高二数学圆的方程练习

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高二上学期数学练习题(5)(圆与方程综合)有详细答案

高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）班级姓名学号一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．252.函数 y ＝|x | 的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( ) A ．24 B ．16 C ．8 D ．44. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－28. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．310. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 211. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．4312. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________14.已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________. 15.设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________ .16.过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝17.平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________18.已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标是______三．解答题19.已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20.已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21.如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．22.已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）参考答案班级姓名学号（第5—11页，共7页）一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．25[答案] A[解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心(1,-2)到原点的距离d ＝5，已知园的半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.2. y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2 D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C [解析] ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2PA =2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小 4. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 [答案] D [解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π[答案] A [解析] 原点O 到直线240x y +-=的距离为d ，则d ＝45，园C 圆心C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知圆心C 是线段AB 的中点，又以斜边AB 为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，∴2d r ≥,所以r 最小为2d ==25，面积最小为4π5，故选A6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0 的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2[答案] D[解析] 由空间两点间的距离公式得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝6或x ＝－2. 8. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.9. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．3[答案] B[解析] 依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.10. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3（需作出弦心距），圆心到直线的距离d ＝1－(32)2＝12， ∴1k 2＋1＝12（注：用点到直线的距离公式表示弦心距），解得k ＝±3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.11. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43[答案] B[解析] △ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即在直线x ＝1上，设圆心D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝1＋(b －3)2，解之得b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝12＋(223)2＝213.故选B ．12. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________[答案] [34，＋∞)[解析] 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA ．。

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.．已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于圆心坐标，只有选项符合，故选【考点】圆的标准方程.3.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。

(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。

【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。

5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。

8分;当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2由圆心到直线的距离 10分;解得，此时直线的方程为综上所述，满足题意的直线的方程为：或. 12分.【考点】(1)圆的标准方程；（2）点到直线的距离公式.4.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为．【答案】.【解析】与坐标轴的两个交点是：（4，0），（0,2），抛物线的焦点是（2,0），所以可以设圆的一般方程，把上面三个点坐标带入，解得D=-6，E=-6，F=8.【考点】求圆的方程.5.有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．【答案】【解析】本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.试题解析：法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.法二：设圆的方程为，则圆心为，由，得解得所以所求圆的方程为.法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得解理所以所求圆的方程为.法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，即.又因为，所以，所以直线BP的方程为.解方程组得所以．所以圆心为AP的中点，半径为,所以所求圆的方程为.【考点】圆的标准方程, 直线与圆相切．6.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为（）A． B. C. D.【答案】B【解析】学生作此题时应注意：过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域面积，不是过A 、B 、C 三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC 最大圆的面积．此题是一道易错题．直角三角形外接圆的直径就是斜边长, 中斜边不变,所以过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形是以A 为圆心,以3为半径的圆, 过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为故选C【考点】直角三角形外接圆7. 在平面直角坐标系内，若圆：的圆心在第二象限内，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆：化成标准方程为：，可知圆心坐标为，因为圆心在第二象限内，故，得到.【考点】圆的方程.8. 一束光线从点出发，经x 轴反射到圆上的最短路径是（）A ．4B ．5C ．D ．【答案】A【解析】依题意可得，在x 轴上找一点使得到点A 与C 的距离和最短，这最短距离减去半径1，就是所求的值.点A 关于x 轴的对称点A--1(-1,-1),圆心C （2,3），A--1C 的距离为，所以到圆上的最短距离为5-1=4.故选A. 【考点】1.最短距离的知识点.2.两点间的距离公式. 9. 圆的圆心坐标是（） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（-2，-3）D ．（2，-3）【答案】D【解析】把圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，就可以很快得出圆心坐标及圆的半径．【考点】圆的标准方程．10. 已知点是圆上的点（1）求的取值范围. （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；（2）【解析】（1）圆配方为，设，把代入中，转化为三角函数的值域问题，或者可设=，再与圆的方程联立，消去，得关于的一元二次方程，利用列不等式，得的范围；（2）把代入中，转化为三角函数的最小值问题，且最小值，该题还可以数形结合，表示直线=0上方的平面区域，只要让圆落在区域内即可. 试题解析：（1）圆可化为依题意：设∴即：的取值范围是6分（2）依题意：设∴∴又∵恒成立∴∴a的取值范围是 12分【考点】1、圆的方程；2、利用恒成立问题确定参数的取值范围.11.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（）A．D=0,E≠0, F≠0;B．E=F=0,D≠0;C．D="F=0," E≠0;D．D=E=0,F≠0;【答案】A【解析】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，D=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F≠0，E≠0．故选A【考点】圆的一般式方程点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12.圆的圆心是（）A．（－3，4）B．（－3，－4）C．（3 ，4）D．（3，－4）【答案】D【解析】由于圆的一般方程为，所以配方法可知，因此可知圆心坐标为（3，-4），故选D.【考点】本试题考查了圆的一般方程的运用。

高二数学圆的方程练习题

高二数学圆的方程练习题1. 某圆的半径为3，圆心坐标为(2, -1)，求该圆的方程。

解析：设该圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²（a为圆心横坐标，b为圆心纵坐标，r为半径）根据已知条件得到：(x-2)² + (y+1)² = 3²将方程展开得：x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9整理得：x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0所以该圆的方程为x² + y² - 4x + 2y - 4 = 02. 某圆的直径的两个端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。

解析：首先求出圆心坐标：圆心的横坐标为直径的中点的横坐标，纵坐标为直径的中点的纵坐标圆心的横坐标 = (1+5)/2 = 3圆心的纵坐标 = (2+6)/2 = 4所以该圆的圆心为(3, 4)然后求出半径：半径的长度等于直径的长度的一半直径AB的长度= √[(5-1)² + (6-2)²] = 2√2所以半径等于直径的一半：r = (2√2)/2 = √2圆心坐标为(3, 4)，半径为√2，所以该圆的方程为：(x-3)² + (y-4)² = (√2)²展开得：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 0所以该圆的方程为：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 03. 已知圆的方程为：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

解析：根据已知方程可得:(x+1)² + (y-2)² = 9将方程展开得：x² + y² + 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0整理得：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0可见，已知的方程与题目中给出的方程相同，所以该圆的圆心坐标为(-1, 2)，半径为3。

