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第三章基本波函数

3.1标量波函数

1. 直角坐标系中的标量函数

定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的 本征函数。标量亥姆兹方程的解可表示为

2. 圆柱坐标系中的标量波函数

笫一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示Jgp),称为第n 阶贝塞尔函数。

当n 为整数时，可由下列级数表示

系为

(3-20)

当吋“® 0时N n (k /)P ) o 当n 为整数时，伙/)。当n 为整数吋，为贝 塞尔方程的另一个线性无关的解。

3. 圆球坐标系中的标量波函数

h(k x x)

k

x = J jk x

函数的表示

波动特性

向X 方向传播的等幅行波

e z

e 心

随X 衰减的凋落波 复数忍

“・ k r x - ik..x e x e y

向X 方向传播的衰减行波

e jk 'xX 向・X 方向传播的等幅行波 e ikxX

£；= 0

e k 'xX

随・兀衰减的凋落波

复数任

向・X 方向传播的衰减行波 cm If v

Q=0 sin 心 沿X 分布的正弦驻波 人 < =0

sinh kx ■A 两种凋落波的合成 nnQ u v

£；= 0 cos kx 人 沿兀分布的余弦驻波 人

< =()

cosh kx

两种凋落波的合成

屮=h(k x x)h(k v y)h(k z z)

(3-5)

・ ••

解谐函数类熨:

JJV )= i (・ i)"

A=0

] (kpP 2k

(3-19)

第二类贝塞尔函数 又称为诺依曼函数, 以Ng)表示。它与第一类贝塞尔函数的关

式(3-37)和式(3-38)分别称为第一类勒让徳函数鬥(x)和第二类勒让徳函数Q”(x)。

3・2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用

1. 平面波用圆柱面基本波函数展开

向x 方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为

0曲=I 厂匕(切)严

(3-47)

斤―?

2. 柱面波用基本波函数展开

利用贝塞尔函数的叠加定理，以"为屮心轴的柱面波可转变为以Z 轴屮心轴的柱面波，即

_ a J©p)H 化kp)eiWp< p

a J©p )H,、kppw,p> p

1 w=- ?

平而波用球而波基木波函数展开

0 gs 〃=彳 厂0+1)人鮒比(cos 0)

n=0

1 d n Tn\dx n (3-37)

] 1+ x QQ)")(»卜

(叽⑴

k=l K

(3-38)

(3-50)

(3-56)

3. 4.

(2〃 + 1)皆)(kr')j n (kr)P n (cos 0)\r< (2〃 + l)y ；(加)皆)(kr)P n (cos

；

5.

点源场的平面波展开

屮=

-虜(•「)+©(片站)+札卜zj

----------------------------- dk dk v

k = x y

(3-69)

3.3理想导电圆柱对平面波的散射

g s

- ______ 2Z v 丿”血)严

2

族St 比珥肋)

上述散射场式(3・79)中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。

3.4理想导电圆柱对柱面波的散射

OO

(3-79)

球面波用基本波函数展开

3.9 矢量波函数

电磁场满足矢量亥姆崔兹方程，为了直接求解矢量亥姆崔兹方程，需要引入矢量波函数, 矢量波函数是3个独立的矢量函数，分别用帀及币表示，其定义为

3・6 3・7

AR 侥呼（如…

理想导电劈对柱面波的散射

E 严 2E 乞 j m/2J m/2(kp) 771 = 1

理想导电圆筒上的孔隙辐射

VLe~jk 「cos （耳 cos

&） E 厂

(3-88)

sin^sin^

m m

(3-98)

oo

y

曲 1 _（竺 cos &）2 ”一 H ： （ka sin 0）

2

理想导体圆球对球面波的散射

=<

半丝 £ (2〃 +1)矿)(”)丿;(肝比(cos &); 4 兀

/?=o

兰如 £ (2〃 + l)y ；(加曲(kr)P n (cos &); 5粽

r

(3-134) r > r 1

分层媒质上的电偶极子

3.8

反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场:

&• = Ju, Il r R(kp )HWkpP 应耐E

%7l 」

—oo

kpdkp (3-139)

反射系数和透射系数:

式屮

jujl f T(kp)H»(kpP )叮

2

P

—k p dk p

(3-140)

6*2 G + £］巧

(3-144)

(3-145)

£

(3-146)

民-kp

(3-147)

E

；

R

5

r =(1