组合数学(28)

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例:有三种不同颜色的珠子，用它们装成四粒珠 子的项链， 问有哪些方案？
解:不难写出四边形的4个顶点v1, v2, v3, v4所对应
的二面体群G的元素为: (v1)(v2)(v3)(v4); (v2)(v4)(v1, v3); (v1, v2, v3, v4);
(v1)(v3)(v2 , v4); (v1, v3)(v2, v4); (v1, v4)(v2, v3);
置换和6个面的置换，下表列出了各类情况：
对称类 1) 2)a) 2)b) 2)c) 3) 4)a) 4)b) 个数 1 3 3 3 6 4 4 顶 点 类 (8,0,0,0,0,0,0,0,0) (0,0,0,2,0,0,0,0,0) (0,4,0,0,0,0,0,0,0) (0,0,0,2,0,0,0,0,0) (0,4,0,0,0,0,0,0,0) (2,0,2,0,0,0,0,0,0) (2,0,2,0,0,0,0,0,0) 面 类 (6,0,0,0,0,0,0) (2,0,0,1,0,0,0) (2,2,0,0,0,0,0) (2,0,0,1,0,0,0) (0,3,0,0,0,0,0) (0,0,2,0,0,0,0) (0,0,2,0,0,0,0)25
mon (f ) z z
e1 1
e2 2
z ....... z
e3 3
en n
7
那么在置换 f 的循环因子分解中有 e1个1阶循环， e2 个 2 阶循环 ….. en 个 n 阶循环。为了讨论方
便，我们就设仅有红色和蓝色两中颜色。
令Cp,q表示所有p个元素着红色和q = n- p个元 素着蓝色的 X 的着色集合。 Cp,q 中的一种着色在 置换 f 的作用下保持不变的充要条件是f 的循环 因子分解 中的每个元素的 颜色相同 。因此，为 求Cp,q在置换 f 的作用下保持不变的
色c , 一种特定的颜色出现在c 中的次数与该
颜色出现在 f *c 中的次数相同。换句话说：对
X中的对象与其颜色一起进行置换并不改变各
种颜色的数目。就是说X的任意置换群都可作 为着色集C中的一个置换群。
2
例： (10阶二面体群) 对正五边形的顶点着三点 红色两点蓝色，有多少不等价的着色数量？
解：从5个点中任意选择3点着红色，其余的着蓝
代换 zi= ri+bi 而得到的表达式：
2 2 n n P ( r b , r b ,......., r b ) P(r, b) G
中 rpbq 的系数。这意味作上式是当Cp,q中用各 种颜色着色的元素个数为指定时，关于不等价 着色数的一个二元变量r,b的生成函数。
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下面我们给出Polya定理，它的推导、应用已经 成为本章的主要目的。
2 2 3 3 4 4
1 4 4 4 2 2 2 2 [(r b) 2(r b ) 3(r b ) 2(r b)(r b )] 8 1 4 3 2 2 3 4 (8r 8r b 16r b 8rb 8b ) 8 4 3 2 2 3 4 r r b 2r b rb b
它们是：两个连续的蓝色顶点或者两个不连续的
蓝色顶点。
6
为了用Burnside定理来求各颜色出现的次数 被 指定时 的不同着色数量 , 我们必须能够求
出置换保持着色不变的着色数。
令 f 是含有n个元素的集合 X的一个置换。 假设置换 f 的型是： type( f ) = (e1, e2 ,….. en),置换 f 的单项式为：
线对称着同一颜色。
根据前面例题求过的用D5
来自百度文库
1
1
2
的循环因子分解和上面的分析
结果，列出下表：
5
4
3
4
蓝色的点是中垂线的顶点
置 换 循环的因式分解 0 5 [1] 。[2] 。[3] 。[4] 。[5] 1 [1 2 3 4 5 ] 5 2 5 [1 3 5 2 4] 3 5 [1 4 2 5 3] 4 5 [1 5 4 3 2] 1 [1] 。[2 5] 。[3 4] 2 [1 3] 。[2] 。[4 5] 3 [1 5] 。[3] 。[2 4] 4 [1 2] 。[3 5] 。[4] 5 [1 4] 。[2 3] 。[5] 不变的着色数 10 0 0 0 0 2 2 2 2 2
j 1 j 2 j 3
j k
( j 1,2,...,n)
而得到的表达式：
