[材料力学]第6章 弯曲应力

(M
y)m
c ax
Iz
16
六、惯性矩和抗弯截面模量的确定
Iz
y 2 dA
A
抗弯截面模量
Wz
Iz ymax
1、实心圆：
Iz
Iy
1 D4
64
Wz
1 D3
32
2、空心圆：
Iz
Iy
1 (D4
64
d4)
Wz
1 D3(1 4 )
32
3、矩形：
Iz
1 bh3 12
Wz
1 bh2 6
d
D
17
七、正应力的强度计算
y
d
（二）、物理方面 应力与应变之间的关系： 在弹性范围内，应力和应变成正比。
即： E
M
o a
M
o1 y
a
11
E Ey ...... (2)
3、应力的分布图：
σmax
M Z
（三）、静力方面
σmax
y
12
A dA
dN dA
dM dM
y z
z dA y dA
N AdA 0 1
x
20
30
180
求应力
1 2z
120
Iz
bh3 12
120 180 3 12
5.832
107 mm 4
M
y
Wz I z / 90 6.48 105 mm3
qL²/ 8
(1)
(2)
M1y Iz
60 106 60 5.832 107
61.7MPa
M1
x
1m a x
M1 Wz
60106 6.48105
相应比值时，要校核剪应力 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
31
q 3.6kN / m
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m）
A
Fs qL/ 2
L3m
B 木梁如图，[]=7 M Pa，[]=0. 9 M Pa， 试求最大正应力和最大剪应力之比, x并校核梁的强度。
M
-qL/ 2 解：、画内力图求危险面内力
面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；
Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。
27
M
h
Fs
Fs dFs
X N1 N 1b(dx) 0
A
dx
M dM
N dA M ydA MSz
A
I A z
Iz
N1
(M
dM Iz
)S
z
图b
Z y
1
dM dx
S
z
bI z
Fs
S
z
bI z
由剪应力互等定理可知
b
26
M
h
Fs
Fs dFs
X N1 N 1b(dx) 0
A
dx
M dM
图b
N dA M ydA MSz
A
I A z
Iz
N1
(M
dM Iz
)S
z
Z y
1
dM dx
S
z
bI z
Fs
S
z
bI z
由剪应力互等定理可知
Fs
S
z
I zb
y
注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截
max
Mmax Wz
6Mmax bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa
7 MPa
max
1.5
Fs A
1.5 5400 0.12 0.182
0.375MPa
0.9MPa [ ]
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Fs h
33
60kN
3）求应力：
z
tmax
M Iz
y1
30001.52 25.6 106
178 MPa
b
cmax
M Iz
y2
3000 3.28 25.6 106
384 MPa
t max 178 MPa, cmax 384 MPa
15
四、公式的使用条件
弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L＞5h）。
M max WZ
x
WZ
M max
158 .4 10 6 170
930
当M<0时，Z轴下侧所有点为压应力，上侧所有点为拉应力。
14
例：求最大拉应力与最大压应力。已知：l 1 m, q 6kN / m
q
解：1）画弯矩图
M
0.5ql 2
y1 y2
y №10槽钢
| M |max 0.5ql2 3 kNm
2）查型钢表：
b 4.8cm, I z 25.6cm4, y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
m
n
⑵、纵向线：由直线变
为曲线，且靠近上部的
M
m
n
M
纤维缩短，靠近下部的
b
b
纤维伸长。
a
a
3、假设：
m
n
（a）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂 直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
9
（b）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤 维之间无挤压。
中性轴
中性面
t max 28.2 t
A1 y1 Cz
27.3MPa A3
cmax 46.2 c
y2
A2 28.2MPa
A4
46.2MPa
24
M
2.5 kNm
x
-4 k N m
A1 y1 Cz y2
27.3MPa A3
结论——
A2 28.2MPa
A4
46.2MPa
对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： Mmax
30
180
例 ：试求：
（1）1—1截面上1、2两点的
B
正应力；
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200 GPa，求1—1
截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
（一）、纯弯曲：
Fs 梁的横截面上只有弯矩
F
而无剪力的弯曲。
梁的横截面上只有正应力 M
Fa
而无剪应力的弯曲
（二）、横力弯曲（剪切弯曲）：
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。
梁的横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲.
