多元均值不等式及其应用
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为(1002)S x x =⋅-12(1002)2x x =⋅- 2121002()125022x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值．解 因为底面积为2a，四个侧面积均为12242S a =+=，整理得a =(0)h <，而容积213V ha =21131h h =⋅+1113h h=⋅+， 由均值不等式，得11163()V h h =≤=+，当且仅当1h h=时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为(323)150%50%Q x +-万元，则年利润(323)150%50%(323)W Q x Q =+--+，整理得298352(1)x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于2(1)100(1)642(1)x x W x -+++-=+13250()21x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．。
均值不等式及其应用详解
解：设ＤＱ长为y（m）,则
x 4 xy 200
2
A
M
N
B
故：
200 x y 4x
2
E
F
（２）解： x 0
s 4200x 210 4xy 80 2 y 400000 2 38000 4000 x x2
2
2
400000 S 38000 4000 x x2
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
3
2
x 4000 当且仅当 ２００吨时，每吨的平均成本最低
不等式定理及其重要变形：
（定理） a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab （推论） 2
( a, b R )
ab
ab 2 ( ) 2
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
多元均值不等式证明
多元均值不等式证明多元均值不等式是数学中的基本不等式之一。
它是对于一组数的加权平均值与各个数的关系的一个不等式，它可以广泛应用于统计学、经济学和物理学等领域中。
多元均值不等式在解决平衡分配问题、几何平均问题、协方差问题等方面发挥着极为重要的作用，因此具有广泛的应用价值。
多元均值不等式的基本形式如下：设a1,a2,...,an为n个非负实数，k1,k2,...,kn为n个正实数且k1 + k2 + ... + kn = 1。
则有k1a1 + k2a2 + ... + knan >= a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn即加权平均数大于等于乘积平均数。
该不等式的证明方法主要有两种：第一种证明方法是利用Jensen不等式，对一般的凸函数进行推导，这种证明方法比较直接和简单，但是不利于人们深入理解不等式的物理本质。
第二种证明方法是利用拉格朗日乘数法和凹凸性质进行推导。
因为Jensen不等式本身是基于拉格朗日乘数法的，因此这种证明方法更加自然和直观，比较有利于人们深入理解不等式的物理本质。
对于第二种证明方法，我们可以通过以下步骤进行推导：假设不等式左侧的加权平均数为M，即M = k1a1 + k2a2 + ... + knan最大值出现在dM/dai = ki - λ = 0, i = 1,2,...,n,dM/dλ = k1 + k2 + ... + kn - 1 = 0。
因此，我们可以得到：ai = M / ki^(1/k), i = 1,2,...,n。
这里ki^(1/k)是几何平均数，而M是加权平均数，在这里它们同时达到最大值。
我们还需要证明不等式右侧的乘积平均数不小于M。
假设不等式右侧的乘积平均数为G，则有：G = (a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn)^(1/k1+k2+...+kn)根据均方差不等式，我们可以得到：a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn <= (k1a1^2 + k2a2^2 + ... + knan^2)因此，我们可以得到：G = (a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn)^(1/k1+k2+...+kn) <= (k1a1^2 + k2a2^2 + ... + knan^2)^(1/k1+k2+...+kn)其中，右侧的式子恰好是均值不等式的特例——加权平均数不小于均方根，并且在这里取等号。
三元均值不等式的加强及其应用
三元均值不等式的加强及其应用引言在数学中，不等式是研究各种数学问题的重要工具之一。
三元均值不等式是数学中一类常见的不等式，它在很多问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三元均值不等式的加强及其应用。
一、三元均值不等式及其证明三元均值不等式是指对于任意的非负实数$a$、$b$和$c$，成立以下不等式关系：$$\f ra c{a+b}{2}\ge q\sq rt{a b}\q ua d\t e xt{(1)}$$$$\f ra c{a+b+c}{3}\g e q\sq rt[3]{ab c}\q ua d\te xt{(2)}$$这两个不等式是数学中常用的基本不等式。
下面我们来证明这两个不等式。
1.不等式(1)的证明设$x=\s qr t{a}$，$y=\sq rt{b}$，则$x$和$y$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y}{2}\ge q\sq rt{x y}\q ua d\t e xt{(3)}$$由于$\sq rt{a+b}=\s qr t{x^2+y^2}\ge q\s qr t{x^2}=x$，同理$\sq rt{a+b}\ge qy$，故有：$$\f ra c{a+b}{2}=\fr a c{x^2+y^2}{2}\g e q\fr ac{x+y}{2}\g eq\s qr t{x y}=\sq rt{a b}$$因此，不等式(1)得证。
2.不等式(2)的证明设$x=\s qr t[3]{a}$，$y=\sq rt[3]{b}$，$z=\s qr t[3]{c}$，则$x$、$y$和$z$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y+z}{3}\g e q\sq rt[3]{xy z}$$由于$\sq rt[3]{a+b+c}=\sq rt[3]{x^3+y^3+z^3}\g eq\s qr t[3]{x^3}=x $，同理$\sq rt[3]{a+b+c}\ge qy$，$\s qr t[3]{a+b+c}\g e qz$，故有：$$\f ra c{a+b+c}{3}=\f ra c{x^3+y^3+z^3}{3}\ge q\fr ac{x+y+z}{3}\ge q\sq rt[3]{xyz}=\sq rt[3]{ab c}$$因此，不等式(2)得证。
均值不等式及其应用
均值不等式及其应用均值不等式是初中数学中一种很重要的概念，被广泛应用在各个领域中，特别是在概率论、数论、统计学和实际问题中，都有着广泛的应用。
在本文中，我们将会介绍均值不等式的概念以及其在实际问题中的应用。
一、均值不等式的概念均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算数平均数总是大于等于它们的几何平均数。
它的数学表达式为：若a1,a2,…,an≥0，则有:(a1+a2+…+an)/n≥(a1 * a2 * … * an)^(1/n)其中，a1,a2,…,an均为非负实数，/代表除法，*代表乘法，n代表a1,a2,…,an的个数。
这个不等式有时候也被称为算术平均值和几何平均值的不等关系。
二、均值不等式的应用1.求最大值和最小值在某些问题中，通过均值不等式，可以得到最大值或最小值。
例如，求函数f(x)=1/x在[1,2]上的最大值。
首先，我们可以对f(x)求导得到f’(x)=-1/x^2，然后将其置于均值不等式中，得到：1/2=(1+1/4)/2≥(1/x+1/y)/2化简后得到：xy≥4，因此，f(x)=1/x的最大值为f(2)=1/2。
2.证明不等式均值不等式可以用来证明某些不等式，特别是在不等式的证明中，一般都采用归纳法、绝对值法、平方和法、插叙法、套路变形法等方法来完成。
例如，我们来证明对于任意的正整数n，都有1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)≥ln(n+2)-1。
证明：首先，将1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1写成一个和式，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1＝1/2+（1/3-1/2）+（1/4-1/3）+…+（1/n-1/n-1）+1/n+1＝（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+（1/n-1/n+1）+1/n+1＝1/2-1/(n+1)接着，将该式和ln(n+2)-ln2相加，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n+1/(n+1)+ln(n+2)-ln2＝1/2-1/(n+1)+ln(n+2)把该式与等式(1)做比较，我们发现不等式成立。
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学教案-均值不等式及其应用
