最新版集合问题的解题方法和技巧
三种集合问题的解题方法
三种集合问题的解题方法【导语】在数学中，集合是研究对象的集合，集合问题是数学中常见的问题之一。
解决集合问题可以帮助我们深入理解数学的抽象思维和逻辑推理能力。
本文将介绍三种常见的集合问题解题方法，以帮助读者更好地应对这类问题。
【目录】一、概述1.1 集合的定义和基本运算1.2 集合问题的分类二、穷举法2.1 穷举法的基本思想2.2 穷举法的应用案例三、推理法3.1 推理法的基本思想3.2 推理法的应用案例四、运算法4.1 运算法的基本思想4.2 运算法的应用案例五、总结与回顾5.1 三种集合问题解题方法的比较5.2 个人观点与理解一、概述1.1 集合的定义和基本运算在数学中，集合是元素的汇集，可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
集合常见的基本运算有交集、并集、补集和差集等。
1.2 集合问题的分类集合问题可以分为穷举法、推理法和运算法三种解题方法。
这三种方法各有特点，我们将逐一介绍。
二、穷举法2.1 穷举法的基本思想穷举法是通过列出集合中的所有元素来解决问题的方法。
它适用于集合元素个数较少的情况，能够确保不漏解和不重解。
2.2 穷举法的应用案例以某班级人数为例，假设班级有20名学生，我们要求找到芳龄在16岁到18岁之间的学生。
可以使用穷举法，列举出所有学生的芳龄，并筛选出符合条件的学生。
三、推理法3.1 推理法的基本思想推理法是通过逻辑推理的方式解决集合问题的方法。
它适用于对集合元素之间的关系进行推断和分析的情况，需要应用数学推理和逻辑思维。
3.2 推理法的应用案例以A、B、C三个集合为例，已知A包含B，B包含C，我们要推导出A包含C的结论。
可以通过推理法进行逻辑推演，利用集合之间的关系进行推理。
四、运算法4.1 运算法的基本思想运算法是通过对集合进行运算操作解决问题的方法。
它主要应用于集合的交集、并集、补集、差集等操作，可以快速求解特定的集合问题。
4.2 运算法的应用案例以两个集合的交集问题为例，已知集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，我们要求解A和B的交集。
集合运算求解题技巧和方法
集合运算求解题技巧和方法集合运算是数学中非常重要的概念和方法，它用来解决各种问题，特别是在概率论、数论、逻辑等领域中。
下面我将介绍一些集合运算求解题的技巧和方法。
1. 并集：并集表示将两个或多个集合中的所有元素合并在一起的操作。
记为A∪B。
求解并集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后将它们合并在一起，去除重复的元素。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后将它们合并在一起，去除重复的元素，得到并集A ∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集：交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合。
记为A∩B。
求解交集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后找出它们共有的元素。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出它们共有的元素，得到交集A∩B={2, 3}。
3. 差集：差集表示一个集合中去除与另一个集合中共有的元素后的剩余元素的集合。
记为A－B。
求解差集问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后找出第一个集合中与第二个集合中共有的元素，再从第一个集合中去除这些共有的元素，得到差集。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出A和B共有的元素，即{2, 3}，然后从A中去除这些共有的元素，得到差集A－B={1}。
4. 互斥：互斥表示两个集合没有共有的元素。
如果两个集合A和B之间没有共有的元素，即A∩B=∅，则称A 和B是互斥的。
求解互斥问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后判断它们是否有共有的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5, 6}是互斥的，因为它们之间没有共有的元素；而集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}不是互斥的，因为它们有共有的元素。
三年级集合的解题方法
解题方法一：集合的基本概念和表示方法在三年级时，我们开始接触到集合的概念。
集合是由一些特定元素组成的整体。
我们可以用大括号{}表示一个集合，用逗号分隔其中的元素。
例如，{1,2,3}表示一个由1、2、3组成的集合。
解题方法二：集合的性质集合有许多基本性质，我们可以通过利用这些性质来解决集合问题。
1.元素互异性：一个集合中的元素都是不同的，没有重复的。
例如，{1,2,3,3}可以简化为{1,2,3}。
2.互相包含：一个集合可以包含另一个集合。
例如，{1,2,3}包含{1,2}。
3.子集关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合叫做另一个集合的子集。
例如，{1,2}是{1,2,3}的子集。
4.空集：一个没有元素的集合叫做空集。
用符号∅表示。
解题方法三：集合的运算集合有三种基本的运算：并集、交集和差集。
1.并集运算：将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
用符号∪表示。
例如，{1,2}∪{2,3}={1,2,3}。
