第七章 第六节 空间角
空间角总结
空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
空间角定理
空间角定理空间角定理是指在三维空间中，两个直线之间的夹角可以通过它们在平面上的投影以及它们在空间中的夹角来求得。
这个定理是空间几何中非常重要的定理之一，可以用在很多不同的数学和物理问题中。
首先，我们来看一下这个定理的几何图像。
假设有两个非平行的直线AB和CD，它们在空间中的夹角为α。
我们将这两个直线在一个平面上的投影分别表示为A'B'和C'D'，它们在平面上的夹角为β。
那么空间角定理告诉我们，这两个夹角之间有一个关系式：cos(α) = cos(β)cos(γ) +sin(β)sin(γ)cos(δ)其中，γ表示A'B'和C'D'的夹角，δ表示这两条直线所在的两个平面的夹角。
这个公式可以用于计算任意两条直线之间的夹角，只需要知道它们在平面上的投影和它们在空间中的夹角即可。
空间角定理的推导可以通过向量的方法进行，它的基本思想是将直线的方向向量表示为一个向量，然后通过向量的点积和叉积来计算夹角。
这个方法虽然比较抽象，但是它的推导过程非常严密，也是空间向量运算的基础之一。
除了可以用于计算直线夹角之外，空间角定理还可以用于解决其他几何问题。
例如，我们可以利用它来计算球体的表面积和体积。
对于一个球体，我们可以将它切割成很多小块，然后计算每一小块的表面积和体积，并将它们加起来得到最终的结果。
在这个过程中，我们需要用到空间角定理来计算每一小块的表面积和体积。
空间角定理在物理学中也有广泛的应用。
例如，在电场和磁场的相互作用中，我们可以用它来计算两个电荷或者两个磁极之间的力和力矩。
在开发物理学理论和设计物理实验时，空间角定理也常常被用到。
总之，空间角定理是空间几何中非常重要的一个定理，它可以用于计算直线之间的夹角，解决球体表面积和体积的问题，以及在物理学中的应用等等。
对于那些热爱数学和物理的人来说，学习空间角定理是非常值得的。
空间角
B
作： 过点A作AE⊥BC于E，过点E作EF⊥CD于F
点，连接AF。 证： ∵平面ABC⊥平面DBC AE⊥BC
∴AE⊥平面DBC，AE⊥EF ∴EF⊥CD ∴AF⊥CD
C
D
F
E B
∴∠AFE为二面角A-CD-B的平面角
A
2 算： 设AB AC a, 则BC 2a, AE CE a 2 EF BD 1 1 2 由 EF CE a CE CD 2 2 4
平移法：
即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的 方法，使之成为相交直线所成的角。 补形法：
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、
平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线 的关系。
说明：异面直线所成角的范围是（0º ，90º ]，在把异 面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常 用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应 角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义， 故其补角为所求的角，这一点要注意。
正三棱锥得一个侧面面积与底面面积之比为2:3,则该
三棱锥得侧面与底面所成得二面角为 训练5.
3
正四棱锥相邻两个侧面所成得二面角一定是
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上都不是
训练6。
设△ABC与△DBC所在的平面互相垂直.且 0 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120 ,求
1.直线AD与平面BCD所成角的大小 2.直线AD与BC所成角的大小 3.二面角A-BD-C的正切值。
在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
空间角
所以B1O 平面MAC
② 由①知 B1O 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量 z 且B1O (1 1 2) ，， C1 设平面B1MA的一个法向量为n ( x，y，z) D1 由A(2，0) M (0，1) B1 (2，2)得 0，， 0，， 2， A1 B1 M MA (2， 1)， 1 (2， 0， MB 21) ， 所以n MA 0，n MB1 0
小结：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
A
a b
A
D
D1
B
n
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
B
O
n
3.二面角：
B A D
n2
AB CD cos cos AB, CD AB CD
2
2
2
于是，得
2CA DB a 2 b2 c 2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 2abcos a 2 b2 c 2 d 2 . 因此
所以
a 2 b2 c 2 d 2 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法： 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
高中数学 第七章 第六节_空间向量及其运算课件(理) 新人教版
向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自
身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝
.
