普通年金和期初年金
财务管理复习题答案
《财务管理》综合复习题一. 单项选择题1、财务管理区别于企业其它管理的主要特征在于它是一种（ B ）。
A、财务管理B、价值管理C、企业管理D、使用价值管理2、作为企业财务管理目标，权益资本利润率最大化目标较之利润最大化目标的优点在于（ B ）。
A、考虑了资金时间价值因素B、考虑了风险价值因素C、反映了利润与资本之间的关系D、能够避免企业的短期行为3、财务关系是指企业在组织财务活动时与有关方面发生的各种（ C ）A、货币关系B、结算关系C、经济利益关系D、往来关系4、财务管理的最优目标是（ D ）A、利润最大化B、每股盈余最大化C、权益资本净利率最大化D、股东财富最大化或企业价值最大化5、在下列经济活动中，能够体现企业与其投资者之间财务关系的是（ A ）。
A、企业向国有资产投资公司支付利润B、企业向国家税务机关缴纳税款C、企业向其它企业支付货款D、企业向职工支付工资6、在利息不断资本化的条件下，货币时间价值计算的基础是（ B ）。
A、单利B、复利C、年金D、现值7、一定时期内每期期末等额收付的系列款项是（ D ）。
A、即付年金B、永续年金C、递延年金D、普通年金8、一定时期内每期期初等额收付的系列款项是（ A ）。
A、即付年金B、永续年金C、递延年金D、普通年金9、某企业拟进行一项投资，有甲、乙两个方案可供选择：已知甲方案的标准离差为300万元；乙方案的标准离差为330万元；两个方案的预期值相同。
下列结论中正确的是（ B ）。
A、甲方案的风险等于乙方案B、甲方案的风险大于乙方案C、甲方案的风险小于乙方案D、无法评价10、若某股票的β系数等于1，则下列表述正确的是（ C ）。
A、该股票的市场风险大于整个市场股票的风险B、该股票的市场风险小于整个市场股票的风险C、该股票的市场风险等于整个市场股票的风险D、该股票的市场风险与整个市场股票的风险无关11、投资者甘愿冒风险进行投资，是因为：（ D ）。
A、可以获得收入B、可以获得利润C、可以获得时间价值D、可以获得超过时间价值以上的报酬12、下列权利中，不属于普通股股东权利的是（ D ）。
年金终值和现值得计算
1.4 资本回收额
[例题]：某企业想投资100万元购买设备， 预计可使用3年，社会平均利润率8%。 则该设备每年至少带来多少收益是可行 的？
A= P/ (P/A, 8%, 3)=100/2.577=38.88万元
1.4 资本回收额
[例题]：某公司借入2000万元，约定8内， 按i=12%均匀偿还，则每年还本付息多 少？
年金的终值及现值的计算
年金
定义：年金是指一定时期内每期相等金 额的收付款项。
按付款时间分类： 普通年金（或称后付年金） 先付年金（或称即付年金、预付年金） 延期年金（或称递延年金） 永续年金
1. 普通年金（0rdinary Annuity）
普通年金，即后付年金，是指在一定时期 内，每期期末有等额收付款项的年金。
定义：普通年金现值是指一定时期内每期期末等 额的系列收付款项的现值之和. 令P——年金现 值
公式：P=A﹡ [(1+i)n-1]/i(1+i) n=A ﹡ [1-(1+i)-n ]/i [1−(1+i)-n]/ i被称做年金现值系数或年金贴现系数 记作(P/A, i, n)
普通年金现值，通常借助于“年金现值系数表”计算。 P=A ﹡(P/A，i, n)
1.1 普通年金终值
定义：普通年金终值是一定时期内每期 期末等额收付款项的复利终值之和。
令：A——年金数额 i ——利息率 n ——计息期数 F——年金终值
1.1 普通年金终值
计算公式： F=A﹡ [(1+i)n −1]/i 其中[(1+i)n −1]/i被称作年金终值系数， 记作(F/A, i, n) 普通年金终值，通常借助于“年金终值系 数表”计算。 F=A ﹡(F/A, i, n)
保险精算 第2章1 期初年金 期末年金
期末付年金积累值
第1期期末（时刻1）支付的1元在第n期期末（时刻n）的终 值为(1＋i)n－1 ，第2期期末（时刻2）支付的1元在第n期期末的 终值为 (1 i)n2 ，…，第n－2期期末（时刻n－2）支付的1元在 第n期期末的终值为 (1 i)2 ，第n－1期期末（时刻n－1）支付 的1元在第n期期末的终值为(1＋i)，第n 期期末（时刻n）支付 的1元在第n期期末的终值为1，即
年金的分类
• 基本年金
等时间间隔付款 付款频率与计息频率一致 每次付款金额恒定
• 一般年金
不满足基本年金三个约束条件的年金 即为一般年金
2.1 期末付年金
我们考虑在0时刻开始的n期中每期期末支付1元的年金。
每期期末支付额为1、共支付n期的年金在第n期期末
（n时刻）的积累值之和记为 s 。 n
a 与 s 之间的关系式
n|
n|
2. 1 1 i
as
n|
n|
经济意义：设每期期末投资本金为P，投资n期
的本利和现值为1，则P 1 。在n期期末的积累值
a
为(1 i)n , 根据(1 i)n 1 is ,n| 可知即为1 is ,
n|
n|
这与每期期末投资P的n期积累值Ps 相等。 n|
Ps 1 is .