2.交集运算：找出两个集合中的共同元素。
用符号∩表示。
例如，{1,2}∩{2,3}={2}。
3.差集运算：找到一个集合中在另一个集合中没有的元素。
用符号-表示。
例如，{1,2}-{2,3}={1}。
解题方法四：集合的应用在三年级时，我们可以通过集合来解决一些实际问题。
1.排列组合：集合可以用来表示一组物品的所有可能排列或组合。
例如，有三个颜色的块，可以组成多少种不同的排列或组合？2.集合的分类：将一组事物根据一些特征分成不同的集合。
例如，将一群学生按照性别分成男生和女生两个集合。
3.图形的集合：将一组图形按照一些特征分成不同的集合。
例如，将一组有三个边的形状分成三角形和非三角形两个集合。
解题方法五：解题步骤和示例在解决集合问题时，可以按照以下步骤进行解答：1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题要求。
2.确定集合：根据问题要求，确定所涉及的集合。
3.进行运算：根据问题要求，进行并集、交集、差集等运算。
解集合最值问题
解集合最值问题问题描述解集合最值问题是一个常见的数学问题，它涉及在给定的集合中寻找最大或最小的数值。
该问题可以应用于各种领域，例如优化问题、数据分析和计算机科学。
解决方法解决集合最值问题的常见方法包括以下几种：1. 遍历方法：通过遍历集合中的每个元素，依次比较它们的大小，找到最大或最小的数值。
这种方法简单直接，但对于大型集合可能效率不高。
2. 排序方法：将集合中的元素进行排序，然后取最大或最小的数值。
排序可以使用传统的排序算法，如冒泡排序或快速排序。
排序方法适用于需要多次查找最值的情况，但对于集合只有一次查找最值的情况，性能不如其他方法。
3. 优化算法：根据具体的问题特点，设计针对最值问题的优化算法。
例如，对于具有特定结构的集合，可以使用二分查找或动态规划等方法来加快最值的查找速度。
注意事项在解决集合最值问题时，需要注意以下几点：1. 确认问题的具体要求：确定是寻找最大值还是最小值，或者需要找到满足特定条件的最值。
2. 考虑集合大小：对于大型数据集合，需要选择适当的算法来提高效率。
3. 算法正确性验证：在使用特定算法时，需要进行正确性验证，以确保计算结果准确可靠。
示例下面是一个解集合最值问题的示例代码（使用Python编写）：def find_max_value(collection):max_value = float('-inf')for num in collection:if num > max_value:max_value = numreturn max_valuecollection = [5, 2, 8, 1, 9, 4]max_value = find_max_value(collection)print(max_value) # 输出9结论解集合最值问题可以通过遍历方法、排序方法或优化算法来实现。
选择合适的方法根据具体问题的要求和集合的大小。
在解决问题时，需要注意算法的正确性验证。
高中数学集合题型及解题方法
高中数学集合题型及解题方法摘要：1.集合概念与基本运算2.集合间的逻辑关系3.集合题型分类及解题方法4.高考集合题型解析5.解题技巧与策略正文：一、集合概念与基本运算集合是数学中的基本概念，它由一些元素组成。
集合间的运算主要包括并集、交集、补集和全集等。
熟练掌握集合的基本概念和运算对于解决集合题型至关重要。
二、集合间的逻辑关系集合间的逻辑关系包括子集、超集、真子集、真超集等。
理解这些逻辑关系有助于我们更好地把握集合间的包含关系，为解题打下基础。
三、集合题型分类及解题方法1.集合基本运算题：求解集合间的并集、交集、补集等运算，可以通过列举法、描述法等方法求解。
2.集合逻辑关系题：判断集合间的包含关系、相等关系等，可以利用真子集、真超集等概念进行判断。
3.集合与函数题：集合与函数的关系，如函数的定义域、值域等问题，可以通过对函数的性质进行分析求解。
4.集合与数列题：集合与数列的关系，如求数列的通项公式、求和公式等问题，可以通过集合运算解决。
5.集合与不等式题：集合与不等式的关系，如解集合不等式、求解不等式组等问题，可以通过集合的基本运算解决。
四、高考集合题型解析高考中的集合题型主要涉及集合的基本运算、逻辑关系、与函数、数列、不等式的结合等问题。
解题时要注意审题，把握题目中的关键信息，运用恰当的解题方法。
五、解题技巧与策略1.审题要细，抓住关键信息。
2.善于利用集合的基本性质和运算规律。
3.灵活运用逻辑关系判断方法。
4.分类讨论，化简集合运算过程。
5.结合其他数学知识点，如函数、数列、不等式等，综合分析问题。
通过以上分析和方法，相信大家对高中数学集合题型及解题方法有了更深入的了解。
集合解题方法与技巧
集合解题方法与技巧集合解题方法与技巧1. 引言在数学和逻辑推理中，集合是一种非常重要的概念。
集合可以理解为由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合论是一门研究集合和它们之间关系的数学分支，广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
在解题过程中，运用集合的常用方法和技巧有助于我们更全面、深刻和灵活地理解问题，找到准确的解决方案。
2. 集合的基本概念与运算在介绍集合解题方法和技巧之前，我们先来复习一下集合的基本概念与运算。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3和4组成的集合A。
常用的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有的元素的集合，用符号∪表示；交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示；差集表示一个集合中除去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素的集合，用符号-表示；补集表示一个集合相对于于某个全集的剩余部分的集合，用符号'表示。
