整式恒等变形

第8讲整式恒等变形

模块一恒等变形→降幂迭代与换元

基础夯实

题型一降幂迭代法与大除法

【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．

【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)

已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法

【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．

【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．

题型三 换元法

强化挑战

【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．

【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()

()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．

模块二 恒等变形→因式分解与不定方程

题型一 因式分解

基础夯实

【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．

(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．

【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．

(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y

的值．

强化挑战

【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．

【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．

题型二 不定方程

【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．

(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．

【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．

(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．

【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．

【练7】当x 变化时，分式22365112

x x x x ++++的最小值是________．

模块三 恒等变形→配方法

【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．

【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．

【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．

【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．

【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b

a

的值等于____．

【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．

模块四恒等变形→乘法公式

知识点睛

【常见乘法公式】

1、二元二次：

(1)(a＋b)(a－b)＝__________．

(2)(a－b)2＝__________．

2、三元二次：

(3)(a＋b＋c)2＝_________．

(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．

3、二元三次：

(5)(a＋b)3＝______________．

(6)a3＋b3＝______________．

4、三元三次：

(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1

(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc

(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc

(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)

5、三元四次：

(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2

6、二元n次：

(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)

(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)

7、n元二次：

(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．

(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1

[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]