均值不等式及其应用课程目标知识提要均值不等式及其应用均值不等式及其应用的知识主要包含：均值不等式的含义和均值不等式的应用及实际应用. 均值不等式是指：若a,b>0，则21 a+1b⩽√ab⩽a+√ab+b3⩽a+b2⩽2(a2+ab+b2)3(a+b)⩽√a2+b22⩽a2+b2a+b.其中21a +1b称为调和平均数，√ab称为几何平均数，a+√ab+b3称为希罗平均数，a+b2称为代数平均数，2(a 2+ab+b2)3(a+b)称为形心平均数，√a2+b22称为平方平均数，a2+b2a+b称为反调和平均数．其中常用的是：21 a+1b⩽√ab⩽a+b2⩽√a2+b22.想要利用均值不等式求代数式的最值，就必须构造出积为定值的若干式子的和的形式或者和为定值的若干式子的积的形式．在利用均值不等式的时候，还需要注意考虑等号取到的条件，对式子进行系数的调整．均值不等式的含义•均值定理如果a，b∈R+，那么a+b2⩾√ab．当且仅当a=b时，等号成立．对任意两个正实数a，b，数a+b2叫做a，b的算术平均值，数√ab叫做a，b的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．均值不等式的实际应用•利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．精选例题均值不等式及其应用1. 已知x>0，则f(x)=x+2x的最小值为．【答案】2√2【分析】因为x>0，所以x+2x ⩾2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=√2时取等号．2. 已知实数 x ，y 满足 2x +2y =1，则 x +y 的最大值是 ．【答案】 −23. 函数 f (x )=3x 2x−2(x >2) 的最小值为 ，此时 x = ．【答案】 24；4【分析】 设 t =x −2，则 t >0，且 x =t +2，所以y =3(t+2)2t=3(t 2+4t+4)5=3(t +4t+4)⩾3(2√4+4)=24,当且仅当 t =4t，即 t =2，x =4 时，式中等号成立，因此，函数 y =3x 2x−2(x >2) 的最小值为 24，此时 x =4．4. 已知 x ，y 为正实数，且 x +y =20，则 u =lgx +lgy 的最大值为 ．【答案】 25. 函数 f (x )=xx 2+x+4(x >0) 的最大值为 ，此时 ．【答案】 15，x =2【分析】 因为 x >0，所以 f (x )=x x 2+x+4=1x+4x+1．因为 x +4x ⩾4， 所以 0<1x+4x+1⩽15．当且仅当 x =4x即 x =2 时，式中等号成立．因此函数 f (x )=xx 2+x+4(x >0) 的最大值为 15，此时 x =2．6. 已知 x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则 (a+b )2cd的最小值是 ．【答案】 47. 已知x，y，z均为正数，则xy+2yzx2+y2+z2的最大值是．【答案】√52【分析】xy+2yzx2+y2+z2=xy+2yzx2+15y2+45y2+z2⩽xy+2yz2√5xy+4√5yz=√52．8. 已知x1≠x2，设y1=x1+2x23，y2=x2+2x13，则x1x2与y1y2的大小关系为．【答案】x1x2<y1y29. 已知：x，y均为正，x+y=1，则xy +1x的最小值为．【答案】3【分析】因为x，y均为正，x+y=1，所以xy +1x=xy+x+yx=xy+yx+1⩾2+1=3，当且仅当x=y=12时，等号成立．10. 函数f(x)=2x−92−2x(x>1)最小值是．【答案】811. 设a>0，b>0．(1)若1a +2b=1，求a+b的最小值；【解】解法一：因为1a +2b=1，a>0，b>0，所以a+b=(a+b)×1=(a+b)(1a +2b)=3+2ab+ba⩾3+2√2ab⋅ba=3+2√2．当且仅当2ab =ba即b=√2a时取等号．所以a+b的最小值是3+2√2，此时a=1+√2，b=2+√2．解法二：因为1a +2b=1，a>0，b>0，所以b+2a=ab，显然a>1，所以b=2aa−1=2+2a−1，所以a+b=a+2+2a−1=(a−1)+2a−1+3⩾2√2+3，当且仅当 a −1=2a−1即 a =1+√2 时取等号．所以 a +b 的最小值是 3+2√2， 此时 a =1+√2，b =2+√2．(2)若 ab =a +b +3，求 ab 的取值范围．【解】 解法一：因为 a >0，b >0， 所以 a +b ⩾2√ab ，所以 ab =a +b +3⩾2√ab +3， 所以 (√ab)2−2√ab −3⩾0， 得 √ab ⩾3，ab =⩾9，所以 ab 的取值范围是 [9,+∞)． 解法二：因为 ab =a +b +3，所以 a ≠1，b =a+3a−1． 因为 a >0，b >0， 所以 a >1， 所以 ab =a (a+3)a−1． 设 t =a −1，则 t >0，a (a+3)a−1=(t+1)(t+4)t =t 2+5t+4t =t +4t +5⩾4+5=9，所以 ab 的取值范围是 [9,+∞)．12. 已知 x <−2，求函数 y =2x 2+4x+1x+2的最值．【解】 y =2x 2+4x+1x+2=2(x+2)2−4(x+2)+1x+2=2(x +2)+1x+2−4．由 x <−2，得 x +2<0，即 −(x +2)>0，所以 2(x +2)+1x+2=−[−2(x +2)+1−(x+2)]⩽−2√2(x +2)⋅1(x+2)=−2√2． 当且仅当 −2(x +2)=1−(x+2)，即 x =−4+√22时等号成立．当且仅当 x =−4+√22时，函数有最大值 −4−2√2．13. 某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为 200 m 2，高度一定的三段污水处理池（如图），由于受地形限制，其长、宽都不能超过 16 m ，如果池的外壁的建造费单价为 400元/ m ，池中两道隔墙的建造费单价为 248元/ m ，池底的建造费单价为 80元/ m 2，试设计水池的长 x 和宽 y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．【解】 设污水池长为 x m ，则宽为 200x m ， 且 0<x ⩽16，0<200x⩽16，两道隔墙与宽边平行时，造价较省，设总价为 Q (x )，则Q (x )=400(2x +2×200x)+248×2×200x+80×200=800(x +324x)+16000⩾1600√x ⋅324x+16000=44800,当且仅当 x =324x (x >0)，即 x =18 时取等号， 所以 44800 不是最小值，又因为 0<x ⩽16，0<200x⩽16，所以 12.5⩽x ⩽16，而 Q (x ) 在 [12.5,16] 上单调递减， 所以 Q (x )⩾Q (16)=800(16+32416)+16000=45000(元)，故水池长为 16 m ，宽为 12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为 45000 元．14. 某产品在一个生产周期内的总产量为 100 吨，平均分若干批生产，设每批生产需要投入固定费用 75 元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知每批生产 10 吨时，直接消耗的费用为 300 元（不包括固定费用）．(1)求此产品在一个生产周期内的总费用（固定费用和直接消耗的费用）与每批生产量的函数关系式；【解】 设每批生产量为 x 吨，总费用为 y 元，由题意可算出正比例系数 k =300100=3，所以y=100x ⋅75+100x ⋅3x 2=7500x +300x (0<x ⩽100,100x∈N ∗).(2)求出平均分多少批生产时总费用最小，并求出此时的最小总费用．【解】 因为y =7500x +300x ⩾2√7500x⋅300x =3000, 当且仅当7500x=300x ，即 x =5 时，y min =3000，此时应分 20 批．所以，平均分20批时，总费用最小，最小值为3000元．15. 如图，树顶A距地面7.7 m，树上另一点B离地面4.7 m，人眼C离地面1.7 m．问：人离此树多远时，看树冠AB这一段的的视角最大？（精确到0.01 m）【解】设人离此树d m，从点C看A、B的仰角分别为α、β，所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=6d−3d1+18d2=3d+18d⩽2√18=√24．当d=18d时，即d=3√2≈4.24 m时，视角最大．16. 如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积都为200 米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时（记池塘的长为x米），这个矩形区域占地面积最少？并求出这个最小值．【解】 设池塘的长为 x (x >0) 米，则池塘的宽为 200x米，令矩形区域的面积为 y 平方米，则有y =(2x +6)(200x+6)=4[109+3(x +100x)]⩾4(109+3×20)=676.当且仅当 x =100x ，即 x =10 时，y min =676，这时 200x=20．答：池塘的长和宽分别为 10 米，20 米，矩形区域的面积最小为 676 平方米．17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为 x m ，宽为 y m ．(1)若菜园面积为 72 m 2，则 x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？【解】 由已知可得 xy =72，而篱笆总长为 x +2y ． ∵ x +2y ⩾2√2xy =24，当且仅当 x =2y ，即 x =12，y =6 时等号成立．