高二数学圆的方程练习-(附答案)

高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。

高二数学圆的一般方程练习题

高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。

2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。

3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。

4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。

5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。

解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。

2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。

解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。

圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。

将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。

点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。

3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程考点必刷题(附答案解析)

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程考点必刷题一、单选题1．（2022·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，半径为5B ．圆222(2)(0)x y b b ++=≠的圆心为(2,0)-，半径为bC ．圆((222x y ++=的圆心为D ．圆22(2)(2)5x y +++=的圆心为(2,2)2．（2022·全国高二课时练习）已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．2266160x y x y +---=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=3．（2022·全国高二课时练习）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,17⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)1,1,7⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 4．（2020·张家口市第一中学高二月考）点()2,1P 的直线中，被圆22:240C x y x y +-+=截得的最长弦所在的直线方程为（）A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．310x y -+=5．（2020·青海湟川中学高二期中）经过圆22440x y x y +-+=的圆心，且和直线210x y -+=垂直的直线方程为（）A ．260x y --=B ．220x y ++=C ．220x y +-=D ．260x y --=6．（2020·安徽立人中学高二期中（理））已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（文））已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为若112k a b+=，且,0a b >，则a b +的最小值为（）A ．32B ．32+C ．322+D ．328．（2021·江苏高二专题练习）若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．()2,-+∞B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-9．（2021·全国高二专题练习）已知直线210x y +-=与圆22(1)(2)4x y -++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．230x y ++=B ．250x y -+=C ．230x y +-=D ．250x y --=10．（2021·全国高三专题练习（文））圆2240x y y ++=的圆心到经过点()3,3M --的直线ll 的方程为（）A ．290x y +-=或230x y -+=B ．290x y ++=或230x y -+=C ．290x y ++=或230x y --=D ．290x y -+=或230x y -+=二、多选题11．（2022·全国高二课时练习）圆上的点(2,1)关于直线0x y +=的对称点仍在圆上，且圆）A ．225x y +=B ．22(1)5x y -+=C ．22(1)5x y ++=D ．22(1)(1)5x y -++=12．（2021·全国高二专题练习）(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝413．（2020·重庆市万州第三中学高二期中）已知圆C 0y -=及x 轴都相切，且过点(3,0)，则该圆的方程是（）A ．()(2233x y -+=B ．()(22327x y -++=C ．()(2233x y ++-=D ．()(22327x y -+-=14．（2021·全国）已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=（）A ．若1AB ==，则C 是圆B ．若0A B =≠，22 40D E AF +->，则C 是圆C ．若0A B ==，220DE +>，则C 是直线D ．若0A ≠，0B =，则C 是抛物线三、填空题15．（2022·全国高二课时练习）已知三点(3,2)A ，(5,3)B -，(1,3)C -，以(2,1)P -为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为______.16．（2022·全国高二课时练习）已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=，直线:148310l x y +-=，则圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的标准方程为______.17．（2021·河南焦作·高一期中）已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，圆C 经过点()1,0，且与直线3x y +=相切，则圆C 的标准方程为______．18．（2021·江苏高二专题练习）圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.x y-=，19．（2021·全国）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线20若点(M在圆C上，则圆C的方程为______________________．四、解答题20．（2021·江苏高二专题练习）已知方程22242(3)2(14)1690+-++-++=表示一个圆．x y t x t y t（1）求t的取值范围；（2）求圆的圆心和半径；（3）求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．21．（2020·江西上高二中高二月考（理））已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．（2022·全国高二课时练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为，行车道总宽度BC为，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？23．（2022·全国高二课时练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．24．（2021·全国高二专题练习）已知圆C 与y 轴相切，圆心点C 在直线30x y -=上，且直线x y =被圆C 所截得的线段长为（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与y 轴正半轴相切，从()1,2M --点发出的光线经过直线4y x =+反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在直线的方程.25．（2018·全国）已知圆1C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=．（1）求实数m 的取值范围；（2）求当圆的面积最大时圆1C 的标准方程；（3）求当圆的面积最大时，圆1C 关于直线l ：10x y -+=对称的圆2C 的方程．26．（2020·全国高二课时练习）已知圆22:(6)16M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B .(1)当切线PA 的长度为PM 长度.(2)若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB 长度的最小值．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程考点必刷题参考答案1．C【详解】圆22(1)(2)5x x -+-=的圆心为(1,2)A 错误；圆222(2)(0)x y b b ++=≠的圆心为(2,0)-，半径为b ，B 错误；易知C 正确；圆22(2)(2)5x y +++=的圆心为(2,2)--D 错误.故选：C 2．C 【详解】线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率62140AB k -==-，则线段AB 的垂直平分线的方程为4(2)y x -=--，即60x y +-=.由60230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩.所以圆C 的圆心为(3,3)，半径r ==，所以圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.3．A 【详解】根据题意，方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=，变形为()()2222314761x m y m m m ⎡⎤--++-=-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当27610m m -++>，即27610m m --<时，原方程表示圆，解得117m -<<，则m 的取值范围为1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A.4．A 【详解】由题意，圆22240x y x y +-+=，可得圆心坐标为(1,2)C -，要使得直线被圆C 截得的弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为21312k --==-，所以直线的方程为13(2)y x -=-，即所求直线的方程为350x y --=.故选：A.【详解】由题设，圆的方程可化为22(2)(2)8x y -++=，即圆心为(2,2)-，∴过圆心且垂直于210x y -+=的直线方程为12(2)2y x +=--，整理得220x y ++=.故选：B 6．C 【详解】将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P QP M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9故选：C 7．D 【详解】由题意，知圆心坐标为(1，4)，圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为=17k =-或 1.k =因为k ∈Z ，所以 1.k =所以1112a b+=，且,0a b >，则()11133122222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭2a 22b =时取“="，即a b +的最小值为32．故选：D【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．9．