2.在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的 工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成 两个相等向量的数量积的计算问题.
[特别警示] 求向量的数量积关键是求出两个向量的模 和夹角.
在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝ 90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见 下图).求B、D间的距离.
谢谢观赏
You made my day!我们还在路上……∴cos〈
〉＝
＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 .
1.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，
则
()
A.p＝3，q＝2
B.p＝2，q＝3
C.p＝－3，q＝－2
D.p＝－2，q＝－3
解析： ＝(1，－1,3)， ＝(p－2，－1，q＋1)， 由题意知，存在实数λ，使 ＝λ ，即λ＝1，p＝3，q ＝2. 答案：A
〉＝120°，〈
〈
〉＝90°.
〉＝60°，
1
1
1
＝ 2 (－2×2·2 ＋2×2×2 ＋0)＝0，
∴
，即异面直线AM与BC所成角为90°. ┄┄┄12分
[自主体验] 直三棱柱ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、 E分别为AB、BB′的中点. (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
( ＋ )等于
()
A.
B.
C.
D.
解析： ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＝ . 答案：A
第六节 空间角
• 解法2(B)：如图，以D为原点建立空间直 角坐标系D－xyz. • 设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)， • C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)．
•
(1)解决直线与平面所成角的问题， 关键是找到斜线在平面内的射影，将直线 与平面所成的角转化成线线所成的角来度 量． • (2)要作出直线和平面所成的角关键是作垂 线，找射影，可以用三垂线定理，也可以 用向量法来完成． • (3)求直线和平面所成角的步骤：①作出斜 线与其射影所成的角；②证明所作的角就 是要求的角；③常在直角三角形(垂线， 斜线，射影所组成的直角三角形)中解出 所求角的大小．
[0，π] • (2)二面角的取值范围：
．
• 求直线和平面所成角的方法 • (1)定义法：直接在二面角的棱上取一点 (特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂 线，得出平面角，用定义法时，要认真观 察图形的特性． • (2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一 点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其 逆定理作出平面角． • (3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的 垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的 交线所成的角即为平面角，由此可知，二 面角的平面角所在的平面与棱垂直．
【答案】 60°
• 5．如图所示，已知AB为平面α的一条斜 线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α 内的一条直线，∠ABC＝60°，∠OBC＝ 45°，则斜线AB和平面α所成的角为 ____________．
【解析】
由斜线和平面所成的 角的定义 ，可知
cos∠ABC ∠ABO 为 AB 和 α 所成的角． 因为 cos ∠ABO＝ cos ∠CBO cos 60° 1 2 2 ＝ ＝ × ＝ ，所以∠ABO＝45°. cos 45° 2 2 2
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量求空间角、距离【课件】
(3)平面与平面的夹角 如图，平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于 90°的二 面角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
若平面 α，β 的法向量分别是 n1 和 n2，则平面 α 与平面 β 的夹角即为向量 n1 和 n2 的 |n1·n2|
夹角或其补角．设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，则 cosθ＝|cos n1，n2 |＝_____|n_1_||n__2|___.
设平面 CDP 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··PP→→DC＝＝00 ⇒n＝(0,1,1)．
平面 PAB 的法向量 m＝(0,1,0)
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2.
又∵平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为锐二面角，∴所求二面角为 45°.
易错点睛：(1)误认为直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是线面角出错． (2)不能结合图形准确判定二面角出错．
4．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，
π 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为___6_____．
【解析】 以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0，2 2)．点 C1 在
侧 面 ABB1A1 内 的 射 影 为 点
提醒：(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意 n1，n2 与二面角大小的关系，是
相等还是互补，需要结合图形进行判断． (2)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的
夹角的范围为0，π2.
2．空间距离(1)点 P 到直线 l 的距离 设A→P＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向量A→P在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u. 在 Rt△APQ 中，由勾股定理，得 PQ＝ |A→P|2－|A→Q|2＝___a_2－___a_·u__2__.