∴ 菜园的长 x 为 12 m ，宽 y 为 6 m 时，可使所用篱笆总长最小．(2)若使用的篱笆总长度为 30 m ，求 1x +2y 的最小值．【解】 由已知得 x +2y =30， ∵ (1x +2y )⋅(x +2y )=5+2y x+2x y⩾5+2√2y x ⋅2x y=9，∴ 1x +2y ⩾310，当且仅当 x =y ，即 x =10，y =10 时等号成立．∴ 1x +2y 的最小值是 310．18. 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10 层，每层 2000 平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为 x (x ⩾10) 层，那么每平方米的平均建筑费用为 560+48x （单位：元）．(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式．【解】 依题意得 y =(560+48x )+2160×100002000x=560+48x +10800x（x ⩾10，x ∈N ∗）． (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总费用）【解】 因为 x >0，所以 48x +10800x⩾2√48×10800=1440，当且仅当 48x =10800x ，即 x =15 时取到“ = ”，此时，平均综合费用的最少值为 560+1440=2000（元）．所以当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2000 元．19. 某工厂有旧墙一面长 14 m ，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为 126 m 2 的厂房，条件是：①建 1 m 新墙的费用为 a 元；②修 1 m 旧墙的费用是 a4 元；③拆去 1 m 旧墙用所得到的材料建 1 m 新墙的费用为 a2 元，经讨论有两种方案：①利用旧墙的一段 x m (x <14) 为矩形的厂房的一面边长；②矩形厂房的一面边长为 x ⩾14，问如何利用旧墙，即 x 为多少时建墙费用最省？【解】 设利用旧墙一面的边长为 x m, 则矩形另一边长为 126x m ．方案①：x <14 时，总费用：y =a 4x +a 2(14−x )+a (2x +252x −14)=7a (x 4+36x−1),可求得 y 最小值为 35a ．当且仅当 x =12 时，y min =35a ． 方案②：x ⩾14 时，总费用y =72a +2a (x +126x −7)=2a (x +126x )−212a,又因为 f (x )=x +126x在 [14,+∞) 上为增函数，所以当 x =14 时，y min =35.5a ．20. 鉴于近年来羊皮手套的销售逐渐升温，2013年某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套加强促销．在一年内，据测算销售量 S （万双）与广告费 x （万元）之间的函数关系是 S =5−2x ．已知羊皮手套的固定投入为 6 万元，每生产 1 万双羊皮手套仍需要再投入 25 万元．（年销售收入 = 年生产成本的 120%+ 年广告费的 50%）(1)将羊皮手套的年利润 L （万元）表示为年广告费 x （万元）的函数；（年利润 = 年销售收入 − 年生产成本 − 年广告费）【解】 由题意，得羊皮手套的年生产成本为 25S +6 万元， 则年销售收入为 (25S +6)×120%+x ×50% 万元，年利润为 L =(25S +6)×120%+x ×50%−(25S +6)−x =15(25S +6)−x2，又 S =5−2x，所以 L =5(5−2x )+65−x 2=1315−10x−x2(x >0)．(2)当年广告费投入为多少万元时，该厂的年利润最大？最大利润为多少？（结果保留两位小数）（参数数据：√3=1.732，√5=2.236，√6=2.449）【解】 由（1），得L=1315−10x −x2=26.2−(10x +x2)⩽26.2−2√10x ⋅x 2=26.2−2√5=26.2−2×2.236=21.728≈21.73.当且仅当 10x=x2时，即 x =2√5=2×2.236≈4.47 时，L 有最大值 21.73．因此，当年广告费投入约为 4.47 万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为 21.73 万元．均值不等式的含义1. 若点 (a,b ) 在直线 x +3y =1 上，则 2a +8b 的最小值为 ．【答案】 2√2．2. 若 x >0，y >0，x +y =2，则 xy 的最大值为 ．【答案】 13. 若 ∣x +y ∣=4，则 xy 的最大值是 ．【答案】 4【分析】 x ⋅y ⩽(x+y 2)2=(42)2=4．4. 已知 a,b 为正常数， x,y 为正实数，且 a x+by=1 ，则 x +y 的最小值为 ．【答案】 a +b +2√ab5. 已知 x >0,y >0 ，且 1x +9y =1 ，则 x +y 的最小值为 ．【答案】 16【分析】x +y=(x +y )(1x +9y )=10+y x +9xy⩾10+2√y x ⋅9xy=16.当且仅当yx =9x y，且1x+9y=1 ，即 x =4,y =12 时， x +y 的最小值为 16．6. 已知 A (3,0),B (0,4) ，动点 P (x,y ) 在线段 AB 上移动，则 xy 的最大值等于 ．【答案】 3【分析】 线段 AB 的方程为 x 3+y4=1(0⩽x ⩽3) ． xy =12⋅x3⋅y4⩽12⋅(x 3+y 42)2=3 ．当且仅当 x3=y4=12 ，即 x =32,y =2 时取等号．7. 若正数 x ，y 满足 2x +y =1，则 xy 的最大值为 ．【答案】 188. 已知 a,b ∈R + 且 1a +4b =1，则 a +b 的最小值为 ．【答案】 99. 已知 m =a +1a−2(a >2)，n =(12)x 2−2(x <0)，则 m,n 之间的大小关系是 ．【答案】 m >n10. 已知函数 f (x )=xx 2+4(x >0) ，则函数图象上最高点的坐标为 ．【答案】 (2,14)(1)已知 a ，b ，c 为两两不相等的实数，求证：a 2+b 2+c 2>ab +bc +ca ；【解】 因为 a ，b ，c 互不相等，所以 a 2+b 2>2ab ，b 2+c 2>2bc ，a 2+c 2>2ac ， 所以 2(a 2+b 2+c 2)>2(ab +bc +ac )， 即 a 2+b 2+c 2>ab +bc +ac ．(2)若 a ，b ，c 均为正数，求证：a 3+b 3+c 3⩾3abc ．【解】 因为 (a 3+b 3)−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b )−b 2(a −b )=(a −b )2(a +b )⩾0， 所以 a 3+b 3⩾a 2b +ab 2．同理可证 b 3+c 3⩾b 2c +bc 2，a 3+c 3⩾a 2c +ac 2， 所以2(a 3+b 3+c 3)⩾(a 2b +bc 2)+(ab 2+ac 2)+(b 2c +a 2c )=b (a 2+c 2)+a (b 2+c 2)+c (a 2+b 2)⩾b ⋅2ac +a ⋅2bc +c ⋅2ab =6abc,所以 a 3+b 3+c 3⩾3abc ，当且仅当 a =b =c 时取等号．12. 某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元，试计算：(1)仓库面积 S 的最大允许值是多少？【解】 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则 S =xy ，由题意得40x +2×45y +20xy =3200,应用基本不等式，得3200⩾2√40x ×90y +20xy,当且仅当 40x =90y 时取等号．即 S +6√S ⩽160，亦即 (√S +16)(√S −10)⩽0．∴√S ⩽10⇒S ⩽100．因此 S 的最大允许值是 100 米2．答：仓库面积 S 的最大允许值是 100 米2．(2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解】 当 {xy =100,40x =90y,则 x =15 米，即铁栅的长为 15 米时 S 达到最大．答：铁栅设计为 15 米时，S 最大，实际投资不超过预算．13. 已知 0<x <13，求函数 y =x (1−3x ) 的最大值．【解】 ∵0<x <13， ∴1−3x >0．y =x (1−3x )=13[3x ⋅(1−3x )]⩽13[3x+(1−3x )2]2=112．当且仅当 3x =1−3x ，即 x =16时，取等号． ∴ 当 x =16 时，函数取得最大值 112．14. 某种汽车的购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费用第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？【解】 设这种汽车使用 x 年时，它的年平均费用为 y 万元，则y =10+0.9x+(0.2+0.4+0.6+⋯+0.2x )x=10+0.9x+(0.2+0.2x )x2x=0.1x 2+x+10x=0.1x +10x+1⩾3.当且仅当 0.1x =10x ，即 x =10 时 y min =3．因此，使用 10 年时，年平均费用最小，最小值是 3 万元．15. 如图所示，某畜牧基地要围成相同面积的长方形羊圈 4 间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为 36 m ，每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？