北京市西城(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）

高一数学 2013.1

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3

π

-

终边相同的角是（ ）

A. 3

π B.

23π C.

43

π D.

53

π 2.

α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）

A. 关于坐标原点对称

B. 关于x 轴对称

C. 关于y 轴对称

D. 关于直线y x =对称

3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）

A.

(4,2)-

B.

(4,2)--

C.

(4,2)

D.

(4,2)-

4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）

A.

3-

B.

3

C.

1

3

- D.

13

5. 函数

()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π

(0)2

，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A.

sin x B.

cos x C.

sin 1x +

D.

cos 1x +

6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）

A. 6π

B.

4

π C.

3

π D.

2

π

7. 为了得到函数cos(2)3

y x π

=-

的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向左平移

π

6个单位长度 B. 向右平移

π

6个单位长度 C. 向左平移π

3

个单位长度

D. 向右平移π

3

个单位长度

8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）

A.

4

π B.

2

π C.

π

D.

2π

9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则π

cos()4

θ+

的值等于（ ）

A.

10

B.

10

C.

10

D.

10

-

10. 在矩形ABCD

中，AB =

，1BC =，E 是

CD 上一点，且1AE AB ⋅=

，则AE AC ⋅ 的值

为（ ） A ．3

B ．2

C

．

2 D

．

3

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11.

sin

3

4π

=______. 12. 若1

cos , (0,)2

αα=-∈π，则α=______.

13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.

已知sin cos αα

-=sin2α=______.

15. 函数2cos y x =在区间[,]33

π2π

-上的最大值为______,最小值为______.

16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ

[]22

-，上的任意12x x ，，有如下条件：

①22

12x x >；②12x x >；③12x x >，且1202

x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．

（写出所有满足条件的序号）

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

已知

2απ<<π，4cos 5

α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin2cos2αα+的值.

18.（本小题满分12分）

已知函数2()sin 12

x

f x x =+.

（Ⅰ）求

()3

f π

的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的

图象.

19.（本小题满分12分）

如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.

（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅

的值；

（Ⅱ）求AP OP '⋅

的最大值和最小值.

A

B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.

1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________.

2

. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122

x

>的x 的取值范围是_______.

4. 设

()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一

个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________.

5. 已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；

②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．

（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）

已知函数

2

1

()1f x x =-

. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；

（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.

7. （本小题满分10分）

设函数

(2)(4)2

()(2)()

2

x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨

-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.