空间角
A
O
l
B l O
(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
(3)垂线法 过点A作底面的垂线AO,垂 足为O,再作OD垂直于棱L,
A
A
B
连接AD
D
l
O
7、异面直线所成的角、直线和平面所成的 角、二面角的有什么共同的特征？
结论:它们的共同特征都是在度量时将三维 空间的角转化为二维空间的角,即平面角来 度量。
b
b′
a
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a′
O
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o o
3、直线和平面所成的角：
O
线面夹角即为
A
( 00 , 900 )
B
4．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面． 棱为l，两个面分别为、 的二面角记为 -l- ．
设底面正方形边长为2a RT△PEO中，PO= 2a ，OE=
a
P
PO tan PEO 2 OE
D A O
E
C B
(3)
例2、正方体ABCD-A’B’C’D’棱长等于1，B’C∩BC’=O 求： （1）直线AO与A’C’所成的角 （2）直线AO与平面ABCD所成角的正切值 （3）二面角B-AC’-C的正切值
D’ A’ D B’ O
C’
C
A
B
D’
A’ B’ O
C’
D
A
(1)
C
空间角的概念和应用
空间角的概念和应用空间角是指两个射线在平面内的夹角。
它是几何学中一个非常基础的概念，但在实际应用中也有着广泛的作用。
本文将系统地介绍空间角的定义和性质，并讨论其在不同领域中的应用。
一、空间角的定义和性质在平面几何中，我们常见的角度分为两类：一个端点是顶点的角称为尖角，两个端点在一条直线上的角称为平角，两个端点分别位于两条相交直线上的角称为锐角或钝角。
而在三维几何中，射线可以在任意方向上延伸，在这种情况下，我们需要使用更为复杂的空间角概念。
具体来说，如果空间中有两个射线OA和OB，其中O是它们的公共起点，那么我们可以定义它们之间的空间角为AOB所在的平面与由OA和OB张成的空间角度量之间的夹角。
在大多数情况下，我们通常选取OA和OB所在的平面作为一个基准面，这样就可以将空间角化为一个平面角，方便我们进一步计算。
空间角的性质类似于平面角。
它们有一个共同的基本量度单位——弧度。
一个完整的圆周对应的弧度数为2π，任意角的弧度数等于它所对应的弧长与圆的半径之比。
此外，空间角也具有可加性、可减性、开放性和大小比较等性质。
二、空间角在物理学中的应用空间角在物理学、力学、天文学等领域中具有非常广泛的应用。
在物理学中，我们经常会利用空间角辅助描述一个系统中的物理过程。
例如，在热力学中，我们可以使用相角来描述多组态系统中的相变行为。
这是因为相角可以一目了然地表明不同相之间的相对状况，从而帮助我们更好地理解和说明相变热力学行为。
在力学中，相角还可以帮助我们描述复杂的运动状态。
例如，我们可以利用相角来表征旋转物体的自转轴和公转轴之间的夹角，从而更好地控制和预测它的运动状态。
此外，相角还可以用于描述阻力、电阻、电容、电感等物理量的相角特性。
三、空间角在计算机科学中的应用空间角在计算机科学中也有着非常广泛的应用。
例如，在计算机视觉和模式识别中，我们常常需要利用空间角计算两幅图像或对象之间的相似性。
在机器学习和自然语言处理中，两个向量的空间角可以作为它们之间相似性的一种度量方式。
向量法求空间角(高三一轮复习)
A→1B·A→E＝(A→B－A→A1)·(A→C＋λA→A1)＝－16λ.