【解】 设每间羊圈的长、宽分别为 x ，y ，则有 4x +6y =36，即 2x +3y =18． 设 S =xy ，∵18=2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy ，∴xy ⩽272，即 S ⩽272．上式当且仅当 2x =3y 时，等号成立．此时 {2x =3y,2x +3y =18, 得 {x =92,y =3.答：当每间羊圈的长，宽分别为 92 m ，3 m 时面积最大．16. 若关于 x 的方程 9x +(4+a )3x +4=0 有解，求实数 a 的取值范围．【解】 法一： 因为−(4+a )=9x +43x =3x +43x ⩾2√3x ⋅43x=4, 当且仅当 3x =2 时，等号成立．所以 a +4⩽−4，解得 a ⩽−8．法二：令 3x =t (t >0)，则方程变成 t 2+(4+a )t +4=0． 原方程有解即此方程有正根，又两根之积为 4，所以有{−(a +4)>0(a +4)2−16⩾0,解得 a ⩽−8．17. 已知正数 a ，b 满足 a +b =1． (1)求 ab 的取值范围；【解】 ∵a >0，b >0，∴ 由 a+b 2⩾√ab ，得 0<ab ⩽14． (2)求 ab +1ab 的最小值．【解】 设函数 f (x )=x +1x(0<x ⩽14)， 设 0<x 1<x 2⩽14，f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)+(1x 1−1x 2)=(x 1−x 2)(1−1x 1x 2).∵0<x 1<x 2⩽14，∴x 1−x 2<0，x 1x 2<116，1−1x 1x 2<0，∴(x 1−x 2)(1−1x1x 2)>0．∴f (x 1)>f (x 2)．即 f (x ) 在 (0,14] 上是减函数，因此，当 x =14时，f (x ) 取得最小值 4+14=174．∴ab +1ab 的最小值为 174．18. 过点 P (2,1) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A ，B 两点．当 △AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程．【解】 设 l 的方程为 x a +y b =1（a >0，b >0），则 A (a,0)，B (0,b )，S △AOB =12ab ．又因为 l 过点 P ，所以 2a+1b =1，于是由1=2a +1b ⩾2√2ab可得 ab ⩾8，因此 S △AOB ⩾4，当且仅当 2a=1b=12，即 a =4，b =2 时，等号成立． 此时 l 的方程为 x4+y2=1．19. 已知 a >0，求函数 y =2√x 2+a的最小值．【解】 当 0<a ⩽1 时，y =2√x 2+a =√x 2+a √x 2+a⩾2√√x 2+a √x 2+a=2，当且仅当 √x 2+a =√x 2+a ，即 x =±√1−a ，取“ = ”．所以 y min =2；当 a >1 时，√x 2+a =√x 2+a不成立．而 a >1，此时 y =2√x 2+a在 [0,+∞) 上为增函数，所以 x =0 时，y min =√a20. 已知函数 f (x )=x (1+x )2． (1)求函数 f (x ) 的单调区间与极值．【解】 由 f (x )=x 3+2x 2+x ，得fʹ(x )=3x 2+4x +1=(x +1)(3x +1).令 fʹ(x )=0，解得x 1=−1,x 2=−13.当 x 变化时，f (x ) 、 fʹ(x ) 的变化情况如下：x (−∞,−1)−1(−1,−13)−13(−13,+∞)fʹ(x )+0−0+f (x )递增极大值递减极小值递增由此，f (x ) 的增区间是 (−∞,−1) 和 (−13,+∞)，减区间是 (−1,−13)；f (x ) 的极大值、极小值分别是 f (−1)=0 、 f (−13)=−427．(2)设 g (x )=ax 2．若对于任意 x ∈(0,+∞)，f (x )⩾g (x ) 恒成立，求实数 a 的取值范围．【解】 由题意，得x 3+2x 2+x ⩾ax 2对任意的 x ∈(0,+∞) 恒成立，等价于a ⩽1x+x +2对任意的 x ∈(0,+∞) 恒成立．由 x >0 及均值不等式，得1x+x +2⩾4, 于是，只需 a ⩽4 即可满足题意．因此，实数 a 的取值范围是 (−∞,4]．均值不等式的应用1. 已知等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n．若log3[12a n(S4m+1)]=9，则1n +4m的最小值是．【答案】52【分析】因a n=2⋅3n−1，S n=3n−1，由log3[12a n⋅(S4m+1)]=9得到log3(3n−1⋅34m)=9，所以34m+n−1=39，所以4m+n=10，所以1 n +4m=(1n+4m)(4m+n)⋅110=(16+1+4nm+4mn)⋅110⩾2510=52,当且仅当m=n=2时取等号．故1n +4m的最小值为52．2. 给出下列函数：①y=x+1x(x≠0)；②y=lgx+log x10(x>0,且x≠1)；③y=sinx+1 sinx (0<x⩽π2)；④y=2√x2+2；⑤y=12(x+1x−2)(x>2)，其中有最小值2的函数序号是．【答案】③⑤【分析】①只有当x>0时，y=x+1x ⩾2，而x<0时，y=x+1x⩽−2；②y=lgx+log x10=lgx+1lgx，而lgx可以是负数，同①；③因为0<x⩽π2，所以0<sinx⩽1，所以y=sinx+1sinx⩾2，当且仅当sinx=1时取等号；④y=2√x2+2=2√x2+2=√x2+2√x2+2，而√x2+2⩾√2，所以应用均值不等式只能得到√x2+2+√x2+2>2，等号取不到；⑤因为x>2，所以y=12(x+1x−2)=12(x−2+1x−2+2)⩾12×4=2，当且仅当x−2=1x−2即x=3时取号．3. 已知x、y都是正数，如果xy=15，则x+y的最小值是，如果x+y=15，则xy的最大值是．【答案】2√15；2254【分析】(1)x+y⩾2√xy=2√15，即x+y的最小值是2√15，当且仅当 x =y =√15 时取最小值； (2)xy ⩽(x+y 2)2=(152)2=2254，即 xy 的最大值是2254，当且仅当 x =y =152时 xy 取最大值．4. 已知 A (1,−2)，B (a,−1)，C (−b,0) 三点共线，其中 a >0，b >0，则 a 与 b 的关系式为 ，1a+2b 的最小值是 ．【答案】 2a +b =1；8．5. 已知正数 a 、 b 满足 35a +15b =1，实数 x 、 y 满足 {x −y ⩽2,x +2y ⩾5,y −2⩽0,z =ax +by ，则当 3a +4b 取最小值时 z 的最大值为 ．【答案】 56. 较大小：lg9⋅lg11 1（填“ > ”，“ < ”或“ = ”）．【答案】 <7. 对任意实数 x >1，y >12，不等式 p ⩽x 22y−1+4y 2x−1 恒成立，则实数 p 的最大值为 ．【答案】 8【分析】 令 a =2y −1，b =x −1，则 x 22y−1+4y 2x−1=(b+1)2a+(a+1)2b，问题转化为求(b+1)2a+(a+1)2b的最小值，又(b +1)2a +(a +1)2b⩾2(a +1)(b +1)√ab=()√ab =2(√ab +1√ab a +b√ab)⩾2×(2+2)=8,当且仅当 a =b =1，即 x =2，y =1 时取等号．8. 已知不等式 (x +y )(1x +ay )⩾9 对任意正实数 x ，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ．【答案】 49. 已知实数 x ，y ，实数 a >1，b >1，且 a x =b y =2， （1）若 ab =4，则 1x +1y = ； （2）a 2+b =8，则 2x +1y 的最大值 ．【答案】 2；410. 已知实数 a,b >0，a ，b 的等差中项为 12，设 m =a +1a，n =b +1b，则 m +n 的最小值为 ．【答案】 5(1)已知 0<x <43，求 x (4−3x ) 的最大值．【解】 由 0<x <43，所以 x >0，4−3x >0，利用均值不等式 x (4−3x )=13⋅3x (4−3x )⩽13⋅(3x+4−3x 2)2=43（当且仅当 3x =4−3x 即 x =23，取等号）．所以 x (4−3x ) 的最大值为 43．(2)点 (x,y ) 在直线 x +2y =3 上移动，求 2x +4y 的最小值．【解】 由 2x +4y ⩾2√2x+2y =2√23=4√2，所以 2x +4y 的最小值为 4√2．(1)已知 x ，y ∈R +，且 4x +y −xy =0，求 x +y 的最小值；【解】 由已知得 1x +4y =1，则 x +y =(x +y )(1x +4y )=5+y x +4x y ⩾5+4=9．因此，x +y 的最小值是 9，当且仅当 y x=4x y即 x =3，y =6 时取到．(2)已知 x ，y ∈R +，且 4x +y −xy =0，求 xy 的最小值．【解】 由已知得 1x +4y =1， 因为 1x +4y ⩾2√4xy ，所以 1⩾2√4xy．得 xy ⩾16，所以 xy 的最小值是 16，当且仅当 1x=4y，即 x =2，y =8 时取到．13. 已知 a >0，b >0，a +b =4，求 (a +1a )2+(b +1b )2的最小值．【解】 由 a +b =4，知ab ⩽(a +b 2)2=4.根据a 2+b 22⩾(a+b 2)2，得(a +1a )2+(b +1b )2⩾(a +1a +b +1b )22=(4+4ab )24⩾(4+44)22=252.所以，当且仅当 a +1a =b +1b ，且 a =b 即 a =b =2 时，(a +1a )2+(b +1b )2的最小值是 252．