D 【详解】因为直线AB ：210x y +-=的斜率为2-，可知垂直平分线的斜率为12，又圆22(1)(2)4x y -++=的圆心为(1,2)-，所以弦AB 的垂直平分线方程为()1212y x +=-，化简得250x y --=，故选：D 10．B 【详解】当直线l 的斜率存在时，设经过点()3,3M --的直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，所以圆2240x y y ++=的圆心()0,2-到直线l 的距离为d =12k =-或2k =，所以直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，此时圆心()0,2-到直线的距离为3，不满足题意；综上，直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=.故选：B 11．AD 【详解】圆上的点(2,1)A 关于直线0x y +=的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线0x y +=上，设圆心坐标为(,)a a -，则由22(2)(1)5a a -++=，解得0a =或1a =，∴所求圆的方程为22(1)(1)5x y -++=或225x y +=.故选：AD 12．AD【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d＝2.若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.13．AB解：由题意设所求圆的方程为222()()x a y b b -+-=，则有222(3)||a b b b ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以该圆的方程为()(2233x y -+-=或()(22327x y -++=，故选：AB 14．BC 【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=.对于A ，当1A B ==时，22:0C x y Dx Ey F ++++=，若2240D E F +->，则C 是圆；若2240D E F +-=，则C 是点,22D E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；若2240D E F +-<，则C 不存在.故A 错误.对于B ，当0A B =≠时，22:0C Ax Ay Dx Ey F ++++=，且22 40D E AF +->，则C 是圆，故B 正确.对于C ，当0A B ==时，:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故C 正确.对于D ，当0A ≠，0B =时，2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:0C Ax Dx Ey F +++=表示抛物线，故D 错误.故选：BC15．22(2)(1)13x y -++=【详解】PA =，PB 5PC =，PA PB PC ∴<<，故所求圆以PB 为半径，方程为22(2)(1)13x y -++=.故答案为：22(2)(1)13x y -++=16．22(4)(5)4x y -+-=【详解】设圆2C 的圆心坐标为 (,)m n .因为直线l 的斜率74k =-，圆221:(3)(1)4C x y ++-=的圆心坐标为(3,1)-，半径2r =，所以由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4 5m n =⎧⎨=⎩.所以圆2 C 的方程为22(4)(5)4x y -+-=.故答案为:22(4)(5)4x y -+-=.17．()2212x y +-=【详解】设圆心(,)C a b ，圆心在直线1y x =+上，那么1b a =+，圆与直线3x y +=相切且圆C 经过点()1,0=，两边平方得()()222321a b a b ⎡⎤+-=-+⎣⎦，那么222292662(21)a b ab a b a a b +++--=-++化简得80a =，即0a =，1b =，圆心为(0,1)，=，那么圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=18．()()2251081x y ++-=圆心()3,6C -关于点()1,2A -中心对称点的坐标为()5,10C '-，故所求圆的方程为()()2251081x y ++-=.故答案为：()()2251081x y ++-=.19．()2214x y -+=【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r ==，因此圆C 的方程为()2214x y -+=.故答案为：()2214x y -+=.20．（1）117t -<<；（2）()23,41t t +-（3）7max r =；2224134()()7497x y -++=.【详解】（1）由圆的一般方程22242(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=得：222[2(3)]4(14)4t t -++--4(169)0t +>，即：27610t t -++>，解得：117t -<<．（2）圆心为：2(3)(2t -+-，22(14))2t --即圆心为：2(3,41)t t +-（3）r ==，所以当37t =时，7max r =，故圆的标准方程为：2224134()(7497x y -++=．21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d =，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d =，22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-，又0k < ，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-，所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-，由题意知，所求圆的半径为：122AB =，∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.22．（1）22(3)36x y ++=；（2）3.5m .【详解】（1）由题意，有()E -，()F ，(0,3)M .所求圆的圆心在 y 轴上，∴设圆的方程为222 (0)()x y b r -+-=（b ∈R ，0r >），()F ，(0,3)M都在圆上，(()222222 03b r b r⎧+=⎪∴⎨⎪+-=⎩，解得2336b r =-⎧⎨=⎩.∴圆的标准方程是22(3)36x y ++=.（2）设限高为h ，作CP AD ⊥，交圆弧于点P ，则0.5CP h =+.将点P的横坐标x =代入圆的方程，得()22336++=y ，得2y =或8y =-（舍去）.0.5(22)0.5 3.5(m)h CP ∴=-=+-=.故车辆通过隧道的限制高度为3.5m.23．（1）1a ≠-；（2）证明见解析；（3）14a =．【详解】解：（1）当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线．当1a ≠-时，22(1)(1)480a x a y x ay +++-+=，整理得222224416((11(1)a a x y a a a +-++=+++，由于224160(1)a a +>+，所以1a ≠-时方程表示圆．（2）证明：方程变形为()2222480x y x a x y y +-+++=．由于a 取任何值，上式都成立，则有222240,80,x y x x y y ⎧+-=⎨++=⎩．解得0,0x y =⎧⎨=⎩或16,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以曲线C 必过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即无论a 为何值，曲线C 必过两定点.（3）由（2）知曲线C 过定点A ，B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小（其余不以AB 为直径的圆的直径大于AB 的长，圆的面积也大），从而以AB 为直径的圆的方程为228416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222815441541616(1)5a a a a a ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩，解得14a =．24．（1）圆()()22:319C x y -+-=或()()22319x y +++=；（2）29150x y +-=.【详解】（1）设圆()()222:C x a y b r -+-=，由题意得：30a b -=…①，r a =…②，227r +=…③，由①得3a b =，则3r b =，代入③得：21b =；当1b =时，3a =，3r =，∴圆()()22:319C x y -+-=；当1b =-时，3,3a r =-=，∴圆()()22:319C x y ++=+；综上所述：圆()()22:319C x y -+-=或()()22319x y +++=.（2）圆C 与y 轴正半轴相切，∴圆()()22:319C x y -+-=，设()1,2M --关于4y x =+的对称点(),M x y '，则21121422y x y x +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩，解得：63x y =-⎧⎨=⎩，()6,3M '∴-，∴反射光线所在直线的斜率132369k -==-+，∴反射光线所在直线方程为：()2369y x -=-+，即29150x y +-=.25．（1）13m -<<；（2）()()22214x y -++=；（3）()()22234x y ++-=（1）由题意得，()2222416442210D E F m m m +-=+--+>，即2230m m --<，∴()()310m m -+<，∴13m -<<．故所求实数m 的取值范围是13m -<<．（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．∵圆的半径r ====1m =时，圆的半径最大且为2．故圆1C 的方程为224210x y x y +-++=，标准方程为()()22214x y -++=．（3）由（2）可得圆1C 的圆心坐标为()2,1-，半径等于2．设圆2C 的圆心坐标为(),a b ，则12C C 的中点坐标为21,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，且12C C 的斜率为12b k a +=-．由题意可得，直线l 垂直平分线段12C C ，∴2110,2211,2a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩解得2,3,a b =-⎧⎨=⎩故所求的圆2C 的方程为()()22234x y ++-=．26．（1）8（2）126(0,6),()55（3）163（1）由题意知，圆M 的半径r=4，圆心M(0，6)，设()2,P a a PA 是圆的一条切线，90MAP ∴∠=︒8PM ∴=(2)设()2,P a a ，90MAP ∠=︒∴经过A,P,M 三点的圆N 以MP 为直径，圆心6,2a N a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM 得圆N 的方程为()22265123624a a a x a y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222660x y ax ay y a +---+=，有()226260x y y a x y +-+--+=由2226060x y x y y --+=⎧⎨+-=⎩，解得06x y =⎧⎨=⎩或12565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴圆过定点()1260,6,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)圆N 的方程()22265123624a a a x a y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，即222660x y ax ay y a +---+=①圆()22:616M x y +-=即2212200x y y +-+=②②-①得：圆M 与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：()262060ax a y a +-+-=圆心M(0,6)到直线AB 的距离d =弦长AB==当65a=时，线段AB长度有最小值163.第21页共21页。