所以cos〈A→1B，A→E〉＝
→→ A1B·AE →→
＝
|A1B||AE|
2－＋λ2λ2，
因为异面直线A1B与AE所成角的余弦值为3102，所以 2＋λ 2λ2＝3102，解得λ＝34，
所以C1E＝1.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
因为AA1⊥平面ABC，故以点O为坐标原点，O→B
，O→C
，
→ AA1
的方向分别为x，y，
z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
则A(0，－2,0)，B(2 3，0,0)，M(0,0,4)，N( 3，－1,4)，
则A→M＝(0,2,4)，B→N＝(－ 3，－1,4)，
— 30 —
则nn··AA→→DB＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0， 取y＝ 3，
则n＝(3， 3，3)，
又因为C(－1,0,0)，F0， 43，34，
所以C→F＝1， 43，34，所以cos〈n，C→F〉＝|nn|·|CC→→FF|＝
6 21×
7＝4 7 3， 4
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD 上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD 所成的角的正弦值．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
解 (1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE，在△ABD和△CBD 中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝ CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝ E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
第七章 第六节 第1课时 用空间向量研究夹角问题-新人教版高中数学
和简单夹角问题．体会 学科素养：通过建立空间直角坐标系解决空
向量方法在研究立体 间角及空间距离的探究性问题考查数学运
几何问题中的应用． 算、数学建模、直观想象等核心素养．
知识分步落实
(3)平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角， 我们把四个二面角中不大于 90°的二面角称为平 面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是 n1 和 n2，则平面α
与平面β的夹角即为向量 n1 和 n2 的夹角或其补角． 设平面α与平面β的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||nn11|·|nn22|| ．
2．空间距离
(1)点 P 到直线 l 的距离
设A→P ＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向
第七章 立体几何初步与空间向量
第六节 空间向量的应用
第1课时 用空间向量研究夹角问题
课程标准
考向预测
能用向量方法解决点 考情分析：本节内容以几何体为载体，重点
到直线，点到平面、相 考查有关空间的线线角、线面角的计算问题，这仍会是高考的热
行的平面的距离问题 点，多出现在解答题的第(2)问．
考点分类突破
向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所 成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线 所成的角．
利用空间向量求线面角的解题模型
空间角
空间角理解空间角的概念，能辨认各种空间角并能利用定义解决一些常见问题。
1、两条异面直线所成的角过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a 、b 平行的直线a ′、b ′,形成两条相交)直线，这两条相交直线所成的角（不大于直角的角）叫做这两条异面直线所成的角.2、平面的斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.3、二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（如图：可表示为βα--l ）4、二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的取值范围是(0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角。
A B面 面棱 l α βC1CC1A1C练习：1、已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体： （1）、正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线？ （2）、求异面直线1AA 与BC 所成的角； （3）、求异面直线1BC 与AC 所成的角；2、已知正方体1111D C B A ABCD -中，求： （1）、1AA 与平面ABCD 所成的角；（2）、求1BD 和平面ABCD 所成的角的正弦值； （3）、B A 1和平面CD B A 11所成的角。
3如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4，AC 、BD 分别在 平面α和平面β内，它们都垂直于直线l ，并且AC=3，BD=12，求CD 的长。
AC课后练习：1、正方体A B C D A B C D ''''-中，AB 的中点为M ，D D '的中点为N ，异面直线B M ' 与CN 所成的角是（ ） A ．30 B ．90 C ．45 D ．602、在正方体C A '中，直线D D B B C B '''与面所成的角3、、如图，在三棱锥ABC V -中，V A=VB=CA=CB=2，AB=32，VC=1。
7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习
考点二 直线与平面所成的角 【例 2】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ABC＝120°， AB＝1，BC＝4，PA＝ 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM； (2)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 OA⊥BD. 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，OA⊂平面 ABD，所以 OA ⊥平面 BCD. 因为 CD⊂平面 BCD，所以 OA⊥CD. (2)以 O 为坐标原点，OD，OA 所在的直线分别为 y 轴，z 轴，过点 O 且垂直于 BD 的 直线为 x 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
(2)由(1)知，A( 2，0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M 22，1，0， 则A→M＝－ 22，1，0，P→M＝ 22，1，－1， B→C＝(－ 2，0,0)，P→B＝( 2，1，－1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 PAM 的法向量，
则nn11··PA→ →MM＝ ＝00， ，
以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系．
设 BC＝2x，则 D(0,0,0)，A(2x,0,0)，P(0,0,1)，B(2x,1,0)，M(x,1,0)．所以A→M＝(－x,1,0)， P→B＝(2x,1，－1)，
所以(－x,1,0)·(2x,1，－1)＝0，解得 x＝ 22(负值舍去)．所以 BC＝ 2.
