1 = 0.2 m 处的振动相位比原点处的振动相位落后 x2 = 0.35 m 处的振动相位比原点处的振动相位落后
X2比x1相位差落后
100
0.15 20
0.75
☆ 按波源振动方式分类
波源作周期振动形成的波称为周期波。
波源作间歇振动形成的波称为脉冲波。 波源作简谐振动形成的波称为简谐波。
简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均 作简谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而 成。
绳上的波的传播过程:
· · · · · · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · ··· ·· ·· · · · · · · · ·· · · t = T/4 · · · · · · · · ·· · ·· · ·· · · · ·· · · · · · · t = T/2 · · · · · ·· · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· t = 3T/4 · · ·· · · · · · · ·· · ·· · · ···· t = T ·· ·· · ·· · ·
) 0]
t
2
A
2
cos[ ( t
x v
) 0]
平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义:
6. 在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
B ( r , t ) A cos( t k r 0 )
其中 k 称为波矢,它是一个矢量,而它的绝对值就是 波数。
第十一章 弹性波PPT课件

解: 由纵波在一维直杆中的传播速度公式
v
E
得 v 钢 51 m /s 3 , v 0 混凝 3土 5 m /s 00
30
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2 t2
rc12
2 r2
r
它的通解是:
r f1 r c 1 t f2 r c 1 t
显然,球面波的传播速度等于 c 1 (球面波是无旋波)。f 1 表示由内向外传播的球面波, f 2 表示由外向内传播的球面
波。
29
练习11.1 什么是弹性波?研究弹性波有何意义?
答:(略)
练习11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa,密度=7950kg/m3, 混凝土的弹性模量E=30GPa, 密度=2400kg/m3 ,问在此两 种材料杆中纵波的传播速度。
y E 1[y(z x)]
zx 2(1E)zx
z E 1[z(xy)]
xy2(1E)xy
8
由于位移分量很难用应力及其导数来表示,所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程,并令:
eu w
x y z
得:
2(1E )(1 1 2 x e 2u)X t2u 20 2(1E )(1 1 2 y e 2 )Y 2 t20 2 (1 E )(1 1 2 e z 2w )Z 2 tw 20
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程,然后 介绍弹性波的几个概念,针对不同的弹性波,对运动微分方 程进行简化,最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。
弹性波_香港科技大学余同希讲座PPT

advance without changing their shape or magnitude travel with a constant speed
The 1-D longitudinal waves are non-dispersive
6
ELASTIC WAVES (CONT’D)
s f1 x1 ct1 f1 x2 ct2
x1 ct1 x2 ct2
s O u
2012年10月24日
u f1 x ct
t t1 t Biblioteka t2c x2 x1 t2 t1 is the speed of the wave propagation
Let
u f1 x ct f 2 x ct
u cf f1 x ct cf f 2 x ct t 2 u c 2 f1 x ct c 2 f 2 x ct 2 t 2u f1 x ct f 2 x ct 2 x
cL E 0
x1
x2
x
is the speed of the longitudinal wave
f 2 x ct a backward wave
f1 x ct a forward wave,
Both the waves f1 and f2 are related to the wave equation
1.2 VARIOUS TYPES OF ELASTIC WAVES 各种类型的弹性波
2012年10月24日
8
TYPES OF ELASTIC WAVES
Types
《弹性力学》第十一章 弹性波

E (1 ) 令:c1 (1 )(1 2 )
则上式简写成
2ur 2 ur 2ur 1 2ur r 2 2 0 2 r r r r c1 t
假定
(a)
ur r
27
则 (r, t ) 是位移的势函数。代入(a)式得
3 2 2 2 1 2 2 2 2 0 3 2 r r r r r c1 t r
2u E 1 e 2 ( u) 2 t 2(1 ) 1 2 x
2 E 1 e 2 ( ) 2 t 2(1 ) 1 2 y
2w E 1 e 2 ( w) 2 t 2(1 ) 1 2 z
E (1 ) 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
14
二、等容波 所谓等容波是指在弹性体内,波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积(即体积)保持不变。 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件,即:
u w e 0 x y z
然后介绍弹性波的几个概念,针对不同的弹性波,对运 动微分方程进行简化,最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设:
(1) 弹性体为理想弹性体。 (2) 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设,完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此,在静力问题中给出的物理方程和几何方程, 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程,仍然适用
显然,球面波的传播速度等于 c1 (球面波是无旋波)。f 1 表示由内向外传播的球面波, f 2 表示由外向内传播的球面 波。
普通物理学课件 第十一章 机械波和电磁波

