功函数和接触电势差 共16页
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IＡ ＝ 4h π3 m(kBT)2eAkBT
IB＝ 4h π3 m(kBT)2eBkBT
若B> A，则VA>0, VB<0，两块金属中的电子分别具有附
加的静电势-eVA和-eVＢ，这时两块金属发射的电子数分别为：
IA 4h π3 m(kBT)2e(AeV A)kBT
IB 4h π3 m (kB T)2e(BeB V)kB T
4.3.1 功函数
1.功函数 电子在深度为E0的势阱内， 要使费米面上的电子逃离金属，
至少使之获得=E0－ＥＦ的能 量，称为脱出功又称为功函
数。脱出功越小，电子脱离金
ＥＦ
E0
金属中电子的势阱和脱出功
属越容易。
2.里查孙－德西曼公式 热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热 电子发射。 发射电流密度：
v为电子运动速度，dn 为单位体积中速度在 v~vdv
之间的电子数。
j evxdn
d v 中电
子数
d k 中电
子状态数
可到达金属表 面的电子数
12mvx2 E0
d v中电子
状态数
分布函 数f(E)
电流密 度
可到达金属表 面的电子数
k~kdk间的状态数：
VC
2 π 3
dk
当达到平衡时， I'A IB' , Ａ ＋ eA V B ＋ eB V ,
接触电势差： VAVB1 e(BA)
eB V ( eA V ) B A
VAVB1e(BA)
上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功 不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触 电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。
理论推导上式。
设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A 和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：
x方向的动能 １ mv
2
2 x
必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因
此对vy，vz积分得：
je2(m h)3
e m2 vy
2kBTdvy
e mz2 v
2kBTdvz
ve dv
(EF1 2mx v2) kBT
(2E0/m)1/2 x
x
利 用e 公 x2dx式 π ， 得 －
e dv m2yv2kBT
y
2kBTπ m
e dv mz2v2kBT
z
2kBTπ m
j e 2 (m h )32 k m B T π( 2 E 0/m )1 /2v x e (E F 1 2 m x 2 )vk B T d v x
4 π eh 3 2 m k B T e E Fk B T( 2 E 0m )12e m x 22 v k B T v x d v x
j 4 π eh 3 2 m k B T e E Fk B T( 2 E 0m )12e m x 22 v k B T v x d v x
e vdv
mx2v2kBT
(2E0 m)12
xx
12kBTem2xv2kBT
2 m
2E0 m12
kBTeE0 kBT m
2VπC3 dkxdkydky
电 子 v ( k ) 1 速 k E m k 度 ,E ( k ) 1 2 m 2 v
kx
m
v
x
m ky vy
kz
m
vz
v~vdv 间的状态数：
VC
2π3
m 3dvxdvydvy
v~vdv 间的电子状态数: 2VC2m π3dvxdvydvy
单位体积中在 v~vdv 间的电子状态数:
2( m )3 dv h
(2)单位体积 v~vdv间的电子数
dn2(m h)3e(1 2m2 vE 1 F)kB T1dvxdvydvz
(3)可到达金属表面的电子数
由于发射电子的能量
1 2
mv
2
必须满足：
12m2vEFE0EF
而>>kBT，
v
vt 设金属中电子运动速度的平均值为 v 。单位体积内自由
电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：
j nev
选取横截面为S，长度为 v t 的小圆柱， S
t时间内通过S截面的电量为：
v
q nevSt
vt
电流密度 j nev
按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？
j evxdn
j AT2e kBT ---里查孙－德西曼公式
根据实验数据作 ln(j/T2)~1/T图，则得到一条直线。由
此可确定金属的脱出功。
经典理论求电流密度。 电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂
直的单位截面积的电流强度。
电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。
S
j dI dq dS dtdS
j＝ 4π h e3 m (kB T)2e(E0EF)kBT
AT2ekBT
---里查孙－德西曼公式
4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A
++ +
---
Ｂ
+ + + -- -
０ EF
A
B ０
EF
金属的能级和功函数
接触电势差
由图可得电势差和功函数的关系式： BA ， V AV B
d n2(m h)3e(E F1 2m2)vkB Td vxBaidu Nhomakorabea vyd vz
dn2(m h)3e(E F1 2m2)vkB Tdvxdvydvz
j evxdn
e 2 (m h)3vx e(E F 1 2m 2)v k B T d vx d vyd vz
设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿
第三节 功函数和接触电势差
本节主要内容: 4.3.1 功函数 4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A
++ +
---
Ｂ
+ + + -- -
接触电势差
接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导 线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势 VA和VB，这称为接触电势。
