概率统计试卷答案

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概率统计基础知识试题和答案

概率统计基础知识试题和答案

第一章 概率统计基础知识第一节 概率基础知识一、单项选择题(每题的备选项中,只有1个最符合题意)ZL1A0001.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=⋃B A P ,可算得=)(AB P ( )。

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5ZL1A0002.已知已知3.0)(=A P ,7.0)(=B P ,9.0)(=⋃B A P ,则事件A 与B ( )。

A.互不兼容B.互为对立事件C.互为独立事件D.同时发生的概率大于0ZL1A0003.某种动物能活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,如今已活到到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是( )。

A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6ZL1A0004.关于随机事件,下列说法正确的是( )。

A.随机事件的发生有偶然性与必然性之分,而没有大小之别B.随机事件发生的可能性虽有大小之别,但无法度量C.随机事件发生的可能性的大小与概率没有必然联系D.概率愈大,事件发生的可能性就愈大,相反也成立ZL1A0005.( )成为随机现象。

A.在一定条件下,总是出现相同结果的现象B.出现不同结果的现象C.在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象D.不总是出现相同结果的现象ZL1A0006.关于样本空间,下列说法不正确的是( )。

A.“抛一枚硬币”的样本空间=Ω{正面,反面}B.“抛一粒骰子的点数”的样本空间=Ω{0,1,2,3,4,5,6}C.“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间=Ω{0,1,…}D.“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间=Ω{0:≥t t } ZL1A0007.某企业总经理办公室由10人组成,现在从中选出正、副主任各一人(不兼职),将所有可能的选举结果构成样本空间,则其中包含的样本点共有( )个。

A. 4B.8C. 16D.90ZL1A0008.8件产品中有3件不合格品,每次从中随机抽取一只(取出后不放回),直到把不合格品都取出,将可能抽取的次数构成样本空间,则其中包含的样本点共有( )个。

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中,属于概率的是:A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生,其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生,男生和女生被选到的概率相等。

那么,被选到的学生是男生的概率是多少?A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌,其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌,抽到红心牌的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数,抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据:10、12、14、16、18中,大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷,正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生,其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生,分别计算:a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少?b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少?2. 一副扑克牌中有52张牌,其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌,并将它们放回,再抽取一张牌。

计算:a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少?b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少?四、解答题1. 一组数据:5、7、9、11、13,从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析:一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题,希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

《概率统计》练习题及参考答案

《概率统计》练习题及参考答案

习题一 (A )1.写出下列随机试验的样本空间: (1)一枚硬币连抛三次;(2)两枚骰子的点数和;(3)100粒种子的出苗数;(4)一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件:(1)C B A ,,都发生或都不发生;(2)C B A ,,中不多于一个发生;(3)C B A ,,中只有一个发生;(4)C B A ,,中至少有一个发生; (5)C B A ,,中不多于两个发生;(6)C B A ,,中恰有两个发生;(7)C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系:(1)检查两件产品,事件A =“至少有一件合格品”,B =“两件都是合格品”; (2)设T 表示某电子管的寿命,事件A ={T >2000h },B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件:(1)A =“抛掷一枚骰子两次,点数之和大于7”; (2)B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”; (3)C =“射击三次,至少中一次”;(4)D =“加工四个零件,至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求:(1)电话号码由完全不相同的数字组成的概率;(2)电话号码中不含数字0和2的概率;(3)电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求:(1)所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率;(2)所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃;)(A B p 。

10.已知41)(=A p ,31)(=AB p ,21)(=B A p ,求)(B A p ⋃。

高中数学概率统计(含详细答案)

高中数学概率统计(含详细答案)

1.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x 的值;(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解:(1)0.192000x= ∴ 380x =(2)初三年级人数为y +z =2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:48500122000⨯= 名 (3)设初三年级女生比男生多的事件为A ,初三年级女生男生数记为(y ,z ); 由(2)知 500y z += ,且 ,y z N ∈, 基本事件空间包含的基本事件有:(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个事件A 包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245) 共5个∴ 5()11P A =2.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查.6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (Ⅰ)求该总体的平均数;(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解:(Ⅰ)总体平均数为1(5678910)7.56+++++=. (Ⅱ)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(56),,(57),,(58),,(59),,(510),,(67),,(68),,(69),,(610),,(78),,(79),,(710),,(89),,(810),,(910),.共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有:(59),,(510),,(68),,(69),,(610),,(78),,(79),.共有7个基本结果. 所以所求的概率为7()15P A =.3.现有8名奥运会志愿者,其中志愿者123A A A ,,通晓日语,123B B B ,,通晓俄语,12C C ,通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组. (Ⅰ)求1A 被选中的概率;(Ⅱ)求1B 和1C 不全被选中的概率.解:(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,122131()()A B C A B C ,,,,,,132()A B C ,,,211212221()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,222()A B C ,,, 231()A B C ,,,232()A B C ,,,311312321()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,, 322331332()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“1A 恰被选中”这一事件,则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,122131132()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,}事件M 由6个基本事件组成, 因而61()183P M ==. (Ⅱ)用N 表示“11B C ,不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“11B C ,全被选中”这一事件,由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,},事件N 有3个基本事件组成, 所以31()186P N ==,由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=.4.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.(I )求全班人数及分数在[)90,80之间的频数;(II )估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高; (III )若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.解:(I )由茎叶图知,分数在[)60,50之间的频数为2,频率为,08.010008.0=⨯ 全班人数为.2508.02= …………3分所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=---- …………5分(II )分数在[)60,50之间的总分为56+58=114;分数在[)70,60之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456;(III )将[)90,80之间的4个分数编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2个分数编号为5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6) (4,5),(4,6) (5,6)共15个, …………12分 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个, …………14分故至少有一份分数在[90,1000]之间的频率是6.0159= …………15分5.袋子中装有编号为b a ,的2个黑球和编号为e d c ,,的3个红球,从中任意摸出2个球。

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案一.1.C;.A; .D; .B; .A。

二. 1.1,n;.1?e?1;.;.2?25.[114.24,135.76]。

三.1. 设A发生k0次概率最大,因A发生次数X服从二项分布B,knkn?kP?Cpp]8分;2. 设A?{任意挑选一人为男性},B?{患有色盲},已知 P?5%,P?0.25%,P?0.5,则有P?PPPP?PP?1,第i个部件正常工作,第i个部件不能正常工作.?0,?0.5?5%0.5?5%?0.5?0.25%?0.9524.分;3. 令Xi??i?1,2,?,100.则有P{Xi?1}?0.9,E?0.9,D?0.09,X1,X2,?,X100相互独立.分;?100?X?90?i?5i?1?Xi?85??P10.9525. ??分;33?100于是 P???i?14. 当0?y?1时,FY?P{sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??} ??arcsiny01?dx?????arcsiny1?dx??acrsiny;分;当y?0时,FY?P{sinX?y}?0;当y?1时,FY?P{sinX?y}?1。

分; ?,0?x?1;?于是,fY分;?其它.?0,?2,?G;5. 的联合概率密度为 f??0,其它.?fX???2,0?x?1;,分; fdy??0,其它.?⑵ P{Y?X}???y?xfdxdy?20dy?1?yy2dx?12。

10分;6. 设赢利为Y,则有Y????300,X?1;?150,X?1.分;1?E??300P{X?1}?150P{X?1}??300?edx?150?edx?450e 1?x?x?1?300. ? 10分;四. 矩估计法: E??10?xdx??1??,令 X???1,得X1?X。

