传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
传递函数的基本性质
有:
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
(2.20)
当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:
Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
(2.21)
当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入 函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.23)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：
G(s) C(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm ) R(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
一、传递函数的概念
图2-4所示的RC电路中电
容的端电压Uc (t) 。根据克
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压Uc (0)，得:
RCsUc (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s) (2.17)
式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。
由上式求出Uc(s)的表达式:
Uc (s)
图中零点用“o”表示，极点 用“X ”表示。
专题3-传递函数
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但பைடு நூலகம்能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
2 2 bm (1s 1)( 2 s 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) an (T1s 1)(T22 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
4. 典型元部件的传递函数
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
2 d uo(t) LC uo (t ) RC duo (t ) u (t ) u (t ) o i 2 C dt dt
本讲内容：
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数描述了控制系统
输入和输出之间的关系，是分析和设计控制系统的重要工具。
本文将介绍传递函数的基本概念、性质和应用。
传递函数是描述线性时不变系统输入和输出之间关系的数学函数。
对于一个线
性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的形式可以是分子多项式除以分母多项式的比值，也可
以是一些特定形式的函数。
传递函数的性质包括，稳定性、因果性、实数性等。
稳定性是指系统在输入有
界的情况下，输出也是有界的。
因果性是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。
实数性是指系统的传递函数在实轴上的取值都是实数。
传递函数在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。
通过传递函数，可以方便
地分析系统的频率响应特性，如幅频特性、相频特性等。
同时，传递函数也可以用于控制系统的设计，例如根据要求设计控制器的参数，使系统的性能满足特定的要求。
在实际工程中，传递函数也经常用于建立系统的数学模型。
通过测量系统的输
入和输出，可以辨识出系统的传递函数，从而对系统进行建模和仿真。
这对于系统的分析和预测具有重要意义。
总之，传递函数是自动控制原理中一个非常重要的概念。
通过传递函数，可以
方便地描述和分析控制系统的性能，并且可以用于控制系统的设计和建模。
因此，对传递函数的理解和掌握是控制工程师必备的基本能力之一。
希望本文对传递函数的基本概念、性质和应用有所帮助。
传递函数的基本性质
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
(2.18)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
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uc
(t)
u0
(1
e
t RC
)
uc
(0)e
t RC
式中第一项称为零状态响应， 由U(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压Uc (0)决定的 分量。
第二节 控制系统的复数域数学模型
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
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引言
• 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以 得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结 构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。
(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
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在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
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一、传递函数的概念
江西理工大学自动控制原理试题库(含答案)
为(
