对数与对数的运算第一第二课时讲课教案

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对数和对数的运算(一)教学设计

2.2.1 对数与对数的运算（一）教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用“对数与对数的运算”作为高一新教材的内容，被安排在必修一第二章《基本初等函数I》中，共分三个课时完成。

这一节课我上的是第一课时——对数的概念。

多年的教学实践表明，对数概念对于高一的同学来讲是一个重要内容，也是一个全新的抽象的概念，其符号难以直观地理解其意义。

因此理解这一概念需要有较好的抽象思维能力，从而对多数学生具有一定的挑战性。

对数是已知底数和幂值求指数，对数运算与指数运算是互逆的关系。

对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的重要作用。

2、教学目标知识与技能：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系，掌握对数式与指数式的相互转化；了解常用对数和自然对数的概念以及对数恒等式。

过程与方法：通过对实际问题的提出和解决，引出对数产生的背景和必要性；认识对数源于指数，进一步掌握对数式与指数式的互化并应用。

情感态度与价值观：体会数学概念的起源与发展是自然的，关注数学概念的产生背景、应用需要，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。

3、教学重难点重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化难点：对数概念的理解，以及对数符号的理解二、学情分析我们的学生是美术特色类高中生，入学基础较差，学习能力较弱，且美术专业教育任务也重，花在数学科目上的时间比普高要少。

故数学成绩较差，中考，高考的平均分均低于市平均分许多。

一般高考数学较容易些的平均分80左右，较难一些的则60多分。

我现在所教的两个班级中考平均分是80.02。

基于这样的学情，学生薄弱的数学基础，较差的数学学习、领悟能力，数学的课堂设计注重于基础的知识点，尽可能的调动学生的学习积极性，而对于较难的综合性题目对学生不做要求。

此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，但对于指数幂的运算不是很熟练；而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。

教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案新人教A版必修1

2.2.1 对数与对数运算第一课时对数的概念三维目标定向〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

《对数与对数运算》教学设计(精品)