14. 已知：x,y,z >0，x +y +z =1，求 1x+4y+9z的最小值．【解】1x+4y +9z =x+y+z x+4⋅x+y+z y +9⋅x+y+z z =1+4+9+(yx +4xy )+(zx +9xz)+(4z y +9y z)⩾14+2√4+2√9+2√36=36,当且仅当 x =y2=z3，即 x =16,y =13,z =12 时取到等号．故 1x+4y+9z的最小值为 36．15. 设 x ∈R + 且 x 2+y 22=1，求 x√1+y 2 的最大值．【解】 因为 x >0，所以可知x√1+y 2=√2⋅√x 2(12+y 22)⩽√2[x 2+(12+y 22)]2.又 x 2+(12+y 22)=(x 2+y 22)+12=32，故 x√1+y 2⩽√2(12⋅32)=3√24.因此，x√1+y 2 的最大值为 3√24．16. 已知函数 f (x )=m−∣x −3∣(m ∈R )，且不等式 f (x +2)⩾0 的解集为 [0,2]． (1)求 m 的值；【解】 因为 f (x +2)=m−∣x −1∣，所以不等式 f (x +2)⩾0，等价于 ∣x −1∣⩽m ， 由不等式 ∣x −1∣⩽m 有解，得 m ⩾0， 且其解集为 {x ∣1−m ⩽x ⩽1+m,x ∈R }，又已知不等式 f (x +2)⩾0 的解集为 [0,2]，所以 {1+m =2,1−m =0,所以 m =1．(2)若 a >0，b >0，且 1a+4b=m ，求证：a +b ⩾9．【解】 由（1）得 1a +4b =1，因为 a >0，b >0， 所以 a +b =(a +b )(1a +4b )=5+4a b+b a⩾5+2√4a b⋅ba=5+2×2=9，当且仅当4a b=ba，即 a =3，b =6 时取等号，所以不等式 a +b ⩾9 成立．(1)已知 x,y ∈R +，且 4x +y −xy =0，求 x +y 的最小值；【解】 由已知得 1x+4y=1，则 x +y =(x +y )(1x +4y )=5+y x+4x y⩾5+4=9．因此 x +y 的最小值是 9，当且仅当 yx =4x y，即 x =3，y =6 时取到．(2)已知 x,y ∈R +，且 4x +y −xy =0，求 xy 的最小值．【解】 由已知得 1x +4y =1， 因为 1x +4y ⩾2√4xy ，所以 1⩾2√4xy ，所以 xy ⩾16，故 x +y 的最小值是 16，当且仅当 1x =4y ，即 x =2，y =8 时取到．18. 设 a ，b ，c ∈(0,+∞) 且 a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾8．【解】 因为 a ，b ，c ∈(0,+∞) 且 a +b +c =1， 所以 1a −1=a+b+c a−1=b+c a ⩾2√bc a>0．同理可得 1b −1⩾2√ac b >0，1c −1⩾2√abc>0， 所以 (1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾2√bc a ×2√ac b ×2√bac=8．即 (1a −1)(1b −1)(1c −1)=8． 当且仅当 a =b =c =13时等号成立．19. 设 a,b,c ∈R +，求证：12a+12b+12c⩾1a+b+1b+c+1c+a．【解】 因为 (a +b )(1a+1b )⩾4，所以 12a +12b ⩾2a+b ，同理 12b +12c ⩾2b+c ,12c +12a ⩾2a+c ．所以12a +12b+12c⩾1a+b+1b+c+1c+a．20. 已知a、b为正数，a+b=1，求1a +4b的最小值．【解】1a +4b=a+ba+4(a+b)b=5+ba+4ab⩾5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当ba=4ab，即a=13，b=23时，" = "成立，即a=13，b=23时，1a+4b有最小值9．均值不等式的实际应用1. 当x∈(0,1)时，lgx+log x10∈．【答案】(−∞,−2]【分析】因为x∈(0,1)，所以lgx<0，log x10<0，所以−lgx>0，−log x10>0，−lgx+(−log x10)⩾2√(−lgx)⋅(−log x10)=2，当且仅当lgx=log x10，即x=110时，等号成立，所以lgx+log x10∈(−∞,−2]．2. 为了促销，甲、乙两个商家分别对同一商品降价销售，甲连续两次降价率分别为P1、P2，乙两次降价率都是P1+P22(P1≠P2)，则这两个商家降价幅度大的是．【答案】甲【分析】只需证(1−P1)(1−P2)<(1−P1+P22)2．3. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x∈N∗）的关系为y=−x2+18x−25．则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元．【答案】5；8【分析】年平均利润yx =−x+18−25x⩽−10+18=8，当且仅当−x=−25x，即x=5时取等号．4. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y=−(x−6)2+11(x∈N∗)，则每辆客车营运年，其营运的年平均利润最大．【答案】55. 某工厂建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/ m2，房屋侧面的造价为800元/ m2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是元．【答案】34600【分析】设小房的长为x m，则宽为12x m，小房的总造价为5800+1200×3x+2×800×3×12x≥5800+2√3600x×57600x=34600．所以当小房的长为4 m时，建造此小房的总造价最低，为34600元．6. 要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m，4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长、宽．【答案】长24米，宽为18米【分析】设鱼池的长宽分别为x、y米，则xy=432，从而鱼池占地总面积为S=(x+8)(y+6)=xy+6x+8y+48=6x+8y+480.因为S=6x+8y+480⩾2√6x⋅8y+480=2√48xy+480=2√48×432+480=768.所以当且仅当6x=8y,xy=432，即x=24米，y=18米时，鱼池占地总面积最少．7. 设a>0，a≠1，函数f(x)=log a(x−1)+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx−y+n=0上，则4m+2n的最小值是．【答案】2√28. 西部干旱地区的某村要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则水池的长为m，宽为m时，水池的总造价最低．【答案】 40；40【分析】 设总造价为 y ，池底一边长为 x ，则 y =150×1600+120×6(x +1600x)⩾240000+57600=297600，当且仅当 x =1600x ，即 x =40 时取等号．9. 公司一年需购买某种货物总量为 400 吨，每次都购买 x 吨，每次运费都是 4 万元，一年的货物总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费和总存储费用之和最小，则 x = 吨．【答案】 20【分析】 由题意可知，一年共运输 400x次．设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元，则 y =4×400x+4x =1600x+4x ⩾160，当且仅当1600x=4x ，即 x =20 时，y 有最小值．10. 某家庭用 14.4 万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第 n 年维修费用约为 0.2n 万元，每年其他费用为 0.9 万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在 年后报废损失最小．【答案】 12【分析】 年平均值 y =14.4+0.9n+0.2(1+2+⋯+n )n =14.4n +0.1n +1⩾3.4，当且仅当 14.4n =0.1n ，即 n =12 时，年平均值最小，所以 12 年后报废损失最小．11. 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【答案】 该厂应每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少【解】 设该厂应每 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x +6(x −1)+6(x −2)+⋯+6×1]=9x (x +1).设平均每天所支付总费用为 y 1，则y 1=9x (x +1)+900x+1800×6=900x+9x +10809⩾2√900x⋅9x +10809=10989.当且仅当 9x =900x，即 x =10 时取等号．即该厂应每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．【答案】该厂应该接受此优惠条件【解】因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每x(x⩾35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2=1x[9x(x+1)+900]+6×1800×0.90=900x+9x+9729(x⩾35).