正方形典型例题
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∴AE＝BF，BE＝FC． ∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42． ∴EF＝5． 故选B．
考点 正方形性质，全等的 判定和性质，勾股定理．
• AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°．
∴△GAB≌△FCB．
•
∴∠GBA＝∠FBC．
•
∠G＝∠BFC．
•
又∵AB∥CD．
•
∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA
＋∠EBF．
•
又∵BF平分∠EBC，
•
∴∠EBF＝∠FBC．
•
∴∠GBA＝∠EBF．
∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF
•
＝∠EBA＋∠GBA
•
＝∠EBG．
• 求证：EM＝MG．
解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于连 接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可．
• (思路二)可证E，G到AM的距离相等即可
•
证法一 如图4.6－4
•
过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，
连结GK．
•
∴∠KEA＋∠EAG＝180°．
• 在正方形ABDE和正方形ACFG中，
• AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°．
• ∴∠EAG＋∠BAC＝180°．
• ∴∠KEA＝∠BAC．
• ∵AH⊥BC．
• ∴∠BAH＋∠ABC＝90°．
• 又∵∠EAK＋∠BAH＝90°．
• ∴∠EAK＝∠ABC．
• 又∵AB＝AE，
• ∴△KEA≌△ABC．
• ∴EK＝AC，又AC＝AG．
• ∴EK＝AG．
•
• 证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，
•
AE＝AB，AC＝AG，
•
∠EAB＝∠GAC＝90°，
• ∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．
•
即∠EAC＝∠BAG，
•
∴△EAC≌△BAG．
•
∴EC＝BG．
•
(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，
•
∴∠AEC＝∠ABG．
•
又∵∠1＝∠2，
•
∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．
•
∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．
•
点评 若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，
•
其余条件不变，上述两结论仍能成吗？
•
如果成立试证明之
•
例3 如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为
边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG
• AH⊥BC，交EG于M，垂足为H，
• ∴四边形EAGK是平行四边形．
•
∴EM＝MG．
证法二 分别过E，G作AM的垂 线，垂足为P、Q，
在正方形GACF中， AG＝AC，∠GAC＝90°． ∴∠GAQ＋∠CAH＝90°． 又AH⊥BC． ∴∠CAH＋∠ACH＝90°． ∴∠GAQ＝∠ACH． 又∠GQA＝∠AHC＝90°． ∴△GQA≌△AHC． ∴GQ＝AH． 同理可证：EP＝AH． ∴EP＝GQ． 又∵∠PME＝∠GMQ． ∠EPM＝∠GQM＝Rt∠． ∴△EPM≌△GQM． ∴EM＝MG．
•
∴EF＝PC．
•
∴PA＝EF．
考点 正方形性质，矩形性质和判定
•
例6 (2001年江苏泰州中考题)如
图4.6－8已知，正方形ABCD的对角线交于O，
过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若
AE＝4，CF＝3，则EF等于[ ]
•
A．7 B．5 C．4 D．3
解 易证△AOE≌△BOF， △EOB≌△FOC．
请背诵本章的概 念，性质，判定 定理，上课检查
• 例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD 中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC 于F，求证：BE＝AE＋CF．
• • 解． 析 证AE＋CF＝BE，可以把
AE与CF相接，证其与BE相等
• 证明 延长EA到G，使AG＝CF， 连结BG．
•
在正方形ABCD中，
• 例4 如图4.6－6，已知E为正方形 ABCD的边BC的中点，EF⊥AE， CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．
解析 可取AB中点M， 连结ME，证△AME≌△ECF
•
• 证明 取AB中点M，连结ME
•
在正方形ABCD中，
•
AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．
•
又E为BC中点，
•
∴AM＝BM＝BE＝EC．
•
∴∠BME＝45°．
•
∴∠AME＝135°．
•
又CF平分∠DCG．
•
∴∠ECF＝135°．
•
∴∠AME＝∠ECF．
•
又∵AE⊥EF，
•
∴∠FEC＋∠AEB＝90°．
•
又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．
•
∴∠FEC＝∠BAE．
•
∴△AME≌△ECF．
•百度文库
∴AE＝EF．
•
例5 (2001年江苏扬州中考题)
如图4.6－7，已知P点是正方形
ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，
PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：
AP＝EF．
•
证明 连结AC交BD于O，
• 连结PC．
•
在正方形ABCD中，
•
BD⊥AC，BD平分AC．
•
∴PA＝PC．
• 又∵PE⊥CD，PF⊥BC， ∠DCB＝90°．
•
∴四边形PFCE是矩形．
• ∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE
• • 例2 如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC
为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、 BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．