对数与对数运算（一）（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．提出问题（P72思考题）13 1.01xy=⨯中，哪一年的老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，学生的学习积极性.概念形成合作探究：若1.01x =1318，则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果a x=N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数.合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．概念深化 1. 对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1 （2）log x a a N N x =⇔= 指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数指数←x →对数幂 ←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算. 2. 对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔=则由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① 011,a a a == （a ＞0，且a ≠1） ② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N .恒等式：log a N a =N 3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 【解析】（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64（2）∵51521=-，∴2151log 5-= （3）∵327log 31-=，∴27)31(3=-（4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b = N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . （1）32log 8-=x ；（2）4327log =x ；（3）0)(log log 52=x ；【解析】（1）由32log 8-=x得32332)2(8--==x = 2–2，即41=x .（2）由4327log =x ，得343327==x ，∴813)3(4343===x .（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20 = 1. ∴x = 5.【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.对数与对数运算（二）（一）教学目标1．知识与技能：理解对数的运算性质．2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．3．情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．（二）教学重点、难点1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. 2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明. （三）教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习：对数的定义及对数恒等式log baN b a N=⇔=（a＞0，且a≠1，N＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m na a a a a a+-⋅=÷=();mnm n mn n ma a a a==学生口答，教师板书．对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．提出问题探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m na a a+⋅=，那m n+如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m na a a M a N a+⋅===设.于是,m nMN a+=由对数的定义得到log,maM a m M=⇔=lognaN a n N=⇔=logm naMN a m n MN+=⇔+=log log log()a a aM N MN∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？概念形成（让学生探究，讨论）如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）log log loga a aMN M N=+（2）log log loga a aMM NN=-（3）log log()na aM n M n R=∈证明：（1）令,m nM a N a==则：m n m nMa a aN-=÷=logaMm nN∴-=又由,m nM a N a==log,loga am M n N∴==即：log log loga a aMM N m nN-=-=（3）0,log,Nn nan N M M a≠==时令则log,bnab n M M a==则N bn na a∴=N b∴=让学生多角度思考，探究，教师点拨．让学生讨论、研究，教师引导．让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会即log log log aa a MM N N=- 当n =0时，显然成立.log log na a M n M ∴=从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．概念深化合作探究： 1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？2. 性质能否进行推广？（师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a ＞0，且a ≠1，真数M ＞0，N ＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.（生交流讨论）性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即 log a （M 1M 2M 3…M n ） =log a M 1+log a M 2 +log a M 3+…+log a M n（其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）.应用举例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式（1）log a xyz（2）23log 8a x y学生思考，口答，教师板演、点评．例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1）log axyzlog log a a xy z =-通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．备选例题例1 计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++. 【解析】（1）方法一：原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++-- =5lg 212lg 21+ =21)5lg 2(lg 21=+. 方法二：原式=57lg 4lg 724lg +- =475724lg⨯⨯ =21)52lg(=⨯.（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45；（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.【解析】（1）1190lg 45lg 222==1[lg9lg10lg 2]2=+- 1[2lg31lg 2]2=+- =-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266 （2）434log []a x a y⋅ 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=（3）由已知得：532532lglg lg lg lg cb ac b a x =-+=，∴532c b a x =.【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .对数与对数运算（三）（一）教学目标 1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. （3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正产生认知冲突，激发学生的学习欲望.数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.概念形成1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.011318的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得x=log1.011318=01.1lg1318lg=01.1lg13lg18lg-≈0043.01139.12553.1-=32.8837≈33（年）.由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？log a N=aNccloglog（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.（师生讨论并完成）当a＞0，且a≠1时，若a b=N，①则log a N=b. ②在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，则log c a b=log c N，即b log c a=log c N.∴b=aNcaloglog. ③由②③得log a N=aNccloglog（c＞0，且c≠1）.一般地，log a N=aNccloglog（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.推导换底公式应用举例（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）例1 计算：（1）例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的掌握换底公式的应用.log34·log48·log8m=log416，求m的值.（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·5log2log33.具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.（1）解：原方程等价于3lg4lg×4lg8lg×8lglg m=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=8lg9lg·27lg32lg=2g313g21·3g312g51=910.解法二：原式=8log9log22·27log32log22=33log22·3log352=910.（3）解：原式=（log25+log255）·5log22log33=21log2255·log52=21log2525·log52=45log25·log52=45.小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logmaM n=mn logaM及换底公式log a N=aNbbloglog.利用换底公合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.例2 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 式可以证明：log a b=ablog1，即log a b log b a=1.例2解：（1）M=lg20－lg0.001=lg001.020=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lg A－lg A0可得M=lgAA⇔AA=10M⇔A=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是21AA=56.71010⋅⋅AA=107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大掌握利用对数知识解决实际问题.课堂练习1.课本P 79练习第4题.2.在a b log 1，ba lg lg ，log nb a n ，log n b a n ，baab ab log 1log 1--（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，ab ≠1，n ∈N ）中和log a b 相等的有 A.2个B.3个C.4个D.1个3.若log 34·log 48·log 8m =log 42，求m .4.（1）已知log 53=a ，log 54=b ，试用a 、b 表示log 2512；（2）已知log 1227=a ，求log 616.14的含量P =（21）5730t.由对数与指数的关系，指数式P =（21）5730t可写成对数式t =log573021P .湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P =0.767，那么t =log5730210.767，由计算器可得t ≈2193. 所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址. 课堂练习答案1.（1）1；（2）1；（3）45.2. A3. 3.4. （1）2ba +. （2）aa +-3)3(4. 归纳总结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后作业：2.2 第三课时习案学生独立完成巩固新知备选例题例1 已知log 189 = a ，18b = 5，求log 3645. 【解析】方法一：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴log 185 = b ，于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯== =2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118. 方法二：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴lg9 = a lg18，lg5 = b lg8，∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===ab a a b a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg . 【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式. 例2 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，分贝的定义是：y = 10lgI I. 这里I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I 0 = 10－12w/m 2，当I = I 0时，y = 0，即dB = 0.（1）如果I = 1w/m 2，求相应的分贝值；（2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的多少倍？【解析】（1）∵I =1w/m 2， ∴y =10lg120110lg 10I I -= 1210lg101012lg10120()dB ==⨯=（2）由70 = 10lg 0I I ，即7lg 0=I I，∴7010=I I ，又60 = 10lg0I I '，即lg 0I I '=6，∴0I I '=106. ∴67001010='='I I I II I =10，即I = 10I ′答：（1）I = 1w/m 2，相应的分贝值为120()dB ；（2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的10倍。

对数运算法则教案

§2.2.1 对数与对数运算（第2课时)--对数的运算法则一、教学内容分析：本节课课程标准要求理解对数的运算法则，能灵活运用对数运算法则进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念"后进行的,它是上节内容的延续与深入，同时也是研究学习后续知识对数函数的必备基础知识.高考大纲中要求要理解对数的概念及其运算法则。

二、教学目标：知识与技能目标:理解并掌握对数法则及运算法则，能初步运用对数的法则和运算法则解题．过程与方法目标：通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．情感态度与价值观目标：通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．三、教学重难点：教学重点:对数的运算法则及推导和应用;教学难点：对数运算法则的探究与证明．四、教具准备：幻灯片、课件、多媒体五、教学方法本课采用“探究——发现”教学模式六、教学过程:（一）复习引入1、对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0)2、指数的运算法则;m n m n m n m na a a a a a +-⋅=÷= ()mn n m a a =我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则,得出相应的对数运算法则吗？（二）运算法则（1）我们知道m n m n a a a +⋅=,那m n +如何表示，能用对数式运算吗？解: ,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设于是,m n MN a +=由对数的定义得到log ,m a M a m M =⇔=log n a N a n N =⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=N M MN a a a log log log +=即：两数积的对数，等于各数的对数的和。