P u .... u ) G (u1 .... uk , u .... u ,.....,
2 1 2 k n 1 n k
换而言之, 上面表达式的展开式中： p p p p u1 u 2 u3 .... uk 项
2
23
1
5 3
4
6
a)90度（3个） b)180度（3个） c)270度（3个） 3)绕对边中点连线旋转180度（6个，有6根连线） 4)绕对角点连线旋转 a)120度（4个） b)240度（4个）
2
24
1
5 3
4
6
立方体对称的总计数是：24个；我们把每类对称 看成是8个点(6个顶点和2个对称轴的端点)的
z z ....... z (r b) (r b ) ......(r b )
e1 1 e2 2 en n e1 2 2 e2 n
n en
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由于置换群G的循环指数是G中的置换 f 的 单项式的平均值。因此，由P358定理14.2.3，
Cp,q中不等价的着色数量等于对G的循环指数做
群D4的循环指数为：
z
f G
e1 1
z z z z
e2 2
e3 3
e4 4
e5 5
1 4 2 2 1 ( z1 2 z1 3 z 2 z 4 2 1 z2 ) 8
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(1)设两种颜色为 r 与 b , 则二元生成函数为：
PD4 (r b, r b , r b , r b )
1 2 3 k
的系数等于集合X中的 p1个元素着颜色u1， p2个元素着颜色u2，……, pk个元素着颜色uk， 的C中不等价着色总数。
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例：分别用2种颜色和3种颜色对一个正方形的 顶点着色，分别求它们不等价着色的生成
函数。
解：由上次课的计算可知，正方形的顶点对称
1 P G ( z1 , z 2 , z3 , z 4 , z5 ) G
于是, 不等价的着色数是各个项系数的和，等于6
其中，全部顶点着红色或者蓝色的各一种；三
红一蓝和三蓝一红各一种；两红两蓝两种。
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(2)设三种颜色为 r, b与g , 则三元生成函数为：
PD4 (r b g , r b g , r b g , r b g )
2 2 2 3 3 3 4 4 4
5
注意：沿中垂线翻转时，翻转的型都有(1 2 0 0) 即有一个顶点位置没有改变；我们必须对
两个2-循环的每一个着同一种颜色，这样就有
两个不等价的着色出现。应用定理14.2.3得不
等价的着色方案数为：
1 N (G, C ) G 10 0 .. 0 2 ... 2 20 C( f ) 2 10 10 f G
(v1, v2)(v3, v4); (v4, v3, v2, v1) 。
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其中, 格式为(1)4的1个， (4)1的2个， (2)2的3个， (1)2(2)的2个。 根据Polya定理， 不同方案
数为:
34 2 3 3 32 2 32 L 21 8
具体方案是:
P=((b+g+r)4+2(b4+g4+r4)+3(b2+g2+r2)2
+2(b2+g2+r2)(b+g+r)2)/8
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=b4+r4+g4+b3r+b3g+br3+r3g+bg3+rg3 +2b2r2+2b2g2+2r2g2+2b2rg+2br2g+2brg2 其中b2rg的系数为2，故知由两蓝、 一红、一绿四 颗珠子组成的方案有2种， 即红、 绿、 蓝、 蓝
及红、 蓝、 绿、 蓝,再换蓝珠的位置会重复。
上式中各单项式中 b 、 r 、 g 的幂是所用各种颜 色珠子的数量，各单项式的系数就是这种组合
的方案数。
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例(立方体的顶点与面的着色)用指定颜色对一个 立方体的顶点与面进行着色，求立方体的
对称群和不等价的着色数。
