2019届上海市格致中学高三开学考数学试题

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【教育资料】上海市格致中学高三上10月月考数学试题(无答案)学习专用

格致中学2019-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A 的所有元素之和为________. 2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______. 4.已知()*212N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x 1项的系数是_______.5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________. 6.已知函数()a x f x --=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z 满足zi i z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()13，是l 的一个法向量,已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n n a a ，1+均在l 上,若62=a ,则54321a a a a a 的值为_________. 9.将1,2,3,4,5,6随机排成一列,记为，，，，，，f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为___. 10.在菱形ABCD 中，，，EC DE AD AF 213124====则=∙AE BF _____. 11.已知椭圆()，＞＞012222b a by a x =+F 为椭圆的右焦点,AB 为过橢圆中心O 的弦,则ΔABF 面积的最大值为___________.12.设()x f 是定义在R 上的以2为最小正周期的偶函数,在区间[]10，上单调递减,且满足()()，π，π221==f f 则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为______. 二、选择题13.已知直线a ,若直线b 同时满足下列条件:①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ,则这样的直线bA.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f ∙=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为A.2019B.1010C.4038D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。

2019届上海市格致中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市格致中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （）A.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条【答案】D【解析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b αβαβ⊂⊂，且,a b 异面，则平面β与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条. 故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（） A.2019 B.1010C.4038D.3030【答案】B【解析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”，判断下列函数：①()21f x x =+；②2(1)2f x x x =++；③()2x f x =；④3()sin()4f x x π=+中是“位差奇函数”的有（） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】根据题意，结合“位差奇函数”的定义依次分析四个选项中的函数是否是“位差奇函数”，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，函数()21f x x =+，则()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=，则对任意的实数m ，函数()()f x m f m +-是奇函数，即函数()f x 是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；对于②中，函数22()21(1)f x x x x =++=+，则()()22(1)f x m f m x m x +-=++，设()22(1)h x x m x =++不会是奇函数，所以函数2(1)2f x x x =++不是“位差奇函数”；对于③中，函数()2x f x =，则()()222(21)x mm m x f x m f m ++-=-=-，对任意实数m ，函数()()f x m f m +-都不是奇函数，所以()2x f x =不是“位差奇函数”；对于④中，函数3()sin()4f x x π=+，则()()33sin()sin()44f x m f m x m m ππ+-=++-+，取4m π=时，可得()()sin()sin sin f x m f m x x ππ+-=+-=-是奇函数，所以函数3()sin()4f x x π=+是“位差奇函数”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中正确理解函数的新定义，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点。

2019上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题

则
度（着时间（天）为，
放个单位的
治污，试求的最小值．
求数列
的前n 项之和；数列的前n 项之和记为
，求.
n S {}n S 43()k T k N *
-Î
据等差数列的前项和公
得，，得.
点：等差数列的前项和公
．
【点睛】本题考查线性规划中思想解决问题,属于中档题.
9．
66
2,,2æöæö--
ç÷ç÷
【详解】
得，
以，得，
的最小值为，
【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k的图像，两图像有几个交点，就有几个零点．当然，要求两个函数的图像非常好画．
16．C
【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：
即图中正方形中的整点，集合
的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．
），
为所
即得
以
而（，均为的等，，
）存在常数使
为所
以即
同除以
得8
以
都有
为所以
以
都有此时）
均为公为的等。

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题(解析版)

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）1 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足条件①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．则这样的直线b （） A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f （x ）满足：f （x +y ）=f （x ）•f （y ）并且f （1）=1，那么：的值为（）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303. 对于函数f （x ），若存在实数m ，使得f （x +m ）-f （m ）为R 上的奇函数，则称f（x ）是位差值为m 的“位差奇函数”．判断下列函如①f （x ）=2x +1；②f （x ）=x 2+2x +1；③f （x ）=2x ；④中是“位差奇函数”的有（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={2，0，1，9}，B ={x |x =2a ，a ∈A }，则A ∪B 的所有元素之和为______．6. 已知， ∈ ，，则sinα=______．7. 若，则a +b =______． 8. 已知（2x 2-）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9. 已知x 、y 满足，若的最大值为2，则m =______． 10. 已知函数f （x ）=|2x-1|-a ，若存在实数x 1，x 2（x 1≠x 2），使得f （x 1）=f （x 2）=-1，则a 的取值范围是______．11. 已知复数z 满足z +i =1-zi ，则1+z +z 2+…+z 2018=______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，，是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点（a n +1，a n ）均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．3 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）5 / 17答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a ，b 异面则平面β内任一条与b 平行的直线都满足要求．故选：D ．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b 平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 2.【答案】B【解析】解：由意题f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，那么=f 2（1）+f 2（2）+…+f 2（1010）=1010．故选：B ．根据f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题． 3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f （x ）=2x+1，有f （x+m ）-f （m ）=2（x+m ）+1-（2m+1）=2x ，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等；以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．根据题意知直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动时，分析滚动过程中M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M，N运动的规律，逐一对比答案选项，即可得出结论．本题考查了函数的图象与应用问题，分析M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解题的关键．5.【答案】34【解析】解：∵集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，18}，∴A∪B={0，1，2，4，9，18}，∴A∪B的所有元素之和为：0+1+2+4+9+18=34．故答案为：34．先求出集合A，B，由此求出A∪B，从而能求出A∪B的所有元素之和．7 / 17本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，可得cos（）=-=-．sinα=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin==-．故答案为：．通过两角和与差的三角函数，转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：，可得1-a=0，2+b=4，解得a=1，b=2，所以a+b=3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基本知识的考查．8.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）9 / 17由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为-1求得r ，则答案可求．本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 9.【答案】5【解析】解：x 、y 满足的可行域如图：表示经过可行域内一点（x ，y ）与点Q （-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A （1，m-1）时，取最大值2，即==2，得m=5，故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用． 10.【答案】（1，2）【解析】解：令f （x ）=-1，则|2x -1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x -1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a ＜2．故答案为：（1，2）．若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则说明f （x ）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）11 / 1713.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A =720种，abc+def 为偶数等价于“a ，b ，c 不全为奇数，且d ，e ，f 不全为奇数“ ∴共有A -2A •A =648 所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A =720种，再求出abc+def 为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以．由，可知，==．故答案为：．先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A 到x 轴的距离为 h ，由AB 为过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离也为 h ，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A 到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f （2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）13 / 17由，k ∈Z ．可得： ≤x ≤（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间是：[ ，]，k ∈Z （II ）由f （）=0，即sin A -=0，可得sin A =，＜＜，∴cos A =．由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得1+ bc =b 2+c 2． ∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立． ∴1+ bc ≥2bc ， bc ≤2 ．∴△ABC 面积的最大值S =bcSin ≤．故得三角形ABC 面积最大值为．【解析】（I ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（II）根据，求出sinA ，可得cosA ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的值，可得△ABC 面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E -xyz -----1’则B （，0，0），C （0，2，0），P （0，-1，）----2’于是=（- ，-1，）， =（- ，2，0）， ∵ • =（- ，-1，）•（- ，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）15 / 17若存常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ，则由（Ⅰ）知只可能m =±1． ①当m =1时，取，，∠BAP =∠BAQ 等价于，即（2y 1-3）（2y 2-2n -1）+（2y 2-3）（2y 1-2n -1）=0，即4y 1y 2+3（2n +1）=2（n +2）（y 1+y 2），即3（n 2-1）+3（2n +1）=3n （n +2），此式恒成立．∴存常数m =1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（13分） ②当m =-1时，取，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m =±1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（15分）【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ ，知k AP +k AQ =0．由此能求出m ．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由，得4y 2-6ny+3n 2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP=∠BAQ ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高． 20.【答案】解（1）∵a =0，∴．类比函数的图象，可知函f （x ）的图象的对称中心是（-d ，b ）．又∵函f （x ）的图象的对称中心（-1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x 0∈[3，10]，恒f （x 0）∈[3，10]． ①c =3，f （x ）=3，符合题意．②c ≠3，c ＜3时，对任x ∈[3，10]，恒＜，不符合题意．所c ＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f （x ）＞3．因此，当且仅f （3）≤10，即3＜c ≤31时符合题意．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）17 / 17（3）①当1＜p ≤2时，当n =1时c 1=p -1，c 2=1-，c 3=1-，由c 1+c 3-2c 2=-2≤0，得p ≤，即当1＜p ≤时符合．若n ≥2，则 ≤1，此时，于是c n +c n +2-2c n +1=（1- ）+（1- ）-2（1- ）=＜0．又对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，∴当1＜p ≤时数列c n 是T 数列； ②当2＜p ≤3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=1-，由＞0，∴2＜p ≤3时数列c n 不是T 数列； ③当p ＞3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=-1，由c 1+c 3-2c 2=＞0，∴p ＞3时数列c n 不是T 数列．综上：当1＜p ≤，时数列c n 是T 数列；当p ＞时，数列c n 不是T 数列．【解析】（1）由，得a n +a n+2-2a n+1，整理后可知当n 为偶数时，则数列{a n }不是T 数列；（2）由b n+1-b n=50-，得到n≤11时，b n+1-b n ＞0，此时数列b n 单调递增．当n≥12时，b n+1-b n ＜0，此时数列b n 单调递减，故数列b n 的最大项是b 12，由此能求出M 的取值范围；（3）当1＜p≤2时，对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，可得当1＜p≤时数列c n 是T 数列；当2＜p≤3时，数列c n 不是T 数列．当p ＞3时，数列c n 不是T 数列．本题考查数列的函数特性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