提问：你能根据指数的法则按照以上的方法推出对数的其它法则吗?（2)我们知道，那m n -如何表示，能用对数式运算吗？即:两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。

《对数与对数运算》第二课时教学设计

《对数与对数运算》第二课时教学设计一、概述：学科：数学年级：高一课时：1个课时内容：对数运算的法则本节课的价值及重要性：让学生体会重要的数学思想方法，如归纳的思想，类比的思想；掌握对数运算的法则.二、教学目标知识与技能：掌握对数运算的法则，并能理解这些法则的依据.过程与方法：通过对数运算性质的推导与探究过程，培养学生“合情推理”，“演绎归纳”的数学思想.情感、态度与价值观：通过数学思想的运用，培养学生“从特殊到一般”的归纳思维，以及从指数的运算法则到对数的运算法则的类比思想，大胆探索，小心求证，实事求是的科学品质.三、教学重点与难点教学重点：对数运算的性质教学难点：对数运算的性质的探究过程及方法四、教学资源多媒体，教学卡片，人教版教师参考书五、教学设计思路教材分析：教科书的思路是根据指数与对数的关系及指数运算性质，推导对数运算的性质.教学时，要注意将指数与对数的运算性质进行对照加以复习和巩固.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，只要求学生知道换底公式并利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.学情分析:对数对于学生来讲是一个全新的知识，学生对它并不熟悉，甚至可以说是很生疏，要自主地去探究对数的运算性质是有难度的.为此需要设计好教学的流程，为学生的探究创造条件.六、教学流程回忆过去 → 探究未知 → 实战演练 → 思考交流 →课堂练习→ 课堂小结 → 作业七、板书设计0,1,0,0,1log ()log log (2)log log log (3)log log ()a a a aa a n a a a a M N MN M NM M N NM n M n R >≠>>=+=-=∈如果则（）八、教学过程一、回忆过去问：对数是怎样定义的？答：如果x a N =（a＞０，a ≠１），那么x 叫做以a 为底N 的对数。

记作log a x N =.（PPT 投影）师强调：1.对数是一个数(log a N R ∈)2.指数式与对数式如何相互转化（PPT 投影）问：对数的几个结论?答：log 10,log 1a a a ==（PPT 投影）二、探究未知1）动手实践：填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质（PPT 投影）（PPT 投影）提示：可以让学生自己再找几组类似的数据，关系式中分别从指数值，对数值两个角度思考2）活动：活动1：请同学们类比上面两组数据分组讨论，根据指数的运算法则猜想对数的运算法则，a a =n n m m a a a-= （说明：教师在活动中巡视小组合作情况，对有需要的小组提供帮助. ）活动结束选取小组作为代表用实物投影仪展示学生的成果，并请学生作出说明，教师做适当2log 8补充.最后幻灯片播放法则1的证明.（PPT 投影）活动结束得出对数运算法则（对其中的真数，底数的范围进行说明，师生合作探讨）3）实战演练例1：计算12525361log (93);(2)lg100;(3);(4)log Ine -⨯（）PPT 投影）例2：log ,log ,log .a a a x y z 用表示下列各式132232(1)log ;(2)log ;(3)log (4)log a a a a x x yz xy z yz -（PPT 投影）4）思考交流（PPT 投影）判断下列各式是否成立，如果不成立，举一个反例(1)lg()lg lg lg (2)lg lg (3)lg()lg lg lg (4)lg lg lg MN M NM M N N M N M NMM N N==+=-= 5）课堂练习：课本第68页练习题1，2，3（PPT 投影）补充练习：（1）7lg142lglg 7lg183-+-（PPT 投影）（2（说明：对数运算时一般原则是把真数转化成质因子的乘积）课后思考题：证明：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a =>≠>≠>且且（PPT 投影） 6）课堂小结：（1）对数的运算法则（2）运算的小技巧（真数转化成质因子的乘积）（3）数学方法：观察——归纳——总结——证明从特殊到一般（归纳思想）先猜后证（类比思想）即合情推理，演绎归纳（PPT 投影）7）作业：练习本对数与对数运算2（PPT 投影）。

对数与对数的运算教案

对数与对数的运算教案教案标题：对数与对数的运算教案目标：1. 理解对数的概念和性质。

2. 掌握对数运算的基本规则。

3. 能够运用对数运算解决实际问题。

教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾指数的概念和运算规则，并提醒学生指数运算中可能遇到的困难。