(2)以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系．设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)， E(0,2,1)，∴A→A1＝(0,0,2)，A→D1＝(2,0,2)，A→E＝(0,2,1)．
第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直
则 A(0， 3 ，0)，D(0，0，0)，E(1，0，t)，B(－1，0，0)，B1(－1，0，2t)，
A，
3
，0)，D→E
＝1，0，t
，
→ A1N
＝(－1，－
3
，
2λt－2t)，
设平面 ADE 的法向量 n＝(x，y，z)，
则nn··DD→→AE＝＝x＋3yt＝z＝00 ，取 z＝1，得 n＝(－t，0，1)，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知 D(0，0，0)，B(1，2，0)，A(1，0，0)，C(0，
2，0)，S(0，0， 3 )，
→ BS
＝(－1，－2，
3 )，D→C ＝(0，2，0)，
假设存在 M，N 满足 MN⊥CD 且 MN⊥SB.
∵M 在线段 CD 上，可设B→M ＝λB→S ＝(－λ，－2λ， 3 λ)(λ∈[0，1]). ∵D→M ＝D→B ＋B→M ＝(1，2，0)＋(－λ，－2λ， 3 λ)＝(1－λ，2－2λ， 3 λ)， ∴M 的坐标(1－λ，2－2λ， 3 λ)，
N 在线段 SB 上，可设 N(0，y，0)，y∈[0，2]，
则N→M ＝(1－λ，2－2λ－y， 3 λ).
要使 MN⊥CD 且 MN⊥SB，则NN→ →MM· ·DB→→SC＝＝00，，
又B→S ＝(－1，－2， 3 )，D→C ＝(0，2，0)， 可得2－（（2－1－2λλ－）y－）2＝（02－2λ－y）＋3λ＝0 ， 解得 λ＝14 ∈[0，1]，y＝32 ∈[0，2]. 故存在 M，N 使 MN⊥CD 且 MN⊥SB， 其中 M 是线段 SB 靠近 B 的四等分点，N 是线段 CD 靠近 C 的四等分点．
∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
空间角的概念与性质
空间角的概念与性质概念：空间角是几何学中一个重要的概念，它是两个射线在三维空间中共面的情况下，通过共同端点形成的角。
与平面角类似，空间角同样由两个边构成，但由于存在三个维度，空间角的度量相对复杂一些。
性质：1. 角的度量：空间角的度量通常使用弧度制。
当两条射线在共同端点处的夹角为θ时，我们可以使用弧度来度量这个角。
一个直角等于π/2弧度，一个圆等于2π弧度。
因此，任意空间角的度量均可以转化为弧度的形式进行计算。
2. 空间角的几何关系：空间角的大小与其对应的几何关系有着密切的联系。
例如，当空间角为零时，即两个射线重合，形成的是一个平角；当空间角为直角时，两个射线相互正交，形成的是一个直角；当空间角大于直角时，两个射线夹角超过90度，形成一个钝角；当空间角小于直角时，两个射线的夹角小于90度，形成一个锐角。
3. 空间角与平行线：如果两个空间角的边分别平行，那么这两个角相等。
这是因为平行线之间的夹角为零，在三维空间中形成的空间角也不例外。
4. 空间角的投影：空间角的度量与其在投影面上形成的平面角的度量有关。
在垂直于投影面的方向上，空间角的投影是相等的。
5. 空间角的余角：与平面角类似，空间角也有余角的概念。
两个空间角的余角之和等于一个全角。
特别地，如果两个空间角之和为直角，那么这两个角即互为余角。
6. 空间角的三角函数：由于空间角的度量是以弧度为单位的，我们可以使用三角函数来计算和研究空间角。
其中，正弦、余弦和正切等三角函数与空间角的度量之间存在着特定的关系。
结论：空间角是三维空间中一组射线的几何特性的度量，它在几何学和物理学中具有广泛的应用。
在几何学中，对空间角的研究有助于解决射线之间的夹角关系以及空间图形的构造问题。
在物理学中，利用空间角可以描述物体在空间中的相对位置和方向，进而研究物体的运动规律和力学性质。
因此，空间角的概念与其性质具有重要的理论和实际意义。
空间角的范围
空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。
它是向量的方向性特征的量化表示。
在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。
给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。
这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。
当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。
当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。
当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。
在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。
例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。
空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。
通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。
在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。
通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。
在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。
通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。
总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。
