2412垂直于弦的直径精品PPT课件 (2)

合集下载

垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

C E A
O
D
B
三垂径定理的有关计算例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，解得 x=5，即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结：一条直线只需满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.
五学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
一三垂径定理的有关计算例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE

人教版数学九级上册 2412垂直于弦的直径(共21张PPT)

如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2

B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E

24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件

1
1.在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是
⌒
60°，那么弦AB的弦心距是 5 3cm 。
O D A B
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 cm 则这弓形所在的圆的半径为 4
C A D O B
.
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？本节课学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。
AB
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中 ⌒ 的中点，CD 就是拱高．点，C是AB
在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
A R O
AB=37.4m CD=7.2m
OE AB
1 1 AE AB 8 4 2 2 在 Rt △AOE中
A
E
B
O
ห้องสมุดไป่ตู้
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
B
图１
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒表示主桥拱，设AB ⌒ 所在圆的圆心为O，如图，用AB
证明： OE AC OD AB AB AC

人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径.ppt(共21张PPT)

通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
AD＝BC AC【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE， AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
【跟踪训练】如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条

2412垂直于弦的直径(第一课时)精品PPT课件

2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是A____2_______cm，AB=___4______cm.
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
巩固练习：
3、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm,
O
那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm.
A EB
4、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
O A EB
提高练习：
5、如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是 y (0, 5.)
C
AOM
Bx
D
6、如图， ⊙ O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
C
·O
E B
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
题设
结论
｝（1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：

2412垂直于弦的直径2 ppt课件

∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
5
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧
2020/12/2
6
1、两条辅助线：
O
D
A
B
2020/12/2
C
8
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据
B
定理D求出第三个量：
2020/12/2
9
2.如图，CD为圆O的直径，弦
A
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
F
D
E C
O
B
3.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
2020/12/2
10
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
202图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”

人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)

解得r =272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什么结论?
称图形呢？则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半

九年级数学上册 2412 垂直于弦的直径人教新课标版2PPT课件

则CD=
4cm15
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
26
活动四：顺利闯二关
• 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
①请画出图形
②是根据7cm图或1形cm。，求出AB与CD之间的距离
(2)你能直接写出此题的答案么：
⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm,
弧。
O
• 即：如果CD过圆心，且垂直 A
于AB，则AE=BE，弧AD=弧
BD，弧AC=弧BC
E
B
D
• 注意:过圆心和垂直于弦两个
条件缺一不可。
13
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
是
不是是
不是
14
垂径定理的几个基本图形。
C
A
D
B
O
A
O
A
E
B
D
B
O
若OA=10cm,OE=6cm,
求弦AB的长。即右图中的OE叫弦心距.
O
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长
A
E
B
用a表示，这三者之间有若下面的弓形高为h，
怎样的关系？
r2 d2
a
2
2
则r、d、h之间有怎样的关系? r=d+h
17
Ramming foundation
变式1：AC、BD有什么关系？