2. 引出对数的概念，通过举例说明对数是指数的逆运算。

知识讲解：1. 解释对数的定义：如果a^x = b，那么x就是以a为底b的对数，记作log_a(b)。

2. 讲解对数的性质：a) log_a(a) = 1，任何数以自身为底的对数都等于1。

b) log_a(1) = 0，任何数以底为a的对数等于1。

c) log_a(a^x) = x，对数与指数运算互为逆运算。

d) log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)，对数运算中的乘法法则。

e) log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)，对数运算中的除法法则。

f) log_a(b^x) = x * log_a(b)，对数运算中的幂运算法则。

示例练习：1. 给出一些简单的对数运算题目，让学生运用对数运算法则进行计算。

2. 提供一些实际问题，要求学生运用对数运算解决问题，如计算震级、pH值等。

拓展应用：1. 鼓励学生自主探索对数运算在科学、工程等领域的应用。

2. 分组讨论，让学生分享对数运算在日常生活中的应用案例。

总结回顾：1. 总结对数的定义和性质。

2. 强调对数运算的重要性和实际应用。

教学资源：1. 板书：对数的定义和性质，对数运算的基本规则。

2. 教材：提供相关的例题和练习题。

3. 计算器：用于计算较复杂的对数运算。

教学评估：1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，观察学生对对数和对数运算的理解程度。

2. 布置作业，包括计算题和应用题，检验学生对对数运算的掌握情况。

3. 批改作业，给予学生针对性的反馈和指导。

《对数与对数运算》教案全面版

《对数与对数运算》教案全面版（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化；⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用．教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本例8．教学过程：（I）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿．解决这个问题，实际上就是要要从，，，…中分别求出的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来．生：，，．师：由于我们实际应用的进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数成为自然对数，并且把记作．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：，，，．生：（计算得），，，．师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：．请同学们填写下表中空白处的名称：式子名称指数式对数式生：略．2、对数的性质：师：在对数中，我们规定且，这是为什么呢？生：在指数式中，为了使对任意实数都有意义，我们规定了；而当时，式子的值恒为1，但是在对数式中的值就是不确定的了，所以，在对数式中，我们和指数式一样规定了且．师：在学习指数函数的性质时我们知道，，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于，所以在对数中必须有．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数．在指数式中我们知道：，，这反映到对数式中是怎样的呢？生：，．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到，这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：式子名称幂的底数幂的指数幂值对数的底以为底的对数真数⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒈⒉⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（一）⒈对数的意义：⒉根式的性质例⒈⑴常用对数⑴⑵自然对数⑵例⒉⑶ 小结：预习提纲：教学后记:2、2、1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵，；⑶．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设，，则有，，∴．将上式化为对数形式，得．这样我们就得到了对数的一个运算性质：．请同学们仿照上述过程，由和得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出），．师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本例3、例4、⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：．你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书）证明：设，，，那么，，．将后面的两个式子代入前面的式子，得．根据指数函数的单调性，得，即．∴．师：对数换底公式的证明方法较多，例如也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论：⑴；⑵；⑶．请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：，，．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒊⒋⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数和的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（二）⒈对数的运算性质：例题⒉对数换底公式⑴ 推论⑴⑵⑵⑶ ⑶小结：预习提纲：教学后记:你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。

《对数与对数运算》教案(第1课时)

2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.新知探究提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？ ④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x ,则x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330. 由此得到对数和指数幂之间的关系:例如：42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;421=2⇔21=log 42;10-2=0.01⇔-2=log 100.01①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数.对（3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂. 解：（1）log 5625=4;（2）log 2641=-6;（3）log 315.73=m; （4）(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求下列各式中x 的值: （1）log 64x=32-;（2）log x 8=6; （3）lg100=x;（4）-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.（4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（）（1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251 A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（1）因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于（2）因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于（3）因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于（4）因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之（2）（4）正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4）活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对（2）根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确; 对（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错误;对（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32((2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,则(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1; (4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2（log 5x ）=1;(4)log 3（lgx ）=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2（log 5x ）=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3（lgx ）=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. （1）521-=51;（2）log 24=x;（3）3x =271; （4）(41)x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne 5=x. 解：（1）521-=51化为对数式是log 551=21-; （2）x=log 24化为指数式是(2)x=4,即22x=22,2x=2,x=4; （3）3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; （4）(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; （5）lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5.2.计算51log 53log333+的值.解：设x=log 351,则3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a a log log log ∙∙(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ∙∙=Nc c b b log log ∙=Nc clog =N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者：路致芳)。

