均值不等式
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
均值不等式所有公式
均值不等式所有公式
均值不等式（平均值不等式）是数学中的一种基本不等式，它表示对于两个数 a 和 b，它们的平均值不小于它们的几何平均值。
一般来说，均值不等式的公式可以表示为：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
当且仅当 a = b 时，等号成立。
这里列举一些常见的均值不等式：
1. 算术平均数（均值）不小于几何平均数：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
2. 调和平均数不小于算术平均数：
(a + b) / (1/a + 1/b) ≥ 2√(ab)
3. 几何平均数不小于平方根平均数：
sqrt(ab) ≤ (a + b) / 2
4. 平方根平均数不小于算术平均数：
sqrt(a * b) ≤ (a + b) / 2
5. 三次方根平均数不小于算术平均数：
cube_root(a * b * c) ≤ (a + b + c) / 3
这些公式在不同情况下可以用来估计各种平均值之间的关系。
注意，这些不等式在 a 和 b 为正实数时成立。
对于负实数，需要对不等式进行适当调整。
均值不等式
均值不等式知识回顾：1．掌握几个重要不等式及取等号的条件，并会应用。
①均值不等式：a,b ∈R +，a b2+≥； 常用的变形不等式：②a,b ∈R ，ab 2a b ()2+≤； ③a,b ∈R ，22a b 2ab +≥ 以上三个不等式都是“当且仅当a=b 时，取等”。
2．利用均值不等式求最值的规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
热身练习：1． 已知,x y R +∈，①若x+y=2，则xy 有最大值为_____；②若xy=2，则x+y 有最小值为____。
2． 已知,x y R +∈，①若3x+2y=2，则xy 有最大值为_____；此时x=_____,y=______②若xy=2，则3x+2y 有最小值为_______；此时x=_____,y=______3．已知ab 同号,则a bb a+的最小值为_______________， 4．已知x>0,则2x+2x的最小值为________________,此时x=____________ 5．在面积为定值m 的矩形中，长、宽分别为多少时，矩形的周长最短？6．在周长为定值l 的矩形中，长、宽分别为多少时，矩形的面积最大？例题讲解：例1． 判断对错：(1) x+1x≥2 ( ) (2) 已知x>2,则 x+3x 2-的最小值为(3)函数的最小值为2。
( )(4) 函数2的最小值为2 ( )例2．(1)求函数y=(3-2x)(2x+1)(-13<x<22)的最大值及相应的x 的值。
(2) 求函数3(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 值；(3) 求函数y=2－4x (x 0)x->的最大值以及相应的x 值。
例3． (1)求函数f(x)=2x -2x+3(x>0)x的最小值及取得最小值时的x 的值。
(2)求函数y=2x -x+4(x>1)x-1的最小值及相应的x 的值。
高中数学公式(均值不等式)
高中数学公式(均值不等式)高中数学公式(均值不等式)公式的数学本质是用简洁的语言准确地描述数学问题。
在高中数学中，均值不等式是一个重要而又常用的工具。
它可以帮助我们证明和解决各种数学问题。
本文将介绍均值不等式的定义、性质和应用。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类重要的不等式。
它表述了若干个数的某种“平均值”与这些数之间的大小关系。
常见的均值不等式有算术平均不等式、几何平均不等式和平方平均不等式。
1. 算术平均不等式算术平均不等式是指若干个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有AM ≥ GM。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是指若干个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有GM ≤ AM。
3. 平方平均不等式平方平均不等式是指若干个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，平方平均值为QM，则有QM ≥ AM。
二、均值不等式的性质均值不等式有一些基本性质可以帮助我们进行各种推导。
1. 对称性均值不等式具有对称性，即对数x₁、x₂、...、xₙ的排列顺序不影响不等式的成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则交换任意两个数的位置，不等式仍然成立。
2. 反序性均值不等式具有反序性，即改变不等式中的不等号方向，不等式仍然成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则取倒数得到1/AM ≤ 1/GM，不等式仍然成立。
3. 结合性均值不等式具有结合性，即若AM₁ ≥ GM₁和AM₂ ≥ GM₂成立，则有AM₁ * AM₂ ≥ GM₁ * GM₂。
这一性质可以帮助我们将不等式进行合并和推导。
三、均值不等式的应用均值不等式具有广泛的应用场景，涉及各个数学领域。
1. 不等式证明均值不等式可以用于证明其他的数学不等式。