2019-2020学年沪教版上海市黄浦区格致中学高三第一学期(上)第一次检测数学试卷及答案

2019-2020学年沪教版高三（上）第一次检测数学试卷一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．3．若，且（），则实数λ的值为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为．10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x ﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC 的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a的取值范围．21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．参考答案一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝R．解：，∴P∪Q＝R．故答案为：R．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．解：∵已知＝﹣cosθ，∴cosθ＝．∵θ∈（0，π），故sinθ＝＝，则tanθ＝＝，故答案为：．3．若，且（），则实数λ的值为．解：∵＝（5﹣λ，﹣7+2λ），（），∴＝﹣（5﹣λ）+2（﹣7+2λ）＝0，解得．故答案为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．解：抛物线C：y＝4x2的焦点：（0，），所以复数z＝（0，），所以|z|＝．故答案为：．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是 6 ．解：二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W＝2n，各项系数和为P＝（5﹣1）n＝4n，又62W+128＝P，所以62•2n+128＝4n；设t＝2n，则方程化为t2﹣62t﹣128＝0，解得t＝64或t＝﹣2（不合题意，舍去）；所以2n＝64，解得n＝6；所以n的值是6．故答案为：6．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝﹣（x＞1）．解：，反解x，得2y＝x2+2，x2＝2y﹣2，因为x＜0时，y＞1，故x＝，所以反函数为y＝﹣，x＞1，故答案为：﹣（x＞1）8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以l＝2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr＝2π，r＝1，所以圆锥的体积为：＝．故答案为：．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为；．解：因为图中，有两条线上分别有四个点，从这两条线上分别任取三个点，均不能构成三角形，共有2C43＝8种情况；中有7条线上分别有三个点，每条线上的三个点，均不能构成三角形，共有7种情况；因此从这11个点任选3个点，不能构成三角形的情况共有8+7＝15种；又从这11个点任选3个点，共有C113＝165种情况；所以，任意三点构成三角形的概率为：1﹣＝；故答案为：；10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．解：由题意，H n＝＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2n，则2n﹣1a n＝n2n+1﹣（n﹣1）2n＝（n+1）2n，则a n＝2（n+1），对a1也成立，故a n＝2（n+1），则a n﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．解：由题意可得函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由平方得，，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，故t的取值范围为，又，∴，由题意，g（a）即为的最大值，为二次函数h （t）的对称轴，①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由＜0知，此时函数y＝h（t）在上单增，故g（a）＝h（2）＝a+2；②当a＝0时，h（t）＝t，t∈，故g（a）＝h（2）＝2；③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，＞0，若，即时，则；若，即时，则；若，即时，则g（a）＝h（2）＝a+2；综上，．故答案为：．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b＝0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变解：根据题意，数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入；则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大；故选：B．15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P解：设圆柱的高为H，圆锥的高为h，由题意知，Sh﹣Sh＝Sh＝S（H﹣h）⇒h＝H，∴A、B错误；∵由旋转体的性质得，将容器一条母线贴地，过高中点的平面，分几何体为体积相等的两部分，∴C正确；∵斜放几何体时，几何体的体积不对称，∴D错误．故选：C．16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31解：因为，所以+（2x n+1）＝﹣：用图形表示上边的关系式：其中：＝（2x n+1），，所以，即＝，即＝，又＝＝，即2x n+1＝x n+1，即2（x n+1）＝x n+1+1，又x1＝1，即{x n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，故x n+1＝2n，x n＝2n﹣1，故x5＝31．故选：D．三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．【解答】[理]解：（1）以A为原点建立如图坐标系则E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0）因此所以．即异面直线EG与BD所成角的为（2）假设CD存在点Q，使BF⊥EQ，设DQ＝x，则Q（x，2，0），F（0，1，1）因此因为BF⊥EQ所以即，所以CD存在点Q，使BF⊥EQ．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，∴x＝30nmile；（2）由题意，AC＝60，PA＝30，∴PA+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．解：∵A（a，b），B（cosωx，sinωx），∴＝a cosωx+b sinωx，（1）若，b＝1，ω＝2＝cos2x+sin2x，＝2sin（2x+），由f（x）＝2sin（2x+）＝1，可得2x+＝或x＝，k∈Z，∴或x＝k，∵x∈[0，2π]，∴f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集为{，，}，（2），由点A（a，b）是y＝x+2上的动点可得，b＝a+2，∴f（x）＝a cosωx+（a+2）sinωx，＝sin（ωx+φ），∴M＝[﹣，]，∵x2+mx＝0的解为0，﹣m，若P⊆M恒成立，则﹣m∈[﹣，]，而＝，∴即实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a 的取值范围．解：（1）显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx⇒F（x，y）＝kx﹣y＝0则……故倾斜角的范围是……（2）因为故，点集S为圆x2+y2＝4在直线3x+4y﹣5＝0下方内部．……设直线和圆的交点为A、B，则O到AB的距离为1，故故所求面积为……（3）设曲线C上的动点为（x，y），则，化简得曲线C的方程为x2＝8（3﹣y）（0≤y≤3）和x2＝12（y+2）（﹣2≤y≤0），其轨迹为两段抛物线弧……【方法一】而曲线C上的点到的距离的范围是，……故……（16分）【方法二】当0≤y≤3时，F（x，y）＝y2﹣9y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；当﹣2≤y≤0时，F（x，y）＝y2+11y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；……故若有F[M]•F[N]＜0，则（6﹣a）（24﹣a）＜0⇒6＜a＜24．……（16分）21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）①∵a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，∴a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1，a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3，a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9，②∵a2＝1，a n+1＝|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1＝﹣1+a n+2a n+1＝3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n＝a1+a2+a3+a4+…+a n＝﹣1+＝﹣，（n≥2），显然当n＝1时，上式也成立，∴S n＝﹣；（2）∵a n+1﹣a n＝|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p＝2p＞0，∴a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n，∴．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，即2×3s﹣1＝3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1＝＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p ＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n．∴a n＝3n﹣2a2＝3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，同（i）可知：r＝1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）＝a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴＝2×3s﹣2﹣3t﹣2＝﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p．a3＝|p﹣a2|+2a2+p＝|a1+p|+2a1+5p．＝﹣a1﹣p+2a1+5p＝a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．。