3. 集合解题方法3.1 确定问题的关键元素和条件在解题过程中，首先要明确问题给出的条件和需要求解的关键元素。
通过分析问题并提取关键信息，我们可以更好地理解问题的本质和要求。
3.2 利用集合间关系进行推理集合间的运算和关系是我们解题的基础。
通过应用集合的基本运算，我们可以得到更多的信息和结论。
通过求两个集合的交集，我们可以找到两个集合共有的元素；通过求两个集合的差集，我们可以找到一个集合相对于另一个集合的独有的元素。
3.3 使用 Venn 图进行可视化分析Venn 图是一种常用的图形工具，用于可视化分析集合的关系。
通过绘制Venn 图，我们可以清楚地看到集合之间的交集、并集和差集等。
借助Venn 图，我们可以更直观地理解和解决问题。
3.4 利用集合的性质和特点进行推导集合具有多种性质和特点，如互斥性、交换律、结合律等。
通过运用这些性质和特点，我们可以简化问题，从而更容易找到解决方案。
集合问题常见题型及求解方法
集合问题常见题型及求解方法一、概念辨析型此类问题主要考察元素与集合、集合与集合的关系及有关运算，往往可通过观察元素的结构特征或借助图形寻求集合之间的关系，使问题直观准确地得到解决。
例1、 设Φ=B A ,{}A P P M ⊆=,{}B Q Q N ⊆=,则有A. Φ=N M ,B.{}Φ=N M ,C.B A N M ⊂,D.B A N M = 解: ∵Φ=B A ,∴B A ⊆Φ⊆Φ, ∴{}Φ=N M . 例 2.函数⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x x x f ,,)(,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定{}P x x f y y P f ∈==),()(,{}M x x f y y M f ∈==),()(给出下列四个判断：（1）若Φ=P M ,则Φ=)()(M f P f ，（2）若Φ≠P M ,则Φ≠)()(M f P f（3）若R P M = ,则R M f P f =)()( ，（4）若R P M ≠ ,则R M f P f ≠)()( 其中正确的判定有 ：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：由函数定义知{}0=P M 或Φ=P M 。
若Φ≠P M 则{}0=P M 此时{}0)()(=M f P f 非空，∴（2）真；若R P M ≠ ，则必有R M f P f ≠)()( ，∴（4）真；若Φ=P M ，则)()(M f P f 不一定为空，∴（1）假；若R P M = ，则)()(M f P f 一定不等于R,∴（3）假.例3.集合A={直线}，B={圆} 则B A 中有（ ）元素A.2个B.1个C.0个D.0或1或2个。
解：A 、B 中元素分别是直线和圆，不是直线上的点和圆上的点，B A 中元素是“既是直线又是圆的图形”。
二、基本运算型此类题型主要考察集合的基本概念和基本运算，常用解法有定义法、列举法、图示法及语言转换法等。
例4.设全集U=R,M={}132≤-x x ，N={}12-+=x y y x ，则=)(N C M R A.[- 2,2] B.[-2，2] C.[-2，-]2,2[]2 D.[ 2,2] 。
三种集合问题的解题方法
三种集合问题的解题方法
1. 穷举法：对于小规模的集合问题，可以使用穷举法来解决。
穷举法即对所有可能的集合进行排列组合，并判断是否满足问题的条件。
这种方法的优点是简单直观，缺点是当问题规模较大时，穷举所有可能性的时间和空间复杂度较高。
2. 动态规划：对于一些具有递推关系的集合问题，可以使用动态规划来解决。
动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题，并将子问题的解存储起来以避免重复计算的优化方法。
通过定义状态和状态转移方程，可以利用动态规划求解集合问题。
3. 贪心算法：对于一些具有贪心选择性质的集合问题，可以使用贪心算法来解决。
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，以希望最终能够达到全局最优的方法。
贪心算法的优点是简单高效，但是由于只考虑局部最优解，不能保证能够得到全局最优解。
因此，对于一些集合问题，需要证明贪心算法的正确性。
集合问题的常用解题方法
集合问题的常用解题方法
集合问题是指用数学的方法来解决涉及集合的问题。
集合问题在许多数学领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、信息论等。
以下是常用的解决集合问题的方法：
1.通过枚举法求解：枚举法是将集合中的所有元素进行枚举，并统
计满足条件的元素个数。
这种方法适用于集合中元素个数较少的情况。
2.利用数学归纳法：数学归纳法是通过证明一个性质在某一类条件
下成立，然后由此推广到所有情况的方法。
这种方法常用于证明某一类集合中的某种性质。
3.利用递推法：递推法是通过对一个问题的答案按照某种递推关系
进行转化，从而求解问题的方法。
这种方法常用于解决一些递推关系的问题。
4.利用构造法：构造法是通过设计特定的构造方法来求解问题的方
法。
这种方法常用于解决构造性问题，例如找出满足某些性质的集合。
5.利用排列组合法：排列组合法是通过统计不同的排列或组合方式
来求解问题的方法。
这种方法常用于解决排列组合问题。
6.利用生成函数法：生成函数法是通过构造特定的生成函数来求解
问题的方法。
这种方法常用于解决组合数学问题。
7.利用计数法：计数法是通过对集合中元素的特征进行计数，从而
求解问题的方法。
这种方法常用于解决计数问题。