n|
n|
例2.1
某银行客户想通过零存整取的方式在一年后得到 10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需 存入多少钱才能达到目的。
解：设每月需存入 D 元,
D s 10000 12 |0.005
D 810 .66（元）
例2.2
一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半 年计息一次的年名义利率为9%，求此项年金的现值。
公司金融学第三章货币的时间价值(上)
7
一、什么是货币的时间价值
关于资金的时间价值，不同的学者从不同的 角度提出了不同的看法：
9
一、什么是货币的时间价值
（一）货币时间价值的含义 货币的时间价值是指货币经过一定时间的投 资和再投资所增加的价值。 也就是说，在不发生通货膨胀的条件下，今 年的1元钱，肯定会高于一年后的1元钱的价 值。_____why
10
一、什么是货币的时间价值
（二）货币时间价值的意义 1、货币的时间价值是货币的机会成本 2、货币的时间价值是指资金被投入周转而产生 的增值 3、资金的时间价值是没有风险、没有通货膨胀 条件下的投资报酬率 4、资金的时间价值大小取决于时间和时间价值 率
3
西格公司已谈好将它领取珊琪菲尔德一半奖金的权利 以196，000美元的价格卖给了EFSG公司，如果珊琪菲 尔德答应公司的报价，公司就能马上赚取56000美元。 最终珊琪菲尔德接受报价，交易达成。 问题：为何西格公司能安排这笔交易并立即获得 56000美元的利润呢？
4
因为机构投资者与个人在不同时期有不同的消费偏 好。珊琪菲尔德女士一家正处于财务困难时期，迫 切需要现金， 她不想等9年才获得全部奖金。而金 融升级服务集团有多余现金，乐意投资196000美元 在后9 年中每年得到32638.39美元。
19
解答： FV7 =123,600×(1+10％)7 =123,600×1.949 =240,896.4 （元） 240,896.4＞240,000，七年后用这笔款项 的本利和购买该设备够用
普通年金的终值与现值
【例题.计算题】某投资項目于2018年年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年年末可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
【解析】
P=40000×（P/A，6%，10）=40000×7.3601=294404（元）。
【例题•计算题】
（1）某人存入银行10万元，若存款利率4%，第5年年末取出多少本利和？
【解析】
F=1000×（F/A，2%，9）=1000×9.7546=9754.6（元）
2．普通年金现值
PA=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+……..+A×（1+i）-n
经计算可得：
式中： 被称为年金现值系数，
记作（P/A，i，n）。
年金现值系数表（P/A，i，n）
期限利率
4%
5%
6%
7%
8%
1．普通年金终值
FA=A×（1+i）0+A×（1+i）1+0+A×（1+i）2+……+A×（1+i）n+A×（1+i）n-1
式中： 被称为年金终值系数，用符号表示（F/A，i，n）。
年金终值系数表（F/A，i，n）
利率期数
1%
2%
3%
4%
5%
5
5.1010
5.2040
5.3091
5.4163
5.5256
6
5.2421
5.0757
4.9173
4.7665
4.6229
7
6.0021
5.7864
5.5824
5.3893
年金的公式总结
关于年金的总结1．单利现值P=F/(1+n*i) ， 单利现值系数1/(1+n*i)。
2．单利终值F=P*(1+n*i) ， 单利终值系数(1+n*i)。
3．复利现值P=F/ （1+i ）n =F*(P/F ，i ，n) ，复利现值系数1/（1+i ）n ，记作(P/F ，i ，n)。
4．复利终值F=P*（1+i ）n =P*（F/P ，i ，n ），复利终值系数（1+i ）n ， 记作（F/P ，i ，n ）。
结论（一）复利终值与复利现值互为逆运算。
（二）复利终值系数 1/（1+i ）n 与复利现值系数 （1+i ）n 互为倒数。
