六年级奥数-分数的速算与巧算

六年级奥数-分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型， 1·裂项；是计算中需要发现规律·利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2·换元；让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3·循环小数与分数拆分；掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加·减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4·通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一·裂项综合 【一】·“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即；1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有；1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征；【1】分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

【2】分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 【3】分母上几个因数间的差是一个定值。

【二】·“裂和”型运算；常见的裂和型运算主要有以下两种形式；【1】11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 【2】2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比；裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三·整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二·换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三·循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2·单位分数的拆分；例；110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析；分数单位的拆分，主要方法是；从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有；11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5，。

例如；选1和2，有；11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有；1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲模块一·分数裂项【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯练习1，333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】计算；57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．练习2，计算；5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）练习3，计算；3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 3】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】111111212312100++++++++++234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++练习4，23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ ，练习5，计算；222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 练习6，计算；222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．练习7，计算；22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．练习8，224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯【例 6】1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+ 练习9，计算；111112123122007+++⋯+++++⋯ 练习10，111133535735721+++++++++++ 【例 7】121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【例 8】222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 练习11，2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例 9】计算；22222223992131991⨯⨯⨯=---练习12，计算；222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【巩固】⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124模块二·换元与公式应用【例 1】 计算；3333333313579111315+++++++【巩固】132435911⨯+⨯+⨯+⨯【巩固】 计算；1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 2】 计算；234561111111333333++++++【例 3】 计算；22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【巩固】⑴()2314159263141592531415927-⨯=________；⑵221234876624688766++⨯=________．【巩固】计算；22222221234200520062007-+-++-+【例 4】 计算；222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 5】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．【巩固】计算；53574743⨯-⨯= ．【巩固】计算；1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ． 【巩固】计算；1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ．【巩固】看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++【例 6】 计算；1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【巩固】11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（【巩固】计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21239123911239239()()(1)()23410234102234103410+++++++++⨯-+++++⨯+++【巩固】计算11112111311143114120092009++++++++++【巩固】 (7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】计算(10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)三·循环小数与分数互化【例 7】 计算；0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．练习13，⑴ 0.540.36+= ；⑵191.21.2427•••⨯+=练习14，计算；0.010.120.230.340.780.89+++++练习15，计算 【1】0.2910.1920.3750.526-++ 【2】0.3300.186⨯【例 8】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1，23，使乘积比正确结果减少0，3，则正确结果该是多少?练习16，将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【例 9】 有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例 10】 真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?练习17，真分数7a化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？练习18，真分数7a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？【例 11】20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________，练习19，纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =【例 12】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．【1】()()()()()()()()11111111111102020=+=+=+=+=+； 【2】()()11110=-练习20，在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++【例 13】()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=--练习21，110=()()11--()1=()()()111++ 【例 14】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。