人教中考数学二次函数综合经典题附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系中，O

为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠

经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点

C .

（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；

（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ

）抛物线的解析式为2122y x x =

-;

抛物线的对称轴为直线2

x =

;（Ⅱ）P 点坐标为9

(0,)4

-;（Ⅲ）存在，Q

点坐标为

或(-，理由见解析 【解析】 【分析】

（Ⅰ

）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.

（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.

（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）

∵2(0)y ax x a =≠

经过点3)A -，

∴232

a -=⨯-

12a =，

∴

抛物线的解析式为2122

y x x =

-，

∵212222

b x a =-=-

=⨯， ∴

抛物线的对称轴为直线2

x =

.

（Ⅱ）∵点(0,0)O

，对称轴为2

x =

， ∴点O 关于对称轴的对称点B

点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B

，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，

把点3)A -

，点1(B -

代入得30b

b

⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，

解得49

4k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，

∴944y x =--.

∴

直线9

4

y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4

=-， ∵P 点坐标为9(0,)4

-.

（Ⅲ）

∵3)A -，//AC x 轴，

∴AC =3OC =，

∴113222

AOC S OC AC ∆=

⋅=⋅=

， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=

，

∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q

点坐标为21(,

)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，

∵2

AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，

∴

(21111

3332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭

⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭

化简整理得2180m -=，

解得1m =

2m =-

如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93

AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴

2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

393(3)22m m --+-=，

化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ∆∆=

.

【点睛】

主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.

2．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M

的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；

（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝

25

2

m m

-

-，S的最大值是

25 8，此时动点M的坐标是（

5

2

，

7

4

）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是

82

3

秒．

【解析】

【分析】

（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;

（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB ＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.

（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.

【详解】

（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，

∴点B的坐标为（0，3），

∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，

∴3＝a+4，得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，

∴点C的坐标为（3，0），

∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，

∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），

将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，

∴点A的坐标（1，0），

∵△ABM的面积为S，