即 复利终值系数（F/P ，i ，n ）与 复利现值系数(P/F ，i ，n)互为倒数。
可查“复利终值系数表”与“复利现值系数表”！5．普通年金终值F=A*(1)1n i i +-=A*(F/A ，i ，n) ,年金终值系数(1)1n i i+-，记作(F/A ，i ，n)。
可查“年金终值系数表”（1）在普通年金终值公式中解出A ，这个A 就是“偿债基金”。
偿债基金A=F*(1)1n i i +-=F*( A/F ，i ，n),偿债基金系数(1)1n i i +-，记作( A/F ，i ，n)。
结论（一）偿债基金 与 普通年金终值 互为逆运算。
（二）偿债基金系数(1)1n i i +-与 普通年金系数(1)1n i i +- 互为倒数。
即 偿债基金系数( A/F ，i ，n) 与 普通年金系数(F/A ，i ，n)互为倒数。
6．普通年金现值P=A*1(1)n i i --+=A*(P/A ，i ，n) , 年金现值系数1(1)n i i--+，记作（P/A ，i ，n ）。
可查“年金现值系数表”(1).在普通年金现值公式中解出A ，这个A 就是“年资本回收额”。
年资本回收额A=P* 1(1)n i i --+=P*(A/P ，i ，n) ， 资本回收系数1(1)ni i --+，记作(A/P ，i ，n)。
有关年金_复利_现值_终值的计算
例如：本金为50000元，利率或者投资回报率为3％，投资年限为30年，那么，30年后所获得的利息收入，按复利计算公式来计算就是：50000×（1＋3％）30由于，通胀率和利率密切关联，就像是一个硬币的正反两面，所以，复利终值的计算公式也可以用以计算某一特定资金在不同年份的实际价值。
只需将公式中的利率换成通胀率即可。
这均是时间价值问题，简单来讲，今天的100元不等于5年后的100元，那5年后的100元相当于今天的多少呢？这就需要贴现，即用100乘以期限为5，相应利率的复利现值系数,而如果要知道今天的100元相当于5年后的多少呢？则用100乘以复利终值系数，也就是求本利和。
这里的复利终值系数和复利现值系数都是在复利计算下推出的。
（一次性收付款）年金是每隔相同时间就发生相等金额的收付款，比如房租，如果发生时间在每期期末，则称为普通年金，如果以后5年中每年末可以得到100元，相当于今天能得多少（从时间价值考虑，肯定不是500元）就要用100乘以普通年金现值系数 ,反之，比如每年末存银行100元，在复利下5年能得到多少？则用100乘以年金终值系数复利终值系数、复利现值系数是针对一次性收付款，而年金终值系数和年金现值系数是系列收付款，而且是特殊的系列收付款不知道明白没有，最好能看看财务管理中时间价值章节终值的计算终值是指货币资金未来的价值，即一定量的资金在将来某一时点的价值，表现为本利和。
单利终值的计算公式：f＝p（1＋r×n）n复利终值的计算公式：f ＝ p（1＋r）式中f表示终值；p表示本金；r表示年利率；n表示计息年数其中，（1＋r）n称为复利终值系数，记为fvr，n，可通过复利终值系数表查得。
现值的计算现值是指货币资金的现在价值，即将来某一时点的一定资金折合成现在的价值。
单利现值的计算公式：复利现值的计算公式：式中p表示现值；f表示未来某一时点发生金额；r表示年利率；n表示计息年数其中称为复利现值系数，记为pvr，n，可通过复利现值系数表查得。
普通年金现值与终值计算
F=A+A×（1+i）+A×（1+i）2+…+A×（1+i）n-1
①
等F×式（两1边+同i）乘=A（×1（+i）1+，i）则+有A×：（1+i）2+A×（1+i）3 +…+A×（1+i）n
②
②-①得： n
F=A×1-（1+i）-1
普通年金终值系数， 记做（F/A,i,n)
24
24
24
24
0 2018
2019 2020
2021
支付价款的现值=24×（P/A，10％，4）＝24×3.1699＝76.08（万元）
〖注意〗上期期末和下期期初是同一个时点，2019年年初相当于2018年年末；
（2)普通年金终值 对于等额收付n次的普通年金而言，其终值是指各期等额收付金额在第n期期 末的复利终值之和。
A
A
A
0
1
2
3
普通年金现值是指普通年金中各期等额收付金额在第一期期初（0时点）的 复利现值之和。
普通年金现值 P=A×（P/A, i, n)
A AA
......