2019-2020学年格致中学高三上期中数学试卷

格致中学高三期中数学卷 2019.11 一. 填空题 1. 直线31x y =+的一个法向量可以是2. 函数2log (3)y x =+的反函数为3. 已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =4. 已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π+的值等于 5. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）满足102a b =，且双曲线的右焦点与抛物线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为6. 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为3，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为7. 已知集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是8. 袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为9. 设复数20192534i 2019z z -=+-满足（i 是虚数单位），则||z = 10. 在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且G 为△ABC 的重心，若30aGA bGB cGC ++=uu r uu u r uuu r r ，则A ∠= 11. 设定义域为(0,)+∞的递增函数()f x 满足：对任意的(0,)x ∈+∞，均有6()f x x >-，且6(())5f f x x +=，则(10)f =12. 定义：若函数()f x 图像上的点到定点A 的最短距离小于3，则称函数()f x 是点A 的近点函数，已知函数2()2x a f x x -+=-在(2,)+∞上是增函数，且是点(0,4)A -的近点函数，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知曲线的参数方程为22321x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（05t ≤≤），则曲线为（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线14. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S p q =+（0p ≠，1p ≠），则“1q =-”是“数列{}n a 为等比数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 若[0,1]x ∈，且使222log (22)2x x +++为整数，则满足条件的实数有（）个A. 15B. 14C. 13D. 1216. 定义域是[,]a b 上的连续函数()y f x =图像的两个端点为(,())A a f a 、(,())B b f b ，(,)M x y 是图像()y f x =上任意一点，过点M 作垂直于x 轴的直线l 交线段AB 于点N（点M 与点N 可以重合），我们称||MN uuu r 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）A. sin3y x π= B. 2y x = C. 2y x = D. 1y x x =-三. 解答题17. 某公差某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()c x （万元），当年产量不足80千件时，21()103c x x x =+，当年产量了不小于80千件时， 10000()511450c x x x=+-，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18. 如图，已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b c ≠，且cos cos b B c C =，延长线段BC 到点D ，使得44BC CD ==，30CAD ∠=︒.（1）求证：BAC ∠是直角；（2）求tan ADC ∠的值.19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，AD ∥BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==， E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.20. 已知抛物线2:2C y px =（0p >），过点(,0)M a （0a ≠）的直线l 与C 交于11(,)A x y 、 22(,)B x y 两点.（1）若2p a =，求证：OA OB ⋅uu r uu u r 是定值（O 是坐标原点）；（2）若12y y m ⋅=（m 是确定的常数），求证：直线AB 过定点，并求出此定点坐标；（3）若AB 的斜率为1，且||2AB p ≤，求a 的取值范围.21. 对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||000n n n n a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅.（1）若2a =，求数列{}n a ；（2）当14a >时，对任意的*n ∈N ，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论.参考答案一. 填空题1. (1,3)-2. 1()23x f x -=-3. 24. 17- 5. 2212y x -= 6. 27 7. (,4]-∞ 8. 47 9. 5 10.6π 11. 125 12. 3(,4)2二. 选择题 13. A 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）21402500803()100001200()80x x x L x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）1000千件. 18.（1）证明略；（2）tan ADC ∠=. 19.（1）延长AB 、DC 交于点M （M ∈平面PAB ）；（2）13. 20.（1）定值为234p -，证明略；（2）过定点(,0)2m p -；（3）(,]24a p --. 21.（1）1n a =；（2）；（3）成立，证明略.。

2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题(解析版)

2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题一、单选题1．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：22222()()1212()()111a i a i a i a ai a a i a i a i a i a a a +++-+-===+--++++，∵a ia i+-为纯虚数，∴22101a a -=+且2201a a ≠+，∴1a =±，∴“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的充分不必要条件．【考点】充分必要条件、复数的运算、纯虚数的概念． 2．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．3t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.3．对任意实数,a b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+ 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．(2,1)- B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-【答案】D【解析】由题意可得24,(,2][3,)()1,(2,3)x x f x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知，12,21k k -<-≤-≤<，选D.【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。

上海格致中学2019高三上学期第一次抽考-数学(文)

上海格致中学2019高三上学期第一次抽考-数学（文）高三年级数学(文科)测试卷【一】填空题：〔本大题共14小题，每题4分，总分值56分〕。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1、对于集合A 、B ，定义运算{}A B x x A x B -=∈∉且，假设{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，那么A B -=______________。

