能量原理与变分法

弹塑性力学
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M 2
M1
M 1 dx U1 2 EI
2
M2
M 2 dx U2 2 EI
2
U
?U
1
U2
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弹塑性力学
能量原理与变分法
材料质点（微单元体）

静力平衡
变形几何 物理关系

偏微分方程
整个变形体的能量
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弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
P2 P2 N a P1 N b P2 N c P1 P2 2 2 2 P l P l ( P P ) l 2 1 2 1 U Uc Ua b 2 EA 2 EA 2 EA P 1 1l 1 1 P1l1 l1 对于 先加 P 1 Uc P P2 l2 P 2 EA 1l1 1l2 2 2 1 P2l 杆C 再加P P2 l2 l Ua Ub P 2 2 2 1l2 EA P l
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弹塑性力学
§12-2 外力功和变形能的计算
外力功的计算：
F
F
在线弹性范围内:
W F 2
F
——广义力 ——广义位移
F
F1
o



梁为非弹性体时：
M2
A
1
2
B
W 0 F1 d 0 M 2 d
1
1
梁为弹性体时：
1 1 W F1 1 M 2 2 2 2
1 M e 2
Ml M Me , EI z
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弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
在静力边界上满足静力边界条件
s s s l m z yx zx n X s s s zy l y m zy n Y s s s l m xz yz zn Z
(X,Y,Z)
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弹塑性力学
在物体内满足平衡微分方程
s s s yx x zx X 0 x y z
s sy s xy zy Y 0 x y z syz s s xz z Z 0 x y z
2 2 kFQ dx FN dx M2d x T2d x U l l l l 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于 弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时 通常不计轴力和剪力的影响。
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1 W Fl 2
1 W F 2 1 M e 2
F l FN F , l N EA
变形能
2 FN l U 2 EA
FQ F ,
FQ l GA
U
2 FQ l
2GA
W
Tl T Me , GI p
T 2l U 2GI p
M 2l U 2 EI z
W
弹塑性力学
能量原理与变分法
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弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。

积分方程（能量的变分为零）

变分法
变分法与微分方程的描述，两者可以转化 变分法是有限元方法的基础
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弹塑性力学
静力可能状态
物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用， 在静力边界S上受面力( X ， Y， Z )作用
外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡。
1 2
P1
P1
Hale Waihona Puke Baidu
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弹塑性力学
(a)
(b)
(c)
2 (P P ) l 1 2 Uc 2 EA
P1
P2
P1 P2
2 2 P l P l 1 2l 1 2 PP 2 EA 2 EA EA
P 1 1l P1l1 l 先加 P 1 对于 1 2 EA 1 P l 杆C 再加P P2 l2 2 l 2 2 2 EA P l
克拉比隆（ Clapeyron ）原理：弹性体的变形能等于广义力与其 相应广义位移乘积之半的总和。
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弹塑性力学
例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l 和刚度EA 相等， 求：各杆的变形能。
(a)
(b)
(c)
U a U b U c ?
特性1：计算U时不 能用叠加原理。
1 2
1 1 Uc P P2 l2 P 1l1 1l2 2 2 2 P P22l PP l 1 l 1 2 2 EA 2 EA EA
特性2：U 只与载荷的最终数值有关； 与加载方式无关。
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弹塑性力学
杆件在基本变形情况下的变形能： 位移与力的 变形形式 外力功 关系