高二数学圆的方程练习

圆的方程练习一、选择题（每小题的四个选项中；只有一项符合题目要求）1．已知曲线)04(02222>-+=-+-+F E D F Ey Dx y x 关于直线x+y=0对称；则（）A ．D-E=0B ．D+E=0C ．D+F=0D ．D+E+F=02．过点G （1；2）的直线l 将圆05422=--+y x y x 分成两段弧。

当其中的劣弧最长时；l 的方程为（）A ．x=1B ．y=2C ．y=x+1D ．x-2y+3=03．点),(00y x 在圆C ：222r y x =+的外部；则圆与直线200r y y x x =+的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定4．圆03sin 4cos 4222=+--+a ay ax y x θθ（a ≠0；θ为参数）的圆心的轨迹方程是（）A ．2224a y x =-B ．2224a y x =+C ．2224a y x =+D ．2224a y x =+5．同心圆：2522=+y x 与922=+y x ；从外圆上一点作内圆的两条切线；则两条切线的夹角为（） A ．34arctanB ．34arctan 2C ．34arctan -πD ．34arctan 2-π 6．若实数x 、y 满足04222=+-+y x y x ；则x-2y 的最大值是（）A ．5B ．9C ．10D ．525+二、填空题7．圆心为M （2；-3）；一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上；则此圆的方程是_________。

8．圆心在直线2x+y=0上；且与直线x+y-1=0相切于点（2；-1）的圆的方程是_________。

9．与圆1)2(22=+-y x 外切；且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是_________。

10．两圆034222=+-++y x y x 与032422=++-+y x y x 上的点的最短距离是_________。

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.已知圆C过原点且与相切，且圆心C在直线上．(1)求圆的方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A,B两点, 且, 求直线l的方程．【答案】(1) (2) x=2或4x-3y-2=0．【解析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径, 再利用点到直线的距离公式解出圆心坐标和半径即可．(2)由题知,圆心到直线l的距离为1．分类讨论：当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立；若l的斜率存在时, 利用点到直线的距离公式,解得k ；综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（1）由题意设圆心 ,则C到直线的距离等于 ,, 解得, ∴其半径∴圆的方程为 (6分)(2)由题知,圆心C到直线l的距离． (8分)当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 (9分)若l的斜率存在时,设,由得,解得,∴． (11分)综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0． (12分)【考点】圆的方程；点到直线的距离公式．3.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为．【答案】【解析】设A（），B（），Q（），又P（1，1），则，，＝()，＝()．由PA⊥PB，得•＝0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y①又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4②再由|AB|=|PQ|，得(x1−y1)2+(x2−y2)2＝(x−1)2+(y−1)2，整理得：x12+y12+x22+y22−2(x1y1+x2y2)＝(x−1)2+(y−1)2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．.【考点】直线与圆．4.（1）求圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）已知圆过点，且与圆关于直线对称,求圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意可设圆心，所以圆心和切点的连线与直线垂直，根据斜率相乘等于，可求出圆心坐标，圆心与切点间的距离为半径，即可求出圆的标准方程。

2.4.2 圆的一般方程(同步检测)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程（同步检测）一、选择题1.以圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝42.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)3.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝04.圆x2＋y2－2ax＋6ay＋8a2＝0(a<0)的周长等于()A．22πa B．－22πaC．2πa2D．－2πa5.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是()A.x2＋y2＋6x＋5＝0B.x2＋y2－6x＋8＝0C.x2＋y2－3x＋2＝0D.x2＋y2＋3x＋2＝06.[多选]关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中正确的是()A．圆心在直线y＝－x上B．其圆心在x轴上C．过原点D．半径为2a7.若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于()A．1 B．－3C．0 D．2二、填空题8.已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________9.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________10.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________11.圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________三、解答题12.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．13.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．14.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．15.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．16.已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心坐标为(－1,0)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.2.D 解析：由题意可得42＋(－2)2－4×5m>0，即m<1.3.B 解析：把x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0配方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，代入各选项，可知直线2x ＋y ＋1＝0过圆心．4.B 解析：由已知得，圆的标准方程为(x －a)2＋(y ＋3a)2＝2a 2.因为a<0，所以半径r ＝－2a ，所以圆的周长为－22πa.5.C 解析：设PQ 中点坐标为(x ，y)，则P(2x －3,2y)，代入x 2＋y 2＝1，得4x 2＋4y 2－12x ＋8＝0，即x 2＋y 2－3x ＋2＝0.6.AC 解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a)，半径为2|a|，故A 、C 正确．7.B 解析：设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C(2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4，代入上面的结果得m －2＋1＝－4，所以m ＝－3，符合m<1的条件．二、填空题8.答案：⎝⎛⎭⎫35，1解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>35，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫35，1. 9.答案：(0，－1)解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10.答案：(－1,1), 5解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为 5.11.答案：(－∞，1)解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.三、解答题12.解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x ，y)，BC 中点D(x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧ 2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ① ∵|AD|＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．13.解：圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又因为半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D>0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.14.解：如图所示，设P(x ，y)，N(x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N(x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285.15.解：(1)要使方程表示圆，则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36>0，整理得7m 2－6m －1<0，解得－17<m<1. (2)r ＝12 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＝－7m 2＋6m ＋1＝－7()m －372＋167，所以0<r ≤477，即该圆的半径r 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，477. (3)设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．因为－17<m<1，所以207<x<4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)⎝⎛⎭⎫207<x<4.16.解：(1)∵点P(a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0，∴a＝4，P(4,5)，∴|PQ|＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，∴|QC|＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，圆的半径是22，点Q在圆外，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。