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式高中数学中的四个均值不等式是：算术平均数不小于几何平均数，几何平均数不小于调和平均数，调和平均数不小于平方平均数。
这些不等式在数学中有重要的应用，包括概率论、统计学、经济学和物理学。
一、算术平均数不小于几何平均数算术平均数和几何平均数是我们常见的两种平均数。
算术平均数是将一组数据中所有数值之和除以数据的总数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的算术平均数是（1+2+3+4+5）/5=3。
几何平均数则是一组数据中所有数的乘积的n次方根，其中n表示数据的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的几何平均数是（1x2x3x4x5）^(1/5)=2.605。
在一组非负数数据中，算术平均数和几何平均数有如下关系：算术平均数不小于几何平均数。
这个不等式的证明可以采用数学归纳法，对于两个数的情形容易证明。
对于任意个数的情况，则可以用调和平均数来证明。
这个不等式的重要性在于它可以用来证明其他重要的不等式。
二、几何平均数不小于调和平均数调和平均数的定义为n个非零实数的倒数之和再除以n，其中n表示这n个数的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的调和平均数为5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)=3.55。
在一组非负数数据中，几何平均数和调和平均数有如下关系：几何平均数不小于调和平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的几何平均数为2.605，调和平均数为3.55，显然2.605不小于3.55。
三、调和平均数不小于平方平均数平方平均数是一组数据中所有数的平方和的平均数的平方根。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的平方和为1+4+9+16+25=55，平方平均数为(1+4+9+16+25)/5=5.48。
在一组非负数数据中，调和平均数和平方平均数有如下关系：调和平均数不小于平方平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的调和平均数为3.55，平方平均数为5.48，显然3.55不小于5.48。
均值不等式类型总结
均值不等式类型总结1. 算术平均不等式算术平均不等式是最基本的均值不等式类型。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... \cdot a_n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是算术平均不等式的推广。
对于任意一组正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \geq \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
3. 平方均值不等式平方均值不等式是基于平方的均值不等式。
对于任意一组实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n} \geq \left(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\right)^2$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
4. 加权均值不等式加权均值不等式将不同权重的变量考虑在内。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和对应的正权重 $w_1, w_2, ..., w_n$，满足 $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，有以下不等式成立：$$w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + ... + w_n \cdot a_n \geq\sqrt[n]{w_1 \cdot a_1^k \cdot w_2 \cdot a_2^k \cdot ... \cdot w_n \cdot a_n^k}$$其中，$k$ 为任意实数。
平均值不等式公式四个
平均值不等式公式四个
平均值不等式（AM-GM不等式）是常用的数学工具，是初等不等式中最重要的一组公式之一、它利用了算术平均数和几何平均数之间的关系。
平均值不等式经常被用于解决最优化问题，同时也在很多证明中有着重要的地位。
(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
其中，a1, a2, ..., an是n个正数，且n是一个正整数。
对于两个正数a和b，它们的算术平均数永远不会小于它们的几何平均数，即：
(a+b)/2≥√(a*b)
这个不等式可以通过平方差公式来证明：
(a-b)^2≥0
a ^ 2 +
b ^ 2 - 2ab ≥ 0
(a ^ 2 + b ^ 2) / 2 + (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 - 2ab ≥ 0
(a ^ 2 + b ^ 2) / 2 ≥ ab
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
其中最后一个不等式利用了均值不等式的定义。
