高中物理圆周运动中的“双星模型”

圆周运动中的“双星模型”

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点：

⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由

可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。

列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。

【例1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图1所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

如图1

（1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2．7×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6．67×10－11N·m2/kg2，m s＝2．0×1030kg）

解析：设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，

设A、B间距离为，则

由以上各式解得

由万有引力定律，有，代入得

令，通过比较得

（2）由牛顿第二定律，有

而可见星A的轨道半径

将代入上式解得

（3）将代入上式得

代入数据得

设，将其代入上式得

可见，的值随的增大而增大，试令，得

可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。

【例2】两个带异种电荷的粒子A和B，带电量分别为5q和—q，质量分别为5m和m，两者相距L，它们之间除了相互作用的电场力之外，不受其他力的作用。若要始终保持粒子A、B之间的距离不变，则关于这两粒子运动情况的描述正确的是（）

A．都做匀速圆周运动，且运动速率相同

B．都做匀速圆周运动，且运动周期相同

C．都做匀速圆周运动，且向心加速度大小相同

D．不一定做匀速圆周运动

分析：要始终保持粒子A 、B 之间的距离不变，它们必须绕共同质心做匀速圆周运。这类似天体运动中的“双星模型”。运用“双星模型”的求解方法就可以简便地求解本题。

设它们做圆周运动的角速度为ω，如图所示：

根据向心力公式可得： k 22

5L

q ＝5 m L 1ω2＝m L 2ω2 有因为L ＝L 1＋L 2 解得v A ＝ωL 1＝mL kq 62 v B ＝mL

kq 6252

所以只有B 正确。

评析：这道题是电学中的力学题目，电荷间的库仑力与天体运动中的万有引力非常相似。因此我们用“双星模型”来解这道电学题目，就可以问题得到简单化。

通过例子我们可以总结建立物理模型的基本程序

（1） 通过审题，摄取题目信息。如物理现象（圆周运动、某个方向抛出、磁场或电场中偏转等）、物理事实（发热、停下来、匀速、平衡等）、物理情景、物理状态、物理过程。

（2） 弄清题目中所给信息的诸多因数中什么是其主要因数。

例如在受力分析时，物体受重力、支持力、拉力、摩擦力等作用，当我们分析水平面上的运动情况时，有时就可忽略掉竖直方向上的作用。又如在分析带电粒子（质子、电子、α粒子等基本粒子）在电场、磁场或电场和磁场组成的复合场中的受力时，往往可以忽略掉重力的作用（有特别说明例外）。

（3） 在寻找与已有信息（某种知识、方法、模型）的相识、相近或联系，通过类比联想或抽象概括，或逻辑推理，或原型启发，建立新的物理模型，将新情景问题“难题”转化为常规命题。

（4） 选择相关的物理规律求解。