电阻的串并联的等效变换 - 精品课程一览表

当电流源短路时，U = 0 I = I S
O
当 R0=∞时，电流 I 恒等于电流 IS
流 源
IS
I
是一个定值。它的外特性曲线是一条平行于纵轴的直线，即 I=IS。
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第二章 电路的分析方法
晶体管可以近似地看作一个恒流源，因为它的输出特性曲线近
似于恒流源特性。当基极电流为某值，且管压降 UCE 大于某一值时，
a、b、c）流入或流出的电流（如 Ia,
I
b,
I
）对应相等，对应端间的
c
电压（如Uab 、U bc 、Uca ）也对应相等。经过变换后，不影响电路其
他部分的电压和电流。
4. 等效公式: 将星形联结等效变换为三角形联结时
Rab
=
Ra Rb
+
Rb Rc Rc
+
Rc Ra
Rbc
=
Ra Rb
+ Rb Rc Ra
在上述电路中，有 6 个回路。对于每一个回路，都可以列出相 应的 KVL 方程，同样，这些 KVL 方程也不是相互独立的。可以证 明：对于一个具有 n 个节点，b 条支路的电路，只能列出（b-n+1） 个独立的 KVL 方程。相应的（b-n+1）个回路，称为独立回路。
独立回路的选择：任选一个回路，以后每选一个新回路，只要 这个新回路中，包含了以前回路中从未涉及到的新支路。这样选出 的回路，都是相互独立的。显然，所有的网孔都是相互独立的。上 图电路中有 3 个独立回路。 2.3.2 支路电流法
1. 电阻的星形联结：将 3 个电阻的一端连接在一起，电阻的另 一端分别和外电路连接。下图 a 所示。
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第二章 电路的分析方法
2. 电阻的三角形联结：将 3 个电阻连接成闭合回路，从相邻电
阻的连接点处引出 3 个对外的接线端子。如图 b 所示。
3. 星形联结与三角形联结等效变换的条件：两图中对应端（如
的倒数为各电源内阻倒数之和。
利用电源间的等效互换，可简化电路结构，从而简化电路分析
过程。
在简化电路时，是把电压源等效互换成电流源，还是把电流源
等效互换成电压源，要看电源模型间的连接情况。如果两个（多个）
电源是串联关系，就需要将电流源变换成电压源，以便下一步将两
个（多个）串联的电压源合并化简成一个电压源。反之，如果两个
在计算电路时，将串联与并联电阻化简为等效电阻最为简便。
但有的电路中，电阻既非串联，又非并联。就不能用串、并联方法
来简化。在下图中，5 个电阻既不是串联，又不是并联。但如能将 a、
b、c 三端子间三角形联结的 3 个电阻（3 个 8Ω电阻），等效变换为
星形联结的另外 3 个电阻 Ra、Rb、Rc，那么，电路的结构就变为图 b 所示，该电路中，5 个电阻是串、并联的关系。电流 I 和 I1 就很容易 计算。
（或多个）电源是并联关系，就要将其等效互换成电流源，以便下
Байду номын сангаас
一步简化。
另外，可根据需要，将某个电阻作为电源内阻进行等效变换。
如上例中 3 个 2Ω的电阻可分别视为 3 个电源的内阻，而 7Ω电阻上
的电流为待求参数，所以不再将 7Ω的电阻作为电压源内阻来处理。
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第二章 电路的分析方法
（1）应正确判断电路中所含的节 点数和支路数。并标出各支路电流的
参考方向。该图中共有①、②两个节
点和 3 条支路。电流方向已标明。即 n=2，b=3
（2）按照前面讲到的 KCL 方程 的独立性的原则，先列出（n-1）个独立的 KCL 方程 I1 + I2 = I3
因为有 b 条支路（一般等于未知数个数），所以还需补充（b-n+1） 个 KVL 方程。在本电路中，独立 KVL 方程数为（3-2+1）=2。
当 R0
=
R0′ 和 IS
=
E R0
（或 E
=
IS R0
）成立时，两
种电源模型对外具有相同的伏安特性，即对外等效。这就是电压源
与电流源等效互换的条件。
需特别指出的是：
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第二章 电路的分析方法
1）电压源和电流源内部是不等效的，这一点请读者通过两种特
殊情况（电源在开路和短路时）自行分析。
理想的电压源实际上是不存在的。但当电压源的内阻远小于负
