概率论第二章习题解答全)

解 设赔付金额为 X，则 X 是一个随机变量，取值为 20 万，5 万，0，其相应的概
率为 0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为
X
20（万） 5 万
0
px
0.0002
0.0010
0.9988
2.（1）一袋中装有 5 只球，编号为 1,2，3,4，5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出
X ~ B(5,0.1)
（1）恰有 2 个设力被使用，即{X 2} ：p{X 2} C52 0.12 (1 0.1)3 0.0729 （2）至少有 3 个设备被使用，即{X 3} ：
p{X 3} p{X 3} p{X 4} p{X 5}
C53 0.13 0.92 C54 0.14 0.9 C55 0.15 0.00856 （3）至多有 3 个设备被使用，即{X 3} ：
概率论第二章习题
1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付 20
万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末自下而上，
则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其它原因
死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
这一种取法。因
而其概率为
P{X
3}
1 C53

C22 C53
1 10
若最大号码为 4，则号码为有 1,2，4；1，3,4； 2，3，4 共 3 种取法，
其概率为 P{X

4}
3 C53

C32 C53
3 10
若最大号码为 5，则 1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5 共 6 种取法
8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，今各投 3 次，求（1）两人投中的 次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。
解 记甲投中的次数为 X，乙投中的次数为 Y，则 X ~ B(3,0.6) ，Y ~ B(3,0.7) ，
p{X 0} C30 (0.6)0 (0.4)3 (0.4)3 0.064 p{X 1} C31 (0.6)(0.4)2 0.288 p{X 2} C32 (0.6)2 (0.4) 0.432 p{X 3} C33(0.6)3(0.4)0 (0.6)3 0.216 同理， p{Y 0} (0.3)3 0.027
C31C21P123 3 2 1312
其概率为
p{X 1} 3 21312 12 151413 35
若取到的次品数为 2，，其概率为
p{X 2} 1 p{X 0} p{X 1} 1 22 12 1 。 35 35 35
于是其分布律为
81 6.一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率
为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ 解 设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为 5 且各次试验相互独立，于是
（1）以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以
Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求 Y 的分布律。
（3）求试飞次数 X 小于 Y 的概率；求试飞次数 Y 小于 X 的概率。
解 （1）X 服从 p 1 的几何分布，其分布律为 3
X1
2
3
…
pk
1 3
2 1 (2)2 1
…
33 3 3
(2)Y 所有可能的取值为 1,2，3.
方法一
p{Y 1} 1 3
p{Y 2} 2 1 1 32 3
p{Y 3} 2 1 1 1 32 3
方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即
从 15 只产品中每次任取一只取 3 次，其总的取法为： P135 1514 13 ，
其概率为
若取到的次品数为 0，即 3 次取到的都是正品，其取法为 P133 1312 11
其概率为
p{X 0} 131211 22 151413 35
若取到的次品数为 1，即有 1 次取正品，2 次取到次品，其取法为
i0
i0
0.064 0.027 0.288 0.189 0.432 0.441 0.216 0.343 0.001728 0.054432 0.190512 0.074088 0.32076
又 P{X 1,Y 0} P{X 1}P{Y 0} 0.288 0.027 0.007776
X
0
1
2
px
22 12 35 35
1 35
（2）分布律图形略。
4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p ，失败的概率为 q 1 p
（ 0 p 1 ），
（1）将试验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需要的试验次数，求 X 的分布
律。（此时称 X 服从以 p 为参数的几何分布。）。 （2）将试验进行到出现 r 次成功为止，以 Y 表示所需要的试验次数，求 Y 的分布律。
X 的取值为 1,2，3,4，5,6，
最小点数为 1，的共有 11 种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），
P{X 1} 11 ； 36
最小点数为 2 的共有 9 种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），
P{X 2} 9 ； 36
的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律
（2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律。
解 （1）在袋中同时取 3 个球，最大的号码是 3,4，5。每次取 3 个球，其总取法：
C53

