计算下列二重积分

习题9-2

1. 计算下列二重积分:

(1)

⎰⎰+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; (2)⎰⎰+D

d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:

2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:

(1)

⎰⎰D

d y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域; (2)⎰⎰

-+D d x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域. 3. 化二重积分⎰⎰=D

d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二

次积分), 其中积分区域D 是:

(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;

(2)由直线y =x , x =2及双曲线x

y 1=(x >0)所围成的闭区域; (3)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.

4. 改换下列二次积分的积分次序:

(1)⎰⎰y

dx y x f dy 01

0),(; (2)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy

; (3)

⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ; (4)⎰⎰e

x dy y x f dx 1ln 0),(;

5. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.

6. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.

7. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.

8. 画出积分区域, 把积分⎰⎰D

dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D

是:

(1){(x , y )|x 2+y 2≤2x };

(2){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.

9. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:

(1)

⎰⎰1010),(dy y x f dx ; (2)⎰⎰--21110),(x x

dy y x f dx ; 10. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)

⎰⎰-+2202220)(x ax a dy y x dx ; (2)⎰⎰-+x

x dy y x

dx 212210)(; 11. 利用极坐标计算下列各题: (1)

⎰⎰+D y x d e

σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域; (2)⎰⎰++D

d y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;

12. 选用适当的坐标计算下列各题:

(1)dxdy y

x D 22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. (2)

⎰⎰++--D

d y x y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域; 13. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.

14. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.