[材料力学]第6章弯曲应力

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第6章弯曲应力

Iz
200 303 12
200 30 (170 15 139)2
301703 30170 (139 170)2
12
2
z y1
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A
B
2m
3m
20kNm
P=20kN D
C 1m
+ 10kNm
(3) 求最大拉应力与最大压应力
F2 2 bh / 3 2 106 100 150 10 6 / 3 10000 N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
g
FQ
S
* Z
IZb
F3b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F334 106 4
3825N 3.825kN
h3 9
h3 1125106 9 h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 (mm) b 2 h 144 (mm)
3
例
FQ
F l
悬臂梁由三块木板粘
50 接而成。跨度为1m。胶 z50 合面的许可剪应力为 50 0.34MPa，木材的〔σ〕
100
= 10 MPa，[τ]=1MPa，
分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面）
B截面
| Lmax || C max |
C截面
| Lmax || C max |
显然
| C max B || C maxc |
20kNm
C
B
+ 10kNm
+
–
–
+

材料力学第六章弯曲变形

4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω

B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq

+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI

材料力学——弯曲应力

公式推导
线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看：点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置，离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面的内外径之比一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式

材料力学(金忠谋)第六版答案第06章

弯曲应力6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。

题 6-1图解：（a ）m KN M m m ⋅=-5.2 m KN M ⋅=75.3max48844108.49064101064m d J x --⨯=⨯⨯==ππMPa A 37.20108.490104105.2823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压）MPa 2.38108.4901051075.3823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （b ）m KN M m m ⋅=-60 m KN M ⋅=5.67max488331058321210181212m bh J x --⨯=⨯⨯== MPa A 73.611058321061060823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.104105832109105.67823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （c ）m KN M m m ⋅=-1 m KN M ⋅=1max48106.25m J x -⨯=36108.7m W x -⨯=cm y A 99.053.052.1=-=MPa A 67.38106.251099.0101823=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.128106.2510183max =⨯⨯=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。

解：)1(32431απ-=D W x⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=-463)64(110326π 361002.17m -⨯=3463321021.213210632m D W x --⨯=⨯⨯==ππMPa 88.521002.17109.0631=⨯⨯=-σ MPa 26.551021.2110172.1631=⨯⨯=-σ MPa 26.55max =σ6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。

试求梁内最大拉应力与最大压应力。

已知I z =10170cm 4，h 1=，h 2=。

材料力学第6章弯曲应力

图6.5
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例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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(1)变形几何关系弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号

材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)

t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半径 = 2 t min
s x s y 2 2 （） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面应力危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1

sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角两半径夹角2 ；且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy

弯曲应力-材料力学

弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情况，还可以采用其他计算公式来求解弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力和稳定性。

材料力学第六章应力状态理论和强度理论

单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为：单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念和实例
3、三向应力状态（空间应力状态）、三向应力状态（空间应力状态）定义：三个主应力均不为零。定义：三个主应力均不为零。例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点的单元体的单元体，例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体，它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章应力状态理论和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明，前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或哪一点哪一个方向面上”的应力。者“哪一点哪一个方向面上”的应力。如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度如果危险点既有正应力，又有切应力，条件？条件？如何解释受力构件的破坏现象？如何解释受力构件的破坏现象？对组合变形杆应该如何进行强度计算？对组合变形杆应该如何进行强度计算？要全面了解危险点处各截面的应力情况。要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念和实例
一、一点的应力状态定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。一点的应力状态的四要素四要素：一点的应力状态的四要素：）、应力作用点的坐标（1）、应力作用点的坐标；）、应力作用点的坐标；）、过该点所截截面的方位（2）、过该点所截截面的方位；）、过该点所截截面的方位；）、应力的大小（3）、应力的大小；）、应力的大小；）、应力的类型（4）、应力的类型。）、应力的类型。二、研究应力状态的目的对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件，对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件，）、扭转其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。

材料力学06弯曲应力_3切应力_机

5
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点处，计算公式为
max

4FS 3A
式中，A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环：壁厚 t 远小于平均半径 R
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点
max
处，计算公式为
max

2
FS A
式中，A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
x
14
FS max 9.75kN
M 26kN m max
2）校核弯曲正应力强度
由型钢表中查得 No. 18 工字钢截面的几何参数：d = 6.5 mm，Wz = 185 mm3 ，Iz : Sz = 15.4 cm
max

M max Wz

26 185
103 106
140.6 MPa < 170 MPa
y
FS R
max
z
t
y
6
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤

max

3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d

(Iz
:
S z max
)
矩形截面圆形截面薄壁圆环形截面工字形截面
7
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力，并比较其大小。
b
FS
max h
z

缘各点处，弯曲切应力为

材料力学知识点

第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。

平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。

2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。

1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。

2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。

挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。

沿y轴正方向的挠度为正。

转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。

4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。

对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。

因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。

边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。

连续条件：挠曲线的光滑连续条件。

悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。

2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。

材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

材料⼒学习题第六章应⼒状态分析答案详解第6章应⼒状态分析⼀、选择题1、对于图⽰各点应⼒状态，属于单向应⼒状态的是（A ）。

20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点。

2、在平⾯应⼒状态下，对于任意两斜截⾯上的正应⼒αβσσ=成⽴的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。