2、假设复数z 满足211z i i=+，〔其中i 为虚数单位〕，那么z =__________。

3、不等式2201a xx a ->--〔1a ≠〕的解集为_____________。

4、假设()y f x =是函数12x y -=的反函数，那么()1f =___________。

5、数列{}n a 为等比数列，且满足12a =，414a =，那么数列{}n a 所有项的和为_________。

6、假设α为锐角，且1sin 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭πα，那么sin =α____________。

7、二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为________。

8、侧面展开图是半径长为2cm 、圆心角为23π的扇形的圆锥的体积为___________3cm 。

9、用系统抽样法要从180名学生中抽取容量为20的样本，将180名学生随机地从1180编号，按编号顺序平均分成20组(19号，1018号，…，172180号)，假设第16组抽出的号码为140，那么第1组中用抽签的方法确定的号码是_________。

10、假设变量x 、y 满足条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，那么3x y -的最小值为_________。

11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。

12、数列{}n a 的各项均为正整数，nS 为其前n 项的和，对任意*n N ∈，有11352n n n nn n k a a a a a k a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中为使为奇数的正整数，那么当11a =时，1234S S S S +++=___________。

上海市格致中学高三上10月月考数学试题(无答案)

上海市格致中学高三上10月月考数学试题（无答案）格致中学2019-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A 的所有元素之和为________.2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______.4.已知()*212Nn x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x1项的系数是_______. 5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________.6.已知函数()ax f x--=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z满足zii z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原四条 D.有无数条14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为 A.2019 B.1010 C.4038 D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。

判断下列函如①()12+=x x f ；②()122++=x xx f ；③()xx f 2=；④()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx x f 中是“位差奇函数”的有 A.1 B.2 C.3 D.416.如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M 、N 在大圆内所绘出的图形大致是三、解答题17.设().4cos cos sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+-=πx x x x f (1)求()x f 的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，、、c b a 若，，102==⎪⎭⎫ ⎝⎛a A f 求△ABC 面积的最大值. 18.如图所示,在三棱锥ABC P =中，PD ⊥平面ABC,且垂足D 在棱AC 上,AD=1，BC AB == (1)证明:△PBC 为直角三角形；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值。

上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题

绝密★启用前上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （） A.唯一确定 B.有两条 C.有四条 D.有无数条 2．已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（） A.2019 B.1010 C.4038 D.3030 3．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”，判断下列函数：①()21f x x =+；②2(1)2f x x x =++；③()2x f x =；④3()sin(4f x x π=+中是“位差奇函数”的有（）A.1B.2C.3D.4 4．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )…………○…………线…………○……答※※题※※ …………○…………线…………○……A. B.C.D.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设集合{2,0,1,9}A=，{|2,}B x x a a A==∈，则A B的所有元素之和为________6．已知sin()45πα-=，35(,)44ππα∈，则sinα=________7．若2(1)(2)3lim42na nb nn→∞-++-=+，则a b+=________8．已知()2n1(2x)n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示)9．已知x,y满足约束条件10xx yx y m-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1yx+的最大值为2，则m的值为__________．10．已知函数()|21|xf x a=--，若存在实数1x、2x（12x x≠），使得12()()1f x f x==-，则实数a的取值范围为________.11．已知复数z满足i1iz z+=-，则220181z z z+++⋅⋅⋅+=________12．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，(3,1)n=是l的一个法向量，已知数列{}n a满足：对任意的正整数n，点1,()n na a+均在l上，若26a=，则12345a a a a a的值为____13．将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a，b，c，d，e，f，则abc def+是偶数的概率为______14．在菱形ABCD中，||4AB AD-=，||2AB AD+=，13AF AD=，12DE EC=，则BF AE⋅=________15．已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>），F为椭圆的右焦点，AB为过椭圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为_____外…………○………○…………※※※※装※※订※※线※※内…………○………○…………()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______．三、解答题 17．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC∆面积的最大值.18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．如图，两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆22143x y +=上，其中直线AB 的方程为0x m =>，直线PQ 的方程为12y x n =+.（1）若0n =，BAP BAQ ∠=∠，求m 的值；（2）探究：是否存在常数m ，当n 变化时，恒有BAP BAQ ∠=∠？20．已知函数2()ax bx cf x x d ++=+（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x d ≠-）.（1）若0a =，函数()f x 的图象关于点(1,3)-成中心对称，求b ，d 的值；（2）若函数()f x 满足条件（1），且对任意0[3,10]x ∈，总有0()[3,10]f x ∈，求c 的取值范围；（3）若0b =，函数()f x 是奇函数，(1)0f =，3(2)2f -=-，且对任意[1,)x ∈+∞时，不等式()()0f mx mf x +<恒成立，求负实数m 的取值范围． 21．对于无穷数列{}n a ，若对任意*n N ∈，满足212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数），则称数列{}n a 为T 数列. （1）若1(2n n a =-（*n N ∈），判断数列{}n a 是否为T 数列，说明理由；（2）设350()2n n b n =-，求证：数列{}n b 是T 数列，并求常数M 的取值范围；（3）设数列|1|n p c n =-（*n N ∈，1p >），问数列{}n c 是否为T 数列？说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b αβαβ⊂⊂，且,a b 异面，则平面β与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据题意，结合“位差奇函数”的定义依次分析四个选项中的函数是否是“位差奇函数”，即可求解，得到答案.【详解】对于①中，函数()21f x x =+，则()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=，则对任意的实数m ，函数()()f x m f m +-是奇函数，即函数()f x 是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；对于②中，函数22()21(1)f x x x x =++=+，则()()22(1)f x m f m x m x +-=++，设()22(1)h x x m x =++不会是奇函数，所以函数2(1)2f x x x =++不是“位差奇函数”；对于③中，函数()2x f x =，则()()222(21)x m m m x f x m f m ++-=-=-，对任意实数m ，函数()()f x m f m +-都不是奇函数，所以()2x f x =不是“位差奇函数”；对于④中，函数3()sin()4f x x π=+，则()()33sin()sin()44f x m f m x m m ππ+-=++-+，取4m π=时，可得()()sin()sin sin f x m f m x x ππ+-=+-=-是奇函数，所以函数3()sin()4f x x π=+是“位差奇函数”. 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的新定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中正确理解函数的新定义，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点。

上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是则几何体的体积为（）34意在考查学生空间想象能力和计算能()()24=,22x f x g x x x -=-+()()=f x x x =，g S 属于（） D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 4．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6．实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）7．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β8．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（） A．B.C.D. 9．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（） A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（） A ．{x|x ＜2} B ．{x|x ＞2} C ．{x|o ≤x ＜2} D ．{x|0＜x ＜2}12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么y x的最大值是．14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为．15．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .16．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)

