波函数和薛定谔方程
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观粒子状态和性质的数学框架。
波函数和薛定谔方程是量子力学中最基本的概念和方程，它们对于理解量子世界起着至关重要的作用。
一、波函数的概念与性质在量子力学中，波函数是描述一个粒子状态的数学函数。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它的本质是由Schrödinger方程产生的解。
波函数的平方的绝对值表示了在给定的坐标和时间点上发现粒子的概率密度。
波函数具有以下几个重要的性质：1. 归一化性：波函数的归一化要求其在整个空间范围内的概率积分为1，保证了粒子存在的概率。
2. 连续性：波函数在连续性要求下需要满足薛定谔方程，保证了粒子的连续性。
3. 可复的性：波函数可复性表示波函数可以是复数形式，具有实部和虚部。
二、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子体系中波函数随时间演化的基本方程，由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程可以用于求解各种量子力学问题，从而得到波函数。
薛定谔方程的一般形式为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以通过对哈密顿算符作用于波函数得到，它描述了波函数随时间的变化规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用波函数和薛定谔方程在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型的例子来说明其在实际问题中的应用。
1. 粒子在势场中的行为：通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场中的波函数。
根据波函数的模方，可以得到粒子在势场中的概率分布，进而研究其运动规律。
2. 量子力学中的双缝实验：双缝实验是量子力学的经典实验之一。
通过薛定谔方程可以得到双缝实验中的波函数，从而解释了粒子的波粒二象性。
3. 原子与分子结构：波函数和薛定谔方程在原子与分子结构的研究中发挥了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子与分子的能级结构和等离子态。
四、波函数与薛定谔方程的发展与挑战自薛定谔方程提出以来，波函数与薛定谔方程的研究不断发展，并面临着一些挑战。
波函数 薛定谔方程
（3）粒子能量 一维运动（ 一维运动（沿
E 是一定值
x 轴），V(x) 不显含 t ，一维定态问题
2 d 2 H = +V(x) 2 2m dx
2 d 2ψ(x) +V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2 2m dx
d 2ψ(x) 2m + 2 [E V(x)] (x) = 0 ψ 2 dx
ψ1(x) 与 ψ1 (x) 描写粒子的同一个状态
所以只取
n =1
A由归一化条件求出
ψ (x)
2
：粒子出现在附近单位长度间隔中的几率
粒子出现在
∞
x ~ x + dx 之间的几率 dW = ψ(x) dx
2
1 = ∫ ψ (x) dx = ∫0 ψ (x) dx = ∫0 x)
∞
a
2
a
2
a
nπx A sin dx a
2 2
=∫
0
1 2nπx 1 2 a 2nπx a A (1 cos )dx = A (x sin ) 2 a 2 2nπ a 0
2
1 2 = Aa ， 2
2 A= a
2 nπx sin ψn (x) = a a 0
0< x <a x < 0, x > a
nπ En = 2ma2
2
2 2
∝ E ， E 不再解释为能量密度
2
2
三、波函数的标准条件和归一化条件 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 轨迹方程？ 轨迹方程？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、完全确定的 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、 波函数： 波函数：单值函数 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是有限的 波函数： 波函数：有限的 粒子出现在空间各点上的几率分布及随时间的变化是连续的 波函数： 波函数：连续的
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
第一章波函数和薛定谔方程
于是粒子的运动又表现出波动性 总之.微粒的运动遵从的是统计性的规律 而不同于经典力学的确定性规律
(3) 波函数的不确定性：
1、常数因子不定性：
(rv)和 C (rv) 描述同一种运动状态。
)
0 cos 2
(E h
t
x) hp
1 0 cos (Et x
px )
(x,
t)
i (Et
0e
px x)
（取实部）
描述自由粒子(三维）可用平面波波函数来描述。
i ( pvrvEt )
pv Aeh
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量） 粒子的状态就不能用平面波描写，这样的微观 粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数）
(4)波函数的归一化
( , ) * d 2 d
(全)
(全)
归一化条件就可以简单表示为：
( , ) 1
t时刻粒子出现在 pv点附近 dpv体积元内的几率；
电子衍射实验
1.1.5 Heisenberg不确定度关系
接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨 道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确 定的动量。
粒子出现在x~x+dx间隔的概率 | (x) |2 dx
所以由波函数只能给出粒子位置的平均值 x及其偏差 x2
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程
1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动和性质。