对数与对数运算(第一课时)教学设计

a
M
N loga M
loga N
loga (M N )
loga (M N )
loga (MN )
M loga N
2 84
loga M loga N loga M loga N
2 16 2 1
84 2 1
16 2 2 3 27 9
3 93
完成表格后，学生很容易就发现， loga M loga N 与 loga (M N ) 是不相等的，那么
我们一起来复习有关指数的相关内容。
指数式
式子
ax N
a 的名称及取值范围 x 的名称
N 的名称及取值范围
对数式
x loga N
指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运算，但都表示 a, x, N 三个数之间的数量关系，
这两种运算可以相互转化，它们互为逆运算。
我们要注意到， ax N 中的 a 0且a 1 。既然它们之间的关系是等价的，说明指数式里满足的条件，在对数式里也要满足。因此， loga N x 也要求 a 0且a 1 ；还有 loga N x 中的真数 N 能取什么样的数呢？这是为什么？（停顿）这是因为 a 0且a 1 ，所以 ax N 0 。因此， loga N x 中真数 N 也要求大于零，所以在 a 0且a 1 ， N 0 的条件下，指数式与对数式是可以相互转化的。
x loga N ， a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
称 ax N 为指数式，称 x loga N 为对数式。 1
那么，上面引例中的 2 可以记做 log2 4 ，3 可以记做 log2 8 ，-3 可质的探究我们可以由指数式得到对数式，那是不是可以由对数式得到指数式呢？

对数与对数运算教学设计

对数与对数运算教学设计《对数与对数运算》教学设计课题2.2.1对数与对数运算：第一课时三维目标：知识与技能1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2．学会对数式与指数式的的互化，培养学生类比，分析，归纳的能力。

（二）过程与方法1．解自然对数和常用对数的概念，以及对数恒等式；2．通过实例推导对数运算性质，准确运用对数的运算性质进行计算，求值，化简。

并掌握化简，求值的技能。

（三）情感、态度和价值观1.培养学生分析，综合解决问题的能力；2．通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；3．在学习过程中培养学生探究的意识。

教学内容分析：教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质加以灵活运用教学难点对数运算性质推导过程，以及分析过程课型：新授课新课讲解（一）创设情境，课题引入（学生活动）P72~P73页提出以下问题：对对数的发明有杰出贡献的科学家是谁发明对数的目的是什么？为什么说对数发明是17世纪重大数学成就？苏格兰数学家napier（纳皮尔）在研究天文学过程中，为了简化其中的计算发明了对数。

恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。

伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”；（老师引导：那么，什么是对数？对数式怎样简化运算的？对数真的有用吗？）教师：为了研究对数，我们先来研究下面这个问题？（学生活动）P72页思考：根据上一节的例1我们能从中算出任意一个某（经过的年份）的人口总数，可不可能哪一年人口数低于13亿？那么哪一年的人口达到18亿？可不可能哪一年人口达到1000亿？你会算吗（教师活动）由指数函数性质知，有，所以人口数达到18时候，，所以有在个式子中，等于多少？学生可能会说，解出即可。