AA
0 1 23
nБайду номын сангаас1 n
P=A×(1+i) -1 +A×(1+i) -2 +A×(1+i)-3 +... +A×(1+i)-n
①
等式两边同乘（1+i）：
普通年金现值与终值的计算
主讲人：
终值和现值的计算
1、年金的含义：定期、等额的系列收付款项，年金的符号为A [注意]年金中收付的间隔时间不一定是1年，可以是半年、1个月等等； 2、年金包括普通年金、预付年金、递延年金、永续年金等；
34 延期年金、永续年金、期初年金
(3-27)
(讀者仿公式(3-7)(3-8)自證)
a 至於 與 兩邊同乘以 1
n i
S n i
之關係式可由公式(3-4)
1 i
得
1
1
1 i a
n
i
1 i S
d
n
i
i 1 i
故
1 n i a
1 n i S
(3-28)
例16
已知 2n a
，
i
0.12 2
0.06
，
S = R ‧ n i S = 80,000‧
1.06 8 - 1 0.06
P = R‧ (1+0.06) = 80,000‧
n i a
1 - 1.06 0.06
-8
(1+0.06)
= 839,305.28元
= 526,590.51元
例14
某君預定五年末有儲蓄50,000元，設存款利
率j
(2)
0.12
，自今日起每半年初，應存款若干元？
解：依題意 S = 50,000 ，n = 0.12 i 代入公式(3-25)(3-23)得 2 50,000 = R‧
S 11 0.06
R - 1 50,000 S 11 0.06 - 1
讀者可自行圖示明之。若年金額為R元，則
S = R ‧ S n i ， P = R ‧
n ,000元之年金，為期四年，j
(2)
0.12
，
求年金終值與現值？ 解：依題意 = 80,000 ， 應用公式(3-25)
R (初 )
精算学原理课件第二章
五、年金现值系数表，请你代付房租，每年租金1000 元，设银行存款利率10%，他应当现在给你在 银行存入多少钱？ 答案： 2486.9元 例 假设以10%的利率借款20000元，投资于某个 寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金 才是有利的？ 答案：3255元
m n
=
i i
m
an
同理： 同理：
(m) n
s
=
i i
m
sn
2.期初付年金 期初付年金 • 假设年利率为i，每次初的支付额为1⁄m，每 年支付额为1元。
m 0 1/m 1 1/m
m 2 1/m
---n-1 1/m
m n 1/m
（1）每年支付m次的期初付年金现值
1 1 n− 1 1− vn &&m an = 1 + v m + L + v m = m m d
0.25
40
1 − v 40 (1 + i )4 − 1 0.25 这个表达式还可以写做 1 − v 40 4 a40 = 4 S4 (1 + i ) − 1 i 4 i
三、延期m年的 年期年金 延期 年的n年期年金 年的 • 1）期末付延期年金 • 现值
0 m m+1 1 Vm+1 m+n-1 1 m+n 1
第二章 年金理论与应用
学习目的 学完本章后,应掌握以下内容: 1.明确普通年金终值、普通年金现值的概念 及计算方法 2.明确期初支付的年金终值和年金现值的概 念及计算方法 3.进行每年支付多次和多年支付一次年金 的计算
期末年金的计算公式
期末年金的计算公式一、年金定义年金（Annuity）是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常用A来表示。
年金最初就是指一年一次的付款，但是后来有很多跟年金一样的性质的付款出现，但是其时间间隔不是一年，还有的是一年一次的收款，慢慢的，年金的指代的范围就扩大了，虽然现在年金所指代的范围扩大了，但是依然沿用年金这个叫法；年金的特点在于等额、等期、等息，是一种理想化的收付款项，等额是指每次收付款的金额相等，等期是指经过相同的时间间隔就会发生一次收付款，等息是指年金整个收支过程，利率是保持不变的。
二、年金的分类按照年金收付款时间点和其他收付条件的不同，年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金；普通年金：又称为后付年金，是指从第一期起，在连续间隔期相等的多个时期中，每期期末收付等额年金的年金；预付年金：又称先付年金、即付本金或期初年金，是指从第一期起，在连续间隔期相等的多个时期中，每期期初等额收付的系列款项，预付年金与普通年金的区别仅在于收付款时间点不同，普通年金发生在期末，而预付年金发生在期初。
递延年金：是指在第一期开始，递延一定时期后，开始在在连续间隔期相等的多个时期中，每期期末支付等额年金的年金，递延年金是普通年金的一种特殊形式；永续年金：是等额收付年金的期限无限的一种特殊的普通年金。
三、年金的计算年金是一种特殊形式的收付款项，核算年金的目的是帮助使用者衡量收支，所以年金的应用在于计算年金的终值F（Future Value或者Final Value，也叫本利和，即本金和利息的和）和现值P（Present Value），当然有时候也会要计算收付次数n（n也代表年金收支的期数）、利率i、年金A。
