多元均值不等式及其应用
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(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,⋯ , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ *
推
则：
广
a1 + a 2 + ⋯ + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n
2
7.已知a、b、c > 0，求证： a+b a+b+c 3 2( − ab ) ≤ 3( − abc ) 2 3
导 数 的应 用 ： 1 2 2 3 1.已知f ( x ) = x + ln x，g( x ) = x 2 3 求证 : x > 1时，f ( x )的图像在g( x )的下方. 1 1 1 2.求证：∀n ∈ N ， + ) > 2 − 3 ln(1 n n n
n
a1 a 2 ⋯ a n 叫做这 个正数的几何平均数 叫做这n个正数的几何平均数。 个正数的几何平均数
a1 a 2 ⋯ a n n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
2.基本不等式： 基本不等式： 基本不等式
a1 + a 2 + ⋯ + a n ≥ n
n
语言表述： 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
数学4-5 选修系列 数学
多元均值不等式及应用
mmqu
定理
a+b+c 3 ≥ abc , 若 a , b.c ∈ R , 那 么 3 当 且 仅 当 a = b = c时 ， 等 号 成 立 。
+
推论: 推论
a+b+c 3 + ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3
(1)abc为定值时
当且仅当a = b = c时,等号成立.
Hale Waihona Puke Baidu
的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时 的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时， ａ＝ｂ＝ｃ 等号成立． 等号成立．
1.若0 < x < 1， 求 y = x (1 − x )的 max .
2
12 2.求 y = 3 x + 2 ( x > 0)的 min . x 3 3.求 y = 2 x + ( x > 0)的 min . 2x
2
16 4.求 y = 4 x + 2 min . 2的 ( x + 1)
2
1 5.已知a > b > 0，求a + 的 min b( a − b ) 6.求下列函数的最值： 1) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
2
2) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
*
2 3.已知f ( x ) = ln x + x +1 1)求f ( x )的最小值 1 1 1 1 2)求证： n + 1) > + + + … + ln( (n ∈ N * ) 3 5 7 2n + 1
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,⋯ , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ *
推
则：
广
a1 + a 2 + ⋯ + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n
2
7.已知a、b、c > 0，求证： a+b a+b+c 3 2( − ab ) ≤ 3( − abc ) 2 3
导 数 的应 用 ： 1 2 2 3 1.已知f ( x ) = x + ln x，g( x ) = x 2 3 求证 : x > 1时，f ( x )的图像在g( x )的下方. 1 1 1 2.求证：∀n ∈ N ， + ) > 2 − 3 ln(1 n n n
n
a1 a 2 ⋯ a n 叫做这 个正数的几何平均数 叫做这n个正数的几何平均数。 个正数的几何平均数
a1 a 2 ⋯ a n n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
2.基本不等式： 基本不等式： 基本不等式
a1 + a 2 + ⋯ + a n ≥ n
n
语言表述： 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
数学4-5 选修系列 数学
多元均值不等式及应用
mmqu
定理
a+b+c 3 ≥ abc , 若 a , b.c ∈ R , 那 么 3 当 且 仅 当 a = b = c时 ， 等 号 成 立 。
+
推论: 推论
a+b+c 3 + ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3
(1)abc为定值时
当且仅当a = b = c时,等号成立.
Hale Waihona Puke Baidu
的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时 的几何平均数，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时， ａ＝ｂ＝ｃ 等号成立． 等号成立．
1.若0 < x < 1， 求 y = x (1 − x )的 max .
2
12 2.求 y = 3 x + 2 ( x > 0)的 min . x 3 3.求 y = 2 x + ( x > 0)的 min . 2x
2
16 4.求 y = 4 x + 2 min . 2的 ( x + 1)
2
1 5.已知a > b > 0，求a + 的 min b( a − b ) 6.求下列函数的最值： 1) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
2
2) f ( x ) = x (1 − x )，x ∈ (0， 1)
*
2 3.已知f ( x ) = ln x + x +1 1)求f ( x )的最小值 1 1 1 1 2)求证： n + 1) > + + + … + ln( (n ∈ N * ) 3 5 7 2n + 1