实际不然，实际问题实际考虑，地球上供养不起这么多人，所以现在同学们们要珍惜现在资源，爱护地球。

对数概念（教师活动）（板书）一般地，若，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，叫做真数。

对数与对数运算第一课时教案

课题:对数与对数运算教学目标：〔一〕知识目标〔1〕理解对数的概念；〔2〕了解自然对数和常用对数；〔3〕掌握对数式与指数式的互化；〔4〕对数的基本性质.〔二〕能力目标〔1〕能用对数解决生活中的实际问题；〔2〕培养学生应用数学的能力、归纳能力.〔三〕情感目标〔1〕激发学生学习数学的热情；〔2〕认识事物的相互联系和相互转化．教学重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化.教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲解法，探究法，讨论法等．教学准备(教具)：彩色粉笔.课型：新授课.教学过程〔一〕引入课题在节例8中我们得到一个关系式13 1.01xy=⨯，其中x表示的是经过的年数，y表示的是那年的人口总数.我们可以看到利用这个关系式可以算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问哪一年的人口总数能达到18亿、20亿、30亿呢？上述问题实际上就是从181.0113x=，201.0113x=，301.0113x=，…中分别求出x，〔即已知底数和幂的值，求指数〕那么x的值会是多少呢？是否有那么一种运算用底数和幂值来表示指数呢? 为了回答这个问题我们今天一起来学习本节课的新内容——对数与对数运算.〔二〕讲授新课 1、对数定义一般地，如果x a N = (01a a >≠且)，那么x 就叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式.从上述定义要知道对数的记法为：log a N ；读作：以a 为底N 的对数.例如：42log 16=，读作2是以4为底16的对数(或以4为底16的对数是2).41log 22=，读作12是以4为底2的对数(或以4为底2的对数是12). 1.0118log 13x =，读作x 是以1.01为底1813的对数(或以1.01为底1813的对数是x ).125log a =，读作5是以12为底a 的对数〔或以12为底a 的对数是5〕.14log 81b=，读作4是以b 为底181的对数〔或以b 为底181的对数是4〕. 2、两种特殊的对数常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把10log N 记作lg N ．自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数叫自然对数，并把log N e 记作ln N ．3、对数与指数间的关系从某种意义上来说，对数就是一种记号，用底和幂表示对应的指数的记号，也就是指数式x a N =的另一种等价表示形式.即当01a a >≠且log x a a N x N =⇔=指数式 ⇔ 对数式幂底数←a →对数底数指数←x →对数幂←N →真数既然它们之间的关系是等价的，说明指数式里满足的条件，在对数式里同样成立. 比如： ○1底数的限制：01a a >≠且；②真数的限制：0N >．③注意对数的书写格式.4、对数的基本性质提问：是不是所有的实数都有对数呢？我们借助指数函数来研究，x y a =中a ＞0且a ≠1，那么y 是恒大于零的，所以在对数中，真数也是大于零的，那么就得出性质：①零和负数没有对数即：N >0.根据指数函数图像，它是恒过一个定点〔0，1〕的，所以根据指数与对数的关系，得出相应的对数性质:〔a 0=1 ，a 1=a 如何转化为对数式学生思考〕②a ＞0且a ≠1,01log 10a a =⇔=.〔即1的对数是0〕还有一个特别的指数，根据指数与对数的关系，得： ③a ＞0且a ≠1,1log 1a a a a =⇔= .〔即底数的对数是1〕根据对数的定义，log a N a =？④对数恒等式：log Na a N =；log na a n =小结：在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 表示的是一种关系，只是它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事.〔三〕例题讲解相信大家对对数有了一定的了解，是否真正掌握了呢？下面就做一下练习测试一下.例1 求下列各式中x 的取值X 围〔1〕2log (10)x - 〔2〕(1)log (2)x x -+ 〔3〕2(1)log (1)x x +- 解：〔1〕由题意得100,10x x ->∴>〔2〕由题意得201011x x x 且+>⎧⎨->-≠⎩，即212x x x 且>-⎧⎨>-≠⎩，12x x 且∴>≠〔3〕由题意得2(1)01011x x x 且⎧->⎨+>+≠⎩，解得10,1x x x 且>-≠≠小结在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.例2〔P 63例1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.〔1〕54=645 〔2〕61264-= 〔3〕1() 5.733m =〔4〕12log 164=- 〔5〕lg 0.012=- 〔6〕ln10 2.303=解：〔略〕课题练习：教材64页练习1、2题.例3 求下列各式中x 的值〔1〕642log 3x =- 〔2〕log 86x = 〔3〕lg100x = 〔4〕2ln e x -=〔5〕23x =分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x .解：〔1〕因为642log 3x =-，所以2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====；〔2〕因为log 86x =，所以68,x =又0x >，1113662(8)(2)2x 所以====〔3〕因为lg100x =，所以21010010,2x x ===于是；〔4〕222ln ,ln ,e x x e e -=-==-x 由得即e所以2x =- 〔5〕由23x =得2log 3x = 课堂练习：教材64页练习3、4题.〔备用例题〕例4 求下列各式中x 的值〔1〕()24log log 0x = 〔2〕()3log lg 1x = 〔3〕312log 09x -⎛⎫= ⎪⎝⎭解〔1〕()01244log log 0,log 21,44x x x =∴==∴== 〔2〕()133log lg 1,lg 33,101000x x x =∴==∴== 〔3〕由已知可得：1219x-=，即129x -=，解得4x =- 例5已知32log 2,log 3,x y a a x y a 则的值为+==？解由log 2a x =知：2x a =；由log 3a y =知3y a = 故()()323232238972x yx y aaa +=⋅=⋅=⨯=(四〕归纳小结对数与指数间的关系；对数的基本性质. (五〕作业1.必做P74 习题〔A〕第1、2题.2.复习这节所学的新知识.3.预习下一节课的内容.板书设计。