而波函数则是薛定谔方程的解，通过波函数可以得到粒子的位置、动量等信息。
在量子力学中，波函数起着至关重要的作用，它是一种描述微观量子系统的数学工具。
下面将详细介绍波函数和薛定谔方程的基本概念和性质。
在量子力学中，波函数通常用Ψ（psi）来表示，它是一个关于时间和空间的复数函数。
波函数的模的平方|Ψ|² 可以描述粒子存在于某个位置的概率密度，即波函数的绝对值平方代表了粒子在空间中的分布情况。
波函数Ψ满足归一化条件，即积分∫|Ψ|² dV = 1，其中dV表示体积元素。
这意味着波函数描述的是单位概率密度，即粒子存在于空间中的概率为1。
薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，一般写为：iℏ∂Ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i表示虚数单位，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V是势能函数。
薛定谔方程包含了波函数的时间演化和空间演化，可以描述量子粒子在不同势场中的运动和行为。
波函数的物理意义在于可以通过对波函数的操作得到粒子的物理量。
例如，对波函数Ψ做位置算符作用Ψ(x)，可以得到粒子的位置期望值；对波函数Ψ做动量算符作用-iℏ∇Ψ(x)，可以得到粒子的动量期望值。
波函数还可以描述量子系统的波包运动、干涉效应等现象，展现了量子力学的奇妙之处。
总之，波函数和薛定谔方程是量子力学中的核心概念和基本方程，它们揭示了微观世界的规律性和奇特性。
通过深入理解和研究波函数和薛定谔方程，可以更好地理解量子世界的奥秘，推动量子科学的发展和应用。
希望本文的介绍对读者有所帮助，激发对量子力学的兴趣和研究。
波函数及薛定谔方程
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理 量的波动，不描述介质中运动状态（相 位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的 。
二、薛定谔方程： 是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即 一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程
大学物理13.3波函数薛定谔方程
2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.
波函数和薛定谔方程
b a
Ò
S
r r r J (r , t ) dS
得
dJ x ( x, t ) = J x (a, t )- J x (b, t )
J x (a, t )和 J x (b, t ) 分别表示流入和流出Vab
r d 3r r r , t d r=( ) dt 蝌 V
抖 2 y* * y y =y + y 抖 t t t
对于一维的薛定谔方程
抖 ih y ( x, t ) = 抖 t 轾 h2 2 犏 + U ( x, t ) y ( x, t ) 犏 2m x 2 臌
则对于上式，可写为
抖 r ( x, t ) + 抖 t x J x ( x, t ) = 0
有
ì ï 抖 y ih 2y i ï = - Uy ï 2 ï 抖 t 2m x h ï í ï 抖 y* ih 2 y * i * ï = + U y ï 2 ï t 2m x h ï î 抖
不稳定粒子
发生衰变、或湮灭-再生过程的 粒子，则
P (t ) =
ò
¥
么？
守恒性
归一化条件是非相对论性粒子概率意义 的自然要求，也是薛定谔方程的结果。
r d 3r r r , t d r® 0 ( ) ò dt ¥
ò
+
-
y (x, t ) dx = e- t t
2
P (t )是粒子出现在全空间的概率， t 为粒子衰变的寿命。
算符
在位形空间里，描述动量的函数不再 是一般的函数，而是微分算符
ˆx px ? p - ih ¶ ¶x
普通物理学波函数 薛定谔方程
2
i 2 2m x t
2 2
上页
下页
2、一维势场U（x，t）中运动粒子
i E t 2 2 P 2 2 x P2 E Ek U U 2m
2
2 2 U i 2 2m x t
在势场中一维运动的粒子的含时 薛定谔方程
单位体积中出现的概率，又称为概率密度 时刻 t , 粒子在空间
r
处 dV 体积内出现的概率
( r , t ) 不可直接测量！
(r ) (r )
2 可测量——在空间 w( r ) ( r ) 的概率密度。
r 处可观测到粒子
量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子 的概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种 可能性的判断，不能做绝对确定性t
三维势场中运动粒子的含时薛定谔方程
上页 下页
定态薛定谔方程 一维：
2 2 U i 2 2m x t
i E t
( x )e
i Et
U E 2 2m x 2 d 2 U E 2 2m d x
2 2 i 2 2m x t 2 U i 2m t
2
一维定态薛定谔方程
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
2m 2 ( E U ) 0
2
三维定态薛定谔方程
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奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。薛 定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之 一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的 放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的 基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立 了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在 量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛 顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可 薛定谔 以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微 Erwin 观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速 Schrö dinger 率远小于光速的条件下适用。