解: (1) 波的周期
T
=
1 ν
=
1 3000
s
波长
λ
=
u ν
=
0.52 m
=
52 cm
B点比A点落后的时间为
0.13m 1.56×103 m⋅s−1
= 1 s, 即 12000
T 4
(2)
A、B
两点相差13 52
=
λ 4
, B点比A点落后的相差为
1 × 2π = π
4
2
(3) 振幅 A=1mm,则振动速度的幅值为
二、平面简谐波的波函数 y
平面简谐波:
波面为平面的简谐波. x
平面简谐波的传播特性:
(1)介质中各质点都作同一频率的简谐波动。 (2)在任一时刻,各点的振动相位及位移一般不同。 (3)任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位及位移。
波动方程:描述介质中各质点的位移随时间的变化
关系.
y
yp
u
P
O
t
x
yP (t) = y0 (t′) O点处质点的振动表达式为
vm = Aω = 0.1cm× 3000 s−1× 2π = 1.88×103 cm/s = 18.8 m/s
振动速度是交变的,其幅值为18.8m/s,远小于波速。
2
2010-11-20
§11-2 平面简谐波的波函数
一、波函数
用数学函数式表示介质中质点的振动状态随时
间变化的关系:ξ (r,t) = f (r,t) = f (x,y,z,t)
=
Acos[ω(t
∓
x) u
+φ0]
利用关系式 ω = 2π = 2πν 和 uT = λ ,得 T
《弹性动力学引论》PPT课件

均匀性假设
• 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成,认为弹性体 内不同点处的材料具有相同的性质。
•
弹性常数不随坐标的位置改变而改变;
• • 作用 可以取出物体的任意一个小部分讨论,
•
然后将分析结果应用于整个物体
• • 应用与整个弹性动力学方程建立的。
各向同性假设
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。
弹性力学的发展
到19世纪末和20世纪初,又应当提到的是另外 两个人,一位是英国人乐甫,他是总结到他那 时全部弹性力学成果的一位大师,并且奠定了 薄壳理论的基础,以及系统将弹性力学成功地 应用于地球物理的第一人。另一位是苏联学者 穆斯海利什维利,他终生致力于用复变函数求 解弹性力学。
弹性力学的发展
§1-2 弹性力学的研究内容
应力分析 位移和应变分析 • 弹性动力学的研究内容 应力和应变的关系
弹性波的传播
§1-3 弹性力学中的基本假定
• 问题的提出
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的,如果不分主次地考虑所有因素,问题是十分 复杂的,数学推导将困难重重,以至于不可能求 解。因此根据问题性质建立力学模型时,必须作 出一些基本假设,忽略部分可以暂时不予考虑的 因素,使研究的问题限制在一个方便可行的范围 之内。对于弹性力学分析,这是十分必要的。
(4) 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互作
内力
用力;
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim s
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
A0 A (2) 应力矢量. Q的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
11波动

第十一章 机械波
§11-5 惠更斯原理
ut
ut
球面波
平面波
第十一章 机械波
y Acost x u
Acos2 t T x
Acos2 t x
(5)波动沿 x 轴负向传播,波动方程为
y Acos[(t x u) ]
第十一章 机械波
§11-3 平面简谐波 波动方程
二、波动方程的微分形式
又t =0时: y 0 v 0 2
ym u
y 0.2cos( 2 t ) m
52
0
x m (3)波动方程为
y 0.2 cos[ 2 (t x ) ] m
5 0.08 2
第十一章 机械波
§11-3 平面简谐波 波动方程
[例3]一平面波以速度u=10m/s沿x轴反向 传播,波线上A和B相距5cm,A点的振
y Acos[(t x ) ]
u
波线上任一点的振动加速度
a
2 t
y
2
2
A
cosห้องสมุดไป่ตู้ (t
x u
)
]
又
2 y x2
2
u2
A cos[ (t
x)]
u
2 y x2
1 u2
2 y t 2
----平面波波动方 程的微分形式
第十一章 机械波
§11-3 平面简谐波 波动方程
y Acos[(t' x) ] y(x)
u
令 ' t'
y
t’时刻的波 形曲线
则 y Acos(x ') O
弹性波动力学复习提纲课件