(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ ∛(a1 * a2 * ... * an)
同样可以通过均值不等式的定义和数学归纳法来证明这个不等式。
总之，平均值不等式是数学中一组重要的不等式，它利用了算术平均数和几何平均数之间的关系。
它不仅是证明其他不等式的基础，还可以用于解决一些最优化问题。
平均值不等式在初等数学和其他学科中有着广泛的应用。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式四个式子
均值不等式四个式子均值不等式是初中数学中的基本不等式，它是由加权平均值的概念导出的。
具体来说，假设一组数据为 $a_1,a_2,...,a_n$，相应的权值为$w_1,w_2,...,w_n$，那么其加权平均值为：$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+...+w_na_n}{w_1+w_2+...+w_n}$$在任意非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和任意正实数 $w_1,w_2,...,w_n$ 的情况下，均值不等式总是成立的。
下面展示均值不等式的四个常见式子。
1. 算术平均数（AM）和几何平均数（GM）不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，其算术平均数为$$AM=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$其几何平均数为$$GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$则有$$AM\geq GM$$即算术平均数不小于几何平均数。
2. 平均数不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，则有$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$即算术平均数不小于几何平均数。
3. Cauchy不等式对于两组实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$，则有$$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$$即平方和的乘积不小于乘积的平方。
4. Jensen不等式设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的凸函数，$x_1,x_2,...,x_n$ 是 $[a,b]$ 中的任意数字，$w_1,w_2,...,w_n$ 是任意正数且满足 $w_1+w_2+...+w_n=1$，则$$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+...+w_nf(x_n)\geqf(w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n)$$即加权平均数在凸函数下大于等于函数的加权平均数。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中一个重要的概念。
它是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们了解和解决许多数学问题。
均值不等式可以用来比较和比较给定的数据，因此它可以帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
它可以用来测量数据之间的差异，以及不同数据集合之间的差异。
通过应用均值不等式，我们可以更准确地比较和分析数据，从而得出更好的结论。
均值不等式的基本原理是根据一组数据的总和和个数的相对比例关系来确定的。
均值不等式的基本形式是：$$frac{数据总和}{数据个数} =均数$$ 中，平均数是给定的数据的总和除以其数量得到的一个量，它表示数据集中每个数据值的平均值。
均值不等式可以用来求解许多数学问题，例如：如果一位学生在5次考试中的平均分为80分，则我们可以用均值不等式来求出其5次考试的总分。
假设这学生在第一次考试中获得了90分，在第二次考试中获得了85分，在第三次考试中获得了75分，在第四次考试中获得了60分，在第五次考试中获得了95分。
因此，我们可以根据均值不等式来求出这位学生在5次考试中的总分：$$frac{90+85+75+60+95}{5}=80$$从上面的例子中可以看出，均值不等式可以用来计算数据集中各项数据的总和和平均值，从而帮助我们更好地理解和分析数据，从而得出更准确的结论。
均值不等式还可以用来计算数学中不等式的解，只要认真推敲这一公式，就可以很容易地解决许多不等式的求解问题。
例如，假设有一个不等式，其中$x$的取值范围是从$3$到$9$，对于上述给定的取值范围，我们可以用均值不等式来求解：$$frac{3+4+5+6+7+8+9}{7}=x$$很容易就可以得到结果$x=6$。
由此可见，均值不等式在高中数学中具有重要意义。
它不仅可以用来比较和比较给定数据，还可以用来计算数学中不等式的解，从而帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
只要认真推敲均值不等式，就可以解决许多数学问题，从而有效地提高学习效率。
均值不等式
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
均值不等式的运用一:求两个正数的和的最小值.