)。 A、 B、 C、 D、与是否为单位反馈系统有关 4、非单位负反馈系统，其前向通道传递函数为G(S)，反馈通道传递函 数为H(S)，当输入信号为R(S)，则从输入端定义的误差E(S)为 ( ) A、 B、 C、 D、 5、已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是 ( )。 A、 B 、 C 、 D、 6、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的： A、低频段 B、开环增益 C、高频段 D、中频段 7、已知单位反馈系统的开环传递函数为，当输入信号是时，系统的稳 态误差是( ) A、 0 ； B、 ∞ ； C、 10 ； D、 20 8、关于系统零极点位置对系统性能的影响，下列观点中正确的是( ) A 、 如果闭环极点全部位于S左半平面，则系统一定是稳定的。稳 定性与闭环零点位置无关； B、 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为负实数极点，则时间 响应一定是衰减振荡的； C 、 超调量仅取决于闭环复数主导极点的衰减率，与其它零极点 位置无关； D、 如果系统有开环极点处于S右半平面，则系统不稳定。 所示，其中，输入信号为单 位斜坡函数，求系统的稳态误差(8分)。分析能否通过调节增益 ，使稳 态误差小于 0.2 (8分)。 一 G(s) R(s) C(s) 图1
三、(16分)已知系统的结构如图1
，前向通道传递函数为，若采用 测速负反馈，试画出以为参变量的根轨迹(10分)，并讨论大小对系统性 能的影响(6分)。 图2 H (s) 一 G(s) R(s) C(s)
四、(16分)设负反馈系统如图2
五、已知系统开环传递函数为均大于0
，试用奈奎斯特稳定判据判断 系统稳定性。 (16分) ［第五题、第六题可任选其一］
二、选择题（每题 2 分，共20分）
1、采用负反馈形式连接后，则 ( ) A、一定能使闭环系统稳定； B、系统动态性能一 定会提高； C、一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除； D、需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
控制工程基础考卷带答案复习资料
一、填空题：（每空1分，共20分）1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。
2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。
3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。
4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________ 。
5 函数f(t)=te 63-的拉氏变换式是_________________ 。
6 开环对数频率特性的低频段﹑ 中频段﹑ 高频段分别表征了系统的稳定性，动态特性，抗干扰能力 ﹑ ﹑ 。
7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。
8．已知单位反馈系统的开环传递函数为：20()(0.51)(0.041)G s s s =++求出系统在单位阶跃输入时的稳态误差为 。
9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点均位于s 平面的______半平面。
10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为10()1G s s =+，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45?)输入信号时，求系统的稳态输出为_____________________。
11．已知传递函数为2()k G s s=，则其对数幅频特性L （?）在零分贝点处的频率数值为_________ 。
12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由 环节和 决定。
13．惯性环节的传递函数11+Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。
14．已知系统的单位阶跃响应为()1t t o x t te e --=+-，则系统的脉冲脉冲响应为__________。
《自动控制原理》复习资料 (2)
1. 闭环控制系统又称为反馈控制系统。
2.对控制系统的首要要求是系统具有稳定性。
3. 若要全面地评价系统的相对稳定性，需要同时根据相位裕量和幅值裕量来做出判断。
4. 系统主反馈回路中最常见的校正形式是串联校正和反馈校正。
5. 某典型环节的传递函数是G(s)=1/(s+2)，则系统的时间常数是 0.5。
6. 若要求系统的快速性好，则闭环极点应距虚轴越远越好。
7. 在扰动作用点与偏差信号之间加上积分环节能使静态误差降为0。
8.二阶系统的传递函数G(s)=4/(s 2+2s+4)，其固有频率ωn ＝2。
9. 远离虚轴的闭环极点对瞬态响应的影响很小。
10.为满足机电系统的高动态特性，机械传动的各个分系统的谐振频率应远高于机电系统的设计截止频率。
11.当奈奎斯特图逆时针从第二象限越过负实轴到第三象限去时称为正穿越。
12.对于最小相位系统一般只要知道系统的 开环幅频特性就可以判断其稳定性。
13.判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用劳斯判据；在频域分析中采用奈奎斯特判据。
14.若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为10/(s+0.2)+5/(s+0.5)。
1. 根据采用的信号处理技术的不同，控制系统分为模拟控制系统和数字控制系统。
2. 若系统的传递函数在右半S 平面上没有零点和极点，则该系统称作最小相位系统。
3. 输入相同时，系统型次越高，稳态误差越小。
4. 延迟环节不改变系统的幅频特性，仅使相频特性发生变化。
5. PID 调节中的“P”指的是比例控制器。
6. 用频率法研究控制系统时，采用的图示法分为极坐标图示法和对数坐标图示法。
7. 一般开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能。
8. 复合控制有两种基本形式：即按输入的前馈复合控制和按扰动的前馈复合控制。
9. 奈奎斯特图中当ω等于截止频率时，相频特性距-π线的相位差叫相位裕量。
2.3 控制系统的复数域数学模型 型
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
传递函数-控制系统的复域数学模型
称为传递函数零极点增益模型
G(s)
K
(1
s
1)(
2 2
s
2
22s 1)
(i s 1)
(T1s 1)(T22s2 2T2s 1) (Tj s 1)
称为传递函数时间常数模型
2、传递函数的性质