??分n极大似然估计法:L??,令 ni?1dlnLd??0 ,则有nn???i?1lnxi?0,于是n。

概率统计试题及答案

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概率统计试题及答案概率统计是数学中的一个重要分支,它在自然科学、社会科学、工程技术等多个领域都有着广泛的应用。

本文将提供一套概率统计的试题及答案,以供学习和复习之用。

一、选择题1. 概率论中,如果事件A和B是互斥的,那么P(A∪B)等于:A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) / P(B)D. 1 - (1 - P(A))(1 - P(B))答案:A2. 以下哪项不是随机变量的典型性质?A. 可测性B. 有界性C. 随机性D. 独立性答案:D3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是:A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案:A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布,其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx), x > 0,则λ的值为:A. E(X)B. Var(X)C. E(X)^2D. 1 / Var(X)答案:D5. 在贝叶斯定理中,先验概率是指:A. 基于经验或以往数据得到的概率B. 基于主观判断得到的概率C. 事件实际发生的概率D. 事件未发生的概率答案:B二、填空题1. 事件的空间是指包含所有可能发生的事件的集合,其记作______。

答案:Ω2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b),则X在区间[a, b]上的概率密度函数是______。

答案:1 / (b - a)3. 两个事件A和B相互独立的必要不充分条件是P(A∩B) = ______。

答案:P(A)P(B)4. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),则其概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(- (x - μ)^2 / (2σ^2)),其中μ是______,σ^2是______。

答案:数学期望,方差5. 拉普拉斯定理表明,对于独立同分布的随机变量序列,当样本容量趋于无穷大时,样本均值的分布趋近于______分布。

答案:正态三、简答题1. 请简述条件概率的定义及其计算公式。

概率统计试题及答案(本科完整版)

概率统计试题及答案(本科完整版)

填空题(每题2分,共20分)A1、记三事件为A ,B,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发生”表示为 .A3、已知P(A)=0.3,P (B )=0.5,当A ,B 相互独立时,06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。

A4、一袋中有9个红球1个白球,现有10名同学依次从袋中摸出一球(不放回),则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。

A5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布,则对a c b <<以及任意的正数0e >,必有概率{}P c x c e <<+ =⎧+<⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩e,c e b b a b c ,c e b b aA6、设X 服从正态分布2(,)N μσ,则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .A7、设1128363X B EX DX ~n,p ),n __,p __==(且=,=,则 A8、袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X 表示取出3只球中的最大号码。

则X 的数学期望=)(X E 4.5 。

A9、设随机变量(,)X Y 的分布律为则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .A10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k =1/4 时,kY 服从2χ分布。

A 二、计算题(每小题10分,共70分)A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1,0.2,0.15,求: (1)没有一台机器要看管的概率(2)至少有一台机器不要看管的概率 (3)至多一台机器要看管的概率解:以A j 表示“第j 台机器需要人看管”,j =1,2,3,则:P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯=ABC ABC ABC()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球。

概率统计习题集(含答案)

概率统计习题集(含答案)

第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C + C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P AB P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B = B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -= B .()A B B A -⊃C .()A B B A -⊂D .()A B B A -=8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.4,则PA B C -= ()( ). A .0.5 B .0.1 C .0.44 D .0.317掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。

概率统计题目及答案1

概率统计题目及答案1

一、单项选择题1. 对于事件和,下述命题正确的是 ( B )(A) 如果与互不相容,则与相互对立(B) 如果与相互对立,则与互不相容(C) 如果与相互独立,则与互不相容(D) 如果与互不相容,则与相互独立2. 一个寝室住有4个同学,那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一天的概率是 ( D )(A) 0.25 (B) 0.35 (C) 0.55 (D) 0.653. 若P(B|A)=0,则下列命题中正确的是 ( B )(A) BA (B) AB= (C) AB (D) A-B=4. 相互独立且都服从正态分布,则 ( C )(A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)605. 若函数为随机变量的概率密度,则的可能取值区间 ( D )(A) (B) (C) (D)6. 3人独立编写同一计算机程序,他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5,则能将此程序编写成功的概率是(B )(A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.917设是两个事件,则以下关系中正确的是( B )(A) (B)(C) (D)8 10个产品中有8个正品2个次品,从中无放回地任取3个, 则恰有1个次品的概率是( A )(A) (B) (C) (D)1. 若P(B|A)=1,则下列命题中正确的是( C )(A) BA (B) P(A-B)=O (C) AB(D)A-B=9 相互独立且都服从正态分布,则( B )(A) 8 (B) 20 (C) -16 (D) 1210 设,,是来自(0,)上的均匀分布的样本,>未知,则下列样本数中( C )不是统计量。

(A)2+ (B) (C)(D)(统计量无未知数)11 两个随机变量的协方差,则____C______.(A)相互独立 (B)互不相容 (C)不相关 (D)相等二、判断题1、若随机事件A、B相互独立,则事件A、B互斥。

( F )2、事件A的概率P(A)等于O, 事件 A也有可能发生。

概率论与数理统计考试试卷(附答案)

概率论与数理统计考试试卷(附答案)

概率论与数理统计考试试卷(附答案)一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分。

把答案填在题中横线上) 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量,设E (X )=33, D (X )=4,10个这种动物的平均体重记作Y ,则D (Y )=_____________________ _______三、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。

概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列事件中,不可能事件是()A. 抛掷一枚硬币,正面朝上B. 抛掷一枚硬币,正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子,出现7点D. 抛掷一枚骰子,出现1点答案:C2. 设A、B为两个事件,若P(A-B)=0,则下列选项正确的是()A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案:B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p),则下列结论正确的是()A. 当n增加时,X的期望值增加B. 当p增加时,X的期望值增加C. 当n增加时,X的方差增加D. 当p增加时,X的方差减少答案:B4. 设X~N(μ, σ^2),下列选项中错误的是()A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时,X的概率密度函数的峰值减小答案:D5. 在假设检验中,显著性水平α表示()A. 原假设为真的情况下,接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下,接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下,拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下,拒绝原假设的概率答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A、B为两个事件,P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(A∩B) = 0.3,则P(A-B) = _______。

答案:0.27. 设随机变量X服从泊松分布,已知P(X=1) = 0.2,P(X=2) = 0.3,则λ = _______。

答案:1.58. 设随机变量X~N(μ, σ^2),若P(X<10) = 0.2,P(X<15) = 0.8,则μ = _______。

答案:12.59. 在假设检验中,若原假设H0为μ=10,备择假设H1为μ≠10,显著性水平α=0.05,则接受原假设的临界值是_______。

答案:9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量,若X与Y相互独立,则下列选项正确的是()A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案:D三、解答题(每题25分,共100分)11. 设某班有50名学生,其中有20名男生,30名女生。

概率统计试卷答案

概率统计试卷答案
得分
评卷人
二、选择题(每小题3分,共15分)
1.设随机变量X在 上服从均匀分布,则随机变量X的概率密度p(x)为()
A. B.
C. D.
2.设随机变量X的概率密度为 则K=( )
(A) (B) (C) (D)
3.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布,下表为Xi的分布律
0
1
P
1-p
P
(i=1,2,…,) 为标准正态分布函数,则 ()
(D)原假设 不成立,经检验被接受的概率。
得分
评卷人
三(10分)、某仪器有三个灯泡,烧坏第一、第二、
第三个灯泡的概率相应为0.1,0.2,0.3。当烧坏一个
灯泡时,仪器发生故障的概率为0.25,当烧坏两个灯泡时,仪器发生故障的
概率为0.6,而当烧坏三个时仪器发生故障的概率为0.9,如果没有灯泡烧坏,
(A)0(B)1(C) (D)1-
4.设总体 服从正态分布 ,其中 已知, 未知, 为来自总体 的一组简单随机样本,则下列表达式中不是统计量的是()
(A) (B)
(C) (D)
5.在假设检验中,显著性水平 的意义是()
(A)原假设 成立,经检验被拒绝的概率。
(B)原假设 成立,经检验被接受的概率。
(C)原假设 不成立,经检验被拒绝的概率。
题号