空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。
空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。
通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。
空间角的概念与计算
空间角的概念与计算在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。
而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。
本文将介绍空间角的概念及其计算方法。
一、空间角的概念空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。
在二维空间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。
具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。
其中，θ=0时表示a和b共线，θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。
二、空间角的计算1. 余弦定理计算空间角余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的值。
2. 向量叉积计算空间角另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)其中，×表示矢量的叉积。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。
三、实例演示下面通过一个实例来演示如何计算空间角。
假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。
我们希望计算出它们之间的空间角θ。
首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)= (4 + 10 + 18) / √14 × √77= 32 / √1078 ≈ 0.979然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。
向量法求空间角和距离-高考复习
内容索引
第一部分 必备知识 回顾
01
知识梳理
第二部分
01 02 03
关键能力 提升 考点1 异面直线所成角 考点2 直线与平面所成角 考点3 平面与平面的夹角
04
考点4 点到平面的距离
第三部分 课时作业
考试要求
1．能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决 这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
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18
所以－x－x＋2y＋y＝03，z＝0， 取 m＝(3,3， 3)，又B→D＝(1,0， 3)，设直线 BD 与平面 ACDE
所成角为 θ，
则 sin θ＝|cos〈B→D，m〉|＝
→
||B→BDD|··|mm||＝2×6
＝ 21
721，
所以直线 BD 与平面 ACDE 所成角的正弦值为
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11
规律总结
找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线 所成角的范围即可求得答案．
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12
【对点训练 1】 如图，三棱锥 O-ABC 中，∠AOB＝∠BOC＝π3，∠AOC＝π2，OA＝ OB＝OC＝2，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，则异面直线 OG 与 BC 所
21 7.
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19
规律总结
利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角； ②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或 其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是0，π2.
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A1D2＋DE2－A1E2 10 ∴cosA1DE＝ ＝ ＝ 5 . 2·A1D·DE 10 . ∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是 5 (2)证明：取 B1C 的中点 F，B1D 的中点 G，连接 BF，EG， 证明： 证明 ， ， ， ， GF. ∵CD⊥平面 BCC1B1， ⊥ 且 BF⊂平面 BCC1B1，∴DC⊥BF. ⊂ ⊥
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4．(2011·长沙模拟 在正方体 ． 长沙模拟)在正方体 长沙模拟 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与 － 与 对角面DD 对角面 1B1B所成角的大小是 所成角的大小是 A．15° ． ° C．45° ． ° B．30° ． ° D．60° ． ° ( )
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解析：如图所示，连接 交 于 解析：如图所示，连接AC交BD于 O点，易证AC⊥平面 1B1B，连 点 易证 ⊥平面DD ， 即为B 与对角 接B1O，则∠CB1O即为 1C与对角 ， 即为 2 面所成的角，设正方体边长为a， 面所成的角，设正方体边长为 ，则B1C＝ 2a，CO＝ 2 a， ＝ ， ＝ ， 1 ∴∠CB ＝ ∴sin∠CB1O＝2.∴∠ 1O＝30°. ∠ ＝ ∴∠