载电阻时，则内阻压降 IR0 很小，可忽略不计。端电压基本恒定，即 U=E，可以认为该电压源是理想的电压源，通常用的稳压电源和新 的干电池都可以认为是理想的电压源。
2.2.3 电流源模型
电源除用电动势 E 和内阻 R0 串联的电路模型表示外，还可以用
+ us1
-
+ us2
-
is
is1
is3
is2
2.2.2 电压源模型
一个实际的电源（无论是发电机，还是各种信号源）可以用一
个理想电压源和内阻相串联来代替，这种电源的电路模型称为电压
源，如图所示。图中，U 是电源端电压， RL 是负载电阻，I 是负载电 流。根据图可列方程 U = E − IR0
当 E 和 R0 是常数时，U 和 I 是变
电流源表示。用理想电流源和电阻
并联表示，如图所示。
U
I S = R0 + I
IS
上式称为电流源的外特性方程
a
o
+
I
R0
U
RL
b-
o
式。当 IS 和 R0 是常数时，U、I 是
变量，随 RL 大小而变化。由该式可
U
做出电流源的外特性曲线，如图所 U0=ISR0
理
示。
电流源
想
电
当电流源开路时， I = 0 U = ISR0
压常可以忽略不计。
2.1.2 电阻的并联
在电路中，将两个或多个电阻接在两个公共节点之间，这样的
连接方式则称为电阻的并联。下图是两个电阻并联的电路。并联时，
各电阻承受同一电压。
并联的特征：承受同一个电压
（1）由 KCL： i1 + i2 + i3 = ∑ik
（2）分流不分压，分流电路 ik
=
u Rk
= Gku ， i
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第二章 电路的分析方法
∑ u1 + u2 + u3 = uk
uR = Rk ⋅ i
（2）等效电阻： Req = ∑ Rk
（3）分压公式： uk
=
Rk Req
u
（4）功率： Pk = Rki2
P = ∑ Pk
可见，串联的每个电阻，其所分得的电压与该电阻的阻值成
正比。当某个电阻比其它电阻的阻值小得多时，该电阻分得的电
在电路中，若干个电阻元件一个接一个的顺序连接，并且， 在这些电阻中通过同一个电流，则称这种连接方式为串联。图示 的是两个电阻串联的电路。
串联电路总电压，等于各个电阻元件上电压的代数和，即 U = U1 + U 2 = I (R1 + R2 ) = IR
串联的特征：流过同一电流（用于以后判断是否为串联） （1）KVL:
可见，各并联电阻上所分得的电流与其阻值成反比。当某个电
阻的阻值比其他电阻的阻值大得多时，该电阻分得的电流常可忽略
不计。
所并联的电阻越多，总电阻越小，总电流及总功率越大，对电源
来说，负载越重。但每个负载的工作情况基本不变。
电路中既有电阻的串联，又有电阻的并联时，称为电阻的混联。
*2.1.3 电阻星形联结和三角形联结的等效变换
2）理想电源间不存在互换关系。
3）注意等效互换前后电源方向的关系。
当多个电压源串联时，可用一个等效电压源模型来代替：等效
电源电动势 E 等于各串联电压源电动势的代数和，而等效电源的内
阻 R 为各电源内阻之和。
同理，当多个电流源并联时，可用一个等效电流源模型来代替：
等效电源电流等于各并联电流源电流的代数和，而等效电源的内阻 R
外电路而言，它们是等效的。在满足一定条件时，它们之间可以等
效互换。
对下图，可以分别得到如下公式
o
+ +
I
IS
E
-U
RL
R0 -
o
a）
o
+ I
R0'
U
RL
-
o
b）
对图 a 有 对图 b 有
U = ES − I0 R0 ①
U I = IS − R0′
②
将②式变形得 U = ISR0′ − IR0′
比较①式和②式可得
量，随 RL 大小而变化。下面研究电源
的端电压 U 与输出电流 I 之间的关系，
即U = f (I) ，这种关系称电源的外特
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第二章 电路的分析方法
性。
当电源开路时， I = 0,U = U0 = E
当电压源短路时，U
=
0, I
=
IS
=
E R0
由图可见，当输出电流 I 增大时， 端电压 U 将下降，R0 越小，则直线越 平。当 R0=0 时，电压 U 恒等于电动 势 E，是一个定值。它的外特性是一条平行于横轴的直线，即U = E 。
电流 IC 基本上不随集电极与发射极间的电压 UCE 而变化。可近似看
作恒流源。此外，实验室里还使用一种能够提供一定大小电流的电