Fa B
F
x
x
5
二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（超静定问题）
（一）几何方面：(变形协调关系) 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
q= 30kN/m
A
B
1m
5m
Fs
112.5kN 52.5kN
M
158.4kNm
112.5
例：图示梁为工字型截面，已知 〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa
试选择工字型梁的型号。
解：1、画Q、M图
FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN
x
2、按正应力确定截面型号
97.5kN
max
（二）物理方面：(应力应变关系) 由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
（三）静力方面：(应力与内力的关系) 由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。
（一）、几何方面 1、实验：
m
n
b
b
a
a
m
n
6
7
8
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线，
m
n
b
b
只是相对转动了一个角
a
a
度且仍与纵向线正交。
M y
dAz 0
A
2
Mz
z
x
y dA
z
y
M z
dAy M
A
3
(1)
N
dA
A
E y dA E
A
A
ydA
E
Sz
0
Sz 0
（中性轴Z轴为形心轴）
(2)
My
dAz
A
E y zdA E
A
A
yzdA
E
I yz
0
I yz 0
（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）
13
(3)
0.5
0.5 103
Fmax 46.1 (kN)
22
例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30 M Pa，
[c]=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，
I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。
FAy F1 9kN
FBy F2 4kN
解：1)求约束反力
2
Fs A
三、剪应力的强度计算
1、强度条件：
max
F S smax zmax Izb
2、强度计算：
⑴、校核强度，⑵、设计截面尺寸，⑶、确定外荷载。
30
3、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
Fs
S
z
I zb
y
注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截
面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；
Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。
28
3、矩形截面剪应力的分布：
h
S
z
yc A
2
2
y b( h 2
y)
b h2 (
24
y2 )
矩
Fs 2I z
( h2 4
y2)
max
3 2
Fs A
1.5
4、中性层：不发生变形的一层纤维。 5、中性轴：中性层与横截面的交线。
推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度， 等高度的一层纤维的变形完全相同。
10
6、线应变的变化规律：
m
n
aa aa aa oo1
b o
aa
oo1
( y)d d y
a
m
b o1
a n
d
dx
y
...... (1)
F
A
5F/2
C
2F
B
F/2 Dh
解：1、求约束反力
2、画M，Mmax
0.5m
0.5m
0.5m
b
Mmax=0.5F
M
0.25F
3、强度计算
0.5F
x
max
M max ≤[ ],
WZ
0.5F
1 bh2
6
1 bh2 160 1 601202
F 6
6
46.1103(N ) 46.1 (kN)
（一）、强度条件： max
（二）、强度计算：
max
M max Wz
1、强度校核 ——
max
；
2、设计截面尺寸
——
Wz
M max
3、确定外荷载 —— M max Wz ;
18
例：厚为t=1.5mm的钢带，卷成直径D＝3m圆环。E 210GPa 。
求：横截面上最大应力
解：1）研究对象：单位宽条
对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：M
max
;
M
m
ax
25
§6—2 弯曲剪应力及强度计算
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 1、假设：⑴ 横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。
⑵ 剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各 点剪应力大小相等）。
2、公式推导
x
dx
图a
Fs zh
y
τ
y
五、正应力最大值的确定
1、横截面上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
z
⑵对Z轴不对称的截面
z
t max
c max
Mym
t ax
Iz Mym
c ax
Iz
M max Wz
2、整个梁上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
M max Wz
⑵对Z轴不对称的截面
t max
(
My)m
a
t x
Iz
c max
92.6MPa
Mmax
全梁最大应力： max
求曲率半径
M max Wz
67.5106 6.48105
104.2MPa
1
EIz M1
200103 5.832107 60 106
194.4103 mm 194.4m
21
例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[σ]=160MPa, 求：Fmax
Mz
ydA
A
E y ydA E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EI z
——（弯曲变形计 算的基本公式）
EI z 梁的抗弯刚度。
将上式代入（2）式得：
My
Iz
……弯曲正应力计算公式。
三、注意：弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M>0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；
qL²/ 8
Fs max
qL 2
3600 3 2
5400(N )
求最大应力并校核强度
x
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 (N.m)
max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7MPa
32
求最大应力并校核强度
二、其它截面梁：
1、工字型截面：仍按矩形截面的公式计算。 y
h
max
A* b( h y) 2
B
y
* c
z
Fs
Z y
B
Fs
S
z
b
Izb
29
2、圆型截面：中性轴上有最大的剪应力，
方向与剪力方向相同。
max
4 3
Fs A
max
3、薄壁圆环：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。
max
Bc
M B y2 Iz
4 88106 763104
46.2MPa
23
F1 9kN
F2 4kN C截面—（下拉上压）
A
1m
M
C
B
1m
1m
2.5 kNm
D
ct
M C y2 Iz
2.588 106 763 104
28.2MPa
x
Cc
M C y1 Iz
17.04 MPa
-4 k N m
4 ) 强度校核
max
M Iz
ymax,
Iz
1 t3 , 12
ymax
t, 2
M ?
D
2）曲率公式：
1
M EI z
D
2
t
M EI z
max
E
ymax
3）求应力：
t 1
max
E D
t
210 109 1.510 3 3
105 MPa
19
1 q 6kN / m
A
1
1m
2m
1 2z
120
M
y
qL²/ 8
A
C
1m
1m
M
2.5 kNm
B 1m
D
y1
FAY 2.5 kN,
C z FBY 10.5kN.
y2 2）画弯矩图
MB 4kNm（上拉、下压）
x MC 2.5kNm(下拉、上压)
3）求应力 B截面—（上拉下压）
-4 k N m
Bt
MB Iz
y1
4 52 106 763104
27.2MPa,
基础教学学院 工程力学部
1
第六章 弯曲应力
§6—1 弯曲正应力及强度计算 §6—2 弯曲剪应力及强度计算 §6—3 提高弯曲强度的措施 弯曲应力部分小结 作业
2
§6—1 弯曲正应力及强度计算
3
源自文库 4
§6—1 弯曲正应力及强度计算
一、基本概念：
aF
剪力“Fs”——剪应力“τ”；
弯矩“M”——正应力“σ”