2019届上海市格致中学高三开学考数学试题

2019届上海市格致中学高三开学考数学试题

2018.09

一. 填空题 1. 2135(21)lim 2n n n n

→∞+++⋅⋅⋅+-=- 2. 已知1:3250l x ay +-=，2:(31)20l a x ay ---=，并且1l ∥2l ，则实数a 的值为

3.

二项式81)2x

的展开式的常数项是 4. 函数arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-的反函数是

5. 在四边形ABCD 中，(2,1)AC =，(3,6)BD =-，则四边形的面积为

6. 实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为12i 1i

x +=+，则a b += 7. 在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变 化时，d 的最大值为

8. 对于任意[3,)x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是

9. 学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛，其中甲不能跑第一 棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率是

10. 设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面

积为D ABC -体积的最大值为

11. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为 直径的圆C 与直线l 交于另一点D ，若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为

12. 将集合{1,2,3,,12}M =⋅⋅⋅的元素分成互不相交的三个子集，M A B C =，其中1234{,,,}A a a a a =，1234{,,,}B b b b b =，1234{,,,}C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有 个

二. 选择题

13. 若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

，则32z x y =+的最大值为（ ）

A. 4

B.5

C. 6

D. 7

14. 若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值为（ ） A. 4π B. 2

π C. 34π D. π 15. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

16. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）

A. 1

B. 34-

C. 7-

D. 658-

三. 解答题

17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，

且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60°，设

1AA a =.

（1）求a 的值；

（2）求三棱锥11B A BC -的体积.

18. 已知函数()||3f x x ax =+-（a ∈R ）.

（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；

（2）讨论函数()y f x =的零点的个数.

19. 如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池AQR ，且AQ AR =，已

知四边形ABCD 中，△ABD 是等腰直角三角形，AB AD ==BCD 是等腰三角

形，CB CD =，BCD ∠的大小为24arctan

7，要求△AQR 的三个顶点在花坛的边缘上（即

在四边形ABCD 的边上），设点A 到水池底边QR 的距离为h 米，水池的面积为S 平方米.

（1）求AC 的长；

（2）试将S 表示成关于h 的函数，并求出S 的最大值.

20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(2,0)、(2,0)-

的距离之和等于P 的 轨迹为C ，斜率为k 的直线l 过点(2,0)，且与轨迹C 交于A 、B 两点.

（1）写出轨迹C 的方程；

（2

）如果||AB =k 的值；

（3）是否存在直线l ，使得在直线3x =上存在点M ，满足△ABM 为等边三角形？若存在， 求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.

21. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，若1122n n

a a +≤≤（*n ∈N ），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 是“紧密数列”，且11a =，232

a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”，

并说明理由；

（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.

参考答案

一. 填空题 1. 1

2

2. 0或16-

3. 7

4. 1()sin f x x -=，3[,]22x ππ∈

5. 15

2

6. 12-

7. 3 8. 1a <

9.

536

10. 11. 3 12. 3 二. 选择题

13. C 14. A 15. D 16. D

三. 解答题

17.（1）1a =；（2）16

. 18.（1）当0a =时，为偶函数；当0a ≠时，为非奇非偶函数；（2）当(1,1)a ∈-时，有2个零点；当(,1][1,)a ∈-∞-+∞时，有1个零点.

19.（1）14；（2）22max 3

213147147(7)42444

S h h h S =-+=--+⇒=. 20.（1）22

162

x y +=；（2）1k =±；（3）(2)y x =±-. 21.（1）

8181328x ≤≤；（2）是；（3）1[,1]2

.