04 弹性波的散射和干涉
弹性波的散射
弹性波散射的定义
弹性波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向和能量分布发生变化的现象。
弹性波散射的分类
瑞利散射、米氏散射、共振散射等。
弹性波散射的物理机制
波动与障碍物相互作用,产生反射、折射、吸收等现象。
弹性波散射的数学模型
散射波函数、散射系数等。
弹性波的干涉
三维波动方程
总结词
三维弹性波的波动方程是描述弹性波在三维空间介质中传播的基本方程。
详细描述
三维波动方程适用于描述任意方向传播的波,适用于各种复杂的三维介质结构。该方程全面考虑了波 在三维空间中的传播特性,包括波的传播方向、速度以及介质中质点的位移、速度和加速度。
边界条件和初始条件
总结词
边界条件和初始条件是确定弹性波波动方程解的重要约束条件。
随着入射角的增大,反射系数会发生变化。
弹性波的折射
1 2
折射系数
描述入射波与折射波之间振幅关系的系数。
斯涅尔定律
入射角等于折射角。
3
折射系数与入射角的关系
随着入射角的增大,折射系数也会发生变化。
全反射和透射
要点一
全反射
当入射角达到某一临界值时,折射波消失,只剩下反射波 。
要点二
透射
当入射角小于某一临界值时,折射波存在,且其振幅与入 射波相似。
详细描述
通过向物体内部发射弹性波并检测反射回来的波,可 以判断物体内部的缺陷、损伤等,如飞机、高铁等大 型机械的检测,确保其安全运行。
声呐探测
总结词
利用弹性波在水中传播的特性进行水下探测和通信。
详细描述
声呐系统通过向水下发送声波并接收回波,可以探测水 下目标的位置、大小、形状等信息,广泛应用于海洋科 学研究、水下考古等领域。同时,声呐技术还可用于水 下通信,实现水下设备之间的信息传递。
弹性波动力学复习ppt课件

根据射线路径示意图写出三维波动方程均匀平面简谐波解并解释各项物理含感谢亲观看此幻灯片此课件部分内容来源于网络如有侵权请及时联系我们删除谢谢配合
波动方程
1.纳维方程的推导 2.由纳维方程两边去散度和旋度推导纵横波波动 方程 3.由势函数带入纳维方程,得到势函数表示的波 动方程 4.由势函数计算位移场
.
.
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弹性波的传播
1.三维波动方程均匀面波解及各物理量的含义 2.三维波动方程均匀平面简谐波解及各物理量的含义 3.非均匀平面波的传播条件 4.球面波和柱面波的衰减规律 5.P、SV、SH波的定义 6. P、SV、SH波入射自由界面和分层界面形成的反射和透射示意图 7.面波的特点 8.P波垂直入射分层界面时反射系数和透射系数的计算 9.多层snell定律的完整写法,并根据snell定律说明全反射发生的原因,任举一例说明 全反射现象。 10.根据射线路径示意图,写出三维波动方程均匀平面简谐波解,并解释各项物理含 义。
波动方程
1.纳维方程的推导 2.由纳维方程两边去散度和旋度推导纵横波波动 方程 3.由势函数带入纳维方程,得到势函数表示的波 动方程 4.由势函数计算位移场
.
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弹性波的传播
1.三维波动方程均匀面波解及各物理量的含义 2.三维波动方程均匀平面简谐波解及各物理量的含义 3.非均匀平面波的传播条件 4.球面波和柱面波的衰减规律 5.P、SV、SH波的定义 6. P、SV、SH波入射自由界面和分层界面形成的反射和透射示意图 7.面波的特点 8.P波垂直入射分层界面时反射系数和透射系数的计算 9.多层snell定律的完整写法,并根据snell定律说明全反射发生的原因,任举一例说明 全反射现象。 10.根据射线路径示意图,写出三维波动方程均匀平面简谐波解,并解释各项物理含 义。
弹性矩阵PPT课件