2019届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==, 所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.2．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4．在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A ．1 B ．34-C ．-7D ．658-【答案】D【解析】由已知求出cos ,sin A A ,再以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设出点P 的坐标,分别求出,,PA PB PC 的坐标,代入()PA PB PC ⋅+,再配方可求得最小值. 【详解】在ABC ∆中，由5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=,得||||cos 12AB AC A =, 所以54cos 12A ⨯=,所以3cos 5A =,则4sin 5A =,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:则(0,0),(5,0)A B ,点C 的横坐标为312cos 455AC A =⨯=,点C 的纵坐标为416sin 455AC A =⨯=,所以1216(,)55C , 设(,)P x y ,则(,)PA x y =--,(5,)PB x y =--,1216(,)55PC x y =--, 所以3716(2,2)55PB PC x y +=--, 则()PA PB PC ⋅+2237162255x x y y =-+-2237465652()2()20588x y =-+--≥-, 当且仅当374,205x y ==时取等号. 故答案为:658-. 【点睛】本题考查了向量的数量积,解析法,配方法求最值,属于中档题.二、填空题 5．()213521lim2n n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=-______. 【答案】12【解析】利用等差数列求和公式求和后,分子分母同时除以2n ,然后求极限可得到. 【详解】原式2(121)2lim 2n n n n n →∞+-=-221lim lim122n n n n n n→∞→∞==-- 12=. 故答案为:12. 【点睛】本题考查了等差数列求和以及求数列的极限,属于基础题.6．已知1l ：3250x ay +-=，2l ：()3120a x ay ---=，并且12l l //，则实数a 的值为______. 【答案】0或16-【解析】当0a =时,两条直线都垂直x 轴,满足题意; 当0a ≠时,由两条直线的斜率相等,纵截距不等可解得. 【详解】当0a =时,15:3l x =,2:2l x =-,此时满足12l l //; 当0a ≠时,135:22l y x a a =-+,2312:a l y x a a-=-,因为12l l //,所以3312a a a --=,且522a a ≠-,解得16a =-.故答案为: 0或16-. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件,属于基础题. 7．二项式81)2x的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果.详解：二项式81)2x的展开式的通项公式为848318811C ()C 22r r rr rr r T xx --+==⋅⋅, 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =7.2⋅点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出特定项的系数. 8．函数rcsin y a x π=-，[]1,1x ∈-的反函数是______. 【答案】()1sin fx x -=，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】在rcsin y a x π=-的两边取正弦化简后,交换,x y 的位置,写上原函数的值域即可得到. 【详解】因为rcsin [,]22a x ππ∈-,所以3,22y ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 由rcsin y a x π=-得sin sin(rcsin )y a x π=-, 所以sin sin sin y arc x =, 所以sin y x =,交换,x y 得sin y x =,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以函数rcsin y a x π=-，[]1,1x ∈-的反函数是: sin y x =,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为: ()1sin f x x -=,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了反函数的求法,属于基础题.9．在四边形ABCD 中，()2,1AC =，()3,6BD =-，则四边形的面积为______. 【答案】152【解析】根据向量的数量积为0,可得四边形的对角线垂直,由此可计算得四边形的面积. 【详解】因为()2,1AC =，()3,6BD =-,所以(2,1)(3,6)2360AC BD ⋅=⋅-=⨯-=,所以AC BD ⊥uuu r uu u r ,又2||2AC =2||3BD ===,所以四边形ABCD 为:1115||||222AC BD ⋅==. 故答案为: 152. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示,属于基础题.10．实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为121ix i+=+，则a b +=______. 【答案】12-【解析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理可得另一共轭虚根,再根据韦达定理可得,a b 的值,然后相加即可得到. 【详解】因为实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为121i x i +=+(2)(1)331(1)(1)222i i i i i i +--===-+-,所以根据虚根成对定理可得,实系数一元二次方程20x ax b ++=的另一共轭虚根为23122x i =+, 所以根据韦达定理得1212,x x a x x b +=-=, 所以31313131915()3,()()22222222442a i ib i i =--++=-=-+=+=, 所以51322a b +=-+=-. 故答案为:12-. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程20x ax b ++=的虚根成对定理,属于基础题.11．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线:l 20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为______. 【答案】3【解析】问题转化为圆221x y +=的圆心到直线:l 20x my --=的距离的最大值加上圆的半径即可得到. 【详解】因为点()cos ,sin P θθ的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线:l 20x my --=过定点(2,0)P ,如图所示:过O 作OM l ⊥,垂足为M , 则||||2OM OP ≤=,所以||1213d OM =+≤+=,取等的条件是M 与P 重合,此时0m =. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了数形结合思想,点到直线的距离,圆的方程,直线过定点,属于中档题. 12．对于任意[)3,x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <【解析】将问题转化为对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,再构造函数转化为min ()a f x <,利用定义可得()f x 为增函数,进而可得最小值即可求得.【详解】因为当[)3,x ∈+∞时, 不等式212ax x x a +<-+可化为2211x x a x --<-,所以对于任意[)3,x ∈+∞,2211x x a x --<-恒成立,令221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-,则min ()a f x <,因为2221(1)22()(1)111x x x f x x x x x ----===-----, 任设123x x >≥,则12121222()()(1)(1)11f x f x x x x x -=----+-- 1212122(1)2(1)()(1)(1)x x x x x x ---=-+--1212122()()(1)(1)x x x x x x -=-+--12122()(1)(1)(1)x x x x =-+--,因为123x x >≥,所以120x x -> ,1220(1)(1)x x >--,所以12()()f x f x >,所以221(),[3,)1x x f x x x --=∈+∞-为增函数,所以3x =时,函数()f x 取得最小值,最小值为(3)1f =, 所以1a <. 故答案为: 1a <. 【点睛】本题考查了不等式恒成立,定义证明单调性,利用单调性求最值,属于中档题.13．学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的慨率是______. 【答案】531【解析】先用间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的种数,再求出甲跑第二棒的种数,然后用古典概型的概率公式计算可得所求概率. 【详解】根据题意,从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛,共有47A =840种,其中甲跑第一棒的情况有36A 120=种.乙跑第四棒的情况有36120A =种,甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况有2520A =种,故甲不能跑第一棒且乙不能跑第四棒的情况有84012012020620--+=, 甲跑第二棒的情况有:1254100C A =种, 根据古典概型概率公式可得100562031=. 故答案为: 531. 【点睛】本题考查了用间接法求排列数,古典概型的概率公式,属于中档题.14．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．详解：△ABC 为等边三角形且面积为2AB =AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：O′C=263=，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31634⨯故答案为：点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.15．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 16．将集合{}1,2,,12M =的元素分成互不相交的三个子集：M A B C =，其中{}1234,,,A a a a a =,{}1234,,,B b b b b =，{}1234,,,C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有__________个．【答案】3【解析】分析：由k k k a b c +=可得123439c c c c +++=，令1234c c c c <<<，则412c =，3912c <<，310,11c ∴=，然后列举出12c c 、的值，从而可得结果.详解：123...1278++++=，k k k a b c += 所以123439c c c c +++=，令1234c c c c <<<，根据合理安排性，集合{}1,2,...,12M =的最大一个元素，必定为：412c =，则123391227c c c ++=-=，又1233333327912c c c c c c ++⇒⇒<<，310,11c ∴=，①当310c =时，同理可得12192178c c c =⎧>⇒⎨=⎩. ②当311c =时，同理可得22192167c c c =⎧>⇒⎨=⎩或21106c c =⎧⎨=⎩，综上，一共有3种，故答案为3.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定412c =，从而得到3912c <<，由此打开突破点.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60︒，设1AA a =.