§4.3 功函数和接触电势差
IB＝ 4h π3 m(kBT)2eBkBT
若B> A，则VA>0, VB<0，两块金属中的电子分别具有附
加的静电势-eVA和-eVＢ，这时两块金属发射的电子数分别为：
IA 4h π3 m(kBT)2e(AeV A)kBT
IB 4h π3 m (kB T)2e(BeB V)kB T
4.3.1 功函数
1.功函数 电子在深度为E0的势阱内， 要使费米面上的电子逃离金属，
至少使之获得=E0－ＥＦ的能 量，称为脱出功又称为功函
数。脱出功越小，电子脱离金
ＥＦ
E0
金属中电子的势阱和脱出功
属越容易。
2.里查孙－德西曼公式 热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热 电子发射。 发射电流密度：
v为电子运动速度，dn 为单位体积中速度在 v~vdv
之间的电子数。
j evxdn
d v 中电
子数
d k 中电
子状态数
可到达金属表 面的电子数
12mvx2 E0
d v中电子
状态数
分布函 数f(E)
电流密 度
可到达金属表 面的电子数
k~kdk间的状态数：
VC
2 π 3
dk
当达到平衡时， I'A IB' , Ａ ＋ eA V B ＋ eB V ,
接触电势差： VAVB1 e(BA)
eB V ( eA V ) B A
VAVB1e(BA)
上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功 不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触 电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。
理论推导上式。
设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A 和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：
x方向的动能 １ mv
2
2 x
必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因
此对vy，vz积分得：
je2(m h)3
e m2 vy
2kBTdvy
e mz2 v
2kBTdvz
ve dv
(EF1 2mx v2) kBT
(2E0/m)1/2 x
x
利 用e 公 x2dx式 π ， 得 －
e dv m2yv2kBT
y
2kBTπ m
e dv mz2v2kBT
z
2kBTπ m
j e 2 (m h )32 k m B T π( 2 E 0/m )1 /2v x e (E F 1 2 m x 2 )vk B T d v x
4 π eh 3 2 m k B T e E Fk B T( 2 E 0m )12e m x 22 v k B T v x d v x
j 4 π eh 3 2 m k B T e E Fk B T( 2 E 0m )12e m x 22 v k B T v x d v x
e vdv
mx2v2kBT
(2E0 m)12
xx
12kBTem2xv2kBT
2 m
2E0 m12
kBTeE0 kBT m
2VπC3 dkxdkydky
电 子 v ( k ) 1 速 k E m k 度 ,E ( k ) 1 2 m 2 v
kx
m
v
x
m ky vy
kz
m
vz
v~vdv 间的状态数：
VC
2π3
m 3dvxdvydvy
v~vdv 间的电子状态数: 2VC2m π3dvxdvydvy
单位体积中在 v~vdv 间的电子状态数:
2( m )3 dv h
(2)单位体积 v~vdv间的电子数
dn2(m h)3e(1 2m2 vE 1 F)kB T1dvxdvydvz
(3)可到达金属表面的电子数
由于发射电子的能量
1 2
mv
2
必须满足：
12m2vEFE0EF
而>>kBT，
v
vt 设金属中电子运动速度的平均值为 v 。单位体积内自由
电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：
j nev
选取横截面为S，长度为 v t 的小圆柱， S
t时间内通过S截面的电量为：
v
q nevSt
vt
电流密度 j nev
按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？
j evxdn
j AT2e kBT ---里查孙－德西曼公式
根据实验数据作 ln(j/T2)~1/T图，则得到一条直线。由
此可确定金属的脱出功。
经典理论求电流密度。 电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂
直的单位截面积的电流强度。
电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。
S
j dI dq dS dtdS
j＝ 4π h e3 m (kB T)2e(E0EF)kBT
AT2ekBT
---里查孙－德西曼公式
4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A
++ +
---
Ｂ
+ + + -- -
０ EF
A
B ０
EF
金属的能级和功函数
接触电势差
由图可得电势差和功函数的关系式： BA ， V AV B
d n2(m h)3e(E F1 2m2)vkB Td vxBaidu Nhomakorabea vyd vz
dn2(m h)3e(E F1 2m2)vkB Tdvxdvydvz
j evxdn
e 2 (m h)3vx e(E F 1 2m 2)v k B T d vx d vyd vz
设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿
第三节 功函数和接触电势差
本节主要内容: 4.3.1 功函数 4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A
++ +
---
Ｂ
+ + + -- -
接触电势差
接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导 线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势 VA和VB，这称为接触电势。
§4.3 功函数和接触电势差