计算年金的时候，不是站在收款方或者付款方的角度，而是站在一个与年金收付无关系的第三方角度，来计算年金的现值和终值；因为年金现值和终值的计算基础是资金的复利计算，所以先介绍资金在复利情况下现值和终值的计算：复利现值：P=F*(1+i)^-n，(1+i)^-n也称为复利现值系数，记作(P/F，i，n)复利终值：F=P*(1+i)ⁿ，(1+i)ⁿ也称为为复利终值系数，记作(F/P，i，n)普通年金现值和终值的计算普通年金现值和终值的计算也就是将每一次的收付款按复利计算现值或终值，然后在再加总求和；原始公式：P=A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-nF=A（1+i）^1+A（1+i）^2+……+A（1+i）^（n-1）公式中的每一项对应的就是年金中的一次收付款，通过将每一次收付款按照复利现值（复利终值）公式算出现值（终值）之后，再求和，就得到年金现值（年金终值）的公式了；如果使用该公式计算，年金收付次数较多时，计算起来很繁琐，为了方便计算，通过推导可以将公式简化如下：P=A*[1-(1+i)^-n]/iF=A*[(1+i)^n-1]/i将公式右边年金以外部分视为系数（分别称作年金现值系数和年金终值系数），通过查询相关系数表找出对应的值，可以进一步简化计算；P=A*(P/A，i，n)F=A*(F/A，i，n)例题：2020年初张某因工作原因要出国工作三年，拟在银行存入一笔款项请家人分次取出正好付清三年房屋物业费，每年支付两次，一次是6月末一次是12月末，每次3000元，若存款年利率是6%，那么张某出国前应存入银行多少钱？（(P/A，3%，6)=5.4172）该题中求的是普通年金现值，因为每年支付两次，三年就是6次，收付款次数n=6，利率也要与收付款间隔期对应，所以利率i=3%；可以使用原始公式进行计算，就是将每一次支付的物业费按其支付的时间点折现到2020年初，然后再将所有现值的和加起来，就可以得到年金现值，在这里十三就不详细列出原始公式计算过程了；用年金现值系数可以算出P=3000*(P/A，3%，6)=16251.60预付年金现值和终值的计算原始公式：P=A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-（n-1）F=A（1+i）^2+A（1+i）^3+……+A（1+i）^（n）和普通年金的原始公式计算的原理相同，公式中的每一项对应的是预付年金中的一次收付款，通过将每一次收付款按照复利现值（终值）公式算出现值（终值）之后，再求和，就得到预付年金现值（终值）的公式了；预付年金同样可以通过推导进行简化，但是还有一个更加简便的方法，预付年金和普通年金的区别在于收付款的时间点，普通年金收付款的时间点在每期的期末，而预付年金的收付款时间点在每期的期初，这个差异就导致预付年金每一次收付款的现值要比普通年金收付款的现值少折现一次，也就是少除以一次（1+i），所以预付年金的现值可由普通年金现值公式算出：P=A*(P/A，i，n)*（1+i）同样的原理，对于预付年金的终值，每一次收付款的终值要比普通年金多算一次利息，也就是多乘以一次（1+i），所以预付年金的终值就等于F=A*(F/A，i，n)*（1+i）如此一来，预付年金的现值和终值都等于普通年金的现值和终值乘以（1+i），对于预付年金的计算就转化成了普通年金的计算；例题：某公司拟在5年后还清100万元债务，从现在起每年年初存入银行一笔款项。
普通年金终值现值及年金的计算分解课件
01
假设每年存入1万元，存款利率为 3%，存款期限为5年，求5年后得 到的普通年金终值。
02
根据公式，普通年金终值 = 年金 * 普通年金终值系数。已知年金 为1万元，普通年金终值系数为 1.03^5，因此5年后得到的普通 年金终值为1万 * 1.03^5。
03
普通年金现值计算方法
普通年金现值系数表
案例一：房屋按揭贷款的年金终值计算及解析
01
02
总结词：房屋按揭贷款 的年金终值计算是一种 常见的年金终值计算， 通过计算可以明确了解 在一定期限内需要支付 的按揭贷款总额。
详细描述
03
04
05
1. 定义房屋按揭贷款的 年金终值计算：是指在 已知贷款总额、年利率 和贷款期限的条件下， 每年等额偿还贷款本息 的一种计算方式。
普通年金终值现值及年金 的计算分解课件
目录
CONTENTS
• 普通年金终值现值概述 • 普通年金终值计算方法 • 普通年金现值计算方法 • 年金计算分解方法 • 普通年金终值现值及年金计算实例及解析
01
普通年金终值现值概述
普通年金终值定义
普通年金终值是指一定期间内，每期 期末等额收付的款项，在期末时点的 折现值的总和。
详细描述
除了等额的本金和等额的利息之外，时间价值也是年金计算中的一个重要因素。时间价值表示资金在 投资或使用过程中随时间变化而产生的增值或贬值。将年金分解为等额的本金、利息和时间价值，可 以更准确地反映每期收到的款项的实际价值。
年金分解在财务规划中的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
年金计算在财务规划中具有广泛的应用价值，如养老金规 划、保险购买、投资收益计算等，通过年金分解可以更好 地制定财务规划和决策。
第二章资金时间价值解析
方法二：
先求出（m＋n）期的普通年金现值，再扣除 递延期m期普通年金的现值。
P=A [（P/A,i,m+n）-（P/A,i,m）]
方法三：