高二数学圆的方程

圆的方程A 卷一、选择题1、方程x 2 + y 2 +Dx + Ey + 4F = 0(D 2 + E 2－4F ＞0)表示的曲线关于x + y = 0成轴对称图形：则( )A 、D + E = 0B 、D + F = 0C 、E + F = 0D 、D +E +F = 0 2、圆x 2 + y 2 = 25截直线4x －3y = 20所得弦的中垂线方程是( )A 、x y 43=B 、x y 43-=C 、x y 34-=D 、x y 43=3、已知一圆的直径的两端点是A(x 1 ：y 1) ：B(x 2 ：y 2) ：那么此圆的方程是( ) A 、(x －x 1)(x －x 2) + (y －y 1)(y －y 2) = 0 B 、(x + x 1)(x + x 2) + (y －y 1)(y －y 2) = 0 C 、(x －x 1)(x －x 2)－(y －y 1)(y －y 2) = 0 D 、(x + x 1)(x + x 2)－(y ＋y 1)(y ＋y 2) = 04、从点P(x ：3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1作切线：切线长度最短为( ) A 、4 B 、62 C 、5 D 、5．5二、填空题 5、过圆x 2 + y 2－8x －2y + 10 = 0内一点M(3 ：0)的最长弦所在直线方程是。

6、圆心在直线4x + y = 0上：且与直线x + y －1 = 0切于点P(3－2)的圆的方程。

7、两圆x 2 + y 2 + 4x －4y = 0 ：x 2 + y 2 + 2x －12 = 0相交于A 、B 两点：则直线AB 的方程是。

8、圆心为(2 ：－3) ：一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程。

三、解答题9、已知圆C 的圆心坐标是)3,21(- ：且圆C 与直线x + 2y －3 = 0相交于P 、Q 两点：又OP ⊥OQ ：O 是坐标原点：求圆C 的方程。

高二数学圆的标准方程与一般方程试题

高二数学圆的标准方程与一般方程试题1.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】.【解析】由题意，得所求圆的半径，则所求圆的标准方程为.【考点】圆的标准方程.2.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情形都有可能【答案】A【解析】要判断点在圆内，圆外，还是在圆上，我们只要把的坐标代入圆的方程，这里计算比较它与2的大小，，又由已知，，椭圆离心率为，从而，那么，由此，点在圆内．【考点】点与圆的位置关系．3.在平面直角坐标系内，若圆：的圆心在第二象限内，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】圆：化成标准方程为：，可知圆心坐标为，因为圆心在第二象限内，故，得到.【考点】圆的方程.4.已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【答案】B【解析】由两圆关于直线对称可知两圆心与关于直线对称，且半径相等，因（-1，1）关于直线的对称点（2，-2），故圆：+=1，选B.【考点】圆的标准方程.5.已知圆的方程为(x-3)2+y2=9，则圆心坐标为（）A．(3,0)B．（-3,0）C．（0,3）D．（0，-3）【答案】A.【解析】由(x-3)2+y2=9知，圆心坐标为（3,0），故选A。

【考点】本题主要考查圆的概念及其方程。

点评：简单题，圆的标准方程，其突出的优点是明确了圆心、半径。

6.已知圆方程为．（1）求圆心轨迹的参数方程C；（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围．【答案】（1）（2）-≤2x+y≤。

【解析】将圆的方程整理得：(x-4cos)2+(y-3sin)2=1 设圆心坐标为P(x,y)则 --------5分(2)2x+y=8cos+3sin =∴ -≤2x+y≤-……………10分【考点】本题主要考查圆的方程，参数方程的应用。

