相似三角形中的面积问题
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B B3Βιβλιοθήκη Baidu
B2 4 B1 1
O
A1 A2
A3
A4
A
(山东省竞赛题)
在△ABC中,D为BC边上的 中点,E为AC边上任意一 点,BE交AD于点O,请探究:
如图(1),当 AE 1 时, SAOB AC 2 SDOB
如图(2),当 AE 1时, SAOB AC 3 SDOB
如图(3),当 AE 1 时, SAOB AC 4 SDOB
如则图四,边DE形∥DBFCCE,D的F面∥A积C为, S_△__AB_C_=_94_aa_,__且__BA_D_D.
1则
2
A
D
E
B
C
F
如图,DE∥FG∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积 分别为S1,S2,S3, 求S1:S2:S3 .
A
D S1
S2
F
S3
B
E G
C
S1
S2
①等底同高
S1 S2
③
相似
S1
S2
②同高不同底
S1 S2
④
S1
S2
2.找到相似三角形及求出相似比
3.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.
在相似三角形中求面积的常用方法
1.直接法:根据三角形的面积公式解题.
S 1 底高 2
2.等积法:等底等高的两三角形面积相等. 3.等比法:将面积比转化为线段比.
①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比. ②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方.
D
S1 C
S2
S4
O
S3
A
B
(济宁中考) 如图,DE是△ABC的中位线,
△ADE的面积为3㎝2,则四边形BCED的面积为
__________.
A
D
E
B
C
(黑龙江中考) 在 ABCD中,E为CD上一 点,DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD，
且AE、BD相交于点F，
则S△DEF :S△EBF :S△ABF =(
根据以上规律,你能求 当 AE 1 时, SAOB 的值吗?
AC 1 n SDOB
A
OE
F
B
D
C A
E O
B
D
C A
E O
B
D AC
E O
B
D
C
总结 ☞
1.找到与已知和所求有关的基本图形. S1
S1
S2
S2
2.找到相似三角形及相似比
3.利用面积比等于相似比的平方.
总结 ☞
解决A组题的关键:
1.找到基本图形
)
D
E
C
F
A
B
(孝感中考）.在△ABC 内任取一点P,过点P
作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所
得的三个小三角形的面积分别为S1,S2,S3,
且S1=4 ,S2=9 ,S3=49,
A
求S△ABC .
F
Q
D S1 P S2 E
S3
B
C
H
G
(温州中考题)如图，点A1、A2、A3、A4在射线OA上，点B1、B2、 B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3，若 △A2B1B2，△A3B2B3的面积为1，4，则图中阴影三角形的面积之 和为___________.
如图,DE∥BC, 且 AD 1 , 则△ADE与△ABC的
1 AC 2
1
相似比是 ____2______,面积之比是___4____.
D
E
“ ”字型
" X"型
A
B
C
1. 如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=2:3, 则 S△APE :S△CPD=_____________.
D
P
A
E
C B
2.
如图,平行四边形ABCD中,BE:AB=2:3,
且 S△BPE =4, 求平行四边形ABCD的面积.
D
C
P
A
B
E
如图,BD是 ABCD的对角线,且AE=EF=FC,
求S : S △DMN
△ACD .
D
E
A
M
NC F
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且CADB
1 3
(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.
“同高型”
D
C
S1
S2 O S4
S3
A
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且CADB
直接法
求三角形 面积 等积法
常用方法
等比法
h
S△=
1 2
ah
a
S1 S2
S1=S2 (等底同高)
(同底等高)
S1 S2
(浙教九上P115.2)
如图,DE∥BC, 且 AD 1 则△ADE与△ABC的
1 BD 2
1
相似比是 _____3_____,面积之比是____9___.
A
“A’字型
D
E
B
C
1 3
(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.
“同底等高型”
D
C
S1
S2 O S4
S3
A
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且
CD AB
1 3
(2)若梯形改为”一般四边形”,S1,S2,S3,S4之间的等量关系是否改变?