三四五六七八总分得分
阅卷人
一、1、写
得分
评卷人
二、
三、一、填空题(每空3分共24分)
四、
五、1.设A、B是两个互不相容的事件,已知P(A)=0.3,P(A∪B)=0.7,
六、则P(B)=_________。
七、2.设随机变量 服从参数 的泊松分布,则

概率统计试题及答案

概率统计试题及答案

<概率论〉试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。

试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件,,,。

则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。

5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6。

设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设~,且,则 _________9。

一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10。

若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设,,则12。

用()的联合分布函数F(x,y)表示13。

用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

15。

已知,则=16。

设,且与相互独立,则17。

设的概率密度为,则=18。

设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1-2X2+3X3,则D(Y)=19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~或~ 。

特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~或~ .21。

设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于 .22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值= ,样本方差=24。

概率统计考试试卷及答案

概率统计考试试卷及答案

概率统计考试试卷及答案一、 填空题(每小题4分,共20分)1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P .2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+=-x eA x F x1,则___=A3. 已知,)|(,)|(,)(213141===B A P A B P A P 则_____)(=⋃B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y5. 设随机变量X 与Y 相互独立,且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分,共40分)1. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000x x e x f x ,,)( 已知Y=2X ,求E(Y ), D(Y ).2. 两封信随机地投入标号为I ,II,III ,IV 的四个邮筒,求第二个邮筒恰好投入1封信的概率.3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000212y y e y f yY ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。

4. 假设91X X ,, 是来自总体),(~220N X 的简单随机样本,求系数a,b ,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布,并求其自由度.5. 某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X 服从正态分布。

从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:毫米)14.6, 15。

1, 14。

9, 14。

8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )三、(14分)设X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度四、(14分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=其它,),()(~0063θθθx x xx f X ,且n X X ,, 1是总体X的简单随机样本,求 (1)θ的矩估计量θ,(2) )(θD五、(12分)据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.(7881080.).(=Φ)普通本科概率统计期末考试试卷答案:一、填空题(每小题4分,共20分)1、243e -;2、 1;3、13;4、/21,020,0y e y y -⎧>⎪⎨⎪≤⎩; 5、220σ二、计算下列各题(每小题8分,共40分) 1、解:2()EY xf x dx +∞-∞=⎰。

大题 概率统计(精选30题)(解析版)

大题 概率统计(精选30题)(解析版)

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1,2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球,求取出的2个小球上的数字不同的概率;(2)若不放回地依次随机取出4个小球,记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122,则X=2),求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2;(2)分布列见解析,1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数,然后由概率公式计算概率;(2)确定X的所有可能取值为0,1,2,然后分别计算概率得分布列,再由期望公式计算出期望.【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”,则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0,1,2.①当相邻小球上的数字都不同时,如1212,有2×A22×A22种,则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时,如1221,有2×A22×A22种,则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时,如1122,有2×A22×A22种,则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲、乙两人进行某棋类比赛,每局比赛时,若决出输赢则获胜方得2分,负方得0分;若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为13,且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局,求甲共得3分的概率;(2)规定比赛最多进行五局,若一方比另一方多得4分,则停止比赛,求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27;(2)分布列见解析,31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出;(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列,之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后,甲得3分”为事件A,甲得3分包含以下情形:三局均为平局,三局中甲一胜一平一负,所以P A=133+A3313 3=727,故三局比赛甲得3分的概率为727.(2)依题意知X 的可能取值为2,3,4,5,P X =2 =2×13 2=29,P X =3 =2×C 1213 3=427,P X =4 =2×C 1213 4+C 1313 4=1081,P X =5 =1-P X =2 -P X =3 -P X =4 =1-29-427-1081=4181,故其分布列为:X2345P2942710814181期望E X =2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队,其中甲、乙、丙、丁四位同学入选,该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长,甲不担任队长,共有多少种选法?(2)某次传球基本功训练,体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练,老师传给每位学生的概率都相等,每位学生传球给同学的概率也相等,学生传给老师的概率为17.传球从老师开始,记为第一次传球,前三次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少?【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一,利用分步乘法计数原理集合组合数的计算,即可求得答案;法二,利用间接法,即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法,减去甲担任队长的选法,即可得答案;(2)考虑第一次传球,老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位,继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况,结合乘法公式以及互斥事件的概率求法,即可求得答案.【详解】(1)法一,先选出队长,由于甲不担任队长,方法数为C 13;再选出副队长,方法数也是C 13,故共有方法数为C 13×C 13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制,共有方法数为A 24=4×3=12(种);若甲任队长,方法数为C 13,故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答:从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长,甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球,老师传给了甲,其概率为14;第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学,其概率为67;第三次传球,乙、丙、丁中的一位传球给老师,其概率为17,故这种传球方式,三次传球后球回到老师手中的概率为:14×67×17=398.②若第一次传球,老师传给乙、丙、丁中的任一位,其概率为34,第二次传球,乙、丙、丁中的一位传球给甲,其概率为27,第三次传球,甲将球传给老师,其概率为1 7,这种传球方式,三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398,所以,前三次传球中满足题意的概率为:398+398=349.答:前三次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是3 49 .4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺,努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”).新能源电动汽车作为战略新兴产业,对于实现“双碳目标”具有重要的作用.赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度,对所有的意向客户发起了满意度问卷调查,将打分在80分以上的客户称为“问界粉”.现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计,得到如下的频率分布直方图:(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数);(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观,在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券.记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ .【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析;期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案;(2)确定抽取的“问界粉”人数,再确定ξ的取值,求解分布列,利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知:打分低于70分的客户所占比例为40%,打分低于80分的客户的所占比例为70%,所以本次调查客户打分的中位数在[70,80)内,由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3,所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分;(2)根据按比例的分层抽样:抽取的“问界粉”客户3人,“非问界粉”客户7人,则ξ的所有可能取值分别为0,1,2,其中:P(ξ=0)=C03C27C210=715,P(ξ=1)=C13C17C210=715,P(ξ=2)=C23C07C210=115,所以ξ的分布列为:ξ012P 715715115所以数学期望E(ξ)=0×715+1×715+2×115=35.5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程,为了有效推动课程实施,学校开展劳动课程知识问答竞赛,现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库,其中家政类占14,园艺类占14,民族工艺类占12.根据以往答题经验,选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题,甲答对的概率;(2)现进行甲、乙双人对抗赛,规则如下:两位选手进行三轮答题比赛,每轮只出1道题目,比赛时两位选手同时回答这道题,若一人答对且另一人答错,则答对者得1分,答错者得-1分,若两人都答对或都答错,则两人均得0分,累计得分为正者将获得奖品,且两位选手答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响,求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式,即可求得答案;(2)求出乙答对的概率,设每一轮比赛中甲得分为X ,求出X 的每个值对应的概率,即可求得三轮比赛后,甲总得分为Y 的每个值相应的概率,即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题,甲答对为事件B ,则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45,则P B =P A 1 P B |A 1 +P A 2 P B |A 2 +P A 3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35;(2)设乙答对记为事件C ,则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3=14×12+14×12+12×12=12,设每一轮比赛中甲得分为X ,则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310,P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB =35×12+1-35 ×1-12 =12,P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15,三轮比赛后,设甲总得分为Y ,则P Y =3 =310 3=271000,P Y =2 =C 23310 2×12=27200,P Y =1 =C 13×310×12 2+C 23×310 2×15=2791000,所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下:超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ,B ,C ,D ,E 这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市个数为X ,求随机变量X 的分布列及期望E (X );(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额.附:线性回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx 2,a =y -b x.【答案】(1)X 的分布列见解析,期望E (X )=95(2)y=7x +17;预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列,进而可求解期望,(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ,B ,C ,D ,E 这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市有C ,D ,E 这3家超市,则随机变量X 的可能取值为1,2,3P (X =1)=C 13C 22C 35=310,P (X =2)=C 23C 12C 35=35,P (X =3)=C 33C 35=110,∴X 的分布列为:X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95.(2)x =2+4+5+6+85=5,y =30+40+60+60+705=52,b =ni =1x i y i -nx yn i =1x 2i -nx 2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7,a=52-7×5=17.∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17;在y =7x +17中,取x =10,得y =7×10+17=87.∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ,p i =P X i =1 ,X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率;(2)求p i ;(3)求E X ,并根据你的理解,说明当n 充分大时E X 的实际含义.附:设X ,Y 都是离散型随机变量,则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34;(2)p i =-13 ×-12 i -1+13;(3)p i ,答案见解析。