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的 ( 1887–1961) 影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理 学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的 特点之一。 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年 同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
21.5波函数薛定谔方程
Ψ (x,t) 0e h
（3）波函数的统计意义
与光波类比，物质波的强度：
I | |2 为正实数
*是 的共轭复数。
由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波
的强度与粒子在该处出现的概率Ｗ 成正比。
W | |2
某一时刻粒子出现在某点附近在体积元 dV 中的概率为：
dW 2 dV *dV
dW 2 dV *dV
的性质，只要势场不随时间变化，粒子的波函数总具 有以下形式
i Et
(r ,t) (r )e
(r─)定态波函数
粒子在空间的概率密度 P(r ,t) (r ,t) 2 (r ) 2
因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子 在空间出现的概率也不随时间变化。
粒子的这种状态称为定态(stationary state)。
定态波函数性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度 2 不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 .
1） (x, y, z) 为有限的、单值函数 .
2） 和
, ,
x y z
连续 ;
3）
2 dxdydz 1 可归一化 ;
x, y,z
21.5 波函数 薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学，并建立了量 子力学的近似方法。
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学（1925年海森堡）和波动 力学（ 1926年薛定谔）。
E p2 U (r,t) 2m
薛定谔方程为
i
(r
t
,
t)
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。
微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。
必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。
正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。
实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。
但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。
波函数与薛定谔方程
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + − − − + cnψn = ∑cnψn
c1, c2 ,− − −cn为 意 数 任 常
n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例 1、子弹通过双缝的射击实验 （经典） 经典） 、
a
子弹
P 1 P 2
b
P
P = P + P概 叠 率 加 1 2
等项. 等项
(二),方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 二 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质. 各项系数只能为普适衡量 如 和表示粒子一般属性的量,如 和表示粒子一般属性的量 各项系数只能为普适衡量,如h,和表示粒子一般属性的量 如 普适衡量 m 等,而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、动量等 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量 动量等.
或
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px) h
？
24
∂ψ ∂2ψ ∂ψ 原则： 一 波函数满足叠加原理 可有 原则： (一),波函数满足叠加原理 ,可有 ∂x , ∂x2 , ∂t ,− − − −
等项, 等项 不能含
∂ψ ψ2 , ,− − − − ∂x
2
光子在某处出现的概率和 光子在某处出现的概率和 概率 该处光振幅 平方成正比 振幅的 该处光振幅的平方成正比
4
自由电子的波函数
ψ ( x, y , z , t ) = ψ 0 e
v v i ( p⋅r − Et ) / h
ψ (r , t ) = ψ 02
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c11c1 1 c11c22 c22c1 1 c22c22
c1 1
2Байду номын сангаас
c2 2
2 c1c212
c1 c21 2
6、态迭加原理的一般形式 当 1, 2 ,n 为体系的可能状态时，他们的
线性迭加 c11 c22 cnn cnn
同一状态，不影响归一化，ei 称为相因子
4，自由粒子波函数不可归一化
例：
p (r,t)
Ae i
(
pr
Et
)
而
p
2
d
§2.2 态迭加原理
波粒二象性
波函数的统计解释 态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一
态迭加原理