（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（1）1；（2）16；【解析】(1)根据11//B C BC 可得1A CB ∠=60°,再根据三个直角三角形计算出11,,AC A B BC ,则可得到三角形1A CB 为等边三角形,所以1AC BC =,可解得1a =; (2)根据等体积法可得11111113B A BC C A B B A B B V V AC S --==⋅,根据三棱锥的体积公式计算可得. 【详解】(1)如图所示:连11,A B BC ,因为11//B C BC ,所以1A CB ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角, 所以160A CB ∠=,又因为在直角三角形1A AC 中,1AC ==在直角三角形1A AB 中,1A B ==在等腰直角三角形ACB 中,BC ==,所以三角形1A CB 为正三角形,所以1AC CB =,=,所以21a =, 因为0a >,所以1a =.(2)依题意有11111113B A BC C A B B A B BV V AC S --==⋅111111326=⨯⨯⨯⨯=. 所以三棱锥11B A BC -的体积为16. 【点睛】本题考查了异面直线所成的角,等体积法,三棱锥的体积公式,属于中档题. 18．已知函数()()3f x x ax a R =+-∈. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点的个数.【答案】（1）当0a =时，函数()f x 为偶函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数；详见解析（2）当()1,1a ∈-时，函数()f x 有2个零点；当(][),11,a ∈-∞-+∞时，函数()f x 有1个零点【解析】(1)根据奇偶函数的定义判断可得;(2)将函数()f x 化为分段函数后,对a 分五种情况讨论可求得函数的零点. 【详解】(1) 当0a =时，函数()f x 为偶函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数, 理由如下:当0a =时,()||3f x x =-,()||3||3()f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数; 当0a ≠时,()()||()3||32||6f x f x x a x x ax x -+=-+--++-=-不恒等于0,所以()f x 不为奇函数,()()||3||32f x f x x ax x ax ax --=-----+=-不恒等于0,所以()f x 不为偶函数,所以()f x 为非奇非偶函数. (2)因为(1)3,0()(1)3,0a x x f x a x x +-≥⎧=⎨--<⎩,①当1a >时,当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+, 当0x <时, 由()0f x =得31x a =-(舍去), 所以函数()f x 有唯一零点,②当1a =时, 23,0()3,0x x f x x -≥⎧=⎨-<⎩,所以函数()f x 有唯一零点32, ③当11a -<<时, 当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+, 当0x <时, 由()0f x =得31x a =-, 所以函数()f x 有两个零点,④当1a =-时,函数3,0()23,0x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩,所以函数()f x 有唯一零点32-, ⑤当1a <-时, 当0x ≥时,由()0f x =,可得31x a =+(舍去),当0x <时, 由()0f x =得31x a =-, 所以函数()f x 有唯一零点,综上所述: 当()1,1a ∈-时，函数()f x 有2个零点；当(][),11,a ∈-∞-+∞时，函数()f x 有1个零点.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数的零点.分类讨论思想,属于中档题.19．如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池AQR ，且AQ AR =，已知四边形ABCD 中，ABD ∆是等腰直角三角形，AB AD ==BCD ∆是等腰三角形，CB CD =，BCD ∠的大小为247arctan，要求AQR ∆的三个顶点在花坛的边缘上（即在四边形ABCD 的边上），设点A 到水池底边QR 的距离为h ，水池的面积为S 平方米.（1）求AC 的长；（2）试将S 表示成关于h 的函数，并求出S 的最大值. 【答案】（1）14；（2）232142S h h =-+，最大值为1474；【解析】(1) 设AC 与BD 交于E ,在两个三角形中计算出,AE CE ,再相加即可得到; (2)分06h <≤和614h <<两种情况讨论得到S 关于h 的函数,再分段求最大值,即可得到. 【详解】(1)设AC 与BD 交于E ,如图所示:因为AB AD =,CB CD =,所以AC 为BD 的垂直平分线,所以E 为BD 的中点,所以162AE BD ====, 在直角三角形CEB 中,tan2BCD BDCE∠=, 因为22tan2tan 1tan2BCD BCD BCD ∠∠=∠- , 所以24tan rctan7a =22tan 21tan 2BCD BCD ∠∠-, 所以247=22tan 21tan 2BCD BCD∠∠-, 所以212tan7tan 12022BCD BCD∠∠+-=, 解得3tan24BCD ∠=或4tan 23BCD ∠=-(舍去), 所以683tan24BD CE BCD ===∠, 所以6814AC AE CE =+=+=.(2)因为AQ AR =,所以AC 时QR 的垂直平分线,,所以当06h <≤时,点,Q R 在,AB AD 边上,所以2QR h =, 所以2122S h h h =⋅⋅=,此时当6h =时,S 取得最大值36,当614h <<时,点,Q R 在,BC CD 边上,此时32tan 2144QRBCD h ∠==-, 所以3212QR h =-, 所以2113321(21)22242S QR h h h h h =⋅⋅=-=-+23147(7)44h =--+, 所以当 7h ==时,S 取得最大值,最大值为1474. 因为147364>, 所以当7h =时,S 的最大值为1474. 综上所述:22,06321,61442h h S h h h ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩,S 的最大值为1474. 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式,分段函数的最值,分类讨论,二次函数的最值,属于中档题. 20．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于点P 的轨迹为C ，斜率为k 的直线l 过点()2,0，且与轨迹C 交于A 、B 两点. （1）写出轨迹C 的方程；（2）如果AB =k 的值；（3）是否存在直线l ，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）1k =±；（3）存在直线l :()2y x =±-，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形；【解析】(1)根据点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于且4>,可知轨迹为椭圆,由2a c ==,求得b ,从而可得椭圆方程;(2)联立直线与椭圆,根据弦长公式求出弦长与已知弦长相等,可求出直线斜率; (3) 将ABM ∆为等边三角形,转化为MN AB ⊥且||||MN AB =,利用(2)的弦长以及两点间的距离公式可求得答案. 【详解】(1)因为点P 到两点()2,0、()2,0-的距离之和等于且4>,所以点P 的轨迹是,以()2,0、()2,0-为焦点的椭圆,且2,c a ==,所以2222b a c =-=,所以轨迹C 的方程为:22162x y +=.(2) 直线l 的方程为:(2)y k x =-,将其代入到22162x y+=,整理得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则21221213k x x k +=+,212212613k x x k -=+,所以||AB ======,即21k =,所以1k =±. (3)假设存在点0(3,)M y 满足题意, 设AB 的中点为1212(,)22x x y y N ++, 由(1)知,21221213k x x k+=+,3121222126()441313k k y y k x x k k k k -+=+-=-=++22266(,)1313k k N k k-++ , 因为ABM ∆为等边三角形,所以MN AB ⊥且||||2MN AB =, 所以1MNk k =-,||MN ====化简得21k =,所以1k =±, 所以存在直线l :()2y x =±-，使得在直线3x =上存在点M ，满足ABM ∆为等边三角形【点睛】本题考查了椭圆的定义以及标准方程,弦长公式,韦达定理,两直线垂直于斜率的关系,属于难题.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 是“紧密数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.【答案】（1）23x ≤≤（2）{}n a 是“紧密数列”，详见解析（3）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)由 12322x≤≤，1422x≤≤可求出x 的取值范围;(2)由1(1)n a a n d =+-,所以11111(1)(1)(1)n n a a nd a n d da a n d a n d+++-+==+-+-11(1)d a n d =++- 1111a n d=++- 112>≥,根据“紧密数列”的定义即可得到结论; (3)根据”{}n a 是紧密函数”可得122q ≤≤,再对q 分11,1,122q q q =≤<<≤ 三种情况套,结合“紧密数列”的定义可得. 【详解】（1）由题意得：12322x≤≤，1422x≤≤，解得23x ≤≤.所以x 的取值范围是23x ≤≤.（2）由题意得1(1)n a a n d =+-,所以11111(1)(1)(1)n n a a nd a n d da a n d a n d+++-+==+-+- 11(1)d a n d =++- 1111a n d=++- 112>≥ , 因为1n n a a +随着n 的增大而减小,所以1n =时,1n na a +取得最大值,所以1111112111n n a a a d+≤+≤+=+- , 所以{}n a 是“紧密数列”.（3）由数列{}n a 是公比为q 的等比数列，得1n na q a +=，因为{}n a 是“紧密数列”，所以122q ≤≤. ①当1q =时，1n S na =，1111n n S n S n n ++==+，因为11122n≤+≤，所以1q =时，数列{}n S 为“紧密数列”，故1q =满足题意. ②当1q ≠时，()111n n a q S q-=-，则1111n n nn S q S q ++-=-，因为数列{}n S 为“紧密数列”，所以111221n nq q+-≤≤-，对任意*n N ∈恒成立. （i ）当112q ≤<时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-，第 21 页共 21 页即()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立. 因为112q ≤<,所以01n q q <≤<，0211q ≤-<，3122q <-≤，所以()211n q q q -<<，()()222(1)11n q q q q q -≤-=--+<，所以，当112q ≤<时，()()21121n n q q q q ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立. （ii ）当12q <≤时，()()1111212n n n q q q +-≤-≤-，即()()21121n n q q q q ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩，对任意*n N ∈恒成立.所以当1n =时,有()()21121q q q q ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩成立,即22210210q q q q ⎧--≥⎨-+≤⎩,所以(21)(1)0q q +-≥ 且2(1)0q -≤,所以1q =,这与12q <≤相矛盾,此时q 不存在.综上所述，q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,前n 项和公式,数列的单调性,分类讨论思想,属于中档题.。