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1. (2011·陕西八校联考 如图，E、F分别 陕西八校联考)如图 陕西八校联考 如图， 、 分别 是三棱锥P－ 的棱AP、 的中点 的中点， 是三棱锥 －ABC的棱 、BC的中点， 的棱 PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线 ＝ ， ＝ ， ＝ ， AB与PC所成的角为 与 所成的角为 A．30° ． ° C．60° ． ° ( B．45° ． ° D．90° ． ° )
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又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，∴BF⊥平面 B1CD. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ 1 1 又∵GF 綊 CD，BE 綊 CD， ， ， 2 2 BE， 是平行四边形， ∴GF 綊 BE，∴四边形 BFGE 是平行四边形， ∴BF∥GE，∴GE⊥平面 B1CD. ∥ ， ⊥ ∵GE⊂平面 EB1D， ⊂ ， ∴平面 EB1D⊥面 B1CD. ⊥
怎 么 考 1.本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、二面角 本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、 本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角 的求法． 的求法． 2.题型以解答题为主，多与空间中的平行、垂直关系相结 题型以解答题为主，多与空间中的平行、 题型以解答题为主 合进行考查. 合进行考查
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(2)如图，作CF⊥PB于F，连接 、DF. 如图， 如图 ⊥ 于 ，连接AF、 ∵△PBC≌△PBA， ≌ ， ∴AF⊥PB，AF＝CF. ⊥ ， ＝ ∴PB⊥平面 ⊥平面AFC. ∴平面AFC⊥平面 平面 ⊥平面PBC，交线是 ，交线是CF. 在平面PBC内的射影为直线 ，∠ACF为AC 内的射影为直线CF， ∴直线AC在平面 直线 在平面 内的射影为直线 为 与平面PBC所成的角． 所成的角． 与平面 所成的角 返回
答案： 答案：B
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1．线面角的问题 ． (1) 线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思 线面角涉及斜线的射影， 路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系． 路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系． (2) 求直线与平面所成的角的一般过程为： 求直线与平面所成的角的一般过程为： ①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在 通过射影转化法，作出直线与平面所成的角； 三角形中求角的大小． 三角形中求角的大小．
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解析： 中点D，连接DE、 ， 解析：取AC中点 ，连接 、DF，则∠EDF为AB与PC 中点 为 与 所成的角，利用余弦定理可求得∠ 所成的角，利用余弦定理可求得∠EDF＝120°.所以异面 ＝ ° 所以异面 直线AB与 所成的角是 所成的角是60° 直线 与PC所成的角是 °. 答案： 答案：C
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解析： ∴∠B 所成的角， 解析：∵AB∥A1B1，∴∠ 1A1C1是AB与A1C1所成的角， ∥ 与 所成的角为30° ∴AB与A1C1所成的角为 °. 与 ∴∠BB 是 所成的角， ∵AA1∥BB1，∴∠ 1C是AA1与B1C所成的角， 所成的角 由已知条件可以得出BB 由已知条件可以得出 1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a， ， ， ＝ ， ∴B1C1＝BC＝a. ＝ 是正方形． ∴BB1C1C是正方形．∴∠ 1C＝45°. 是正方形 ∴∠BB ＝ ° 答案： ° 答案：30° 45° °
[精析考题 精析考题] 精析考题 济南模拟)三棱锥 [例2] (2012·济南模拟 三棱锥 －ABC 例 济南模拟 三棱锥P－ 与底面ABC垂直，PA＝ 垂直， ＝ 中，侧面PAC与底面 侧面 与底面 垂直 PB＝PC＝3. ＝ ＝ (1)求证：AB⊥BC； 求证： ⊥ ； 求证 (2)设AB＝BC＝2 3，求AC与平面 设 ＝ ＝ ， 与平面PBC所成角的大小． 所成角的大小． 与平面 所成角的大小
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1．异面直线所成的角 ． (1)定义：设 a、b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直 定义： 定义 、 是两条异面直线，
锐角(或直角 或直角) 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角 或直角 ′ ， ′ ， ′ ′
所成的角(或夹角 或夹角)． 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 或夹角 ． π (2)范围：(0， ]． 范围： ， ． 范围 2
答案： 答案：C
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3.如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中， 如图， 如图 ∠ABC＝60°，将菱形沿对角线 AC ＝ ， 折起， 折起，使折起后 BD＝1，则二面角 ＝ ， B－AC－D 的余弦值为 － － 1 A. 3 2 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 2 ( )