1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是 固有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之 间的一种关系式。
这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们 都可以用来表征系统的动态特性。
5) 闭环传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统特征方程。
3、传递函数的求解
1）利用微分方程求传递函数 2）利用复数阻抗求电路传递函数
例 图示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路
解：此电路的电压平衡方程式 （微分方程）：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b0x(t)
式中：x(t)—输入，y(t) —输出
ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m) 为常系数
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关 3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（ m 、n分
别为分子、分母的最 高阶次。）
4) 若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=L[r(t)]=1， 则 g(t) L-1[R(s)G(s)] L-1[G(s)]
LC
d 2 uo(t) dt 2
自动控制原理题目参考答案e
一、填空题1 闭环控制系统又称为反应控制系统。
2 一线性系统，当输入是单位脉冲函数时，其输出象函数与 传递函数 相同。
3一阶系统当输入为单位斜坡函数时，其响应的稳态误差恒为 时间常数T 。
4 控制系统线性化过程中，线性化的精度和系统变量的 偏移程度 有关。
5 对于最小相位系统一般只要知道系统的 开环幅频特性 就可以判断其稳定性。
6 一般讲系统的位置误差指输入是 阶跃信号 所引起的输出位置上的误差。
7 超前校正是由于正相移的作用，使截止频率附近的 相位 明显上升，从而具有较大的稳定裕度。
8 二阶系统当共轭复数极点位于 +-45度 线上时，对应的阻尼比为0.707。
9 PID 调节中的“P 〞指的是 比例 控制器。
10 假设要求系统的快速性好，那么闭环极点应距虚轴越_ 远 越好。
11 在水箱水温控制系统中，受控对象为_水箱 ，被控量为_水温 。
12 自动控制系统有两种根本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为_ 开环控制方式 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为_ 闭环控制方式 ；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于_ 开环控制方式 。
13 稳定是对控制系统最根本的要求，假设一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，那么该系统_ 稳定 _。
判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用_ 劳斯判据 _；在频域分析中采用_ 奈氏判据 _。
14、传递函数是指在_ 零 _初始条件下、线性定常控制系统的_ 输入拉式变换 _与_ 输出拉式变换 _之比。
15 设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，那么其开环幅频特性为_ _，相频特性为 _-180-arctan 〔tw-Tw 〕/1+tTw _。
16 频域性能指标与时域性能指标有着对应关系，开环频域性能指标中的幅值穿越频率c ω对应时域性能指标_ 调整时间t _，它们反映了系统动态过程的_快速性 _。
《自动控制原理》学习指南
《⾃动控制原理》学习指南《⾃动控制原理》学习指南前⾔本书是上海交通⼤学国家精品课程《⾃动控制原理》主讲教材《⼯程控制基础》的学习指导性的学习、教学⽤书。
《⼯程控制基础》是国家“⼗⼀五”规划教材，教育部⾃动化教学指导委员会推荐教材。
2006年出版以来，受到⼴⼤读者的厚爱。
2007年再版，并于2008年被评为国家级精品教材。
本书以国家精品教材为主线，参考教育部教指委对《⾃动控制原理》课程相关的知识领域、知识单元、知识点的要求，本着“加强基础、削枝强⼲、注重应⽤、逐步更新”的原则，⼒图通过教材的要点提⽰，为⼴⼤读者学习此课程提供必须掌握的基础理论和基本⽅法。
编者2012.11于上海⽬录第1章导论 (1)1.1 ⾃动控制系统的基本原理和组成 (1)1.2控制系统的分类 (2)1.3本书的主要内容及研究⼿段 (2)第2章数学模型 (5)2.1 传递函数定义 (6)2.2传递函数性质 (7)2.3 ⽅块图 (8)2.4 信号流程图 (9)第3章⾃动控制系统的时域分析 (12)3.1 控制系统的稳定性分析 (12)3.2 控制系统的稳态特性——稳态误差分析 (13)3.3 控制系统的动态特性——动态响应分析 (14)第4章根轨迹法 (17)4.1根轨迹的幅值条件和相⾓条件 (17)4.2绘制根轨迹的基本规则 (18)第5章线性系统的频域分析—频率响应法 (20)5.1频率特性 (20)5.2 频率特性图 (21)5.3 频域中的稳定性判据 (22)5.4 系统动态性能的频域分析与频域指标 (22)5.5基于开环频率特性的系统动态性能分析 (23)5.6基于闭环频率特性的系统动态性能分析 (24)5.7基于伯德图的系统稳态性能分析 (24)第6章线性控制系统的设计 (26)6.1 常见的⼏种校正装置连接⽅式 (26)6.2 不同域中系统动态性能指标的相互关系 (27)6.3 串联超前校正 (27)6.4 串联滞后校正 (30)6.5 串联滞后－超前校正 (34)6.6局部反馈校正 (35)6.7PID控制 (36)6.8前馈补偿 (38)第1章导论要点提⽰⼯业⾃动化是⼯业现代化的基础。
《控制工程》传递函数解析PPT课件
m
.. y(t
)
+
c
. y(t
)
+
k
y
(t)
f (t)
令初始条件均为零， 方程两边取拉氏变换
k c
第二章 传递函数
y(t)
m
f(t)
(ms 2 + cs + k ) Y( s ) F( s )
∴
G(s)
Y(s) F(s)
ms2
1 + cs
+
k
-
图2-5
例2 ： L、R、C 电路系统
R
L
u1(t)
则该系统的传递函数 G(S) 为：
G(s)
X0 (s) Xi (s)
bms m ansn
+ bm1s m1 + L + s0 + an1s n1 + L + a0
-