2019届上海市格致中学高三开学考数学试题

2019届上海市格致中学高三开学考数学试题2018.09★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一. 填空题 1. 2135(21)lim 2n n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=- 2. 已知1:3250l x ay +-=，2:(31)20l a x ay ---=，并且1l ∥2l ，则实数a 的值为3. 二项式81)2x 的展开式的常数项是4. 函数arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-的反函数是5. 在四边形ABCD 中，(2,1)AC =，(3,6)BD =-，则四边形的面积为6. 实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为12i 1ix +=+，则a b += 7. 在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为8. 对于任意[3,)x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是9. 学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率是10. 设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为11. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ，若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为12. 将集合{1,2,3,,12}M =⋅⋅⋅的元素分成互不相交的三个子集，M A B C =，其中1234{,,,}A a a a a =，1234{,,,}B b b b b =，1234{,,,}C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有个二. 选择题13. 若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（）A. 4B.5C. 6D. 714. 若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值为（） A. 4π B. 2π C. 34π D. π 15. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A. 1B. 34-C. 7-D. 658-三. 解答题 17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60°，设1AA a =.（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积.18. 已知函数()||3f x x ax =+-（a ∈R ）.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点的个数.19. 如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池AQR ，且AQ AR =，已知四边形ABCD 中，△ABD 是等腰直角三角形，AB AD ==BCD 是等腰三角形，CB CD =，BCD ∠的大小为24arctan7，要求△AQR 的三个顶点在花坛的边缘上（即在四边形ABCD 的边上），设点A 到水池底边QR 的距离为h 米，水池的面积为S 平方米. （1）求AC 的长；（2）试将S 表示成关于h 的函数，并求出S 的最大值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(2,0)、(2,0)-的距离之和等于P 的轨迹为C ，斜率为k 的直线l 过点(2,0)，且与轨迹C 交于A 、B 两点.（1）写出轨迹C 的方程；（2）如果||AB =k 的值；（3）是否存在直线l ，使得在直线3x =上存在点M ，满足△ABM 为等边三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.21. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤（*n ∈N ），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 是“紧密数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.参考答案一. 填空题 1.12 2. 0或16- 3. 7 4. 1()sin f x x -=，3[,]22x ππ∈ 5.152 6. 12- 7. 3 8. 1a <9.536 10. 11. 3 12. 3二. 选择题13. C 14. A 15. D 16. D三. 解答题17.（1）1a =；（2）16. 18.（1）当0a =时，为偶函数；当0a ≠时，为非奇非偶函数；（2）当(1,1)a ∈-时，有2个零点；当(,1][1,)a ∈-∞-+∞时，有1个零点.19.（1）14；（2）22max 3213147147(7)42444S h h h S =-+=--+⇒=. 20.（1）22162x y +=；（2）1k =±；（3）(2)y x =±-. 21.（1）8181328x ≤≤；（2）是；（3）1[,1]2.。