上述方法并不是绝对的，在解决集合问题时可能需要结合多种方法，并综合考虑问题的性质、数据规模等因素来选择最适合的方法。
集合难题讲解
集合难题讲解摘要：一、集合难题的概述二、集合难题的解决方法三、集合难题的实际应用正文：一、集合难题的概述集合难题是数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，需要对一组数据进行分类、统计和分析的问题。
集合难题在实际生活和学术研究中都有广泛的应用，如在计算机科学中的数据结构、概率论中的事件空间等。
解决集合难题需要运用逻辑思维、抽象思维和数学方法。
二、集合难题的解决方法解决集合难题的方法有很多，以下是一些常用的方法：1.列举法：对于简单的集合，可以逐个列举集合中的元素，这种方法直观且易于理解。
2.描述法：对于复杂的集合，可以通过给出集合的性质、特征或定义来描述集合。
3.运算法：利用集合的运算性质，如并集、交集、补集等，可以将复杂的集合问题简化为简单的集合运算问题。
4.图论法：对于涉及集合之间的关系的问题，可以借助图论的方法进行分析和解决。
5.代数法：通过引入变量和方程，可以将集合问题转化为代数问题，从而利用代数的方法进行求解。
三、集合难题的实际应用集合难题在实际应用中有很多，以下是一些例子：1.在计算机科学中，数据结构中的集合是一种重要的数据类型，如集合、字典等，它们可以用来存储和管理数据。
2.在概率论中，事件空间是一个重要的集合概念，它可以用来描述随机试验中的所有可能结果。
3.在统计学中，集合可以用来表示一组数据的特征和分布，如众数、中位数等。
4.在自然语言处理中，集合可以用来表示词汇表、语法树等，从而进行文本分析和处理。
5.在社会学中，集合可以用来表示人群的特征和分类，如年龄、性别、职业等。
总之，集合难题作为数学中的一个基本概念，它在学术研究和实际应用中都具有重要意义。
最新版集合问题的解题方法和技巧
集合问题解题方法和技巧一、集合间的包含与运算关系问题解题技巧：解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；（3）若给定的集合是抽象集合， 用Venn 图求解。
例1、（2012高考真题北京理1）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= （ ）A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【答案】D 【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．例2、(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ）A ．0B ． 1C ．2D ．3答案:D解析：作出圆x 2+y 2=l 和直线y=x,观察两曲线有2个交点例3（2012年高考全国卷）已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 （ ）A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆答案：B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用.【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形,作出Venn 图，可知集合C 是最小,集合A 是最大的,故选答案B.二、以集合语言为背景的新信息题解题技巧：以集合语言为背景的新信息题，常见的有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是准确理解新概念或运算，通过对题目的分析，明确所要解决的问题，类比集合的有关定义运算来解决。
2025年新高考数学专题 集合与常用逻辑用语 含解析
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
集合含参问题及解题技巧
集合含参问题及解题技巧关于集合含参问题及解题技巧的文章内容如下：一、集合含参问题的定义集合含参问题是指在集合论中，对于给定的集合，引入一个或多个参数，通过参数的取值范围来描述集合的性质或特征。
参数可以是实数、整数、布尔值等，它们可以是固定的，也可以是取值范围内的任意值。
二、解题技巧1. 确定参数的取值范围：首先需要明确参数的取值范围，这个范围可以通过题目给出的条件来确定，也可以是根据实际情况进行假设。
确定参数的取值范围有助于缩小问题的范围，便于分析和解决。
2. 列出参数的取值条件：根据参数的取值范围，列出参数的取值条件。
这些条件可以是等式、不等式、逻辑关系等，用于描述集合中元素的性质或特征。
3. 利用参数的取值条件求解问题：根据参数的取值条件，可以通过代入法、排除法、逻辑推理等方法，求解集合含参问题。
具体的方法取决于参数的取值条件和问题的性质。
4. 分析参数的取值对集合的影响：在解决集合含参问题时，需要分析参数的取值对集合的性质或特征的影响。
通过分析参数的取值范围，可以确定集合的变化趋势，从而得出结论或解决问题。
5. 检验解的合理性：在解决集合含参问题后，需要对解进行检验，确保解的合理性。
检验解的方法可以是代入法、逻辑推理等，通过验证解是否满足参数的取值条件和问题的要求。
三、例题解析例题1：已知集合A={x | x>0}，集合B={y | y<2}，求集合A∪B的参数取值范围。
解析：集合A的参数取值范围为x>0，集合B的参数取值范围为y<2。
集合A∪B的参数取值范围可以通过将A和B的参数取值范围进行合并得到，即x>0或y<2。
所以集合A∪B的参数取值范围为x>0或y<2。
例题2：已知集合A={x | x>0}，集合B={y | y>x}，求集合A∩B的参数取值范围。
解析：集合A的参数取值范围为x>0，集合B的参数取值范围为y>x。
怀安县高中数学集合与常用逻辑用语解题技巧总结