（n≥m）
传递函数方框图：
Xi(s) G（s）
X0(s)
第二章 传递函数
求传递函数的步骤：
1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换
系统综合设计的基础，因此，十分重要。
-
一、定义
第二章 传递函数
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统的微分方程为：
an x(0n)( t) + an1x(0n1)( t) + L + a0 x0( t)
bm x(i m)( t)
第二章 传递函数
第二章 传递函数
2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
dc (t ) T + c (t ) = Kr (t ) dt C (s) K G (s) = = R ( s ) Ts + 1 ( 2 − 55) ( 2 − 56 )
传递函数为
式中T为时间常数，K为比例系数 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化， 存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间 也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。
10
若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号， 则有 1 1 K 1
C(s) = G(s) R(s) = ⋅ = K( − Ts + 1 s s
− t T
由拉氏变换得 C ( t ) = K (1 − e
1 s+ T
)
)
可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数 函数变化的。当t=3T~4T时，输出才能接近其稳态值。 如下图所示 c(t)
Lf di f
=
式中τ f
dt Lf
+ Rf i f = u f
或
τf
di f dt
+if =
1 uf Rf
传递函数模型和传递函数
传递函数模型和传递函数
传递函数模型和传递函数是控制系统分析和设计中的核心概念。
传递函数是一种数学模型，它在使用拉氏变换方法求解线性常微分方程时引出。
具体来说，传递函数定义了线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
这种数学模型可以将系统在时域的微分方程描述变换为复数域的传递函数来描述，从而将时域的微分、积分运算简化为代数运算，大大方便了系统的分析与设计。
传递函数模型则表示的是初始状态为0时输出信号与输入信号之间的变换关系。
这意味着，无论一个系统的状态模型多么复杂，都可以通过一个统一的方法，得到一个对应的传递函数模型。
值得注意的是，实际中的系统或多或少都含有一定的非线性，因此线性系统的假设只能是在一定条件下成立。
但传递函数主要针对线性时不变（LTI）系统，它是一种在经典控制中基于传递函数这一数学模型进行分析和设计的方法。
控制工程期末试题 (2)
第2章补充习题一、填空题1．描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式被称为系统的__数学模型________。
2．数学模型揭示了系统结构及其参数与其性能之间的__内在关系__________。
3．在时间域，通常系统的数学模型采用__微分方程_____________。
4．在复数域，通常系统的数学模型采用___传递函数____________。
5．在频率域，通常系统的数学模型采用___频率特性____________。
6．建立系统的数学模型，一般采用__解析法_________、___实验法________。
7．系统微分方程的系数取决于系统的______结构参数_________。
8．系统微分方程的阶次取决于系统中的__独立储能元件的个数_____________。
9．机械系统中的储能元件有____惯性质量_______、____弹性要素______。
10．电气系统中的储能元件有_____电容_____、__电感_________。
11．物理本质不同的系统，可以有___相同____数学模型。
12．同一数学模型可以描述物理性质____完全不同____的系统。
13．系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统___结构 及其参数________。
14．迭加原理只能适用于___线性_____系统。
15．一般来说，液位控制系统属于___流体系统_____系统。
16．Laplace 变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为___代数___运算。
17．采用Laplace 变换方法可以把微分方程转换为 ___复变___函数。
18. 对于函数f(t)，它的Laplace 变换的表达式为___________。
19．设函数f(t)，其Laplace 变换为F(s)，它的逆Laplace 变换的表达式为___不做要求________。
20．t e t f t 2sin )(2-=的拉氏变换为___________。
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1 基本概念
数学模型：
数学模型是描述系统动态特性的数学表达式；数学模型可以有多种形式。在经典理 论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论 中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是十分重要的。合理包括两条： （1）反映元件及系统的特性要正确； （2）写出的数学式子要简明；
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
(n m)
说明： 1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面 的信息。 2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。 3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入 量的大小和性质无关。 4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息 （许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。 5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握 系统的性质。 自动控制系统是由若干个典型环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微 分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环节，延迟环节等。