先求出递延年金的终值，再将其折算到第一 期期初。
P=A · （F/A,i,n）· （P/F,i,m+n）
9.永久年金现值的计算 定义:
永久年金是指无限期支付的年金。永久年金的
2）按每期年金的支付时期分类
普通年金（后付年金）：每期期末支付
期初年金（先付年金）：每期期初支付
3）按每期发生的年金额分类
定额年金：每期支付的年金额固定不变
变额年金：每期支付的年金额变动
4）按年金期数分类
有限年金：约定年金的支付以若干期为限，且
以订约之日为支付开始日。
延期有限年金：订约后，延迟若干期开始支付
=同期普通年金现值×（1+i）
1 (1 i ) n P A (1 i ) A ( P / A, i , n) (1 i ) i
方法二：
P A [(P / A, i , n) 1]
（记为“期数减1，系数加1”） 期初年金现值系数 [（P/A,i,n-1）+1]
I= P· i· n
单利终值：
F= P· （1+i· n）
其中：（1+i· n）为单利终值系数
单利现值：
P= F/（1+i· n） 其中：1/（1+i· n）为单利现值系数
（二）复利的终值与现值 复利终值： F =P· （1+i）n （1+i）n 为复利终值系数，记作（F/P,i,n） 复利现值： P= F· （1+i）-n （1+i）-n 为复利现值系数，记作（P/F,i,n） 结论： 复利终值与复利现值互为逆运算 复利终值系数与复利现值系数互为倒数
年金终值和年金现值
【例题·计算分析题】A矿业公司决定将其一处矿产10年开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招 标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权， 从获得开采权的第1年开始，每年年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的 投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在第8年末再付给60亿美元。假设A公司 要求的年投资回报率为15%，试比较甲乙两公司所支付的开采费现值，判断A公司应接受哪个公司的投标 ？ 『正确答案』 甲公司支付开采费的现值 P＝10×（P/A，15%，10）＝50.188（亿美元） 乙公司支付开采费的现值 P＝40＋60×（P/F，15%，8）＝59.614（亿美元） 由于乙公司支付的开采费现值高于甲公司，因此A公司应接受乙公司的投标。 2）年资本回收额（年金现值的 逆运算）
【例题·单选题】（2018年）下列各项中，两者之间互为逆运算的是（ ）。 A.复利终值和复利现值 B.普通年金现值和年偿债基金 C.年金终值和年金现值 D.普通年金终值和年资本回收额 『正确答案』A 『答案解析』互为逆运算：复利终值和复利现值；年偿债基金和普通年金终值；年资本回收额与普通年 金现值。
（三）预付年金终值与现值 1.预付年金终值 基本思路：先求普通年金终值，再调整。
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）＝A×[（F/A，i，n＋1）－1] 即：预付年金终值系数是在普通年金终值系数基础上， 期数加 1 ，系数减1的结果。 三字口诀：终加减。 2.预付年金现值 基本思路：先求普通年金现值，然后再调整。
3.年金的类型 1）普通Байду номын сангаас金（后付年金） 普通年金：从第一期起，在一定时期内 每期期末等额收付的系列款项。
年金知识讲解
年金知识讲解
1.年金的含义
年金（annuity）是指间隔期相等的系列等额收付款。
同时具备三个要素：①每次金额相等；②固定间隔期；③多笔。
2.年金的种类
普通年金：从第一期开始每期期末收款或付款的年金。
预付年金：从第一期开始每期期初收款或付款的年金。
递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
（四）年金的终值和现值
1.普通年金的终值与现值
（1）普通年金终值
式中：被称为年金终值系数，用符号表示（
经计算可得：
式中：被称为年金现值系数，。
普通年金和期初年金
15091元，而想在今后44年中每年投资一笔等额款，直至65岁。
这笔等额款为多少？
4
4
C
[
(
1
1
0
%
)
1
]
1
0
0
0
0
0
0
1
0
%
求得：C= 1532.24元
成为一个百万人士并不难，只要持之以恒每年存款1500元左右，持
续44年。
(1 5%)
130853元
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（四）期初年金终值的计算
期初年金终值等于期末年金终值的（1+r）倍，即
FVBEG=FVBEG(1+r）公式为：
C
[(
1
r
)t
1
]
F
V
(
1
r
)
B
E
G
r
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（四）期初年金终值的计算
图示
0
才会有永不枯竭的年金发放
诺贝尔奖金的发放
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二、永续年金
C C
C
P
V
......