怀安县高中数学集合与常用逻辑用语解题技巧总结单选题1、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.解：①当a=0时，A={−1}，此时满足条件；2②当a≠0时，A中只有一个元素的话，�=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．3、已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}答案：D分析：根据交集的定义写出A∩B即可．集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D4、集合A={−1,0,1,2,3}，B={0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0,2}B．{−1,1,3,4}C．{−1,0,2,4}D．{−1,0,1,2,3,4}答案：B分析：求∁(A∪B)(A ∩B)得解.解：图中阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)(A ∩B)={−1,1,3,4}.故选：B5、已知集合A ={0,1,2}，B ={ab |a ∈A,b ∈A }，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C分析：由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；解：因为A ={0,1,2}，a ∈A,b ∈A ，所以ab =0或ab =1或ab =2或，故B ={ab |a ∈A,b ∈A }={0,1,2,4}，即集合B 中含有4个元素；故选：C6、已知集合M ={−1,0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ，则P 的真子集共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P ，再根据集合P 中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M ={−1,0,1,2,3,4},N ={1,3,5}∴P ={1，3}，P 的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.7、已知集合A ={1，2，3，5，7，11}，B ={x|3<x <15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．54ab答案：B分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.8、已知x∈R，则“x≠0”是“x+|x|>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：B分析：由x+|x|>0可解得x>0，即可判断.由x+|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，故“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.故选：B.9、已知非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B．则（）．A．B=C B．A⊆(B∪C)C．(B∩C)⊆A D．A∩B=A∩C答案：C分析：作出符合题意的三个集合之间关系的venn图即可判断.解：因为非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，所以A∩B=A∩C．故选：D．10、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D11、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可答案：B分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．∵2∈A，∴m＝2 或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．12、设全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A={x|x+1≤0,x∈U}，B={−2,0,2}，则(∁U A)∪B=（）A．{1}B．{0,2}C．{−2,0,1,2}D．(−1,2]∪{−2}答案：C分析：先求补集再求并集即可.因为U＝{x∈Z||x|≤2}={−2,−1,0,1,2}，A={x|x+1≤0,x∈U}={−2,−1}，所以∁U A={0,1,2}，所以(∁U A)∪B={−2,0,1,2}.故选：C.13、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.14、设x∈R，则“1<x<2”是“−2<x<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：A分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集可得答案.因为集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集，所以“1<x<2”是“−2<x<2”的充分不必要条件.故选：A小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．15、已知p：0<x<1，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1<x<3B．