(完整版)概率统计习题及答案

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1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。

A. A,B 互不相容B. A,B 相互独立C.A BD. A,B 相容⊂2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C )A. 1/2B. 1/12C. 1/18D. 1/93、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B )A. B.919910098.02.0Cii i i C-=∑100100910098.02.0C.D.ii i iC-=∑1001001010098.02.0ii i i C-=∑-100910098.02.014、设,则B)3,2,1(39)(=-=i i X E i )()31253(321=++X X X E A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 95、设样本来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量521,,,X X X 服从t 分布。

( C )25242321XX X X X c +++⋅A. 0B. 1C.D. -1266、设~,则其概率密度为( A )X )3,14(N A.B.6)14(261--x eπ32)14(261--x eπC.D.6)14(2321--x eπ23)14(261--x eπ7、为总体的样本, 下列哪一项是的无偏估计( A ) 321,,X X X ),(2σμN μ A.B.3212110351X X X ++321416131X X X ++ C. D. 3211252131X X X ++321613131X X X ++8 、设离散型随机变量X 的分布列为X 123PC 1/41/8则常数C 为(C)(A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/89、设随机变量X ~N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本,则样本均值近似的服从( B )X (A ) N (4,25) (B )N (4,25/n ) (C ) N (0,1) (D )N (0,25/n )10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设,则在显著水平a=0.01下,( B )00μμ=:H A. 必接受 B. 可能接受,也可能拒绝0H 0H C. 必拒绝 D. 不接受,也不拒绝0H 0H 二、填空题(每空1.5分,共15分)1、A, B, C 为任意三个事件,则A ,B ,C 至少有一个事件发生表示为:__AUBUC_______;2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8,0.6,则密码能被破译的概率为_____0.92____;3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx ,则)(+∞<<-∞x A =_1/2__,B =_1/3.14___;4、随机变量X 的分布律为,k =1,2,3,则C=__27/13_____;kC x X P )31()(==5、设X ~b (n,p )。

