2008年数四 考研数学真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则(

)

10

lim n

n

n

n a

b

--→+（ ）

()A a .

()B 1a -. ()C b .

()D 1b -.

（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0

()()x f t dt g x x

=

⎰的（ ）

()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.

()C 无穷.

()D 振荡.

（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域

{

(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）

()A ()()0D

f y

g x dxdy =⎰⎰.

()B ()()0D f x g y d x d y =

⎰⎰.

()C [()()]0D

f x

g y dxdy +=⎰⎰.

()D [()()]0D

f y

g x dxdy +=⎰⎰.

（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分

'0

()a

xf x dx ⎰

（ ）

()A 曲边梯形ABCD 面积.

()B 梯形ABCD 面积.

()C 曲边三角形ACD 面积.

()D 三角形ACD 面积.

（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3

0A =，则（ ）

()A E A -不可逆，E A +不可逆.

()B E A -不可逆，E A +可逆.

()C E A -可逆，E A +可逆.

()D E A -可逆，E A +不可逆.

（6）设1221A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫

⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪

⎝⎭

()D 1221-⎛⎫

⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）

()A ()2F x .

()B ()()F x F y .

()C ()2

11F x --⎡⎤⎣⎦

.

()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）

()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.

()D {}211P Y X =+=.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数21,()2,x x c

f x x c x ⎧+≤⎪

=⎨>⎪⎩

在(,)-∞+∞内连续，则c = .

（10）已知函数()f x 连续且0

()

lim

2x f x x

→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2

1

1

3

ln y dx x xdy =⎰

⎰ .

（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .

（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .

（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}

2

P X EX == .

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分10分）

求极限20

1sin lim

ln x x x x

→. (16) （本题满分10分） 设()()1

f x t t x dt =

-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.

(17)（本题满分10分）

求函数222u x y z =++在在约束条件22

z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.

(18)（本题满分10分）

设(),z z x y =是由方程()2

2

x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导

数且1ϕ'≠-时，

求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=

- ⎪-∂∂⎝⎭

，求u x ∂∂.

(19)（本题满分10分）

()f x 是周期为2的连续函数，

（1）证明对任意实数都有

()()2

2

t t

f x dx f x dx +=⎰

⎰

（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）

设矩阵22

21212n n

a a a A a a ⨯⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，

（1）求证()1n

A n a =+

（2）a 为何值，方程组有唯一解

（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足

323A ααα=+，

证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1

P AP -.

（22）（本题满分9分）

设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()1

1,0,13

P X i i ==

=-，Y 概率密度为()101

0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它

，记Z X Y =+

（1）求102P Z X ⎧⎫≤

=⎨⎬⎩⎭

（2）求Z 的概率密度

（23）（本题满分9分）

设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有

3

4

产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.