e 11
1 x1
u x
e xx
e 22
2 x2
v y
e yy
e 33
3 x3
w z
e zz
e23
1 (3 2 x2
2 x3
)
1 w (
2 y
v z ) eyz
e31
1 ( 1 2 x3
3 ) x1
1 (u 2 z
w x
)
ezz
e12
1 (2 2 x1
1 x2
)
1 (v 2 x
u ) y
exy
r' r
4
第4页/共115页
当晶体形变时,晶体内任意两点间的距离都会发生变化,设最近邻的两点形变 前的距离为dl(分量为dxi),形变后的距离为dl’(分量为dx’i),因为 dx’i=dxi+di,而
di
3
i
k1 xk
dxk
5
第5页/共115页
于是:
3
(d'l)2 (d kxdk)2 k1
13
第13页/共115页
应变张量元的几何意义
e xx
x ' x x
e yy
y ' y y
e zz
z ' z z
正应变
14
第14页/共115页
体积元的体积改变量:
V ' V ( 1 e x ) 1 x e y ( ) 1 y e z ( ) V z V ( e x e x y e y z ) V z
eik1 2( x k i xk i) , (i,k1 ,2,3)
11
第11页/共115页
应变张量元的矩阵形式
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第十一章 弹性波
概述 §1-1 弹性体的运动微分方程 §11-2 无旋波与等容波 §11-3 横波与纵波 §11-4 球面波
2
概述
当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时,并不是在 弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用 开始时,距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用 开始后,荷载所引起的位移、形变和应力,就以波动的形式 用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。
2u t 2
c222u
2
t 2
c222
2w t 2
c222w
其中
c2
E
2(1 )
c 2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波,我们不加证明地给出如下结论: 在弹性体中,形变、应力以及质点速度,都将和位移以相 同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向(图示)
9
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程,也称 为拉密(Lame)方程。
要求解拉密方程,显然需要边界条件。除此之外, 由于位移分量还是时间变量的函数,因此求解动力问题 还要给出初始条件。
为求解上的简便,通常不计体力,此时弹性体的运 动微分方程简化为:
t2u 2 2(1 E)(112 x e2u)
2u x2
其中
c1
(1)E (1)(12)
c 1 为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上,纵波就是 一种无旋波。
20
纵波波动方程的通解是:
u (x ,t) f1 (x c 1 t)项为例,函数 f1(xc1t)在某
所谓等容波是指在弹性体内,波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积(即体积)保持不变。
假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件,即:
euw0
x y z
这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。
15
由于 e0 ,故不计体力的运动微分方程,简化后得等
容波的波动方程:
2 t2 2(1 E)(112 y e2)
2 t 2 2(1 E)(112 e z2w)
10
§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中,波动所产生的变形不存在旋 转,即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为:
u
x
y
w
euw2
x y z
从而 e222u
x x
x
同理 e 2
y
e 2w z
将上三式代入不计体力的运动微分方程,并简化后 得无旋波的波动方程
13
2u t 2
c122u
2
t 2
c122
2w t2
c122w
E(1) 其中 c1 (1)(12)
c 1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
14
二、等容波
4
对于任取的微元体,运用达朗伯尔原理,除了 考虑应力和体力以外,还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
2u t 2
2 t 2
其中ρ为弹性体的密度。
2w t 2
5
由平衡关系,并简化后得:
xx yyx zzxX t2u 20
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向,则弹性体内任取一点的位移 分量都有:
uu(x,t) 0 w0
从而 而
e u x
e x
2u x 2
2u 2u x 2
e 0 y
2 0
e 0 z
2w0
19
代入不计体力的运动微分方程,可见其第二、第三式成为 恒等式,而第一式简化为:
2u t 2
c12
z
其中 (x,y,z,t)是位移的势函数。这种位移称为无旋位
移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。
11
[证]:在弹性体的任一点处,该点对z 轴的旋转量
z
x
u y
将 u 代入,可得:
x
y
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。
12
在无旋位移状态下
yy zzy xxyY 2 t2 0 zz xxz yyzZ 2 tw 2 0
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程 一起构成弹性力学动力问题的基本方程。
6
注1:几何方程
x
u x
y
y
z
w z
yz
w y
z
zx
u z
w x
xy
x
u y
7
注2:物理方程
x E 1[x(yz)]
yz 2(1E)yz
y E 1[y(z x)]
zx 2(1E)zx
z E 1[z(xy)]
xy2(1E)xy
8
由于位移分量很难用应力及其导数来表示,所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程,并令:
eu w
x y z
得:
2(1E )(1 1 2 x e 2u)X t2u 20 2(1E )(1 1 2 y e 2 )Y 2 t20 2 (1 E )(1 1 2 e z 2w )Z 2 tw 20
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程,然后 介绍弹性波的几个概念,针对不同的弹性波,对运动微分方 程进行简化,最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设: (1) 弹性体为理想弹性体。 (2) 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设,完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此,在静力问题中给出的物理方程和几何方程, 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程,仍然适用 于讨论动力问题的任一瞬时,所不同的仅仅在于,静力 问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
21
同理 f2(xc1t),表示以同样速度 c 1 向x轴负向传播的波。
整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波(如图b),其
传播速度为波动方程的系数 c 1 。
f1
b
a c1t
c
x
(a)
c1 t
c1 t
(b)
22
二、横波 [定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