上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题含答案

上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知直线a，如果直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．则这样的直线b（）A. 唯一确定B. 有2条C. 有4条D. 有无数条2.已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）•f（y）并且f（1）=1，那么：的值为（）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303.对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．判断下列函如①f（x）=2x+1；②f（x）=x2+2x+1；③f（x）=2x；④中是“位差奇函数”的有（）A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∪B的所有元素之和为______．6.已知，∈，，则sinα=______．7.若，则a+b=______．8.已知（2x2-）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9.已知x、y满足，若的最大值为2，则m=______．10.已知函数f（x）=|2x-1|-a，若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）=-1，则a的取值范围是______．11.已知复数z满足z+i=1-zi，则1+z+z2+…+z2018=______．12.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，，是l的一个法向量，已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2=6，则a1a2a3a4a5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】346.【答案】7.【答案】38.【答案】-849.【答案】510.【答案】（1，2）【解析】解：令f（x）=-1，则|2x-1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x-1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a＜2．故答案为：（1，2）．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．13.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A=720种，abc+def为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数“∴共有A-2A•A=648所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A=720种，再求出abc+def为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以．由，可知，==．故答案为：．先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A到x轴的距离h 应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF 是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f（2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，由，k∈Z．可得：≤x≤（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是：[，]，k∈Z（II）由f（）=0，即sin A-=0，可得sin A=，＜＜，∴cos A=．由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得1+bc=b2+c2．∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时等号成立．∴1+bc≥2bc，bc≤2．∴△ABC面积的最大值S=bcSin≤．故得三角形ABC面积最大值为．【解析】（I）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（II）根据，求出sinA，可得cosA，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc的值，可得△ABC面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz-----1’则B（，0，0），C（0，2，0），P（0，-1，）----2’于是=（-，-1，），=（-，2，0），∵•=（-，-1，）•（-，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）若存常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ，则由（Ⅰ）知只可能m=±1．①当m=1时，取，，∠BAP=∠BAQ等价于，即（2y1-3）（2y2-2n-1）+（2y2-3）（2y1-2n-1）=0，即4y1y2+3（2n+1）=2（n+2）（y1+y2），即3（n2-1）+3（2n+1）=3n（n+2），此式恒成立．∴存常数m=1，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．…（13分）②当m=-1时，取，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m=±1，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．…（15分）【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ，知k AP+k AQ=0．由此能求出m．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高．20.【答案】解（1）∵a=0，∴ ．类比函数的图象，可知函f（x）的图象的对称中心是（-d，b）．又∵函f（x）的图象的对称中心（-1，3），∴ ．（2）由（1）知，．依据题意，对任x0∈[3，10]，恒f（x0）∈[3，10]．①c=3，f（x）=3，符合题意．②c≠3，c＜3时，对任x∈[3，10]，恒＜，不符合题意．所c＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f（x）＞3．因此，当且仅f（3）≤10，即3＜c≤31时符合题意．综上，所实数c的范围3≤c≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；（3）①当1＜p≤2时，当n=1时c1=p-1，c2=1-，c3=1-，由c1+c3-2c2=-2≤0，得p≤，即当1＜p≤时符合．若n≥2，则≤1，此时，于是c n+c n+2-2c n+1=（1-）+（1-）-2（1-）=＜0．又对于n∈N*有c n=|-1|＜1，∴当1＜p≤时数列c n是T数列；②当2＜p≤3时，取n=1，则c1=p-1，c2=-1，c3=1-，由＞0，∴2＜p≤3时数列c n不是T数列；③当p＞3时，取n=1，则c1=p-1，c2=-1，c3=-1，由c1+c3-2c2=＞0，∴p＞3时数列c n不是T数列．综上：当1＜p≤，时数列c n是T数列；当p＞时，数列c n不是T数列．。

上海格致中学2019届高三上数学周考试卷及答案.docx

2018学年第一学期高三数学练习二一．填空题：（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 已知53cos -=θ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+2sin πθ=____________. 【答案】：53- 2. 已知2||||==b a ，与的夹角为3π，则+在上的投影为____________. 【答案】：3 3. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有个6,5,4,3,2,1点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是____________.【答案】：121 4. 若正三棱锥的底边边长为2，侧棱长为1，则次三棱锥的体积为____________.【答案】：61 5. 方程1sin 2cos =+x x 在()π,0上的解集是___________.【答案】：⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ 6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点()n S n ,（*N n ∈）在函数()12log +x 的反函数的图像上，则=n a ___________.【答案】：12-n7 .若关于y x ,的二元一次方程组⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m 21至多有一组解，则实数m 的取值范围是____________.【答案】：()()∞+⋃∞，，11- 8 .在ABC ∆中，若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，则角B 的最大值为____________.【答案】：3π9 .已知函数()().,23cos 3sin cos R x x x x x f ∈-+=设0>a ，若函数()()a x f x g +=为奇函数，则a 的值为____________.【答案】：()*62N k k∈-ππ 10 .设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于。

格致中学高三开学考(2019.09)

格致中学高三开学考数学试卷2019.09一. 填空题1. 不等式13x >的解集为 2. 已知向量(7,1,5)a =-r ，(3,4,7)b =-r ，则||a b +=r r 3. 如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m = 4. 函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=5. 若22sin cos cos 0ααα-=，则cot α=6. 若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iz a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为 7. 已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x = 8. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为 9. 若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是10. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为11. 若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是12. 已知数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅（2n ≥，*n ∈N ）满足下列性质T 的一个排列，性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且仅有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅的个数()f n =二. 选择题13. 如图水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A. B. C. D.14. 点(2,0)P 到直线1423x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离是（） A. 35 B. 45 C. 65 D. 11515. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A. 若a α⊥，a b ⊥，则b ∥αB. 若a ∥α，a b ⊥，则b α⊥C. 若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥D. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥b16. 设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b αα=-r ，向量1210,,,x x x ⋅⋅⋅中有4个a r ，其余为b r ，向量1210,,,y y y ⋅⋅⋅中有3个a r ，其余为b r ，则11221010x y x y x y ++⋅⋅⋅+的所有可能取值中最小的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5三. 解答题17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求点1B 与平面1A BC 的距离.18. 在△ABC 中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-. （1）求b 、c 的值；（2）求sin()B C -的值.19. 已知抛物线C 关于y 轴对称，且经过点(2,1)-.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M 、N ，抛物线的准线分别交直线OM 、ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.20. 若数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=（*n ∈N ），则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”.（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的 “偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞+++⋅⋅⋅+的值；（3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，若||n a M ≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数M 的最小值.21. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题 1. 1(0,)3 2. 13 3. 4- 4. 25. 26. 2-7. 7或88. 109. 910m ≤10. 72511. [3,)-+∞ 12. 21n n --二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17.（1）（2）5.18.（1）7b =，5c =；（219.（1）抛物线的标准方程为24x y =- ，准线方程为1y =；（2）证明略.20.（1）不一定，比如(1)n n a =-，2n b =，{}n a 不是等差数列；（2）34或23（13n n a -=， 123n n b -=⨯或132n n a -=⨯，132n n b -=⨯）；（3）296. 21.（1）1a <；（2）2m ≥；（3）当1T =时，2k n π=，n ∈Z ；当1T =-时，(21)k n π=+，n ∈Z .。