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第一章 随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子,设A ={出现奇数点},B ={出现1或3点},则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件,则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次,令A i ={第i 次正面向上}(i =1,2),则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次,设A i 表示“第i 次射击命中目标”(i =1,2,3),则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件,且()0,()0P A P B >>,则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ⊂C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ⊂,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ⊂, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ⊂C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学,其中6名男生、4名女生,从中任选4人参加社会活动,则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已经活了20年,它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内,则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%,而合格品中有75%是优质品,从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品,其中7个正品,3个次品,现从中任取4个产品,则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710⨯ 20.设有10个产品,其中8个正品,2个次品,现从中抽取3次,每次任取1个,取后放回,则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4,现独立地射击5次,则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字,则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),他向目标连续射击,则第一次未中第二次命中的概率为( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子,从中任取两颗,则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人,每人扔两枚均匀硬币,则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球,从袋中任取3个球,则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1,2,…,10中有放回地任取4个数字,则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次,三人的命中率分别是0.5,0.6,0.7,则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球,乙袋中装有一白两黑共3个球,从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容,P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立,且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==,则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======,则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.5,则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%,而正品中的一等品率为60%,从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮,甲、乙击中飞机的概率分别为0.4,0.5,则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求:(1)(),()P A P B ;(2)P (AB );(3)()P AB ;(4) ()P A B U ;(5)P (B -A ).(1)由概率的性质,知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=;(2)因为A B ⊂,所以AB A =,P (AB )=P (A )=0.2; (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0;(4) 因为A B ⊂,所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3;或者,()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3;3.若事件A 与B 互不相容,P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求:(1)()P AB ;(2)(|)P A B ;(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容,故AB =Φ,P (AB )=0,所以()P AB =1-P (AB )=1;(2) 因A 与B 互不相容,由加法公式:P (A+B )=P (A )+P (B ),得P (B )=0.3,从而 (|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-; (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立,且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B );(2) ()P AB ;(3)P (A|B ).解:(1)因为事件A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B ),()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B ),解得:P (B )=13; (2) 因为事件A 与B 相互独立,所以A 与B 也相互独立,故()P AB =4()()15P A P B =; (3) 因为事件A 与B 相互独立,所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题 1.一批产品共有50个,其中40个一等品、6个二等品、4个三等品,现从中任取3个产品,求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解:设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”,A “3个产品等级都不同”,由古典概率定义,得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈,从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门,现从中任取2把,求能打开门的概率.解:A “取出2把钥匙能打开门”,由古典概率知:1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起,从中任取4只,求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解:A “4只鞋子中至少能配成一双”,则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得:41111522224108()21C C C C C P A C ==,故13()1()21P A P A =-=. 4.从0,1,2,3这4个数中任取3个进行排列,求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解:A “排成的数是三位数且是偶数”,A 0“排成的三位数末位是0”,A 2“排成的三位数末位是2”,则A =A 0+A 2,且A 0与A 2互不相容,因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以,015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求下列事件的概率:(1)第三次才取得合格品;(2)如果取得一个合格品后就不再取零件,在三次内取得合格品.解:设A i “第i 次取到合格品”(i =1,2,3),则(1)第三次才取到合格品的概率为:12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯≈. (2)A “三次内取得合格品”,则112123A A A A A A A =++,所求概率为: 112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++90109010990100100991009998=+⨯+⨯⨯0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球,每次从盒子中任取一球,不放回地抽取两次,试求:(1) 两次取出的都是红球的概率;(2)在第一次取出白球的条件下,第二次取出红球的概率;(3)第二次取到红球的概率.解:A 1“第一次取出的是红球”,A 2“第二次取出的是红球”,则(1)由乘法公式得,两次取出的都是红球的概率为:121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==⨯=; (2)在第一次取出白球的条件下,第二次取出红球的概率为:218(|)11P A A =; (3)由全概率公式得,第二次取到红球的概率为:2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件,每台设备的产量分别占总产量的25%,35%,40%,而各台设备的废品率分别是0.05,0.04,0.02,今从全厂生产的这种零件中任取一件,求此件产品是废品的概率.解:设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1,2),B “产品是废品”,由题意知:P (A 1)=25%,P (A 2)=35%,P (A 3)=40%,P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得,产品是废品的概率为:112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=⨯+⨯+⨯=.8.两台车床加工同一种零件,加工出来的零件放在一起,已知第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02,且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率;(2)如果取出的是废品,求它是由第二台车床加工的概率.解:设B “零件是合格品”,A “第一台车床加工的零件”,则A “第二台车床加工的零件”,由题意知:21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+21(10.03)(10.02)0.97333=⨯-+⨯-≈; (2)由贝叶斯公式得,如果取出的是废品,求它是由第二台车床加工的概率为:10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人,求:(1)此人恰是色盲的概率是多少?(2)若随机挑选一人,此人是色盲,问他是男人的概率多大?(3)若随机挑选一人,此人不是色盲,问他是男人的概率多大?解:设B “色盲患者”,A “随机挑选一人是男人”,由题设知:11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====,则 (1)由全概率公式得,随机挑选一人是色盲的概率为:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=⨯+⨯=; (2)由贝叶斯公式得,随机选一人是色盲,他是男人的概率为:15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈; (3)由贝叶斯公式得,随机选一人不是色盲,他是男人的概率为:195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈-. 10.现有10张考签,其中4张是难签,甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回),甲先乙次丙最后,求下列事件的概率:(1)甲乙都抽到难签;(2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签;(3)甲乙丙都抽到难签;(4)证明:甲乙丙抽到难签的机会均等.解:设A ,B ,C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则(1)甲乙都抽到难签的概率为:432()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=; (2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率为:644()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=; (3)甲乙丙都抽到难签的概率为:4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=; (4)由古典概率知,甲抽到难签的概率为:4()0.410P A ==. 由全概率公式得,乙抽到难签的概率为:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=⨯+⨯=. 丙抽到难签的概率为:()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++ 4326434636541098109810981098=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.4. 得,P (A )=P (B )=P (C )=0.4,所以,甲乙丙抽到难签的机会均等,各占40%.11.三个人向同一敌机射击,设三人命中飞机的概率分别为0.4,0.5和0.7.若三人中只有一人击中,飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解:设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”,i =0,1,2,3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组,且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-⨯--=,1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=, 3()0.40.50.70.14P A =⨯⨯=.由题设知:0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故,由全概率公式得,飞机被击落的概率为:00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.0900.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯+⨯=.12.在上题中,假设三人的射击水平相当,命中率都是0.6,其他条件不变,再求飞机被击落的概率.解:设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”,i =0,1,2,3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组,且由贝努里公式得:00303()0.60.40.064P A C =⨯⨯=,1213()0.60.40.288P A C =⨯⨯=, 2223()0.60.40.432P A C =⨯⨯=,3333()0.60.216P A C =⨯=.由题设知:0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得,飞机被击落的概率为:30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=⨯+⨯+⨯+⨯=13.已知一批产品中有95%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率为0.03,求:(1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率;(2)一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率.解:设A “产品是合格品”,B “经检查产品被判为合格品”,且由题意知:P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得,任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率为: ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 95%0.985%0.030.9325=⨯+⨯=;(2)由贝叶斯公式得,一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率为:()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ⨯==≈. 14.一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解:设A i “第i 台机床需要看管”,i =1,2,3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++,且这4个事件两两互不相容,由加法与独立性知,所求的概率为: 123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++ 123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=15.加工某一零件共需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影响的,问加工出来的零件的次品率是多少?解:设A i “第i 道工序加工出次品”,i =1,2,3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3,且A 1,A 2,A 3相互独立,从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为:123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=- 1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码,他们各自能破译出的概率分别是0.4,0.6,0.7,求此密码被破译的概率.解:设A ,B ,C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”,则A+B+C 表示“密码被破译”,且A ,B ,C 相互独立,从而,,A B C 也相互独立,故所求概率为:(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=- 1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,各在两批中随机取一粒,求: (1)两粒种子都能发芽的概率; (2)至多有一粒种子能发芽的概率; (3)至少有一粒种子能发芽的概率.解:设A ,B 分别表示“甲、乙种子发芽”,由题设知:()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=. (1)两粒种子都能发芽的概率为:()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=; (2)至多有一粒种子能发芽的概率为:()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.80.30.20.70.20.30.44=⨯+⨯+⨯=; (3)至少有一粒种子能发芽的概率为:()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-⨯=.18.一批产品有70%的一级品,进行重复抽样检查,共抽取5件样品,求: (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1; (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2; (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解:该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验,由贝努里公式得: (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ⨯⨯=; (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为:p 2=55520.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -⨯⨯-⨯⨯=; (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为: p 3=55510.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005510.70.30.99757C -⨯⨯=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率..解:设射手射击一次命中目标的概率为p ,由贝努里定理知,4次射击中至少有一次命中目标的概率为:41(1)p --,由题设知:4801(1)81p --=,解得:23p =.20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解:射手射击到第4次恰好有两次命中目标,即第四次命中,而前三次中恰有一次命中,由贝努里定理知,所求概率为:12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0<P (B )<1,证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B =. 证:必要性 设事件A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ),P (A|B )=P (A ), 又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--, 所以,(|)(|)P A B P A B =.充分性 若(|)(|)P A B P A B =,则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--, 对上式两端化简,得:()()()P AB P A P B =,所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质:(1)若P (B )>0,则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=;(2)若A 与B 互不相容,()0P C >,则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ; (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证:(1)因为()(|)()P AB P A B P B =,而0()()P AB P B ≤≤,所以,0(|)1P A B ≤≤,且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===,()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===; (2)若A 与B 互不相容,则AC 与BC 也互不相容,从而 ()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ;(3)由性质(2)得:(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ,又A A =ΩU ,由性质(1)知,(|)1P B Ω=,所以,(|)(|)1P A B P A B +=,即(|)1(|)P A B P A B =-第二章 随机变量及其概率分布 一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}=( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为 则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =( D ).A. 1-B.12 C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a =( D ).A.14 B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ).A.2100,1000,100x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ B.10,00,0x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ C. 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它D.113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ,而在此区间外等于0;若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数,则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π7.下列函数中,可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩B. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩C. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ D. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数,则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数,则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=C.