−1<x<1C．13<x<34D．12<x<5答案：C分析：按照充分不必要条件依次判断4个选项即可.A选项：1<x<3⇏0<x<1，错误；B选项：−1<x<1⇏0<x<1，错误；C选项：13<x<34⇒0<x<1，0<x<1⇏13<x<34，正确；D选项：12<x<5⇏0<x<1，错误.故选：C.16、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .17、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.18、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x >1，x 2≥1”的否定是“∀x >1，x 2<1”，故选：D.19、设集合M ={x |0<x <4},N ={x |13≤x ≤5}，则M ∩N =（ ）A ．{x |0<x ≤13}B ．{x |13≤x <4}C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M ={x|0<x <4},N ={x|13≤x ≤5}，所以M ∩N ={x|13≤x <4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.20、下列关系中，正确的是（ ）A ．√3∈NB ．14∈ZC ．0∈{0}D ．12∉Q答案：C分析：根据元素与集合的关系求解.根据常见的数集，元素与集合的关系可知，√3∈N ，14∈Z ，12∉Q 不正确，故选：C填空题21、设P 为非空实数集满足：对任意给定的x 、y ∈P （x 、y 可以相同），都有x +y ∈P ，x −y ∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是________答案：②④解析：①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2= {x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2(k1+k2)∈A,x−y=2(k1−k2)∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y= 3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；所以答案是：②④小提示：关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P”，灵活运用举例法.22、建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a=___________；b=___________；c=___________.答案： 9 8 10分析：根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.由题意得：{28+a +b +6=5135+a +c +6=6026+b +c +6=50，解得：{a =9b =8c =10.所以答案是：9；8；10.23、已知集合A ={x |x <−1，或x >2}，B ={x |2a ≤x ≤a +3}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则实数a 的取值范围是______.答案：(−∞，−4)∪(1，+∞)分析：根据题目条件可得B ⊆A ，对B 进行分类讨论求出实数a 的取值范围.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，所以B ⊆A ，当B =∅时满足题意，即2a >a +3，所以a >3；当B ≠∅时，{2a ≤a +3a +3<−1或{2a ≤a +32a >2， 解得：a <−4或1<a ≤3；综上可得，实数a 的取值范围是(−∞，−4)∪(1，+∞).所以答案是：(−∞，−4)∪(1，+∞).24、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}25、集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，则m＝___．答案：±2分析：根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．∵集合A={−1，2，4}，B={2，m2}，B⊆A，∴m2=4，解得m=±2．所以答案是：±2．26、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2,2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]27、全集U={x|x是不大于20的素数}，若A∩B={3,5}，A∩B={7,19}，A∪B={2,17}，则集合A=___________.答案：{3,5,11,13}解析：本题首先可根据素数的定义得出U={2,3,5,7,11,13,17,19}，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果.因为全集U={x|x是不大于20的素数}，所以U={2,3,5,7,11,13,17,19}，因为A∪B={2,17}，所以A∪B={3,5,7,11,13,19}，因为A∩B={3,5}，A∩B={7,19}，所以可绘出韦恩图，如图所示：由韦恩图可知，A={3,5,11,13}，所以答案是：{3,5,11,13}.