圆锥曲线标准方程求法

圆锥曲线标准方程求法

一、椭圆标准方程求法

1、定义法

【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。

【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25

7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.

【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫

⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；

【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程.

【例4】设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；

2、待定系数法

1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x

，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．

2．已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程．

3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程．

4.设椭圆:E 22

221x y a b

+=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。

3、转化已知条件

【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12-

.求点M 轨迹C 的方程;

【例2】设Q 、G 分别为ABC ∆的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //｡求点C 的轨迹E

【例3】已知动点P 到直线33

4-

=x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;

【例4】已知M （4，0）、N （1，0），若动点P 满足||6PN MP MN =⋅。求动点P 的轨迹方程；

【例5】已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂

足为Q ，且QP QF FP FQ =．求动点P 的轨迹C 的方程；

二、双曲线的标准方程

1、定义法

【例1】（08重庆文21）M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足2PM PN -=， 求点P 的轨迹方程;

变式1：平面内动点P 到定点)0,4(1-F 的距离比它到定点)0,4(2F 的距离大6，求动点P 的轨迹方程。

变式2：求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(2

2=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程

2、待定系数求 【例2】求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程

变式1：求过点（2，-2）且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程．

变式2：求经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

3、利用几何性质求双曲线的标准方程

【例3】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线2

24y x =的准线上，求双曲线的方程。

变式1：已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程是y =， 它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，求双曲线的方程。

变式2：已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =

求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；

变式3：已知椭圆2222

1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右

焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，求椭圆和双曲线的标准方程。

4：直接法求双曲线的标准方程

【例4】点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49

，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．

巩固训练

1.根据下列条件求双曲线的标准方程

(1）实轴的长为8，虚轴的长为6，焦点在y 轴；

(2(2,4)M -,

(3)一条渐近线方程是2y x =±，且经过（1，3），

(4)渐进线方程为23

=±y x ，实轴长为6 2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（ ）221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．22

1610

x y -=

3.已知渐近线方程12

=±y x 的双曲线经过点4（，则双曲线的方程是（ ） A ．2214-=y x B ．2214-=y x C ．2214-=x y D ．2

214

-=x y

4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线方程为3y x =±， 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．

5.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）

（A ）222=-y x （B ）222=-x y

（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或22

2=-x y

6.已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．

7.已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-->>的两个焦点为12(2,0),(2,0),F F P -点的曲线C 上，求双曲线C 的方程；

8.已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，

一条渐近线的方程是025=-y x ，求双曲线C 的方程；

9.与椭圆x 2+4y 2

=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是

10.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）

A. 1-

B. 1

C. 5

D. 11.椭圆19

162

2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为

12.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）

A ．（0，+∞）

B ．（0，2）

C ．（1，+∞）

D ．（0，1）

13．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a

a PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

14．椭圆12222=+b

y a x 和k b y a x =+22

22()0>k 具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