对数及对数运算教案祥

课题：对数于对数的运算（第一课时）一、教学目的（1）理解对数的概念（2）能够说明对数与指数的关系（3）掌握对数式与指数式的相互转化二、教学重点（1）对数的概念（2）对数式与指数式的相互转化三、教学难点对数概念的理解四、教学类型新课教学五、教学过程（1）引入课题（由指数引入对数）问题引入：T:请同学们看到62页的思考题，根据给出的关系式我们可以求出任意一年头x的人口总数，但是我们人口是要限制的，不能无限的增长下去，那么哪一年的人口数可达到18亿，20亿……也就是说，（抽象出，板书），对于13 1.01xy=⨯，当已知x的值时，可求出y的值.反之，当已知y的值（x==）时，如何求出x的值，或者说x该如y a N何表示？T：这就是我们今天要学的对数.（板书本节课题）设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究，引出对数的概念，了解引出对数的必要性. （2）新课教学T ：首先，看到书上给出的对数的概念（板书对数的概念） 1、对数的概念：一般地，如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记做log a x N =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.注：1o 注意对数的写法；2o 底数的限制0a >且1a ≠T ：好的，看到我们的概念，注意对数的写法，可以看出对数实际就是对指数中的指数的另一种表示，那么这里的a 也就要满足0a >且1a ≠.特殊地，1o 常用对数：把10log N 记为lg N ； 2o 自然对数：把log e N 记为ln N .T :常用对数和自然对数的出现是为了方便表示、计算.T :呐，再看到对数的概念，既然对数的引入与指数有关，那么它们之间究竟存在着怎样的关系？我们一起来探究一下. 2、探究指数与对数的关系当0a >且1a ≠时，log x a a N x N =⇔= 指数式 ⇔ 对数式底数 a ←→ 底数指数 x ←→ 对数幂 N ←→ 真数T :我们可以看出，指数式与对数式存在着互化的关系，a 、x 、N 在指数式和对数式中名称和位置都发生了变化，不同的位置是不同名称，也就是说指数式中的底数、指数、幂对应着对数式中的底数、对数、真数，反之，对数式中的底数、对数、真数对应着指数式中的底数、指数、幂.设计意图：明确指数式与对数式存在着互化的关系，清楚指数式与对数式中a 、x 、N 三个量之间的同一关系，名称和位置的变化，加深对对数定义的理解.T :清楚了指数与对数存在着相互转化的关系，我们已知指数有它自己的性质，那么反映到对数中又是怎样的呢？ 3、对数的基本性质T ：我们知道对数x a N =，这里0a >且1a ≠，那么0N >，反映到对数中是什么？S ：在对数log a x N =中，真数N 大于零. T :是的，也就是说负数和零没有对数.（板书）1o 负数和零没有对数T ：同样的，我们知道01a =，1a a =，那么反映到对数中又是什么呢？ S ：log 10a =,log 1a a =T ：是的，就是书上给出的结论.（板书）2o log 10a =,log 1a a =设计意图：由指数的一些性质得到对数的常用性质，熟悉指数式与对数式的相互转化.4、从例1和例2中选出两道题进行讲解，巩固指数式与对数式的互化，是学生清楚一般的解题步骤.T:下面看到书上的例题例如：例1中45625=，例2中2ln e x-=5、练习题T：请两位同学上来做一下这两道题，下面的同学自己做，做完后与黑板上的对照一下（1）把下列指数式与对数式互化1o131273-=2o21log24=-（2）求出下列各式中x的值1o lg100x=2o log92x=设计意图：反馈学生掌握对数的概念和对数与指数互化的情况，巩固所学知识.六、归纳总结1、引入对数的必要性2、指数与对数的关系3、对数的基本性质T：总结一下，今天我们根据指数的应用引入了对数，知道了对数的概念，明确指数和对数相互转化的关系，了解了对数的基本性质. 设计意图：对知识进行归纳概括，体会等价转化的思想在对数计算中的作用.七、作业布置T ：下课后，请同学们认真完成课后习题作业.八、板书设计一、对数的概念一般地，如果xa N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记做log a x N =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（注： 0a >且1a ≠）特殊地，1，当10a =时，把10log N 记为lg N ，常用对数； 2，当a e =时，把log e N 记为ln N ，自然对数.§3.1.1方程的根与函数的零点二、指数与对数的关系（互化）当0a >且1a ≠时，log xa a N x N =⇔=指数式 ⇔ 对数式底数 a ←→ 底数指数 x ←→ 对数幂 N ←→ 真数三、对数的基本性质1，负数和零没有对数 2，log 10a =,log 1a a =例：1，45625= 2，2ln ex -=（1）把下列指数式与对数式互化1o131273-=2o 21log 24=- （3）求出下列各式中x 的值1o lg100x = 2o log 92x =13 1.01x y =⨯当1x =时，13 1.01y =⨯；当2x =时，213 1.01y =⨯；当18y =时，?x =；当20y =时，?x =.当x y a N ==时，?x =。