小提示：本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.28、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：029、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).30、已知集合A={x∈Z∣3∈Z}，用列举法表示集合A，则A=__________.2−x答案：{−1,1,3,5}分析：根据集合的描述法即可求解.∵A={x∈Z∣3∈Z},2−x∴A={−1,1,3,5}所以答案是：{−1,1,3,5}解答题31、已知p：－1<x<3，q：k－2≤x≤k＋5，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．答案：{k|－2≤k≤1}.分析：根据充分不必要条件的定义列出不等式组，解得即可得出答案.解：∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，q⇏p，∴{，解得－2≤k≤1，所以k的取值范围为{k|－2≤k≤1}．32、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A，所以4−2a+a2−19=0，即a2−2a−15=0，解得a=−3或a=5．当a=−3时，A={x|x2+3x−10=0}={−5,2}，A∩B={2}，符合题意；当a=5时，A={x|x2−5x+6=0}={2,3}，A∩B={2,3}，不符合题意．综上，实数a的值为−3．（2）因为A={x|x2−ax+a2−19=0}，B={2,3}，C={x|x2+2x−8=0}={−4,2}，且A∩B≠∅，A∩C=∅，所以3∈A，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．33、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].34、已知m >0,p:(x +1)(x −5)≤0,q:1−m ≤x ≤1+m .（1）若m =5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x <−1或5<x ≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，可得p 与q 一真一假，然后分p 真q 假，p 假q 真，求解即可；（2）由p 是q 的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m ]，则有{m >01−m ≤−11+m ≥5，从而可求出实数m 的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).35、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果.（1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A ∩B =∅，所以可分两种情况讨论：B =∅，B ≠∅. 当B =∅时，有a ≥3a ，解得a ≤0；当B ≠∅时，有{a >0a ≥4或3a ≤2，解得a ≥4或0<a ≤23.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤23或a ≥4}.。
集合含参问题及解题技巧
集合含参问题及解题技巧
集合含参问题在数学中是一个常见的问题类型，通常涉及到参数对集合元素的影响。
解决这类问题需要一些特定的技巧和策略，下面是一些关键的技巧和步骤：
1.理解问题: 在开始解题之前，首先要明确问题的要求。
理解题目的具体要求，明确需要求解的是什么，这是解决问题的第一步。
2.分析参数: 参数是影响集合元素的关键因素。
分析参数的可能取值范围、变化规律以及对集合元素的影响，是解决问题的关键步骤。
3.数形结合: 结合图形和数值进行理解，有时可以帮助更好地理解和解决问题。
例如，通过画出数轴、平面图等，可以直观地理解集合的关系和变化。
4.分类讨论: 根据参数的不同取值，对问题进行分类讨论。
对于每一个参数的取值范围，分析对应的集合元素的情况，从而全面地解决问题。
5.逻辑推理与验证: 在得到初步的答案后，需要进行逻辑推理和验证，确保答案的正确性和完整性。
6.总结与反思: 完成问题后，进行总结和反思，分析在解题过程中遇到的困难和解决方法，有助于提高解决这类问题的能力。
举一个具体的例子：
设集合A={x∣ax2+2x+a−1=0,a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值为____．
根据题意，方程ax2+2x+a−1=0有唯一解，所以判别式Δ=0。
计算判别式：
Δ=b2−4ac=22−4a(a−1)=0
解得：a=1或a=0。
当a=1时，方程变为x2+2x=0，解得x=0或x=−2，符合题意。
当a=0时，方程变为2x=−1，解得x=−21，符合题意。
所以a的值为0或1。
集合解题方法与技巧
集合解题方法与技巧集合是数学中的一个基本概念，也是解决数学问题时常用的一种工具。
在解决集合问题时，可以采用多种方法和技术，下面将介绍一些常用的集合解题方法与技巧。
1. 定义法根据集合的定义来解题，是解决集合问题的最基本方法。
例如，要证明一个集合中的元素全部属于另一个集合，可以通过对集合中的每一个元素进行验证，然后根据定义得出结论。
2. 特征性质法利用集合的特征性质来解题，是解决集合问题的另一种常用方法。
例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过观察每个元素的特征，然后根据正整数的定义得出结论。
3. 数轴法在解决涉及不等式或绝对值等数学问题时，可以利用数轴的形象化特点来解题。
例如，要证明一个数集中的所有元素都大于0，可以在数轴上画出这个数集的位置，然后根据数轴上的位置关系得出结论。
4. 图表法利用图表来解题，可以将抽象的数学问题变得形象化、具体化。