()()()P a X b F b F a <≤=-D.对一切实数x ,都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===,则常数a =( B ).A. 1B. 12C. 2D. 12-11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数,则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,则11{}22P X -≤≤=( A ).A.14B.13C.12D.3413.已知随机变量X 的分布律为 若随机变量Y =X 2,则P {Y =1}=( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.2 14.设随机变量X ~B (4, 0.2),则P {X >3}=( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1,4),Y =2X +1,Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ,()x Φ是N (0, 1)的分布函数,则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1,4),()x Φ是N (0, 1)的分布函数,则P (-2<X <0)= ( A ).A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ18.设X ~N (0,1),()x ϕ是X 的概率密度函数,则(0)ϕ= (C ). A. 0 B. 0.5C.D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0,5],Y =3X +2,则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售,每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品,用随机变量X 表示中奖的件数,则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布,()F x 是X 的分布函数,则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布,且2(1)(3)3P X P X ===,则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2, 则12()P x X x ≤≤= 1 .2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=⎰,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩, 其密度函数为()f x ,则()6f π= 1/2 .7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩, 则当x >0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 . (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律 P(X=K)=6K/K! K=0,1,2,3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4),则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1),则1(||)2P X ≤= 0.5 .15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布,则(23)P X <<= 0.5 .16.设随机变量X ~N (-1, 4),则1~2X Y +=N(0,1) . 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3)k aP X k k ===,则a = 2/3 .18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它,则k =-1/2 .19.若随机变量X ~N (1, 16),Y =2X -1,则Y ~ N(1,64) . 20.若随机变量X ~U (1, 6),Y =3X +2,则Y ~ U(5,20) . 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,求X 的概率密度函数.解:由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知,当0<x <1时, 2()()2f x x x '==,当1x ≥或0x ≤时,()f x =0,所以,X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它.2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布,求X 的分布函数及P (X <0.5). 解:X 的分布律为当0x <时,()()F x P X x =≤=0;当01x ≤<时,()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==;当1x ≥时,()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=.所以,X 的分布函数为0,0()0.8,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8.3.设随机变量X ~U (a , b ),求X 的密度函数与分布函数.解:X 的密度函数为1,()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它;分布函数()()x F x f t dt -∞=⎰,当x a <时,()()xF x f t dt -∞=⎰00xdt -∞==⎰;当a x b ≤<时,()()x F x f t dt -∞=⎰10a xax adt dt b a b a-∞-=+=--⎰⎰; 当x b ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰1001abx ab dt dt dt b a-∞=++=-⎰⎰⎰.所以,X 的分布函数为0,(),1,x a x a F x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩.4.设随机变量X ~N (3, 4),求:(1)P (2<X <3);(2) P (-4<X <10);(3) P (|X|>2);(4)P (X >3).解:(1)P (2<X <3)=3323(3)(2)()()22F F ---=Φ-Φ(0)(0.5)=Φ-Φ- (0)[1(0.5)]=Φ--Φ=0.1915;(2) P (-4<X <10)=10343(10)(4)()()22F F -----=Φ-Φ=(3.5)( 3.5)2(3.5)1Φ-Φ-=Φ-=0.9996; (3) P (|X|>2)=1(||2)P X -≤=1(22)1[(2)(2)]P X F F --≤≤=---=23231[()()]22----Φ-Φ=(0.5)(2.5)1Φ-Φ+=0.6977; (4)P (X >3)=1(3)P X -≤=331(3)1()1(0)2F --=-Φ=-Φ=0.5.5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它,求:(1)常数k ;(2)分布函数;(3)(10.5)P X -<<..解:(1)因为()1f x dx +∞-∞=⎰,所以123100|133k kkx dx x ===⎰,故k =3. 即随机变量X 的概率密度为23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它;(2)当0x <时,()()xF x f t dt -∞=⎰=0,当01x ≤<时,()()xF x f t dt -∞=⎰=023003xdt t dt x -∞+=⎰⎰,当1x ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰=012010301xdt t dt dt -∞++=⎰⎰⎰所以,随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;(3)(10.5)P X -<<3(0.5)(1)0.500.125F F =--=-=;6.设随机变量X 的概率密度为,011(),1220,x x f x x <<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它,求X 的分布函数.解:当0x <时,()()xF x f t dt -∞=⎰=0;当01x ≤<时,()()xF x f t dt -∞=⎰=020102xdt tdt x -∞+=⎰⎰;当12x ≤<时,()()x F x f t dt -∞=⎰=010111022x dt tdt dt x -∞++=⎰⎰⎰;当2x ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰=01201210012xdt tdt dt dt -∞+++=⎰⎰⎰⎰.所以,随机变量X 的分布函数为20,01,012()1,1221,2x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.7.设随机变量X~,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它,求:(1)1()2P X ≥;(2)13()22P X <<.解:(1)1()2P X ≥=+1211122()(2)f x dx xdx x dx ∞=+-⎰⎰⎰=2122112117|(2)|228x x x +-=; (2)13()22P X <<=3312211122()(2)f x dx xdx x dx =+-⎰⎰⎰=32122112113|(2)|224x x x +-=.8.设随机变量X 在[0,5]上服从均匀分布,求方程24420x Xx X +++=有实根的概率.解:X ~1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,而方程24420x Xx X +++=有实根的充分必要条件是21616(2)0X X ∆=-+≥,即220X X --≥,故所求概率为:2{20}(1)(2)P X X P X P X --≥=≤-+≥=0+5215dx ⎰=0.6.9.设随机变量X 的分布律为求:(1)Y =2X 的分布律;(2)Z =|X |的概率分布;(3)X 2的分布律.解:(1)由X 的分布律知,Y 的取值为-2,0,2,4.且(2)(1)0.1P Y P X =-==-=,(0)(0)0.2P Y P X ====, (2)(1)0.3P Y P X ====,(4)(2)0.4P Y P X ====. 所以,Y 的分布律为(2)Z =|X |的取值为0,1,2.2(0)(0)0.2P X P X ====,2(1)(1)(1)0.4P X P X P X ===-+==,2(4)(2)0.4P X P X ====.所以,X 2的分布律为:10.设X ~U [0,4], Y =3X +1,求Y 的概率密度.解:X ~1,04()40,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,Y =3X +1的取值范围是[1,13].Y 的分布函数131()()(31)()()3y Y y F y P Y y P X y P X f x dx --∞-=≤=+≤=≤=⎰ 当1y <时,有103y -<,13()00y Y F y dx --∞==⎰;当113y ≤<时,有1043y -≤<,103011()0412y Y y F y dx dx --∞-=+=⎰⎰; 当13y ≥时,有143y -≥,1043041()0014y Y F y dx dx dx --∞=++=⎰⎰⎰.11.已知随机变量X ~N (1,4),Y =2X +3,求Y 的概率密度..解:X~2(1)8(),()x f x x --=-∞<<+∞,建立Y 的分布函数与X 的分布函数之间的关系.因为:33()()(23)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤=, 两边对y 求导:3313()()()()2222Y X X y y y f y F f ---''=⋅=223(1)(5)2832y y -----==,即Y ~N (5,16).12.已知X 服从参数1λ=的指数分布,Y =2X -1,求Y 的概率密度.解:由题设知,X ~,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,方法1 11()()(21)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F ++=≤=-≤=≤=, 两边对y 求导:1111()()()()2222Y X X y y y f y F f +++''=⋅=, 又因为12121,012,1()210,10,02y y X y e y e y f y y +-+-⎧+>⎧⎪+⎪⎪>-==⎨⎨+⎪⎪≤-⎩≤⎪⎩,所以,Y 的概率密度为:121,1()20,1y Y e y f y y +-⎧>-⎪=⎨⎪≤-⎩.四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出废品后不再放回,用X 表示在取得合格品以前已取出的废品的个数,求:(1)随机变量X 的分布律;(2)随机变量X 的分布函数.解:(1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,且105(0)126P X ===,2105(1)121133P X ==⨯=,21101(2)12111066P X ==⨯⨯=, 得到X 的分布律为:(2)X 的可能取值0,1,2将分布函数F (x )的定义域(,)-∞+∞分为四部分: 当0x <时,()()0F x P X x =≤=,当01x ≤<时,()()F x P X x =≤5(0)6P X ===,当12x ≤<时,()()F x P X x =≤65(0)(1)66P X P X ==+==, 当2x ≤时,()()F x P X x =≤(0)(1)(2)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为:0,05,016()65,12661,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.2.袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取一个球,求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数..解:X 的可能取值为1,2,3.且1(1)6P X ==,21(2)63P X ===,31(3)62P X ===, 所以,X 的概率分布为:当1x <时,()()0F x P X x =≤=,当12x ≤<时,()()F x P X x =≤1(1)6P X ===,当23x ≤<时,()()F x P X x =≤1(1)(2)2P X P X ==+==, 当3x ≥时,()()F x P X x =≤(1)(2)(3)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为:0,11,126()1,2321,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取两个球,X 表示取出的两个球的最大号码,求X 的概率分布..解:X 的所有可能的取值为2,3.且112122261(2)5C C C P X C +===,112333264(3)5C C C P X C +===, 从而得到X 的概率分布为:4.设一批产品共1000个,其中40个是次品,随机抽取100个样品,按下列两种方式抽样,分别求样品中次品数X 的概率分布.(1)不放回抽样; (2)有放回抽样.解:(1)不放回抽样,X 的可能取值为0,1,2,…,40.{X =k }表示100个样品中恰好有k 个次品,则100401000401001000()k kC C P X k C --==,得到X 的概率分布为: 100409601001000(),0,1,2,...,40.k kC C P X k k C -=== (2)有放回抽样,X 的可能取值为0,1,2,…,100.由于有放回抽样,抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验,且每次抽到次品的概率都是0.04,抽到正品的概率为0.96,X ~B (100,0.04).则X 的概率分布为:100100()0.040.96,0,1,2,...,100.kk k P X k C k -===5.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次正面出现的概率为13,连续抛掷10次,以X 表示正面出现的次数,求X 的分布律.由题设知,X ~B (10,13). 则X 的分布律为:101012()()(),0,1,2,...,10.33k k kP X k C k -===6.有一繁忙的交通路口,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率.解:设X 表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数,由题意知,X ~B (1000,0.0001).由于n =1000很大,p =0.0001很小,故利用泊松分布近似代替二项分布计算.其中,10000.00010.1np λ==⨯=,0.10.1(),0,1,2,...!k P X k e k k -=≈=, 查泊松分布表可得,所求概率为:7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求: (1)每分钟恰有4次呼唤的概率; (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.解:设X 表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数,由题意知,X ~P (4),其分布律为:44(),0,1,2...!k P X k e k k -===,则(1)每分钟恰有4次呼唤的概率444(4)0.1953674!P X e -===;(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率444(4)0.56653!k k P X e k ∞-=≥==∑8.袋中装有8个球,其中3个红球、5个白球,现从袋中任取3个球,求取出红球数的概率分布.解:X 表示取出3个球中含有红球的个数,则X 的可能取值为0,1,2,3. 且35385(0)28C P X C ===,12353815(1)28C C P X C ===,21353815(2)56C C P X C ===,33381(3)56C P X C ===,于是,X 的概率分布为:9.已知某类电子元件的寿命X (单位:小时)服从指数分布,其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 一台仪器装有3个此种类型的电子元件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求:(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1; (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2. 解:(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率为:p 1=11110001000100010001(1000)|1000x x P X e dx e e --+∞+∞-≥==-=⎰; (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上,需要这3个电子元件的寿命都在1000小时以上,由独立性知,所求概率为:p 2=33[(1000)]P X e -≥=.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=(厘米),6σ=(厘米)的正态分布,即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定?解:设车门高度为h 厘米,由题意知,()0.01P X h >≤,即()0.99P X h ≤≥. 因为X ~N (170,36),所以170()()()0.996h P X h F h -≤==Φ≥, 查表得:(2.33)0.99010.99Φ=>,所以1702.336h -=,解得h =183.98. 设计车门的高度为183.98厘米时,可使男子与车门碰头的机会不超过0.01.五、综合题1.设10件产品中有2件次品,现进行连续无放回抽样,直至取到正品为止,求:(1)抽样次数X 的概率分布; (2)X 的分布函数F (x ); (3)(2),(13)P X P X >-<<. .解:(1)X 的可能取值为1,2,3.且84(1)105P X ===,288(2)10945P X ==⨯=,2181(3)109845P X ==⨯⨯=. 所以,X 的概率分布为:(2)当1x <时,()()0F x P X x =≤=, 当12x ≤<时,4()()(1)5F x P X x P X =≤===, 当23x ≤<时,44()()(1)(2)45F x P X x P X P X =≤==+==, 当3x ≥时,()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以,X 的分布函数为:0,14,125()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩;(3)(2)(1)(2)(3)1P X P X P X P X >-==+=+==; 或(2)1(2)1(2)101P X P X F >-=-≤=-=-=.8(13)(2)45P X P X <<===.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X (单位:分钟)服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ;(2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用Y 表示等候时间超过10分钟的次数,写出Y 的分布律,并求(1)P Y ≥.解:(1)由题设知,151,0~()50,0x e x X f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,则司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率为:125101(10)5x p P X e dx e -+∞-=>==⎰; (2)由题意知,2~(2,)Y B e -,Y 的分布律为:22222222()()(1)(1),0,1,2.k k k k k k P Y k C e e C e e k ------==-=-= 2224(1)1(0)1(1)2P Y P Y e e e ---≥=-==--=-.3.甲乙丙三人独立地等1,2,3路公共汽车,他们等车的时间(单位:分钟)都服从[0,5]上的均匀分布,求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.解:设一个人等车的时间为X ,由题设知,X ~U [0,5],其密度函数:1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 则一个人等车不超过2分钟的概率为:221(2)()0.45p P X f x dx dx -∞=≤===⎰⎰. 设Y 表示三人中等车时间不超过2分钟的人数,则Y ~B (3,0.4),则三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率为:223333(2)(2)(3)0.40.60.4P Y P Y P Y C C ≥==+==+=0.352.4.设测量距离时产生的随机误差X ~N (0,102)(单位:米),现作三次独立测量,记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数,已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ; (2)问Y 服从何种分布,并写出其分布律;(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率. 解:(1) p =(||19.6)1(||19.6)P X P X >=-≤019.601(||)1[2(1.96)1]1010X P --=-≤=-Φ-=0.05. (2)由题意知,Y ~B (3, 0.05),Y 的分布律为:33()0.050.95,0,1,2,3.k k k P X k C k -===(3)三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率为: 3(1)1(0)10.95P Y P Y ≥=-==-=0.142625.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位:分钟)服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律;(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.解:(1)由题设知,等待服务的时间X ~1101,0()100,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,顾客离开银行的概率为:1110101(10)10x p P X e dx e -+∞-=>==⎰.由题意知,Y ~B (5,e -1),其分布律为:1155()()(1),0,1,...,5.k k k P Y k C e e k ---==-=(2)所求概率为(1)P Y ≥=151(0)1(1)P Y e --==--0.899≈.6.设连续型随机变量X 的分布函数为:20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,求:(1)系数A ; (2)X 的概率密度; (3)(0.30.7)P X <≤; (4)Y =X 2的概率密度.解:(1)由F (x )的连续性知,11lim ()lim ()(1)x x F x F x F -+→→==,有21lim 1x Ax -→=,得1A =; (2)X 的概率密度2,01()()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它;(3)(0.30.7)P X <≤22(0.7)(0.3)0.70.30.4F F =-=-=,或(0.30.7)P X <≤=0.720.70.30.32|0.4xdx x ==⎰; (4)因为20Y X =≥,所以,当0y <时,()()0Y F y P Y y =≤=, 当01y ≤<时,2()()()(Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤()f x dx xdx y ===,当1y ≥时,101()(()21Y F y P X f x dx xdx dx =≤≤==+=⎰所以,X 的分布函数为:0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,X 的概率密度为:1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其它.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞,求:。