令f(x)=x+100x(x⩾35)，x2>x1⩾35，则f(x1)−f(x2)=(x1+100x1)−(x2+100x2)=(x2−x1)(100−x1x2)x1x2.由x2>x1⩾35，得x2−x1>0,x1x2>0,100−x1x2<0,从而f(x1)−f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),由此，f(x)=x+100x 在[35,+∞)上为增函数，所以，当x=35时，f(x)有最小值，此时y2<10989．故该厂应该接受此优惠条件．12. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各有8 cm空白，左、右各有5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？【解】设画面高为x cm，宽为λx cm，则λx2=4840.设纸张面积为S，有S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=√10√λ代入上式得S=5000+44√10(8√λ√λ).当8√λ=√λ,即λ=58(58<1)时，S取得最小值．此时，高：x =√4840λ=88 cm ；宽：λx =58×88=55 cm ．因此，画面高为 88 cm ，宽为 55 cm 时，能使所用纸张面积最小．13. 如图，某广场要划定一矩形区域 ABCD ，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为 800 平方米，求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值．【解】 设绿化区域小矩形的一组邻边长为 x m 和 y m ，则3xy =800,即y =8003x.所以矩形区域 ABCD 的面积为S =(3x +4)(y +2)=(3x +4)(8003x+2)=800+6x +32003x+8⩾808+2√6400=968.当且仅当 6x =32003x ，即 x =403 时，矩形区域 ABCD 的面积得最小值为 968 平方米．14. 某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解】 设中间矩形区域的长，宽分别为 x m ，y m ，中间的矩形区域面积为 S ，则半圆的周长为 πy2，因为操场周长为 400，所以 2x +2×πy 2=400，即 2x +πy =400(0<x <200,0<y <400π)，∴ S =xy =12π⋅(2x )⋅(πy )⩽12π⋅(2x+πy 2)2=20000π，由 {2x =πy2x +πy =400，解得 {x =100y =200π．∴ 当且仅当 {x =100y =200π 时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 200π m 时，矩形区域面积最大．15. 某种汽车购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）【解】 由于＂年维修费用第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元＂，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列，因此，汽车使用 x 年总维修费用为 0.2+0.2x2⋅x 万元． 设汽车的年平均费用为 y 万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅xx=1+10x +x 10⩾1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y （千辆/小时）与汽车的平均速度 v （千米/小时）之间的函数关系为：y =920vv 2+3v+1600(v >0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 0.1 千辆/小时）【解】 依题意y =9203+(v +1600v )⩽3+2√1600=92083, 当且仅当 v =1600v ，即 v =40 时，上式等号成立．所以y max =92083≈11.1(千辆/小时). (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 由条件得920vv 2+3v +1600>10,∵ v 2+3v +1600>0，故可整理得v 2−89v +1600<0,即 (v −25)(v −64)<0，解得 25<v <64．答：当 v =40 千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为 11.1 千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时．17. 围建一个面积为 360m 2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45元/m ，新墙的造价为 180元/m ，设利用的旧墙的长度为 x(x >2)m （单位：元），总费用为 y 元．(1)将 y 表示为 x 的函数：【答案】 y =129600x+225x −360【解】 由已知得场地宽为 360x，所以y =180(360×2x+x −2)+45x=3602x+225x −360,x >2.(2)试确定 x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【答案】 x =24 时，y 取得最大值为 10440【解】 由（1）知 y =3602x+225x −360，x >2，得 y =3602x+225x −360⩾2√3602x×225x −360=10440，当 3602x=225x ，即 x =24 时，y 取得最大值为 10440．18. 若直角三角形的周长为 2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【解】 设直角三角形的两直角边分别为 x ，y ，则 x +y +√x 2+y 2=2． ∴2√xy +√2xy ⩽2，(2+√2)√xy ⩽2， ∴√xy ⩽2+√2=2−√2．∴xy ⩽6−4√2，∴S =12xy ⩽3−2√2，此时三角形为等腰直角三角形．19. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米所示．(1)若设休闲区的长和宽的比∣A1B1∣∣B1C1∣=x(x＞1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；【解】设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x=4000，得a=√10√x．则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)⋅20√10√x+160=80√10⋅(2√x√x )+4160(x＞1).(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该怎样设计？【解】80√10(2√x√x )+4160⩾80√10×2√2√x×√x4160=1600+4160=5760．当且仅当2√x=√x，即x=2.5时，等号成立，此时a=40,ax=100．所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．20. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx−120(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；【解】令y=0，得kx−120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x=20k1+k2=20k+1k⩽202=10,当且仅当k=1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解】炮弹可击中目标，即存在k>0，使3.2=ka−120(1+k2)a2成立，亦即关于k的方程a2k2−20ak+a2+64=0有正根，由于a>0，所以根据韦达定理知，如果方程有根则两个都是正根．所以判别式Δ=(−20a)2−4a2(a2+64)⩾0,即a⩽6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．课后练习1. 设x，y∈R+，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）①若P为定值m，则S有最大值2√m；②若S=P，则P有最大值4；③若S=P，则S有最小值4；④若S2⩾k P总成立，则k的取值范围为k⩽4．2. 建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为元．3. 函数y=2−x−4x(x>0)的值域为．4. 设a,b∈R，满足3a−b+ab=4，则∣3a+b−3∣的最小值是．5. 已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则ab3a+b的最大值为．6. 若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．7. 若1x +9y=1(x,y∈R+)，则x+y的最小值是．8. 若a,b∈R+，ab=1，则a+2b⩾2√2，当且仅当a=，b=时等号成立．9. 正数a,b满足ab =9，则a+1b的最小值是．。
多元均值不等式及其应用
3.求y 2x2 3 ( x 0)的min . 2x
4.求y
4
x2
(
x
16 2 1)2
的min
.