流源，其特性也相当于恒流源。
2.2.4 电压源模型与电流源模型的等效互换
如果一个电压源模型和一个电流源模型，对外电路具有相同的
伏安特性，亦即它们对任意给定的外电路具有相同的作用效果，对
如选两个网孔为独立回路，且选顺时针方向为回路绕行方向。
则有
I1R1 + I 3 R3 = E1 ， − I 2 R2 − I 3 R3 = −E2
应用基尔霍夫电流定律和电压定律共列出（n-1）+（b-n+1）=b
个独立方程。
（3）由 b 个方程解得 b 条支路中的电流，并根据结果的正负判
∑ = ( Gk )u ， Geq
= ∑Gk
（3）等效电阻： Geq = ∑ Gk
（4）分流公式： ik
= Gku
=
Gk Geq
i
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（5）功率： Pk = Gku2
P = ∑Pk
第二章 电路的分析方法
两电阻 R1、R2 并联后的等效电阻为
R = R1R2 R1 + R2
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第二章 电路的分析方法
本章要求： 1. 熟练掌握支路电流法、叠加原理和戴维宁定理等电路的 基本分析方法; 2. 掌握实际电源的两种模型及其等效变换; 3. 了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、动态电阻 的概念，以及简单非线性电阻电路的图解分析法。
2.1 电阻的串并联的等效变换
在电路中，电阻的连接形式是多样的，其中最简单、最常用 的是串联和并联。 2.1.1 电阻的串联
Rab = Rbc = Rca = R′ = 3R
即变换所得三角形联结也是对称的，但每边电阻是原星形连接
的电阻值的 3 倍，反之亦然。
R = 1 R′ 3
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第二章 电路的分析方法
2.2 实际电源的两种模型及其等效变换
任何一个实际的电源（或信号源），都可以用两种不同的电路模
2.3 支路电流法
2.3.1 方程的独立性 图示电路共有 3 个节点和 5 条支路，各支路电流参考方向如图
所示。 对节点①、②、③分别列 KCL 方程
I1 = I2 + I3 I3 = I4 + I5 I1 = I2 + I4 + I5
上面 3 个方程中，任意 两个相加，都可以得出第三 个方程。如①、②相加后得 I 2 + I4 + I5 = I1 即得到③式。这 说明上述 3 个方程不是相互独立的。可以证明：对于一个具有 n 个 节点的电路，只能列出（n-1）个独立的 KCL 方程，相应的（n-1） 个节点，称为独立节点。
型来表示：一种是用电压的形式来表示，称为电压源；另一种是用
电流的形式来表示，称为电流源。在一定条件下，两种模型可以等
效变换。
2.2.1 理想电压源、电流源的串联和并联 1. 电压源
∑ （1）串联： us = us1 − us2 + us3 = usk
usk 方向与 us 方向一致时取正，
+us1
i
+
+
Rc Ra
Rca
=
Ra R b +Rb Rc Rb
+
Rc Ra
将三角形联结等效变换为星形联结时
Ra
=
Rab Rca
Rab + Rbc +R ca
Rb
=
Rbc Rab R ab +Rbc +
Rca
Rc
=
Rab
Rca Rbc + Rbc + Rca
由上面的式子可知，当 3 个电阻 Ra = Rb = Rc = R 做对称星形联结 时，其三角形等效电路中电阻的值
1. 定义：以电路中各支路电流作为独立变量，根据基尔霍夫定 律对节点和回路列出所需的 KCL 和 KVL 方程，联立方程求解各支
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第二章 电路的分析方法
路电流的方法。
2. 支路电流法的应用：支路电流法是一种最基本的电路分析 方法。现以下图为例说明支路电流法的应用。
- us2+
+us3
us
-
usk 方向与 us 方向不一致时取负。 （2）并联：同极性、同数值并联
+ us i
2. 电流源 （1）并联：要承受同一个电压
∑ is = is1 − is2 + is3 = isk
isk 方向与 is 方向一致取正； isk 方向与 is 方向不一致取负 （2）串联：同方向、同数值串联。