要注意哪些问题呢?
ab 应用 2
或 a b 2 ab ( a , b R ab (a, b R )
求最值时,注意验证：一正 、二定 、三相等
练习 1：给出下列结论： 巩固练习：
1.课本 P88 2,3, 4 （ 1）若x 0, y 0则 lg x lg y 2 lg x lg 2.给出下列结论： lg x lg y （1）若 x 0, y 0, 则 lg x lg y 2 1 1
y
(2)若 x 0, 则 cos x 2 cos x 2 x 0, （2）若 则 cos x cos x x x 4 4 x 0 (3)若 x 0, 则y=2 ，则 2 的最小值 （ 3）若 x 2 x ymin 4 2
x
x
4
x 2 练习2：求函数f ( x) x
2
( x 1)的最小值
1 1 例4：已知x, y R 且x 4 y 1求u 的最小值 x y
练习3：
1 9 (1)若x, y R 且 1, 求x y的最小值 x y
1 1 1 (2)已知a, b, c R 且a b c 1，求证： 9 a b c
作业： 4 （1）求函数f(x)=3+lgx+ 的最小值(0 x 1) lg x （2）若x，y R , 且2 x 8 y xy 0, 求x y的最小值 ( x 5)( x 2) （3）设x 1, 求函数y 的最小值 x 1
3.2均值不等式
称为基本不等式
a+b 看做两个正数 正数a 的等差中项， 看做两个正数a，b 的等差中项， 把 2 看做正数 正数a 的等比中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于 两个正数的等差中项不小于它们的等比 不小于它们的等比 中项。 中项。 运用均值不等式的条件: 运用均值不等式的条件: 一正二定三相等
规律： 规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
练习:P72 练习
练习B 5 练习
2 x + x 3 例5．求函数 f ( x) = ( x > 0) x
2
的最大
值，及此时x的值。 及此时x的值。 练习:P72 练习 练习B 3 练习
4 π 3 求函数y = sin α + 其中α ∈ 0， ] （ sin α 2 的最小值 。 4 4 解：y = sin α + ≥ 2 sin α sin α sin α = 4,∴函数的最小值为 。 4
用均值不等式求最值, 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 相等” 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4 练习4.当 >3时 练习4.当a>3时,求函数 f ( x) = a + a 3 的最值; 的最值;
下面几道题的解答可能有错 如果错了 下面几道题的解答可能有错，如果错了， 有错， 错了， 那么错在哪里？ 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值． 最小值和此时x的取值．
均值不等式
利用柯西不等式证明
总结词
柯西不等式是均值不等式的特殊形式，利用柯西不等式 证明均值不等式是常见的证明方法之一。
详细描述
柯西不等式是：如果 $p>0$，$q>0$，那么 $(p+q)^2 \geq p^2+q^2$。令 $p=a_i^2$， $q=b_i^2$，则 $(a_i^2+b_i^2)^2 \geq a_i^4+b_i^4$。利用这个不等式可以推出 $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i^4)(\sum b_i^4)^{1/2}$
04
均值不等式的扩展
柯西不等式
1 2 3
柯西不等式
这个不等式是数学中的一个基本不等式，它表 明向量的模长的平方和大于等于各向量分量乘 积的平泛的应用， 包括统计学、概率论、微分学、最优化理论等 。
不等式证明
柯西不等式可以通过数学归纳法、构造法等方 式进行证明。
例如，在描述两个总体的平均水平差异时，利用均值不等 式可以给出两个总体的平均值之间的差异的上界或下界， 从而帮助我们更清晰地理解两个总体的差异程度。
在优化问题中的应用
在优化问题中，均值不等式常常被用来解决一些与最优化相关的问题。特别是当 问题涉及到求函数的最大值或最小值时，均值不等式可以提供一种有效的解决方 法。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
这个不等式是概率论和统计学中常用的一种不等式，它给出了一 组随机变量的和的方差与这组随机变量的方差之和的关系。
应用领域
切比雪夫不等式在统计学、金融学、信号处理等领域都有广泛的 应用。
不等式证明
切比雪夫不等式可以通过数学归纳法、切比雪夫定理等方式进行 证明。
均值不等式成立条件
均值不等式成立条件一、引言均值不等式是数学中的一条重要不等式，是高中数学中常用的工具之一，也在实际问题中有着广泛应用。
本文将详细探讨均值不等式成立的条件，并给出几个具体的例子来加深理解。
二、均值不等式的定义均值不等式是指对于一组实数a1,a2,...,a n，存在一种不等式关系成立，使得两者的平均值不小于另一种平均值，即a1+a2+...+a nn ≥√a1⋅a2⋅...⋅a n n其中，n为正整数。
三、均值不等式成立条件为了让均值不等式成立，需要满足以下条件：1. 非负性条件对于任意的实数a1,a2,...,a n，需要满足a i≥0，否则均值不等式可能不成立。
2. 同位数条件均值不等式对于具有相同位数的实数成立，即如果a1,a2,...,a n为m位数，则a1n,a2n,...,a n n也为m位数。