5.已知a b 0，求a 1 的min b(a b)
6.求下列函数的最值： 1) f ( x) x2(1 x)，x (0，1) 2) f ( x) x(1 x2 )，x (0，1)
7.已知a、b、c 0，求证：
2( a b
ab
)
a 3(
b
c
3
abc
)
2
3
导数的应用：
1.已知f ( x) 1 x2 ln x，g( x) 2 x3
2
3
求证 : x 1时，f ( x)的图像在g( x)的下方.
2.求证：n
N *，ln(1
1) n
1 n2
1 n3
3.已知f ( x) ln x 2 x1
2.基本不等式：
a1 a2 an n
≥
n a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，
等号成立．
1.若0 x 1，求y x2(1 x)的max .
2.求y
3x
12 x2
(
x
0)的min
.
选修系列 数学4-5
多元均值不等式及应用
mmqu
定理
若a, b.c R , 那么a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
推论: a b c 3 abc(a,b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 33 abc
均值不等式及其推广的应用
均值不等式及其推广的应用漆杰熙摘要：本文从经典的平均值不等式出发，首先介绍了多元均值不等式的内容，并给出了它的一个应用;其次将多元平均值不等式进行了推广，借助矩阵知识给出了平均值不等式的更一般的形式，并且指出了该形式下的平均值不等式和其他一些经典不等式的关系。
关键词：均值不等式;矩阵;柯西不等式;幂平均不等式数理科学方方面面都有不等式的影子，不等式的种类也是非常广泛。
例如平均值不等式、解析不等式、概率不等式、函数不等式、变分不等式、几何不等式、微分不等式、积分不等式等。
数学不等式分为纯粹的数学不等式和应用不等式。
纯粹的数学不等式包括常见的平均值不等式、柯西不等式等;应用不等式的例子像概率不等式、线性规划等。
在管理学和工程学中往往需要求问题最优解，但不少时候是得不到解析解的，往往不等式就是解的代替。
有关统计结果显示，在Linear Algebra and its Applications杂志上发表的论文中，有至少百分之三十的论文与不等式有关系。
因此对于不等式的研究就显得非常重要。
本文主要探讨平均值不等式及其推广的应用，并将一些常见的不等式有机的结合。
一、均值不等式及其应用在不等式理论中有一个很经典的均值不等式，其大意为，若有上述等号成立当且仅当均值不等式的应用是非常广泛的，尤其在其他较难不等式的证明，以及函数单调性证明中有着非常巧妙的运用。
下文的例子给出了关于该不等式的一个应用。
证明数列是单调递增的。
证明：由均值不等式可以得到，其实例题1.1可以利用构造函数的办法，借助导数工具给出解答，只不过该办法比较繁琐，而上述均值不等式的方法相对简洁很多。
二、均值不等式推广对于第一小节均值不等式我们可以利用矩阵的观点给出一个更一般的结论，该结论由引理2.1给出。
引理2.1对于一个的矩阵[aij]mn，即并假设，则首先我们给出引理2.1的证明，记如果使得=0，那么必定有因此必定有此时引理2.1成立。
如果利用均值不等式有下式成立對上述m个不等式相加可以得到相加后的不等式的左边为，相加后的不等式的右边为，因此我们有，即可以得到，引理得证。
多元均值不等式及其应用课件
VS
Байду номын сангаас
详细描述
矩阵均值不等式主要涉及矩阵的元素、行 列式、特征值和迹等概念。通过矩阵运算 和矩阵的加法、数乘、乘法等性质，可以 推导出矩阵均值不等式的多种形式。这些 形式包括矩阵元素与行列式之间的关系、 特征值与迹之间的关系等。
高阶均值不等式
总结词
高阶均值不等式是多元均值不等式的进一步 推广，它利用高阶张量的性质和运算规则， 推导出高阶张量之间的不等关系。
资源分配问题
总结词
资源分配问题是将有限的资源在不同项目或任务之间进行合理分配，以实现整体效益最大化。多元均值不等式可用于 解决这类问题。
详细描述
资源分配问题通常涉及多种资源的分配，如资金、人力、物资等。通过使用多元均值不等式，可以确定不同项目或任 务之间的资源分配比例，以实现整体效益的最大化。这种方法有助于企业在有限资源条件下实现最优资源配置。
工程学
结构设计
在工程学中，多元均值不等式可以用 于优化结构设计，如桥梁、建筑、航 空航天器等结构的强度、刚度和稳定 性分析。
系统可靠性
通过多元均值不等式，可以评估复杂 系统的可靠性，预测系统在不同条件 下的性能表现，为系统设计和优化提 供依据。
经济 学
资源配置
在经济学中，多元均值不等式可以用于研究资源的优化配置问题，如在有限资源下最大化经济效益或 最小化成本。
详细描述
向量均值不等式主要涉及向量的模长、夹角和内积等概念。通过向量运算和向量的数量积、向量积、混合积等性 质，可以推导出向量均值不等式的多种形式。这些形式包括向量模长的平方与向量内积之间的关系、向量模长的 平方与向量夹角余弦值之间的关系等。
矩阵均值不等式
总结词
矩阵均值不等式是多元均值不等式在矩 阵运算中的推广，它利用矩阵的性质和 运算规则，推导出矩阵之间的不等关系。
均值不等式及其在数学证明中的应用
均值不等式及其在数学证明中的应用均值不等式是数学中一种重要的不等式关系，它在不同领域的数学证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍均值不等式的概念和常见形式，并探讨其在数学证明中的应用。
一、均值不等式的概念和常见形式均值不等式是指对于一组数的平均值，其大小关系与这组数的取值有关。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值、几何平均值不小于调和平均值等。
以算术平均值不小于几何平均值为例，对于正实数$a_1,a_2,\dots,a_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$和$(a_1a_2\dotsa_n)^{\frac{1}{n}}$，则有不等式关系：$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq(a_1a_2\dots a_n)^{\frac{1}{n}}$$二、均值不等式在数学证明中的应用1. 不等式证明均值不等式在不等式证明中经常被使用。
通过运用均值不等式，可以将一个复杂的不等式问题转化为一个简单的均值不等式问题，从而简化证明过程。
例如，对于正实数$a,b$，要证明$a^2+b^2\geq2ab$，可以通过应用均值不等式来证明。
首先，我们将$a^2$和$b^2$分别表示为$a^2=b\cdot a$和$b^2=a\cdot b$，然后应用几何平均值不小于算术平均值的均值不等式，得到：$$\sqrt{a^2\cdot b^2}\geq\frac{a+b}{2}$$进一步化简得到$a^2+b^2\geq2ab$，即所要证明的不等式。
2. 极值问题均值不等式在极值问题中也有广泛的应用。
通过运用均值不等式，可以确定一个函数的最大值或最小值。
例如，对于正实数$a,b$，要求函数$f(x)=ax^2+bx$的最小值。
我们可以通过应用均值不等式来解决这个问题。
首先，我们将$f(x)$表示为$f(x)=ax^2+bx=ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x$，然后应用算术平均值不小于几何平均值的均值不等式，得到：$$\frac{ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x}{3}\geq\sqrt[3]{a\left(\frac{b}{2}\right)^ 2x^3}$$进一步化简得到$f(x)\geq3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$，即函数$f(x)$的最小值为$3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$。
均值不等式的应用