点评：容易题，将圆的一般方程化为标准方程，即得圆心坐标，从而得到圆心的轨迹方程。

2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册圆的方程(六种题型)同步练习

2.4圆的方程（六种模型）题型一圆的方程1.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（）A ．()()22314x y -++=B ．()()22314x y ++-=C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=2.设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=3.圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（）A ．()()22122x y -+=+B ．()()22124x y -++=C ．()()22122x y ++-=D ．()()22124x y ++-=4.已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为()A ．()5,2B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-5根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点()2,1A -，且过点()2,2B -；(2)过点()0,0C 和点()0,2D ，半径为2；(3)()1,2E ，()3,4F 为直径的两个端点；(4)圆心在直线:2380l x y +-=上，且过点()1,0P 和点()3,2Q ．6圆心在直线3y x =+上，且过点()()2,4,1,3A B -的圆的标准方程为.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到7.直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程．题型二根据圆的方程求参数1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是()A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <232．“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.若点()1,1在圆2210x y x ay ++++=外，则实数a 的取值范围是4.已知圆1C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=．（1）求实数m 的取值范围；（2）求当圆的面积最大时圆1C 的标准方程；（3）求当圆的面积最大时，圆1C 关于直线l ：10x y -+=对称的圆2C 的方程．题型三点与圆的位置关系1.已知点P （1，2）在圆C ：x 2+y 2+kx +4y +k 2+1＝0的外部，则k 的取值范围是（）A ．k ∈RB ．k ＜2C ．k ＞2D ．﹣2＜k ＜22直线210kx y k +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是()A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交不过圆心3.若点(,1)M m m -在圆22:2410C x y x y +-++=内，则m 的取值范围（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞ 4.若点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则实数a 的取值范围是()A ．(-1,1)B ．(0,1)C ．11,5⎛-⎫ ⎪⎝⎭D ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭题型四对称问题1已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02已知圆221:4C x y +=与圆2C 关于直线250x y ++=对称，则圆2C 的标准方程为（）A ．()()22424x y +++=B ．()()22424x y -+-=C ．()()22244x y +++=D ．()()22244x y -+-=3.圆22:630C x y x y ++-+=上有两点A ,B 关于直线40kx y -+=对称，则k =()A ．2B ．2C ．32±D ．不存在题型五轨迹方程1.已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=3.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点()1,0A -和()2,1B ，且该平面内的点P 满足PA =，若点P 的轨迹关于直线20(0,0)mx ny m n +-=>>对称，则2315m n+-的最小值是（）A ．10+B ．10+C ．5-+D ．7-+3.已知圆22:4O x y +=，A ，B 是圆上两点，点()1,2P 且PA PB ⊥，则线段AB 中点R 的轨迹方程是______.4.若动点P 到两点()()1,0,2,0A B 的距离之比为2，则点P 的运动轨迹方程为_________.5已知圆C 经过点()()1,41,2A B --,且圆心C 在直线280x y -+=上.(1)求圆C 方程；(2)若E 点为圆C 上任意一点，且点()3,0F ，求线段EF 的中点M 的轨迹方程.6.已知圆C 过三个点(1,0),(3,2),(5,0)M N R ．(1)求圆C 的方程：(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点P 的轨迹方程．7.已知圆C 经过点()()3,11,3A B -，且圆心C 在直线320x y --=上.(1)求圆C 方程；(2)若E 点为圆C 上任意一点，且点()4,0F ，求线段EF 的中点M 的轨迹方程.已知方程()2222410621190x y kx k y k k +++++++=表示圆，其圆心为C .(1)求圆心坐标以及该圆半径r 的取值范围；(2)若2k =-，线段AB 的端点A 的坐标为()0,4，端点B 在圆C 上运动，求线段AB 中点M 的轨迹方程题型六综合运用1已知直线10x ay +-=过定点P ，线段MN 是圆()()22321x y -+-=的直径，则PM PN ⋅= （）AB ．3C ．7D ．92已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为单位圆221x y +=上的三点，有1230x x x ++=，1230y y y ++=，则222123x x x ++=（）A ．0B ．32C ．2D ．33.若直线2(0,0)ax by a b +=>>经过圆222210x y x y +--+=的圆心，则14a b+的最小值是（）A ．72B ．4C ．5D ．9 24.已知x 、y 满足224240x y x y +--+=，则22x y +的最大值为（）A1B ．6C 1+D ．63已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点()6,2的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4动直线10mx ny +-=()0,0m n >>平分圆()()22111x y -+-=的周长，则4112n m n++的最小值（）A ．32B ．52C ．54D ．945已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A ．13B ．11C ．9D ．86.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围．7.若直线l ：10ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2227a b -+-的最小值为.。

高二圆的方程练习题

高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。

解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。

解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。

高二数学期末复习之圆的方程

高二数学期末复习之圆的方程一.典型例题1．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程．[解析]：设圆心坐标为0)r(r ),3,(001>半径为x x O ，则r x x =-23002x r =⇒，又2202)2(,22r x AB =+∴= 22202020±=⇒=+⇒x x x ，2=∴r即圆的方程为：4)23()2(4)23()2(2222=-+-=+++y x y x 或2．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．2． [解析]：由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由 32-=-=x y x y ⇒21-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO r ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x3．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．3. [解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±．4．设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． [解析]：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2）设C 1关于直线l 的对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b+1=0，即圆C 2的圆心在定直线：x －2y+1=0上．设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则m kbm m k 21)1()12(2=+++-+即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m )0(≠m 值都成立，所以有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=4743b k ，所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4743+-=x y 二.巩固练习 (一)、选择题1．原点必位于圆：0)1(22222=-+--+a y ax y x )1(>a 的（C ） A ．内部 B ．圆周上 C ．外部 D ．均有可能 2．“点Ｍ在曲线y ＝|x |上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的（C ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．非充分非必要条件3．从动点)2,(a P 向圆1)3()3(22=+++y x 作切线，其切线长的最小值是（ A ）A ． 4B ．62C ．5D ．264．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（B ）A ．21±B ．22±C ．2221-或D ．2221或- 5．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是（ A ）A ．2B ．1C ．3D ．32 6．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ B ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k 7．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则（ C ） A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值21-8．直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（B ）A ．|b|=2B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错 9．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．直线0323=-+y x 与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( C )A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心11．已知圆C ： θθsin 22cos 2+=+=y a x （a>0,为参数θ）及直线l ：03=+-y x ，若直线l 被C 截得的弦长为32，则a =（ C ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+12．过两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程（ A ）A ．x +y+2=0B ．x +y-2=0C ．5x +3y-2=0D ．不存在 (二)、填空题13．过P （1，2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 032=+-y x14．斜率为3，且与圆 x 2 + y 2=10 相切的直线方程是 103±=x y ．15．已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是______．1622=+y x16．若实数x ,y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是．3高二数学期末复习之椭圆一.典型例题例1 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．(1)或．(2)例2.求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．例3在椭圆上求一点，使，其中，是椭圆的两焦点．方案一：由题意得，，解方程得，或．再设，则有或，解方程即可．方案二：设，由椭圆的第二定义得，，，，∴，，．例4.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例5.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．或例6. 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例7. 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6例8. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．例9. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，因此，所求椭圆的方程为．例10. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得，⑧，⑨将⑧⑨代入⑦得，⑩再将代入⑩式得，即．二.巩固练习1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ D ）A．B．（0，2）C．D．（0，1）2．过点（3，－2）且与有相同焦点的椭圆方程是（A ）A． B．C．D．3．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（ C ）．A．B．C．D．4．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ B ）．A．B．C．D．5．对于椭圆，下列说法正确的是（ D ）．A．焦点坐标是B．长轴长是5C．准线方程是 D．离心率是6．离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为（ D ）．A．B．或C．D．或7．椭圆的左、右焦点为，，以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点，，若直线是⊙的切线，则椭圆的离心率为（ D ）．A．B．C． D．8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ D ）A．B．C．D．9．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（ B ）A．2 B．C．D．811．点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为_________．或或或．12．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_________________．13．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．，14．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．15．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_____________．16．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长是______________．1或217．若椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是_____________．18．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，则的值为_________19．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．20．椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，它与直线交于，两点，且，求椭圆方程．20.设椭圆方程为，由可得．由直线和椭圆方程联立消去可得．设，得，即，化简得，由韦达定理得，解出，故所求椭圆方程为．21．椭圆上有一点，使（为坐标原点，为椭圆长轴右端点），试求椭圆离心率的取值范围．21．由已知，设，则、，由得，化简得．因为在一、四象限，所以，于是，易求出，所以．22．已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．。