B2 4 B1 1
O
A1 A2
A3
A4
A
(山东省竞赛题)
在△ABC中,D为BC边上的 中点,E为AC边上任意一 点,BE交AD于点O,请探究:
如图(1),当 AE 1 时, SAOB AC 2 SDOB
如图(2),当 AE 1时, SAOB AC 3 SDOB
如图(3),当 AE 1 时, SAOB AC 4 SDOB
如则图四,边DE形∥DBFCCE,D的F面∥A积C为, S_△__AB_C_=_94_aa_,__且__BA_D_D.
1则
2
A
D
E
B
C
F
如图,DE∥FG∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积 分别为S1,S2,S3, 求S1:S2:S3 .
A
D S1
S2
F
S3
B
E G
C
S1
S2
①等底同高
S1 S2
③
相似
S1
S2
②同高不同底
S1 S2
④
S1
S2
2.找到相似三角形及求出相似比
3.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.
在相似三角形中求面积的常用方法
1.直接法:根据三角形的面积公式解题.
S 1 底高 2
2.等积法:等底等高的两三角形面积相等. 3.等比法:将面积比转化为线段比.
①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比. ②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方.
D
S1 C
S2
S4
O
S3
A
B
(济宁中考) 如图,DE是△ABC的中位线,
△ADE的面积为3㎝2,则四边形BCED的面积为
__________.
A
D
E
B
C
(黑龙江中考) 在 ABCD中,E为CD上一 点,DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD，
且AE、BD相交于点F，
则S△DEF :S△EBF :S△ABF =(
根据以上规律,你能求 当 AE 1 时, SAOB 的值吗?
AC 1 n SDOB
A
OE
F
B
D
C A
E O
B
D
C A
E O
B
D AC
E O
B
D
C
总结 ☞
1.找到与已知和所求有关的基本图形. S1
S1
S2
S2
2.找到相似三角形及相似比
3.利用面积比等于相似比的平方.
总结 ☞
解决A组题的关键:
1.找到基本图形
)
D
E
C
F
A
B
(孝感中考）.在△ABC 内任取一点P,过点P
作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所
得的三个小三角形的面积分别为S1,S2,S3,
且S1=4 ,S2=9 ,S3=49,
A
求S△ABC .
F
Q
D S1 P S2 E
S3
B
C
H
G
(温州中考题)如图，点A1、A2、A3、A4在射线OA上，点B1、B2、 B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3，若 △A2B1B2，△A3B2B3的面积为1，4，则图中阴影三角形的面积之 和为___________.
如图,DE∥BC, 且 AD 1 , 则△ADE与△ABC的
1 AC 2
1
相似比是 ____2______,面积之比是___4____.
D
E
“ ”字型
" X"型
A
B
C
1. 如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=2:3, 则 S△APE :S△CPD=_____________.
D
P
A
E
C B
2.
如图,平行四边形ABCD中,BE:AB=2:3,
且 S△BPE =4, 求平行四边形ABCD的面积.
D
C
P
A
B
E
如图,BD是 ABCD的对角线,且AE=EF=FC,
求S : S △DMN
△ACD .
D
E
A
M
NC F
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且CADB
1 3
(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.
“同高型”
D
C
S1
S2 O S4
S3
A
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且CADB
直接法
求三角形 面积 等积法
常用方法
等比法
h
S△=
1 2
ah
a
S1 S2
S1=S2 (等底同高)
(同底等高)
S1 S2
(浙教九上P115.2)
如图,DE∥BC, 且 AD 1 则△ADE与△ABC的
1 BD 2
1
相似比是 _____3_____,面积之比是____9___.
A
“A’字型
D
E
B
C
1 3
(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.
“同底等高型”
D
C
S1
S2 O S4
S3
A
B
1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,
△OAD
,△OAB,
△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且
CD AB
1 3
(2)若梯形改为”一般四边形”,S1,S2,S3,S4之间的等量关系是否改变?