对数与对数运算教案

§2.2.1对数与对数运算（第一课时）一、教学目标（1）知识与技能目标1、理解对数的概念；2、能够进行指数式与对数式的互化；3、理解对数恒等式并能运用于有关的对数计算；4、能够初步运用对数的性质的运算法则解决相关问题；（2）过程与方法目标1、通过对对数定义的探究，渗透转化的数学思想方法，体验辨证唯物主义教育.2、通过探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确；3、通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度与价值观目标1、通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；2、感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；3、体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．二、教学重点、难点教学重点（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化；（3）对数的运算法则及推导和应用；教学难点（1）对数概念的理解；（2）运算法则的探究与证明；三、教辅手段运用多媒体辅助教学、板书、讲练结合；四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生思考并加以探索学习；五、教学过程（1）温故知新回顾上节课的指数的概念及运算性质，根据指数的知识可以很容易得出、，但是当时，此时的的值为多少呢？22=452=322=26x x 把这个用来引入的问题抛给学生，引起学生的学习兴趣，接着分析讲解问题之后引出对数的概念；问题如下：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？分析如下：1次 2次 3次4次 … 次n … 12212⎛⎫ ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭412⎛⎫ ⎪⎝⎭12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）取第4次的长度为：；∴412⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）=0.125，根据以往所学，可以求出3；12x⎛⎫ ⎪⎝⎭x =（2）引出概念（1）多媒体展示出定义：定义：一般地，如果的次幂等于N , 就是，那么数叫做 a 为底 N 的x xa N =x 对数，记作，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

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对数与对数的运算第一第二课时
第二课时对数的运算
【选题明细表】
知识点、方法
题号
易中
对数运算性质的应用1、7 5、6、10
换底公式的应用2、3 8 附加条件的对数式求值问题 4 9
基础达标
1.(2012年温州市六校协作体高一期中)若10a=5,10b=2,则a+b等于(C)
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
解析:∵a=lg 5,b=lg 2,
∴a+b=lg 5+lg 2=lg 10=1,故选C.
2.(2012年昆明一中高一期中)若lg 2=a,lg 3=b,则log23等于(B)
(A)(B)(C)a+b (D)a-b
解析:log23==,故选B.
3.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为(B)
(A)(B)9 (C)18 (D)27
解析:由题意得··=log416=log442=2,
∴=2,
即lg m=2lg 3=lg 9.
∴m=9,选B.
4.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg)2的值等于(A)
(A)2 (B)(C)4 (D)
解析:由根与系数的关系,
得lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
∴(lg)2=(lg a-lg b)2
=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b
=22-4×
=2.故选A.
5.(2013偃师高中高一月考)定义新运算“&”与“*”:x&y=x y-1,x*y=log(x-1)y,则函数
f(x)=是(A)
(A)奇函数 (B)偶函数
(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数
解析:因为f(x)====(x≠0),所以函数f(x)=是奇函数.故选A.
6.(2013长春十一中高一期中)已知2x=3,log4=y,则x+2y等于(A)
(A) 3 (B)8 (C)4 (D)log48
解析:∵2x=3,∴x=log23.
又log4=y,
∴x+2y=log23+2log4
=log23+2(log48-log43)
=log23+2
=log23+3-log23=3.故选A.
7.(2012宿州市十三校期中)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2+log23·log34=.
解析:原式=(lg 5)2-(lg 2)2+2lg 2+log24
=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2+2
=lg 5-lg 2+2lg 2+2
=lg 5+lg 2+2
=3.
答案:3
能力提升
8.(2012湖北黄冈中学期中)已知函数f(n)=log n+1(n+2)(n∈N*),定义:使
f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫作企盼数,则在区间[1,10]内这样的企盼数共有个.
解析:依题意有:f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)
=log23·log34·log45·…·log k(k+1)log k+1(k+2)
=log23···…··
=log2(k+2),
令log2(k+2)=n,则k=2n-2,
由k∈[1,10]得1≤2n-2≤10,
所以3≤2n≤12,
∵n∈N*,∴n=2,3,
故所求的企盼数共有2个.
答案:2
9.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.
解:由题意知Δ=0,
即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0
⇒2lg a-lg(c2-b2)=0
⇒lg =0
⇒=1
⇒a2+b2=c2
⇒△ABC是直角三角形.
10.(2012年西安市碑林区高一期中)已知100m=5,10n=2.
(1)求2m+n的值;
(2)x1、x2、…、x10均为正实数,若函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),且
f(x1·x2·…·x10)=2m+n,求f()+f()+…+f()的值.
解:(1)法一∵100m=102m=5,
∴102m·10n=102m+n=10,
∴2m+n=1.
法二∵100m=5,
∴2m=lg 5
∵10n=2,
∴n=lg 2,
∴2m+n=lg 5+lg 2=lg 10=1.
(2)由对数的运算性质知
log a(x1·x2…x10)=log a x1+log a x2+…+log a x10, log a x2=2log a x且由(1)知2m+n=1,
∴f(x1x2…x10)=f(x1)+f(x2)+…+f(x10)=1, ∴f()+f()+…+f()
=2[f(x1)+f(x2)+…+f(x10)]
=2×1=2.。