解析 易证△EAC≌△BAG， 可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG， 于是可证∠EOB＝∠EAB
考点 正方形性质，全等的 判定和性质，勾股定理．
• AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°．
∴△GAB≌△FCB．
•
∴∠GBA＝∠FBC．
•
∠G＝∠BFC．
•
又∵AB∥CD．
•
∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA
＋∠EBF．
•
又∵BF平分∠EBC，
•
∴∠EBF＝∠FBC．
•
∴∠GBA＝∠EBF．
∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF
•
＝∠EBA＋∠GBA
•
＝∠EBG．
• 求证：EM＝MG．
解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于连 接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可．
• (思路二)可证E，G到AM的距离相等即可
•
证法一 如图4.6－4
•
过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，
连结GK．
•
∴∠KEA＋∠EAG＝180°．
• 在正方形ABDE和正方形ACFG中，
• AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°．
• ∴∠EAG＋∠BAC＝180°．
• ∴∠KEA＝∠BAC．
• ∵AH⊥BC．
• ∴∠BAH＋∠ABC＝90°．
• 又∵∠EAK＋∠BAH＝90°．
• ∴∠EAK＝∠ABC．
• 又∵AB＝AE，
• ∴△KEA≌△ABC．
• ∴EK＝AC，又AC＝AG．
• ∴EK＝AG．
•
• 证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，
•
AE＝AB，AC＝AG，
•
∠EAB＝∠GAC＝90°，
• ∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．
•
即∠EAC＝∠BAG，
•
∴△EAC≌△BAG．
•
∴EC＝BG．
•
(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，
•
∴∠AEC＝∠ABG．
•
又∵∠1＝∠2，
•
∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．
•
∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．
•
点评 若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，
•
其余条件不变，上述两结论仍能成吗？
•
如果成立试证明之
•
例3 如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为
边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG
• AH⊥BC，交EG于M，垂足为H，
• ∴四边形EAGK是平行四边形．
•
∴EM＝MG．
证法二 分别过E，G作AM的垂 线，垂足为P、Q，
在正方形GACF中， AG＝AC，∠GAC＝90°． ∴∠GAQ＋∠CAH＝90°． 又AH⊥BC． ∴∠CAH＋∠ACH＝90°． ∴∠GAQ＝∠ACH． 又∠GQA＝∠AHC＝90°． ∴△GQA≌△AHC． ∴GQ＝AH． 同理可证：EP＝AH． ∴EP＝GQ． 又∵∠PME＝∠GMQ． ∠EPM＝∠GQM＝Rt∠． ∴△EPM≌△GQM． ∴EM＝MG．
•
∴EF＝PC．
•
∴PA＝EF．
考点 正方形性质，矩形性质和判定
•
例6 (2001年江苏泰州中考题)如
图4.6－8已知，正方形ABCD的对角线交于O，
过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若
AE＝4，CF＝3，则EF等于[ ]
•
A．7 B．5 C．4 D．3
解 易证△AOE≌△BOF， △EOB≌△FOC．
请背诵本章的概 念，性质，判定 定理，上课检查
• 例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD 中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC 于F，求证：BE＝AE＋CF．
• • 解． 析 证AE＋CF＝BE，可以把
AE与CF相接，证其与BE相等
• 证明 延长EA到G，使AG＝CF， 连结BG．
•
在正方形ABCD中，
• 例4 如图4.6－6，已知E为正方形 ABCD的边BC的中点，EF⊥AE， CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．
解析 可取AB中点M， 连结ME，证△AME≌△ECF
•
• 证明 取AB中点M，连结ME
•
在正方形ABCD中，
•
AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．
•
又E为BC中点，
•
∴AM＝BM＝BE＝EC．
•
∴∠BME＝45°．
•
∴∠AME＝135°．
•
又CF平分∠DCG．
•
∴∠ECF＝135°．
•
∴∠AME＝∠ECF．
•
又∵AE⊥EF，
•
∴∠FEC＋∠AEB＝90°．
•
又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．
•
∴∠FEC＝∠BAE．
•
∴△AME≌△ECF．
•百度文库
∴AE＝EF．
•
例5 (2001年江苏扬州中考题)
如图4.6－7，已知P点是正方形
ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，
PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：
AP＝EF．
•
证明 连结AC交BD于O，
• 连结PC．
•
在正方形ABCD中，
•
BD⊥AC，BD平分AC．
•
∴PA＝PC．
• 又∵PE⊥CD，PF⊥BC， ∠DCB＝90°．
•
∴四边形PFCE是矩形．
• ∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE
• • 例2 如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC
为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、 BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．
解析 易证△EAC≌△BAG， 可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG， 于是可证∠EOB＝∠EAB