圆的标准方程基本达标训练题2021-2022学年高二上学期人教A版(2019)数学选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程基本达标训练题—2021—2022人教A （2019）选择性必修第一册一、单选题1．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（） A ．221x y += B ．224x y += C ．229x y +=D ．2216x y +=2．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（） A ．()()2211100x y ++-= B ．()()221125x y -++= C ．()()2211100x y -++=D ．()()221125x y ++-=3．方程y ） A ．一个圆 B ．两条射线 C ．半个圆D ．一条射线4．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是（） A ．(-1，0)，3 B ．(1，0)，3C ．()1,0-D ．()1,05．已知圆O 过点()2,1且与x 轴相切于点1,0A ，则圆O 的半径为（）A ．2B ．1C ．4D6．圆心为()2,5-，半径为4的圆的标准方程是（） A ．()()222516x y ++-= B ．()()222516x y -++= C ．()()22254x y ++-=D ．()()22254x y -++=7．已知直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，则直线l 的方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-=D ．30x y -+=8．圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为（） A ．()2234x y +-= B ．()2234x y -+= C ．()2224x y +-=D ．()2224x y -+=二、多选题9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝410．圆上的点(2,1)关于直线0x y +=的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（） A ．225x y += B ．22(1)5x y -+= C ．22(1)5x y ++=D ．22(1)(1)5x y -++=11．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（） A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=12．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）． A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆k C 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为4π 三、填空题13．圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.14．自点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，切点为B ，则AB 的长为________． 15．写出一个与x ，y 轴都相切的圆的标准方程：________．16．AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．四、解答题17．已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．18．已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．19．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ．（1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 20．已知直线与圆相交于点和点．（1）求圆心所在的直线方程；（2）若圆心的半径为1，求圆的方程21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点Q 的坐标为()0,1，求过A ，B ，Q 三点的圆的面积最小时圆的标准方程．22．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，(2,0)M 满足BM MC =，点(1,1)T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；答案与提示：一、单选题1．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（） A ．221x y += B ．224x y += C ．229x y += D ．2216x y +=【答案】C【解析】：因为圆的圆心在原点半径为3，所以圆的方程是229x y +=.故选：C.2．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（） A ．()()2211100x y ++-= B ．()()221125x y -++= C ．()()2211100x y -++= D ．()()221125x y ++-=【答案】D【解析】法1：以线段AB 为直径的圆的直径式方程为()()()()35240x x y y -+++-=，整理得到：()()221125x y ++-=，故选：D.法2：因为圆以AB 为直径，故圆心为AB 的中点()1,1-，又228610AB =+=，故圆的半径为5，故以线段AB 为直径的圆的方程为：()()221125x y ++-=. 故选：D.3．方程y 236x - ） A ．一个圆B ．两条射线C ．半个圆D ．一条射线【答案】C【解析】由y 2236y x =-，即2236(0)x y y +=≥，∴曲线表示圆x 2＋y 2＝36在x 轴上方的半圆．故选：C.4．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是（） A ．(-1，0)，3 B ．(1，0)，3 C ．()1,0-D ．()1,0【答案】D【解析】根据圆的标准方程可得，22(1)3x y -+=的圆心坐标为(1,0)D.5．已知圆O 过点()2,1且与x 轴相切于点1,0A ，则圆O 的半径为（） A ．2 B ．1 C ．4 D【答案】B【解析】设圆心为(),a b ，半径为r ，根据题意可得b r = 所以()()222x a y b b -+-= ，所以()()()()2222222110a b ba b b ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得1a =，1b =，所以圆的半径为1.故选：B6．圆心为()2,5-，半径为4的圆的标准方程是（） A ．()()222516x y ++-= B ．()()222516x y -++= C ．()()22254x y ++-= D ．()()22254x y -++=【答案】B【解析】由题意可得所求圆的标准方程是()()222516x y -++=. 故选：B7．已知直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，则直线l 的方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y -+=【答案】D【解析】因为直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，所以直线l 过圆心()0,3，斜率为1，即直线l 的方程是30x y -+=．故选：D ．8．圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为（）A ．()2234x y +-= B ．()2234x y -+= C ．()2224x y +-= D ．()2224x y -+=【答案】B【解析】由圆的方程知：圆心()3,0-，半径2r，圆心()3,0-关于原点对称的点的坐标为()3,0，则圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为()2234x y -+=.故选：B.二、多选题9．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（） A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 【答案】AD【解析】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.10．圆上的点(2,1)关于直线0x y +=能是（） A ．225x y += B ．22(1)5x y -+= C ．22(1)5x y ++= D ．22(1)(1)5x y -++=【答案】AD【解析】圆上的点(2,1)A 关于直线0x y +=的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线0x y +=上，设圆心坐标为(,)a a -，则由22(2)(1)5a a -++=，解得0a =或1a =，∴所求圆的方程为22(1)(1)5x y -++=或225x y +=.故选：AD11．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（） A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>，又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA OB =OC = 由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，2237x y +=. 故选：AD.12．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）．A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π 【答案】ABD【解析】圆心坐标为(,)k k ，在直线y x =上，A 正确；令22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，∵364040∆=-=-<，∴22650k k -+=，无实数根，∴B 正确；由22(2)()42k k -+=-，化简得2420k k -+=，∵16880∆=-=>，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆k C 有两个，C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.【答案】()()2251081x y ++-=【解析】圆心()3,6C -关于点()1,2A -中心对称点的坐标为()5,10C '-，故所求圆的方程为()()2251081x y ++-=. 故答案为：()()2251081x y ++-=.14．自点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，切点为B ，则AB 的长为________．【答案】3【解析】点A 到圆心C (2，3)＝3.故答案为：3.15．写出一个与x ，y 轴都相切的圆的标准方程：________．【答案】答案不唯一，例如22(1)(1)1x y -+-= 【解析】：设圆心的坐标为（a ，b ），半径为r ，因为圆与x ，y 轴都相切所以只要满足||||r a b ==即可，如令1r a b ===，则圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，故答案为：22(1)(1)1x y -+-=（答案不唯一）16．AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩ 解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-= 故答案为：()()22125x y -+-=四、解答题17．已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．【解析】因为圆心是 (3,4),C -- 且经过原点，所以圆的半径 22(30)(40)5r =--+--=, 所以圆的标准方程是 22(3)(4)25.x y +++=因为 221(13)(04)416255PC =-+++=+=<所以 1(1,0)-P 在圆内; 因为 222(13)(14)5P C =++-+=,所以 2()1,1-P 在圆上；因为 223(33)(44)65PC =++-+=>,所以 3(3,4)P - 在圆外. 18．已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【解析】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为2235=(20)(0)22OC -+-=，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=. 19．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ．（1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．【解析】：（1）圆C 的半径为 22345OC =+=，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25；（2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以22||4AD AC CD -=，所以|AB |＝2|AD |＝8，所以△ABC 的面积1122S AB CD ==．20．已知直线与圆相交于点和点．（1）求圆心所在的直线方程；（2）若圆心的半径为1，求圆的方程【解析】（1）PQ 中点M(,) ,,所以线段PQ 的垂直平分线即为圆心C 所在的直线的方程:（2）由条件设圆的方程为:，由圆过P,Q 点得得到关系式求解得到．则()()()()22221-a +01000-a +11b a b b ⎧-==⎧⎪∴⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 或11a b =⎧⎨=⎩ 故圆的方程为2222(1)(1)11x y x y 或-+-=+= 21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点Q 的坐标为()0,1，求过A ，B ，Q 三点的圆的面积最小时圆的标准方程．【解析】设()1,0A x ，()2,0B x ，可得1x ，2x 满足220x bx +-=，可得12,0x x ≠，因为直线BQ 的斜率为21x -，且BQ 的中点坐标为21,22x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段BQ 的垂直平分线方程为22122x y x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又由12x x b +=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为2bx =-，联立方程组222122b x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又22220x bx +-=，所以212b x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以过A ，B ，Q 三点的圆的圆心坐标为1,22b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径222190122b b r +⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0b =时，半径r 最小为32r =，所以面积最小时圆的标准方程为221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．22．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，(2,0)M 满足BM MC =，点(1,1)T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；【解析】（1）由0AT AB ⋅=，可得AT AB ⊥，又由T 在AC 上，所以AC AB ⊥，所以ABC 为Rt ABC ，因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，斜率为13AB k =,所以直线AC 的斜率为3AC k =-，又因为点(1,1)T -在直线AB 上，所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）由（1）AC 边所在直线的方程为320x y ++=，联立方程组360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得(0,2)A -，因为BM MC =，所以(2,0)M 为Rt ABC 斜边上的中点，即为ABC 外接圆的圆心，又由22||(20)(02)22r AM =-++=所以ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.。