3、已知单元体AB 、BC ⾯上只作⽤有切应⼒τ，现关于AC ⾯上应⼒有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A ）AC AC /2,0ττσ==；（B ）AC AC /2,/2ττσ==；（C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。

4、矩形截⾯简⽀梁受⼒如图（a ）所⽰，横截⾯上各点的应⼒状态如图（b ）所⽰。

关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。

(b)(a)（A）点1、2的应⼒状态是正确的；（B）点2、3的应⼒状态是正确的；（C）点3、4的应⼒状态是正确的；（D）点1、5的应⼒状态是正确的。

5、对于图⽰三种应⼒状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。

τ(a) (b)(c)（A）三种应⼒状态均相同；（B）三种应⼒状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图⽰主应⼒单元体的最⼤切应⼒作⽤⾯有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发⽣在1σ成45o的斜截⾯上7、⼴义胡克定律适⽤范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适⽤于（ C ）。

材料力学第6章弯曲应力习题答案

本章节主要讨论了弯曲应力的相关概念和计算方法，通过一系列习题和答案展示了如何在实际问题中应用这些原理。然而，关于只受弯矩的转动心轴外径处的弯曲应力，文档没有直接给出详细的解析或公式。这类问题通常涉及到材料力学的基本原理，需要考虑轴的几何尺寸、材料属性以及所受的弯矩大小。在实际应用中，可以通过相关的弯曲应力公式，结合具体的边界条件和载荷情况，来分析和计算转动心轴外径处的弯曲应力。这需要一定的材料力学知识和数学分析能力。虽然文档没有直接提供这一Байду номын сангаас定问题的答案，但它为理解和解决这类问题提供了必要的理论基础和计算方法。

第六章 - 弯曲应力

查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max

FL 4
16kNm
y max

200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max

My
max
IZ
24.09MPa
max

My max IZ
对梁的某一截面：对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max

M max Wz

例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。

1 M Z (b)

EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴

材料力学习题应力状态分析答案详解

解析：与无关
13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变、后，所能算出的材料常数有（ D ）。
（A）只有E；（B）只有v；（C）只有G；（D）E、v和G均可算出。
解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸，
则
14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。
解答：
确定，确定
6、物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a）和（b）所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知、及该点的最大主应力。求该点的另外两个主应力、及最大切应力。
解答：
确定
确定
2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。
解答：
确定
所以确定
3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解答：
确定
所以确定
4、用解析法求图示单元体ab面上的应力（），并求及主应力。
解答：
5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。
由第三强度理论安全
10、直径为20mm的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F＝0.2kN，材料的许用应力为。试用第三强度理论确定折杆的长度a的许用值。
解答：
在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
取
11、AB、CD两杆互相垂直，在水平面内，C点的集中力2F及D点的集中力F与刚架平面垂直。已知F＝20kN，l＝1m，各杆直径相同d＝10cm，。试按最大切应力强度理论校核强度。

6.材料力学——弯曲应力

80 F1=9kN A 1m F2=4kN z C 1m B 1m D y1 20
y2 20
120
20
RA A
F1=9kN
RB
F2=4kN
解
RA = 2.5kN RB = 10.5kN 最大正弯矩在截面 C 上
C 1m 1m
B 1m
D
MC = 2.5kN ⋅ m
最大负弯矩在截面 B 上
2.5kN 80 y1
M( x) ⋅ y σ= Iz
M( x) — 横截面上的弯矩
18
强度条件：二. 强度条件：
σmax
Mmax ⋅ ymax = ≤ [σ ] Iz
σmax
拉压强度相等材料：拉压强度相等材料：拉压强度不等材料：拉压强度不等材料：强度计算：强度计算： a. 强度校核强度校核: b. 截面设计截面设计:
σ = Eε
=E
ρ
y
对称轴
o
z
y
正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零上式只能用于定性分析，上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：而不能用于定量计算：的位置未确定，（1）由于中性轴 z 的位置未确定，）无法标定；故 y 无法标定；
中性轴中性层
y
z
对称轴
ρ
M
中性层
y
图6-4
m ∆θ n z o a′ 中性轴 a′ o′ o′ b′ y b关系
o
o
y 轴 — 截面的对称轴 Z 轴 — 截面的中性轴 —距中性层为 b′b′ 距中性层为 y 处的纤维变形后的长度
y
dϕ 的线应变：纤维 bb 的线应变： γ p = ρ dx M (ρ + y)dθ − ρ ⋅ dθ = y ε= ρ ⋅ dθ ρ

第六周材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)

y
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1

M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y

假设：横截面上各点切应力方向平行于剪力的方向横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz

M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1

max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)

材料力学第六章

解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22

材料力学教案第6章弯曲应力

第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。

掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。

弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。

理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。

从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。

教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。

教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。

教具：多媒体。

教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。

教学学时：6学时。

教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。

怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。

若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。

什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。

这样的特定点称为弯曲中心。

关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。

①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。

②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。

③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。

④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。

这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。