例如，在解决关于两个集合的交集、并集和补集的问题时，可以通过画出维恩图来形象地表示两个集合之间的关系。
5. 计算法通过计算来解决问题，是数学中常用的方法之一。
在解决集合问题时，也可以利用计算法来得出结论。
例如，要计算两个集合的交集的元素个数，可以通过分别列出两个集合的元素，然后计算它们的交集的元素个数。
6. 归纳法当需要证明一个命题时，归纳法是一种常用的方法。
在解决集合问题时，也可以利用归纳法来得出结论。
例如，要证明一个数列的每一项都是正整数，可以通过观察数列的前几项，然后利用归纳法得出结论。
7. 反证法当直接证明一个命题很困难时，可以采用反证法来证明。
在解决集合问题时，也可以利用反证法来得出结论。
例如，要证明一个集合中的元素都是正整数，可以通过假设这个集合中存在非正整数元素，然后推导出矛盾的结论，从而得出原命题成立。
8. 排除法排除法是一种间接的解题方法，通过排除不可能的情况来得出结论。
在解决集合问题时，也可以利用排除法来得出结论。
例如，要证明一个数集中存在两个不同的元素相等，可以通过观察数集中的所有元素，然后排除所有不相等的元素，从而得出结论。
集合难题讲解
集合难题讲解（最新版）目录一、集合的基本概念二、集合的运算1.并集2.交集3.差集4.商集三、集合的性质1.互异性2.存在性3.无序性4.确定性四、集合难题的解决方法与实例1.用韦恩图表示集合关系2.利用集合的基本运算求解难题3.运用集合的性质解决实际问题正文一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。
集合的元素可以是数字、字母、符号，甚至是其他集合。
集合可以用大写字母表示，如 A、B 等，而集合的元素则用小写字母表示，如 a、b 等。
二、集合的运算集合的运算主要包括并集、交集、差集和商集。
这四种运算可以帮助我们更好地理解和描述集合之间的关系。
1.并集两个集合的并集是指包含在这两个集合中的所有元素的集合。
用符号表示为 A∪B，读作“A 并 B”。
2.交集两个集合的交集是指同时属于这两个集合的所有元素的集合。
用符号表示为 A∩B，读作“A 交 B”。
3.差集两个集合的差集是指属于第一个集合但不属于第二个集合的所有元素的集合。
用符号表示为 A-B，读作“A 差 B”。
4.商集两个集合的商集是指属于第一个集合且属于第二个集合的所有元素的集合。
用符号表示为 A÷B，读作“A 商 B”。
三、集合的性质集合具有以下四个基本性质：1.互异性：集合中的元素互不相同。
2.存在性：集合中的元素至少有一个。
3.无序性：集合中的元素不受顺序影响，即集合中元素的排列顺序改变后，仍然是同一个集合。
4.确定性：给定一个集合，它的元素是唯一确定的。
四、集合难题的解决方法与实例解决集合难题的方法主要有两种：1.用韦恩图表示集合关系韦恩图是一种可视化工具，可以清晰地表示出集合之间的关系。
通过画韦恩图，我们可以更直观地理解集合的运算和性质。
2.利用集合的基本运算求解难题利用集合的基本运算，我们可以解决许多实际问题。
例如，求解集合的并集、交集、差集和商集等问题，可以通过运用相应的运算法则来解决。
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集合问题解题方法和技巧 一、集合间的包含与运算关系问题
解题技巧：解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；
（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
（3）若给定的集合是抽象集合， 用Venn 图求解。
例1、（2012高考真题北京理1）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= （ ）
A （-∞，-1）
B （-1，-
23） C （-23,3）D (3,+∞) 【答案】D
【解析】因为3
2}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A I ．故选D ．
例2、(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ）
A ．0
B ． 1
C ．2
D ．3
答案:D
解析：作出圆x 2+y 2=l 和直线y=x,观察两曲线有2个交点
例3（2012年高考全国卷）已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 （ ）
A ．A
B ⊆ B ．
C B ⊆ C ．
D C ⊆ D ．A D ⊆
答案：B
【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用.
【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形,作出Venn 图，可知集合C 是最小,集合A 是最大的,故选答案B.
二、以集合语言为背景的新信息题
解题技巧：以集合语言为背景的新信息题，常见的有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是准确理解新概念或运算，通过对题目的分析，明确所要解决的问题，类比集合的有关定义运算来解决。
例4. （2010·广东高考卷文）在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么d ⊗ ()a c ⊕= （ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【命题立意】本题考查对新定义运算的理解.
【思路点拨】根据所定义的运算法则，先算出a c ⊕，再算出()d a c ⊗⊕.
【解析】选A Q a c c ⊕=，∴ ()d a c ⊗⊕d c a =⊗= 故选A .。