2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》专题：高考中的圆锥曲线问题第1课时

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

第1课时 范围、最值问题

题型一 范围问题

例1 (2020·模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23

－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．

解 (1)∵双曲线的离心率为

233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32

. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，

∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，

∴椭圆方程为x 24

＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，

M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋m ，x 24

＋y 2＝1，

消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，

则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2

， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )

＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.

又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，

故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

x 1x 2

＝k 2， 则－8k 2m 2

1＋4k 2

＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12

. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)

＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0

显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．

设原点O 到直线的距离为d ，

则S △OMN ＝12

|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2

＝12

|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m 2－1)2＋1. 故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)．

思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24

＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． (1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭

⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，

所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，

即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．

所以y 1＋y 2＝2y 0，

所以PM 垂直于y 轴．

(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧

y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34

y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).

所以△P AB 的面积

S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝)322003244y x -.

因为x 20＋y 204

＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，

所以△P AB 面积的取值范围是⎣

⎡⎦⎤62，15104.