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解析： 解析：在原平面图中连接 AC 与 BD， ， 交于 O 点，则 AC⊥BD，由原四边 ⊥ ， 形 ABCD 为菱形且边长为 1，则 DO ， 3 ＝OB＝ .由于 DO⊥AC，BO⊥AC，因此在折起后的图中 ＝ 由于 ⊥ ， ⊥ ， 2 如图)． ∠DOB 就是二面角 B－AC－D 的平面角 如图 ．由 BD＝1 － － 的平面角(如图 ＝ 3 3 OD2＋OB2－DB2 4＋4－1 1 得 cosDOB＝ ＝ ＝ ＝ . 2OD·OB 3 3 3 2· · 2 2 答案： 答案：A
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[自主解答 (1)连接 1D，则由 1D∥ 自主解答] 连接A ，则由A ∥ 自主解答 连接 B1C知，B1C与DE所成角即为 1D与D 所成角即为A 与 知 与 所成角即为 E所成的角．连接A1E，由正方体 所成的角 连接 所成的 ，由正方体AB CD－A1B1C1D1，可设其棱长为 ，则A1D＝ 2 a，A1E＝ － 可设其棱长为a， ＝ ， ＝ 5 DE＝ 2 a， ＝ ，
在等腰Rt△ 在等腰 △ABC中， 中 ， ∵AB＝BC＝2 3，∴DA＝DC＝DB＝ 6. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 在Rt△PDC中， △ 中 ∵PC＝3，∴PD＝ 3. ＝ ， ＝ 3× 6 × PD·DB 在Rt△PDB中，DF＝ PB ＝ 3 ＝ 2， △ 中 ＝ ， DF 2 3 在Rt△FDC中，tanACF＝DC＝ ＝ 3 ， △ 中 ＝ 6 ∴∠ACF＝30°，即AC与平面 ＝ ， 与平面PBC所成角的大小为 所成角的大小为30°. ∴∠ 与平面 所成角的大小为
π 线和平面所成的角分别为 2和0 . π (2)线面角的范围为[0， ] ． 线面角的范围为 ， 2
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4．二面角 ． (1)二面角：从一条直线 出发的两个半平面 二面角： 二面角 所组成的图形叫做二面角． 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 二面角的棱 . 两个半平面叫做二面角的面． 两个半平面叫做二面角的面． 如图，记作： 如图，记作：α-l-β或α-AB-β或P-AB-Q. 或 或
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[自主解答 自主解答] 自主解答
(1)证明：如图，取AC中点 ，连接 、BD. 证明：如图， 中点D，连接PD、 证明 中点
∵PA＝PC，∴PD⊥AC. ＝ ， ⊥ 又已知平面PAC⊥平面ABC， ⊥平面 又已知平面 ， 为垂足． ∴PD⊥平面 ⊥平面ABC，D为垂足． ， 为垂足 ∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC. ＝ ＝ ， ＝ ＝ 的外接圆直径， 故AC为△ABC的外接圆直径， 为 的外接圆直径 ∴AB⊥BC. ⊥
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(2)二面角的平面角： 二面角的平面角： 二面角的平面角 如图，二面角 如图，二面角α-l-β， ， 若有① ∈ ， 若有①O∈l， ②OA⊂α，OB⊂β， ⊂ ， ⊂ ， ③OA⊥l，OB⊥l， ⊥， ⊥， 就叫做二面角α-l-β的平面角． 的平面角． 则∠AOB就叫做二面角 就叫做二面角 的平面角
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2. 已知长方体 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中， － AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线 1 ＝ ＝ ， ，则直线BC 和平面DBB1D1所成的角的正弦值为 和平面 ( 3 A. 2 10 C. 5 5 B. 2 10 D. 10 )
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解析： 解析：连接 A1C1，交 B1D1 于 O，则 ， C1O⊥平面 DBB1D1.连接 OB，则∠ ⊥ 连接 ， 的正弦值即为所求． C1BO 的正弦值即为所求． 因为 BC1＝ 16＋4＝ 20， ＋ ＝ ， 1 C1O＝ 16＋16＝2 2， ＝ ＋ ＝ ， 2 10 OC1 2 2 . 所以 sinC1BO＝ ＝ ＝ ＝ 5 BC1 20
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2．二面角的问题 ． 求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去， 求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去， 但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围． 但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围．
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[精析考题 精析考题] 精析考题 [例1] (2012·杭州模拟 如图，已知 例 杭州模拟)如图 杭州模拟 如图， 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 正方体 － 为 AB的中点．(1)求直线 1C与DE所 的中点． 求直线 求直线B 与 所 的中点 成的角的余弦值； 成的角的余弦值； (2)求证：平面EB1D⊥平面 1CD. 求证：平面 求证 ⊥平面B