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一、填空题1.已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立,则()P B = 0.375 .2.若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为18.012.012.008.01111b a X Y--,且X 与Y 相互独立,则=a 0.2 ;=b 0.3 .3.已知随机变量~(0,2)X U ,则2()[()]D XE X = 13.4.已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞平均数是7300,均方差是700。

设X 表示每毫升白细胞数,利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89≥ .5.设123,,X X X 是总体X 的样本,11231ˆ()4X aX X μ=++,21231ˆ()6bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计,则a = 2 ,b = 4 .二、单项选择题1.甲、乙、丙三人独立地译一密码,他们每人译出密码的概率分别是0.5,0.6,0.7,则密码被译出的概率为 ( A )A. 0.94B. 0.92C. 0.95D. 0.902.某人打靶的命中率为0.8,现独立射击5次,则5次中有2次命中的概率为( D ) A. 20.8 B. 230.80.2⨯C. 220.85⨯ D. 22350.80.2C ⨯⨯3.设随机变量Y X 和独立同分布,则),,(~2σμN X ( B ) A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X -4.对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则( B ). A. ()()()D XY D X D Y =⋅ B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立5.设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是( A ).A.22212321()X X X σ++ B.13X μ+C.123max(,,)X X XD.1231()3X X X ++6.在假设检验中,0H 表示原假设,1H 表示备择假设,则称为犯第二类错误的是(C ). A.1H 不真,接受1H B.0H 不真,接受1HC.0H 不真,接受0HD.0H 为真,接受1H三、某公司有200名员工参加一种资格证书考试,按往年经验,该考试通过率为0.8.试用中心极限定理计算这200名员工至少有150人通过考试的概率.解:设X 表示200名员工中通过考试的员工数,则~(200,0.8)X B ,()2000.8160E X =⨯=,()2000.80.232,D X =⨯⨯=~(0,1)N 近似, {150}P X P ≥=≥1(1.77)(1.77)0.9616≈-Φ=Φ= 四、某一城市有25%的汽车废气排放量超过规定,一废气排放量超标的汽车有0.99的概率不能通过城市检验站的检验。