一个固定时刻将是x的函数,可以用图(a)中的曲线abc表示
(假设是这种形状),在 t 时间之后,函数变为:
f1(xc1tc1t)
如果令 x1xc1t,则函数可写为 f1(x1c1t),其形式 同原函数 f1(xc1t)完全类同,只是横坐标发生平移 c1t 见图。因此 f1(xc1t)表示以速度c 1 向x轴正向传播的波。
概述 §1-1 弹性体的运动微分方程 §11-2 无旋波与等容波 §11-3 横波与纵波 §11-4 球面波
2
概述
当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时,并不是在 弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用 开始时,距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用 开始后,荷载所引起的位移、形变和应力,就以波动的形式 用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。
2u t 2
c222u
2
t 2
c222
2w t 2
c222w
其中
c2
E
2(1 )
c 2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波,我们不加证明地给出如下结论: 在弹性体中,形变、应力以及质点速度,都将和位移以相 同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向(图示)
9
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程,也称 为拉密(Lame)方程。
要求解拉密方程,显然需要边界条件。除此之外, 由于位移分量还是时间变量的函数,因此求解动力问题 还要给出初始条件。
为求解上的简便,通常不计体力,此时弹性体的运 动微分方程简化为:
t2u 2 2(1 E)(112 x e2u)
2u x2
其中
c1
(1)E (1)(12)
c 1 为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上,纵波就是 一种无旋波。
20
纵波波动方程的通解是:
u (x ,t) f1 (x c 1 t)项为例,函数 f1(xc1t)在某
所谓等容波是指在弹性体内,波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积(即体积)保持不变。
假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件,即:
euw0
x y z
这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。
15
由于 e0 ,故不计体力的运动微分方程,简化后得等
容波的波动方程:
2 t2 2(1 E)(112 y e2)
2 t 2 2(1 E)(112 e z2w)
10
§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中,波动所产生的变形不存在旋 转,即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为:
u
x
y
w
euw2
x y z
从而 e222u
x x
x
同理 e 2
y
e 2w z
将上三式代入不计体力的运动微分方程,并简化后 得无旋波的波动方程
13
2u t 2
c122u
2
t 2
c122
2w t2
c122w
E(1) 其中 c1 (1)(12)
c 1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
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二、等容波
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对于任取的微元体,运用达朗伯尔原理,除了 考虑应力和体力以外,还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
2u t 2
2 t 2
其中ρ为弹性体的密度。
2w t 2
5
由平衡关系,并简化后得:
xx yyx zzxX t2u 20
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向,则弹性体内任取一点的位移 分量都有:
uu(x,t) 0 w0
从而 而
e u x
e x
2u x 2
2u 2u x 2
e 0 y
2 0
e 0 z
2w0
19
代入不计体力的运动微分方程,可见其第二、第三式成为 恒等式,而第一式简化为:
2u t 2
c12
z
其中 (x,y,z,t)是位移的势函数。这种位移称为无旋位
移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。
11
[证]:在弹性体的任一点处,该点对z 轴的旋转量
z
x
u y
将 u 代入,可得:
x
y
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。
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在无旋位移状态下
yy zzy xxyY 2 t2 0 zz xxz yyzZ 2 tw 2 0
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程 一起构成弹性力学动力问题的基本方程。
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注1:几何方程
x
u x
y
y
z
w z
yz
w y
z
zx
u z
w x
xy
x
u y
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注2:物理方程
x E 1[x(yz)]
yz 2(1E)yz
y E 1[y(z x)]
zx 2(1E)zx
z E 1[z(xy)]
xy2(1E)xy
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由于位移分量很难用应力及其导数来表示,所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程,并令:
eu w
x y z
得:
2(1E )(1 1 2 x e 2u)X t2u 20 2(1E )(1 1 2 y e 2 )Y 2 t20 2 (1 E )(1 1 2 e z 2w )Z 2 tw 20
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程,然后 介绍弹性波的几个概念,针对不同的弹性波,对运动微分方 程进行简化,最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设: (1) 弹性体为理想弹性体。 (2) 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设,完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此,在静力问题中给出的物理方程和几何方程, 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程,仍然适用 于讨论动力问题的任一瞬时,所不同的仅仅在于,静力 问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
21
同理 f2(xc1t),表示以同样速度 c 1 向x轴负向传播的波。
整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波(如图b),其
传播速度为波动方程的系数 c 1 。
f1
b
a c1t
c
x
(a)
c1 t
c1 t
(b)
22
二、横波 [定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
一个固定时刻将是x的函数,可以用图(a)中的曲线abc表示
(假设是这种形状),在 t 时间之后,函数变为:
f1(xc1tc1t)
如果令 x1xc1t,则函数可写为 f1(x1c1t),其形式 同原函数 f1(xc1t)完全类同,只是横坐标发生平移 c1t 见图。因此 f1(xc1t)表示以速度c 1 向x轴正向传播的波。