解 : 一个立方体的对称共有 24种，它们属于四种 不同类型的旋转： 1)平面恒等旋转τ(1个) 2)绕3对垂直对立面中心旋转
色，有组合数求法共有：C(5, 3) =10种。用D5
1
表示旋转和翻转置换群，除了
1
2
旋转0°保持着色不变，其他
旋转都不行。右图的翻转可以
5
4
3
3
可以保持着色不变，下图一样，选择其他顺 序着红、蓝两种色都无法保持沿1点中垂线
翻转后着色不变。无论选择哪点作中垂线，该
点必须着红色，其余两红两蓝四点必须以中垂
其中 t1,t2,t3, ….. ,tn满足关系
9
0 ≤t1≤e1, 0≤t2≤e2 , ….. 0≤tn≤en 于是，在 f 的作用下使Cp,q中着色保持不
变的着色数| Cp,q( f )|等于不等式的解的个数。
现在将红色看成变量r，蓝色看成变量b。
对f 的单项式作代数变换：
z1= r+b, z2= r2+b2, z3= r3+b3,….. zn= rn+bn而得到
第八章 Polya计数法
14.3 Polya计数公式(二)
上次课我们通过研究置换中的循环因子分
解、型、单项式、循环指数, 解决不等价的着色
计数问题。但定理的应用是在已知C是k种颜色
的前提下。现在我们解决当使用颜色次数指定 时不等价的着色数量。 设集合X = {1,2,3,…n}中各颜色的元素的
1
个数是指定的，C是由集合X的所有着色构成的 集合。对X中的每个置换 f 与C中的每种着
1 [(r b g ) 4 2(r 4 b 4 g 4 ) 3(r 2 b 2 g 2 ) 8 2(r b g )(r 2 b 2 g 2 )]
利用第五章 P91“ 多项式定理” ，我们总能够将
上式展开后求得各个单项式的系数；例如：
项 r b 2g
8
着色数，我们可以认为是对循环指定红色元素 的个数为p( 从而着指定为蓝色元素的个数
为q = n - p)。假定指定红色的1-阶循环有t1个，
指定红色的 2- 阶循环有 t2 个， ……. ，指定红色
的n-阶循环有tn个。而我们假设红色元素个数是
p，必然有下关系成立：
p = 1·t1+2·t2+ 3·t3+ ….. +n·tn
1 5 1 1 2 P ( z1 4 z5 5 z1 z 2 ) G ( z1 , z 2 , z3 , z 4 , z5 ) 10
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这个循环指数中没有z1和z3出现，这是因为 D4中的置换在其循环因子分解中均无3-循
环和4-循环。
(1)设两种颜色为 r 与 b , 则二元生成函数为：
定理14.3.3 设X 是一个元素集合，G是X的一个
置换群，{u1, u2,….. uk} 是k种颜色的一个集合，
C是X的任意着色集并且G为C上的一个置换群，
那么，根据各个颜色的数目， C的不等价着色 数的生成函数是： PG (z1, z2 , … zn) 由循环指数 通过做变量代换：
12
z j u u u .... u
1 的系数是： (12 0 0 4) 2 8
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就是说存在一红、两蓝、一绿的顶点着色，共 有不等价的两种。总不等价的着色总数为：
P ,3,3) 32 ; D5 (3
例:分别用2种颜色和3种颜色对一个正五边形的顶
点着色，分别求它们不等价着色的生成函数。
解：由上次课的计算可知，正五边形的顶点对称 群D5的循环指数为：
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不等的着色总数为系数之和：1+1+2+2+1+1=8。
(2)设三种颜色为 r, b与g , 则三元生成函数为:
PD5 (r b g , r b g , r b g , r b g , r b g )
2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
1 5 5 5 5 2 2 2 [(r b g ) 4(r b g ) 5(r b g )(r b g )] 10 不等价着色总数为 1 5 2 (3 4 3 5 3 3 ) 39种 10
PD4 (r b, r 2 b 2 , r 3 b3 , r 4 b 4 , r 5 b5 ) 1 [(r b)5 4(r 5 b5 ) 5(r b)(r 2 b 2 ) 2 ] 10 r 5 r 4b 2r 3b 2 2r 2b3 rb 4 b 5