2
3
1
r (
1
r
) (
1
r
)
永续年金的现值公式
P V
C
r
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例1
陈先生近日购买股票，每股股票每年末支付股利1元，若年利率为
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例1
某基金会拟一项新的教育计划，打算为某山区小学提供 20年的教育补助，每年年底支付，第一年为10万元，并 在往后每年增长5%，贴现率为10%，那么这项教育补助计 划的现值为多少？
（四）期初年金终值的计算
期初年金终值等于期末年金终值的（1+r）倍，即
FVBEG=FVBEG(1+r）公式为：
FVBEG C[(1 r )t 1] (1 r ) r
（四）期初年金终值的计算
图示
0 1 2 3 4 5 预付年金 = 普通年金 ×(1+i)
(1 i)1
(1 i) 2 (1 i)3 (1 i ) 4 (1 i )5
第二节 规则现金流的计算
主要内容：
������
期末年金与期初年金 永续年金 增长型年金
复习
假定年利率为20％，每半年计利息一次，则有效年利率 为（ ）。 A、10％ B、20％ C、21％ D、40％
年金的概念（PMT）
普通年金是指在一定期限内，时间间隔相同、不 间断、金额相等、方向相同的一系列现金流。 比如，退休后每个月固定从社保部门领取的养老 金、定期定额缴纳的房屋贷款月供、每个月进行定期 定额购买基金的月投资额款、向租房者每月固定收取 的租金等都是年金。
D、期初年金终值等于期末年金现值
答案：B
课堂练习
5、张女士每年年初在银行存入10000元，作为儿子 上大学的教育储备金，年利率为7%，则5年后张女士 得到的本利和为（ A、57510 ）元。 B、61535.7
C、71530
答案：B
D、67510
课堂练习
6、小王大学毕业后，需要自己租赁一处房屋，每年 年末需要支付房租10000元，年利率为8%，附小王5年 所付租金的现值为（ ）元。 A、43124.4 B、39931
C [ (1 1 0 % ) 4 4 1 ] 1000000 10%
求得：C= 1532.24元 成为一个百万人士并不难，只要持之以恒每年存款1500元 左右，持续44年。
期末年金终值例题5
曹先生8年后退休，他打算为退休后准备一笔旅游基金。 理财经理为他推荐一款固定收益率为7%的基金产品， 曹先生决定每年存入5000元，那么他退休后能获得多 少旅游基金？
，红利收入，房贷本息支付…
期末年金与期初年金并无实质性的差别，只是收付款 时间不同。
一、期末年金与期初年金
A A A A…..
2 3 4 5 0 1
期末年金：收付在期末
期初年金：收付在期初
A A A
0 1 2
A …..
3 4 5
（一）期末年金现值的计算
期末年金现值公式为：
PV
C 1 [1 ] t r (1 r )
其中，该贷款总额为5000元，年利率为9%，五年还请。
（三）期初年金现值的计算
期初年金现值等于期末年金现值的（1+r）倍，即
PVBEG=pvBEG(1+r）公式为：
PVBEG C 1 [1 ](1 r ) t r (1 r )
期初年金现值例题1
租入设备，每年年初付租金10000元，共5年，利率8%， 租金的现值？（1.47）
1 PV 5 10000 500000 10%
例3
某项永久性奖学金，每年颁发5万元，年利率为8%， 则该项奖学金的本金是（ ）元。 A、455000 B、560000 C、625000 D、780000
例4
小李购买理财产品，第一年的收益为1000元，并以 4%的速度增长下去，年利率为5%，则该理财产品 的现值是（ ）元。 A、4000 B、5000 C、100000 D、15000
综合题
首先应算出陆先生每月应还多少款。 贷款总额=300*70%=210万元； 还款期数20（年）*12（月）=240（期） 每月还款额为：（期末年金现值）
C 1 210 [1 ] 20 8% / 12 (1 8% / 12) 每期还款额C =1.76万元
综合题
接下来再计算理财产品给陆先生每月带来的收益： 投入本金40万元，月利率为6%/12=0.5%，每月收益为 40*0.5%=0.2万元，因此陆先生每月还需拿出176002000=15600元来偿还贷款。
课堂练习
1、下列关于年金的说法中，错误的是（ ）。 A、年金是一组在某个特定的时间段内金额相等，方向相 同，时间间隔相同的现金流 B、年金的利息不具有时间价值
C、年金终值和现值的计算通常采用复利的形式
D、年金可以分为期初年金和期末年金 答案：B
课堂练习