均值不等式的应用2.1均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.2.2均值不等式在比较大小问题中的应用比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键.2.3均值不等式在求最值问题中的应用均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处.2.3.1均值不等式求最值时常见错误运用均值不等式解题是一项重要内容，运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等。
在此运用过程中，往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小，或不等式之间进行传递等变形。
在此过程中，学生常常因为忽视条件成立而导致错误，而且错误不易察觉。
因此，就这一问题列举几个例子进行说明。
2.3.2均值不等式求最值“失效”时的对策运用均值不等式是求最值的一种常用方法，但由于其约束条件苛刻，在使用时往往顾此失彼，从而导致均值不等式“失效”。
下面例说几种常用的处理策略。
2.4均值不等式在证明极限的存在性时的应用极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时，需证明数列单调及数列有界。
而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容。
下面举例说明。
妙用均值不等式求多元函数的最值
妙用均值不等式求多元函数的最值
均值不等式是数学家们发现的一种更加神奇的等式，它是非常重要的数学课题，它可以用来求解多元函数的最值。
均值不等式可以表述为一个总和不大于等于一个乘积的等式，即，有f(x1,x2,...,xn)，的n个变量，满足下面的等式：
f(x1,x2,...xn) ≤ f(x1,y1) + f(x2,y2)...+ f(xn,yn)
其中，其中y1,y2,...,yn分别是x1,x2,...,xn的函数值。
当把f(x1,y1)+…+f(xn,yn)扩大到一个大小为n的数组时，可以用均值不等式求多元函数的最值。
一般地，当多元函数满足一定的条件时，可以用均值不等式求解多元函数的最小值。
一般地，均值不等式是研究多元函数最值这一组问题时很有用的。
它可以用来求解最小值或最大值，取决于具体函数。
例如，要在给定范围内求多元函数的最大值，可以考虑其中2个变量，x1与x2。
令y1=f(x1),y2=f(x2),用均值不等式来求解：
f(x1,x2)≤f(x1,y1) +f(x2,y2)，取两边的最大值并求出 f(x1,x2) 的最大值。
总之，均值不等式是一种比较神奇的不等式，它可以被用来求解多元函数的最小值或最大值，这在数学分析考试中非常有用。
它可以帮助考生们高效地求解出多元函数的最优解，简化复杂的数学题目，有助于同学们取得理想的得分。
均值不等式在几何中的应用
均值不等式在几何中的应用均值不等式是一种经典的数学定理，它可以用来推导几何结构、在几何中证明各种定理、求解几何问题等。
它是一种非常有用的工具，在几何中有着广泛的应用。
本文介绍均值不等式在几何中的应用，并给出相关的证明。
均值不等式的定义是：若三个正数a，b，c满足a+b+c=3，则有a2+b2+c2≥9/4。
这个定论可以证明一个几何形状的性质，即三角形中，任意角的余弦值一定大于（或小于）1/3。
要证明这一点，首先可以将三角形分解成三条边的平方和的和以及三角形的内角余弦的和。
即：a2 + b2 + c2=2cosa2 +2cosb2 +2cosc2。
将这个公式代入均值不等式，可以得出：2cosa2 +2cosb2 +2cosc2≥9/4。
由于所有内角余弦值的绝对值不超过1，所以有2cosa2+2cosb2 +2cosc2≤3，从而可以推出：cosa2 +cosb2 +cosc2≤1/3。
这就是说，任意三角形的角的余弦值和一定小于1/3，因此任意三角形角的余弦值一定小于1/3，也就是所谓的三角形余弦定理。
均值不等式也可以用来证明多边形面积的求法，即以多边形的顶点坐标来求多边形的面积。
假设一个多边形具有n个顶点，第i个顶点的坐标为(xi，yi)，i=1，2，…，n，那么多边形的面积S可以用以下公式表示：S=1/2∑ni=1(xi+1yi-xiyi+1)用均值不等式证明此公式，首先用下面的公式将多边形面积S表示为余弦值的和：S=1/2∑ni=1[(xi+1-xi)(yi+1-yi)+(xi-xi+1)(yi+1-yi+1)]=1/2∑ni=1[(xi+1-xi)^2+(yi+1-yi)^2+2cosαi]将这个式子代入均值不等式可以得出：∑ni=1[(xi+1-xi)^2+(yi+1-yi)^2+2cosαi]≥3/2，从而证明了多边形面积的公式。
另一个应用是求解多边形的顶点坐标。
假设一个多边形具有n个顶点，设第i个顶点的坐标分别为(xi，yi)，其中i=1,2,…,n，多边形的面积S=1/2∑ni=1(xi+1yi-xiyi+1)，这时可以将多边形的面积S代入均值不等式，可以得出：∑ni=1[(xi+1-xi)^2+(yi+1-yi)^2+2cosαi]=3/2此式子可以用来求解多边形的顶点坐标，即可以求解出每一个顶点的坐标，从而得到多边形的顶点坐标。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.已知a、b、c > 0，求证： a+b a+b+c 3 2( − ab ) ≤ 3( − abc ) 2 3
导 数 的应 用 ： 1 2 2 3 1.已知f ( x ) = x + ln x，g( x ) = x 2 3 求证 : x > 1时，f ( x )的图像在g( x )的下方. 1 1 1 2.求证：∀n ∈ N ， + ) > 2 − 3 ln(1 n n n
的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时 的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时， ａ＝ｂ＝ｃ 等号成立． 等号成立．
1.若0 < x < 1， 求 y = x (1 − x )的 max .
2
12 2.求 y = 3 x + 2 ( x > 0)的 min . x 3 3.求 y = 2 x + ( x > 0)的 min . 2x
n
a1 a 2 ⋯ a n 叫做这 个正数的几何平均数 叫做这n个正数的几何平均数。 个正数的几何平均数
a1 a 2 ⋯ a n n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
2.基本不等式： 基本不等式： 基本不等式
a1 + a 2 + ⋯ + a n ≥ n
n
语言表述： 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
数学4-5 选修系列 数学
多元均值不等式及应用
mmqu
定理
a+b+c 3 ≥ abc , 若 a , b.c ∈ R , 那 么 3 当 且 仅 当 a = b = c时 ， 等 号 成 立 。
+
推论: 推论
a+b+c 3 + ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3
(1)abc为定值时
当且仅当a = b = c时,等号成立.
2
16 4.求 y = 4 x + 2 min . 2的 ( x + 1)
2
1 5.已知a > b > 0，求a + 的 min b( a − b ) 6.求下列函数的最值： 1) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
2
2) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
*
2 3.已知f ( x ) = ln x + x +1 1)求f ( x )的最小值 1 1 1 1 2)求证： n + 1) > + + + … + ln( (n ∈ N * ) 3 5 7 2n + 1
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3Hale Waihona Puke a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,⋯ , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ *
推
则：
广
a1 + a 2 + ⋯ + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n