3. 参数取值范围条件对于特定的不等式形式，还需要对参数的取值范围进行限制，以使得不等式成立。
例如，对于平方均值不等式(a2+b2)/2≥(a+b)/2，需要满足a和b取值范围在实数范围内。
四、均值不等式的几个例子为了更好地理解均值不等式成立的条件，下面将给出几个具体的例子。
1. 算术平均数与几何平均数考虑一组非负实数 a 1,a 2,...,a n ，我们要证明以下不等式成立：a 1+a 2+...+a n n≥√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n 证明： 首先，根据对数性质，不等式等价于ln (a 1+a 2+...+a n n )≥1nln (a 1⋅a 2⋅...⋅a n ) 进一步，将等式两边取对数的差分解为以下形式：ln (a )−ln (b )=ln (a b) 我们可以将不等式化简为ln (a 1+a 2+...+a n )−ln (n )≥1n[ln (a 1)+ln (a 2)+...+ln (a n )] 根据对数的性质，我们知道相加的对数等于取乘积的对数：ln (a 1+a 2+...+a n )−ln (n )≥ln(√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n )进一步化简得到ln (a 1+a 2+...+a n n)≥ln(√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n ) 由于对数函数是单调递增函数，我们可以将不等式的左右两边同时取指数，得到最终的形式：a 1+a 2+...+a n n≥√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n 因此，原不等式得证。
均值不等式
与2的大小关系, b a
a
b
a b
b a
能得到什么结论?
请说明理由.
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证： （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 4 2 2、若 a为任意实数，试比较 a 3 2 与4 a 3 的大小关系.
3、已知 a 3, 求证： a 7; a 3
2
2
求 a 1 b 的最大值。
2
如果 a , b都是正数，那么
2 1 1 a b
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时，等号成立
2 1 1 a b
2
称为 a , b的调和平均数
a b 2
2
称为 a , b的平方平均数
a b 2 ab , a b 2 ab
2 2
ab (
ab 2
) ,(
2
ab 2
)
2
a b
2
2
2
当且仅当a=b时，等号成立
不等式 y x (1 3 x )( 0 x ) 的最大值是 (
3
1
B )
A．
4 243
B．
1 12
C．
1 64
D．
1 72
已知 log 2 ( x y ) log 2 x log 2 y , 则 x y 的取值范围是
ab ab 定理 如果a,b是正数, 那么 2
(当且仅当a b时取“”号)
其中
ab 2
称为正数a,b的算术平均数
ab 称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
思考：如何证明？
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均值不等式
定义
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
其中：
1、调和平均数：
2、几何平均数：
3、算术平均数：
4、平方平均数（均方根）：
一般形式
设函数（当r不等于0时）；
（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。
特例
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。
记忆
调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
均值不等式的
变形
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
证明
均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。
那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，则
ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理
＝(s／k)^k*a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1 /n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
均值不等式的应用
例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x
例二长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周长最小值为4√p
例三长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16。