2、嘉江集团从2015年起每年年末存入银行一笔固定 金额的款项，若想求出第10年末能从银行取出的金额， 则应选取的时间价值系数是（ ）。 A、复利终值系数 B、普通年金终值系数
（二）期末年金终值的计算
期末年金终值公式为：
F V
C [ (1 r ) r
t
1]
（二）期末年金终值的计算
0
1
2
3
4
5
0 A (1 i )
1 (1 i ) A 2 (1 i ) A 3 (1 i ) A
4 A (1 i ) n 1 A (1 i)
通项
（二）期末年金终值的计算
一、期末年金与期初年金
主要内容： 期末年金现值和终值计算 ������ 期初年金的计算
一、期末年金与期初年金
根据等值现金流发生的时间点不同，年金可以分为期初年
金和期末年金。
一、期末年金与期初年金
期初年金是指一定时期内每期期初发生系列相等的收
付款项，即现金流发生在当期期初 比如说房租，养老金支出，生活费，教育金支出，保 险… 期末年金即现金流发生在当期期末，比如说利息收入
（一）期末年金现值的计算
一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和
0
C (1 i ) 1
1
2
3
4
5
FV (1 i ) 2 FV (1 i ) 3
4 FV (1 i）
FV (1 i ) 5
通项
FV (1 i ) n
P V A (1 r ) 1 A (1 r ) 2 ..... A (1 r ) t
A t [(1 r ) 1] r
期末年金终值例题3
你5年内每年末向银行借款10000元，借款利率7%，5年末 应付本息和为多少？
10000[(1 7%)5 1] FV 7%
=57507
期末年金终值例4
例5：一个21岁的年轻人今天投资15091元（10％的年复利 率），可以在65岁时（44年后）获得100万元。假如你现 在一次拿不出15091元，而想在今后44年中每年投资一笔 等额款，直至65岁。这笔等额款为多少？
其中，该贷款总额为5000元，年利率为9%，五年还请。
例6：房贷还款—等额本金
年度 初始借款 年总支付 1 5000 1450 2 4000 1360 3 3000 1270 4 2000 1180 5 1000 1090 总计 6350 年利息 450.00 360 270 180 90 1350 年本金 1000 1000 1000 1000 1000 5000 年末余额 4000 3000 2000 1000 0
C、33120
答案：B
D、31170
二、永续年金
永续年金是指在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额
相等、方向相同的一系列现金流。
比如优先股，有固定的股利而无到期日； 比如未规定偿还期限的债券，其利息也可视为永续年金
举例：各类奖金的设立和发放
存入一笔基金作为科学奖每年发放一次 用基金每年产生的利息来发放奖金 才会有永不枯竭的年金发放 诺贝尔奖金的发放
二、永续年金
C C C PV ...... 2 3 1 r (1 r ) (1 r )
永续年金的现值公式
C PV r
例1
陈先生近日购买股票，每股股票每年末支付股利1元，若 年利率为5%，那么它的价格是多少？
C PV 1 / 5% 20元 r
例2
一项永久性的奖学金，每年计划颁发5名10000元的奖金。 若年利率为10％，现在应该存入多少钱？
(1 i )0 (1 i)1 (1 i) 2 (1 i)3 (1 i ) 4
期初年金终值例题1
接上一实例，这笔年金20年后终值为多少？
10000[(1 5%) 1] FVBEG (1 5%) 5% 347193(元）
20
综合题
陆先生打算卖掉老家价值130万元的房子，购置 一套市中心价值300万元的大房子，首付30%，其余部 分银行按揭8%的年利率贷款20年，按月计息。利用金 融杠杆，陆先生将卖房余下的40万元投入某年化收益 率为6%的银行理财产品（按月计息单利），并可以每 月月末从中获取等额收益，持续20年。那么除了每月 的理财收益，陆先生每月还应准备多少钱偿还贷款？
FV
5 0 0 0 [ (1 7 % ) 8 1 ] 7%
=51299
例6：房贷还款—等额本息
年度 初始借款 年总支付 1 5000 1285.46 2 4164.54 1285.46 3 3253.88 1285.46 4 2261.27 1285.46 5 1179.32 1285.46 总计 6427.30 年利息 450.00 374.81 292.85 203.51 106.14 1427.31 年本金 年末余额 835.46 4164.54 910.65 3253.88 992.61 2261.27 1081.95 1179.32 1179.32 0 5000