而一废气排放量未超标的汽车也有0.17的概率不能通过检验,求(1)汽车未通过检验的概率(2)一辆未通过检验的汽车废气排放量确实超标的概率。

解:设事件B 表示汽车废气排放量超标,A 表示汽车未通过检验,则()0.25P B =,()0.75P B =,(|)0.99P A B =,(|)0.17P A B =, (1)()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.250.990.750.170.375=⨯+⨯= (2)()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.250.990.660.375⨯==五、. 已知连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<=其它01||)(2x Ax x f求 (1)系数A 。

(2)}2121{≤<-X P .(3)分布函数)(x F 解:(1)因为1)(=⎰+∞∞-dx x f ,(2分)即 132|3113112===+-+-⎰A x A dx Ax所以 23=A (2)}2121{≤<-X P 81|21232121321212===--⎰x dx x(3)⎰∞-=xdt t f x F )()(当1-<x 时,⎰∞-=x dt t f x F )()(00==⎰∞-xdt当11<≤-x 时,⎰∞-=x dt t f x F )()(+=⎰-∞-10dt 2121|212331312+==--⎰x t dt t x x当x ≤1时,⎰∞-=x dt t f x F )()(+=⎰-∞-10dt +⎰-11223dt t 101=⎰xdt所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1111212110)(3x x x x x F六、设),(Y X 的联合密度函数为(23),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它(1)确定常数A ;(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ,并判断X 与Y 是否独立 (3)求),(Y X 的分布函数 解:(1)由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ,应有(23)01111236x y Adx Ae dy A +∞+∞-+==⨯⨯==⎰⎰,(1分)于是6A =,即(23)6,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它 (2)⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(22,00,x e x -⎧>=⎨⎩其它⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()((23)06,00,x y edy y +∞-+⎧>⎪=⎨⎪⎩⎰其它33,00,y e y -⎧>=⎨⎩其他因为()()()y x f y f x f Y X ,=,所以X 与Y 相互独立. (3)00(,)(.)xyF x y dx f u v ddv =⎰⎰(23)006,0,00,x yu v du edv x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它23(1)(1),0,00,x y e e x y --⎧-->>=⎨⎩其他或(,)()()X Y F x y F x F y =23(1)(1),0,00,x y e e x y --⎧-->>=⎨⎩其他七、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它10),(1x xθθx f θ,θ未知.n X X X ,,21 ,是来自X 的样本,试求θ的矩估计量.解: 111(,)1θθθμE X xf x θdx x θxdx θx dx θ+∞--∞===⋅==+⎰⎰⎰(),由此得 22ˆ1μθμ=-() , 所以221ˆ)(X X θ-= 八、检查一批保险丝,抽取10根,通过强电流后测得熔化平均熔化时间63.4,x =标准差1475.11=s ,已知熔化时间服从正态分布,在下,能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒?解:(1)由654.63<=x ,得:65:0≥μH ,65:1<μH ,10=n ,0.05(1)(9) 1.8331αt n t -==,4.63=x ,1475.11=s ,检验统计量为:0/X T S n=拒绝域为{})1(--≤=n t T W α{}1.8331T =≤-063.465100.453911.1475/t s n-===- 1.8331>-t W ∉,所以接受0H ,认为这批保险丝的平均熔化时间不少于65秒.九、从总体()211~,X N μσ和总体()222~,Y N μσ中分别抽取容量为1210,16n n ==的独立样本,已知2256.5,52.4x y s s ==。

求2212σσ的置信水平为95%的置信区间。

解:2221σο的置信度为α-1的置信区间为:22212121212222/((1,1))(1,1)S S S F n n F n n S αα----, 120.02520.05,(1,1)(9,15) 3.12,F n n F αα=--==,210.0252(1,1)(15,9) 3.77F n n F α--==2212122/56.5/52.40.3456(1,1) 3.12S S F n n α==--,212122256.5(1,1) 3.77 4.065052.4S F n n S α--=⨯= 2221σο的置信度为α-1的置信区间为:(0.3456 4.0650), 十、为研究某一化学反应过程中温度x 对产品质量指标y 的影响,测得数据如下:假设x 和y 之间呈线性相关关系,即εbx a y ++=,()2,0~σεN . 求 (1)XX L , YY L , XY L (2) 变量Y 倚X 的回归方程 (3)样本相关系数,并判断其相关方向和密切程度解:(1)14501=∑=ni i x , 21850012=∑=ni ix ,8250)(12112=-=∑∑==ni i ni ixx x n x L6731=∑=ni iy,4722512=∑=ni i y ,1.1932)(12112=-=∑∑==ni i ni iyyy n y L1015701=∑=ni i i y x ,3985))((1111=-=∑∑∑===ni i ni i ni i i xy y x n y x L (2)145=x ,3.67=y ,ˆ0.4830,xyxxL b L == ˆˆ 2.735ay bx =-=- x x b a y483.0735.2ˆˆˆ+-=+= (3)0.9981L r ==.因为0.81r <<,所以X 和Y 是高度线性相关,且为正相关。

十一、(6分)设921,,,X X X 为来自正态总体X 的简单随机样本,记()621161X X X Y +++= ,()987231X X X Y ++=,()9222712i i S X Y ==-∑,()SY Y Z 212-=.证明:统计量Z 服从自由度为2的t 分布.证明:2~(,),1,,2,,9i X N i μσ=,()211261~(,),66Y X X X N σμ=+++()227891~(,),33Y X X X N σμ=++且12,Y Y 相互独立,212~(0,),2Y Y N σ-12)~(0,1),Y Y N σ-=又2222~(2)S χσ,)12~(2)Y Y Z t S-==。

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