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几个基本公式：
c(t) 对控制信号r(t) 的闭环传函记
为 (s) ,即
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H (s)
R(s) (s)
-
G1 ( s )
F(s)
G2 (s)
C(s)若H(s)=1, (s Nhomakorabea G(s)
H (s)
1 G ( s)
c(t) 对扰动信号 f (t) 的闭环传函记为
线性系统最重要的特性是可用叠加原理。对非线性系统当非线性不严重或变量变化 范围不大时，可利用小偏差线性化的方法使数学模型线性化。
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微分方程
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微 分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。
用解析法建立运动方程的步骤是： 1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研 究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元 件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要 注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影 响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准 方程。所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的 各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参 数化成具有一定物理意义的系数。
如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程 中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量方程和向量 的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对描述的线性定常微分方程进行 积分变换，得出传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，对数学模型进行近似而得到 的。以后各章所讨论的系统，除第七章外，均指线性化的系统。
写出组成系统的各 个环节的微分方程
绘制方框图的步骤
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求取各环节的传递函数， 画出个体方框图
从相加点入手，按信号流向依次 连接成整体方框图，既系统方框图
方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的。 1）等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌 握好如下两点：①前向通道中各传递函数的乘积不变；②回路中传递函数 的乘积不变；
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传递函数
线性定常系统可由下列微分方程描述：
a0c(n) a1c(n1) an1canc b0r(m) b1r(m1) bm1r bmr
(n m)
传递函数可定义为：在零初始条件下，在线性定常系统中，系统的输出量c(t) 的拉氏变换C(s)与输入量r(t)的拉氏变换R(s)之比既
R(s)
1 1 G(s)H (s)
其分子等于对应所求的闭环传递函数
的输入信号到输出信号所经过的传递 函数的乘积，并赋以符号，其分母等
若H(s)=1, (s) 1(s)
于1加上开环传函。
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2 结构图及其等效变换
控制系统都是由一些元部件组成的，根据不同的功能，可将系 统划分为若干环节（也叫做子系统），每个环节的性能可以用 一个单向相的函数方框来表示，方框中的内容为这个环节的传 递函数。根据系统中信息的传递方向，将各个环节的函数方框 图用信号线依次连接起来，就构成了系统的结构。系统的结构 图实际上是每个元件的功能和信号流向的图解表示。系统的结 构图又称之系统的方框图。
ε(t) 对干扰信号 f (t) 闭环传函记为
f
(s)
1
G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
1
G2 (s) G(s)H
(s)
f
(s)
(s)
F (s)
G2 (s)H (s) 1 G(s)H (s)
ε(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为
共同规律如下：
(s)
(s)
控制系统的数学模型 综述
自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描 述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控 制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律， 控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械 系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本 定律。
控制系统数学模型的要求可采用解析法和实验法。解析法是根据系统和元件所遵循 的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动 机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学 模型要合理。实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某 种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种 方法也成为系统辨识。