54 2 1
10
，若最大号码是
3，则有取法只有取到球的编号为
1,2，3

p{Y X } p{Y 1, X 2} p{Y 1, X 3} p{Y 2, X 3} p{X i} i4
1 2 1 ( 2)2 1 1 ( 2)2 1 ( 2)i 1
3 9 3 3 3 3 3 3 i4 3 3 38
（此时称 Y 服从以 r ， p 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。） 解 （1）X 的取值为1, 2,, n,，对每次试验而言，其概率或为 1，或为 q 所以其
分布律为
X
12 3
4…n …
pk
p qp q2 p q3 p … qn1 p …
(2)Y 的取值为 r, r 1,, n, ，对每次试验而言，其概率或为 1，或为 q 所以其分
最小点数为 3 的共有 7 种， P{X 3} 7 ； 36
最小点数为 4 的共有 5 种， P{X 4} 5 ； 36
最小点数为 5 的共有 3 种， P{X 5} 3 ； 36
最小点数为 6 的共有 1 种， P{X 6} 1 36
于是其分布律为
X
1
2
3
4
5
6
pk
p{X 2,Y 1} p{X 3,Y 1} p{X 3,Y 2} 0.007776 0.011664 0.005832 0.081648 0.040824 0.095256 0.243
p{Y 1} C31 (0.7)(0.3)2 0.189
p{Y 2} C32 (0.7)2 (0.3) 0.441
p{Y 3} (0.7)3 0.343
若记 A 为事件“两人投中次数相等”，B 为事件“甲比乙投中的次数多”，则
3
3
p( A) p{X i,Y i} p{X i}p{Y i} 0.32076
5
（1） P(B) P{X 3} C5k (0.3)k (0.7)5k k 3 C53 (0.3)3 (0.7)2 C54 (0.3)4 (0.7) C55 (0.3)5 (0.7)0 10 0.27 049 5 0.0081 0.7 0.00243 016308
P{X 2,Y 0} P{X 2}P{Y 0} 0.432 0.027 0.011664
P{X 3,Y 0} P{X 3}P{Y 0} 0.216 0.027 0.005832
P{X 2,Y 1} P{X 2}P{Y 1} 0.432 0.189 0.081648
p{Y 1} p{Y 2} p{Y 3} 1 3
即 Y 的分布律为
Y
1
2
3
pk
1 3
1 3
1 3
(3) p{X Y} p{X 1,Y 2} p{X 1,Y 3} p{X 2,Y 3}
1111 21 33 33 93
8 27
p{X 3} 1 p{X 4} p{X 5} 1 C54 0.14 (1 0.1) C55 0.15 0.99954
（4）至少有一个设备被使用，即{X 1}
p{X
1} 1
p{X

0}

1

C
0 5
0.10
(1 0.1)5
wk.baidu.com
0.40951
2
或 P(B) 1 P{X k} 1 (0.7)5 C210.3 (0.7)4 C22 (0.3)2 (0.7)3 0.163 k 0
7
同理可得 （2） P(B) P{X 3} C5k (0.3)k (0.7)7k 0353 k 3
2
或 P(B) 1 P{X k} 1 (0.7)7 C71(0.3)(0.7)6 C72 (0.3)2 (0.7)5 0.353 k 0
7 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.3，A 发生不少于 3 次时指示灯发出信号， （1）进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解 设 A 发生的次数为 X，则 X B(n, 0.3) ， n 5, 7 ，设 B“指示灯发出信号”
布律为
Y
r r 1 r 2 …
rk
…
pk
pr Cr11qpr Cr22q2 pr …
Ck rk
q
k
pr
…
5.一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞 往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟 是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
其概率为
P{X
5}
6 C53

C52 C53
6 10
一般地
p( X

x)
C2 x 1
C53
，其中
C
2 x 1
为最大号码是
x
的取法种类数，则随机变量
X 的分布律为
X
3
4
5
px
1
3
10 10
6 10
（2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为
S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有 36 个基本事件，
11 36
9 36
7 36
5 36
3
1
36 36
3 设在 15 只同类型的产品中有 2 只次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放 回抽样，以 X 表示取出的次品的次数，
（1）求 X 的分布律； （2）画出分布律的图形。 解 从 15 只产品中取 3 次每次任取 1 只，取到次品的次数为 0，1，2。在不放回的情 形下，
P{X 3,Y 1} P{X 3}P{Y 1} 0.216 0.189 0.040824
P{X 3,Y 2} P{X 3}P{Y 2} 0.216 0.441 0.095256
所以 p(B) p{X Y}
p{X 1,Y 0} p{X 2,Y 0} p{X 3,Y 0}