高二年级数学必修(2)圆的方程

高二年级数学必修（2）圆的方程4-1-1同步检测班级：姓名：得分：一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 式B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 23．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b) D．点(－a，－b)4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2πC．4π D．8π5．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为() A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝06．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝1167．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝18B．(x－1)2＋y2＝9C．(x－1)2＋y2＝6 D．(x－1)2＋y2＝38．圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有( )A ．d >2B ．d <2C ．d >4D ．d <4 9．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 10．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 上，则实数m ＝________.12．圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于________． 13．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________． 14．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________．三、解答题（共3小题，每小题10分，共30分）15．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心C 在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程．16．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．17．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．4-1-1同步检测详解答案 1[答案] C 2[答案] D 3[答案] C4[答案] C[解析] 半径r ＝4＝2，则面积S ＝πr 2＝4π. 5[答案] D[解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 6[答案] B[解析] 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.7[答案] A[解析] 已知圆半径R ＝6，设所求圆的半径为r .则πr 2πR 2＝12，∴r 2＝18，又圆心坐标为(1,0)，故选A. 8[答案] D[解析] ∵点P 在圆C 内部，∴(x 0－1)2＋(y 0＋2)2<4，即d <4. 9[答案] A[解析] 先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得A 答案． 10[答案] D[解析] 方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，所以方程y ＝9－x 2表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆． 11[答案] 4[解析] 由题意，得1＋3＝m ，所以m ＝4. 12[答案] 85[解析] C (－4,3)，则d ＝|－16＋9－1|42＋32＝85. 13[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1[解析] 圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.14[答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20 [解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.15[解析] AB 的中垂线方程是x －y ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心C (1,1)，则半径r ＝|AC |＝2，所以圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.16[解析] (1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5. ∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，2a －b －4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.[点评] ∵圆心在直线2x －y －4＝0上，故可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上，∴|CA |＝|CB |可求x 0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．17[解析] (1)因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又由a >0，可得a ＝10； (2)由两点间距离公式可得 |PN |＝(3－5)2＋(3－6)2＝13， |QN |＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，因为线段PQ 与圆有且只有一个公共点，即P 、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3<a <13.即a 的取值范围是(3，13)．。

高二数学(圆与方程)练习题试题

数学复习圆与方程练习题一、填空题１.若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 等于________．2.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为_____________．3.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB _____________．4.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是____________．5.将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为________________．6.在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线________________．7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为________________．8.若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是.9.若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心， OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．10.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为.11.已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________.12.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________.三、解答题1.点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值.2.求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程.3.求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程.4.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程.。

高二数学圆的方程练习

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