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种 可能值以一定几率出现，如
x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%
第二章 波函数与薛定谔方程
•2.1波函数的统计解释 •2.2 态迭加原理 •2.3 薛定谔方程 •2.4 定态薛定谔方程 •2.5 一维无限深势阱 •2.6 线性谐振子 •2.7 势垒贯穿（隧道效应）
§2.1波函数的统计解释
• 一、波函数
• 1、平面波是描述具有确定能量（ν）和
动量（λ）的粒子的波函数：
也是体系的一个可能状态。当体系处n 于 态时，
体系部分的处于 1, 2 ,n 态之中
§2.3 薛定谔方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由牛 顿运动方程求出
量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。
的各种性质，测量其他物理量的可能值，
及取这些值的几率
三、波函数的归一化
• 1、以波函数(x, y, z, t) 描写粒子的状态，
t时刻（x,y,z）位置波函数强度
以dw(x,y,z,t)表示在（x x+dx,y y+dy,z • dz )位置找到粒子的几率
由波函数的统计解释：
dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2 d
实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定， 并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确 性，归根结底，只能靠实验来检验
下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是
E p2 2m
(1)
m的是波粒的子角质频量率，按照和德波布矢罗意k关（系k ， 2与 粒）子，运由动下相式联给系出
E
，
k
p
(2)
T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率密度
w(x, y, z,t) dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2
d
2、波函数的归一化
c (x, y, z,t) 2 d 1
c
1
2 d
c ：成为归一化常数，
令 c则w 2
例：给定(x) 1 cos 2x
2a
2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出
如 t时刻，x (3,3.5)找到粒子的几率W
3.5
2
W
(x, y, z,t) dxdydz
3
• 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现?
源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理：
在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻
波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波
或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联
系(的r是,t平)～面单e i色(k 波r 。t) e i(p r E )/ t
(3)
由(3)式可得
i E
i t p
22p 2
利用(1)式，可以得出
(i22)(Ep2)
t 2m
2m
即： i(r,t)22(r,t)
(4)
t
2m
注意：方程(4)中 (r,t)是一个单色平面波。
而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包
的形式，即为许多单色平面波的叠加。
1
(r,t) ＝ (2)3/2
(p )ei(p rE)t/d3p
(5)
式中： E p 2 ，不难证明
2m
i
t
(2 1)3/2
(p )Ei(p e r E)/td3p
2 2 (2 1 )3/2 (p )p 2ei(p r E)/td3p
的干涉，若 y1为一列波，y2为一列波，则 y y1 y2 也是一个可能的波动状态
4、态迭加原理
如果 1和 2是体系的可能状态，则它们的线性
迭加 1 2 也是这个体系的一个可能状态，
而且当粒子处于 1 和 2 的线性迭加态时，粒
子是既处于 1 态，也处于 2 态
5、状态迭加——干涉项
一般，为复函数，如1 10ei1 , 2 20ei2
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
一、薛定谔方程的引入
下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调 的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
∴
( i t 2 m 2 2 ) (2 1 )3 /2 (p ) (E p 2 /2 m ) e i(p r E )/ d t3 p
Ae •
ψ(r, t)
i
(
pr
Et
)
它描写当粒子不受外力F
(r, t )作用，因而E ,
P不变的
自由粒子运动。
2、一 般F≠0,在外力场中，势能
V (r ,t),
(r , t)满足薛定谔方程和边界条件称为
波函数
二、波函数的物理意义—统计解释
• 1、经典波表示 y(x,t
•2、量子力学的波函数
), E((rr,,tt)),不P(表r ,示t) 任何具体物
理量 3、
(r ,
t)
2表示在时刻t位置
r 附近单位体积
内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 r
附近发现粒子的几率密度
4态、）波，函数表(示不r,微仅t)观可体以系告的诉量我子们态在（状态(r、, t)
位置测量出粒子的几率，还可以描写体系
将其归一化
x (0, a)
解:令以归一化波函数为 (x),设(x) c(x)
• 归一化：
(x) 2dx 1 c 2 a cos2 2x dx
40
a
1 c 2
a 1 cos
4x
a dx
1
c
2
a
1
40 2
42
解得：c 2
8 a
c2
2 a
3、任意相因子
一般(x, y, z,t)为复函数，ei 与描写