第1章 质点运动学(2)汇总

x
角速度单位：弧度每秒（rad·s-1） 角速度方向
速率与角速度之间的关系：
v lim s R lim
t0 t
t0 t
矢量形式： v r
v R
2020/10/6
质点运动学
(2) 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v vet
质点作变a 速 率ddvt圆周ddv运t e动t 时v ,dd加ett 速度为：
r r'R
2020/10/6
S y S’ y’
质点运动学
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 速度的大小和方向依赖于参考系的选择
2020/10/6
S
S’
质点运动学
地面参考系S：
x，y，z，t
船的参考系S’：
x’，y’，z’，t’
假定：在t=t’=0时刻，两坐标系的原点OO’重合
船坐标系以恒定速度 沿着 的方向运动
从图中可见, 在任意时刻 t ：
Q en
et
法向单位矢量
切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正.
2020/10/6
平面极坐标系
设一质点在 Oxy 平面内
运矢动r，与某时x刻轴它之位间于的点夹A 角.径
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 .
质点运动学
y
rA
o
切向单 位矢量
o
v
et
A R
切向加速度:
at
dv dt
et
,
at
dv dt
v R
dv R d
dt dt
at Ret
定义角加速度:
d
dt
d 2
dt 2
2020/10/6
v2
et 2
v1
B et1
o
R
A
质点运动学
det 表示切向单位矢量随时间的变化
dt
et
et1
et 2
et 1
法向单位矢量
lim et t0 t
d et dt
d
dt
en
v det
dt
v d
dt
en
法向加速度:
an
v
d
dt
en
由 d , v R
Байду номын сангаасdt
2020/10/6
an
R 2en
v2 R
en
an
R 2
v2 R
质点运动学
at 质点作变速率圆周运动时,加速度的表达式：
an
o
a
2
v2
2
an
an
an
ρ
曲率半径
tg an
at
a
dv dt
et
v2
en
2020/10/6
质点运动学
(3) 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动
速率 v 和角速度ω 都为常量，故角加速度 0
有切向加速度 at 0 ，法向加速度 an R2 v2 / R
a
an
R 2en
质点运动学
1.2.4 自然坐标系 切向加速度和法向加速度
1. 自然坐标系 切向和法向 自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统.
在质点的运动轨迹上, 任取一点O作为坐标的原点. 从原点O到轨迹曲线上任意 一点P的弧长定义为P点的 坐标s.
质点运动方程为:
s=s(t)
切向单位矢量
P
s
et
en
O
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B .
地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测
量结果相同 .
v
B
A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对 的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关， 时间和长度的 的绝对性是经典力学（牛顿力学）的基础 .
2020/10/6
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
x r cos y r sin
2020/10/6
质点运动学
2. 圆周运动 (1) 圆周运动的角速度
角坐标: (t) 角位移：△θ
角速度大小： lim d t0 t dt
角速度方向：右手螺旋法则
y
B
R A
o
r
或:
dv v2 a at an d t et R en
a
Ret
R 2en
变速率圆周运动中，由于速度的大小和方向都在 变化，所以加速度的方向不再指向圆心，其值和方 向为：
2020/10/6
质点运动学
问题：下图中a1、a2、a3 加速度各代表什么情形？ a4 的情形是否能存在？
a4
dt d 6t
dt
t 2 s : 16 rad s-1
12 rad s2
(2) v r 1 D
2
v r 1 D 0.2 3t 2 4 2
at r 6t 0.2 1.2t
an 2r 3t2 4 2 0.2
2020/10/6
t 1s时， v 0.2 (3 4) 1.4(m s1)
（（DE））若若物物体体的作加匀速速度率运a 动为，恒其矢总量加，速它度一必定为作零匀；
变速率运动 .
2020/10/6
质点运动学
练习: 一物体做抛体运动,已知 v0, 讨论：
v0
A
g
n
B
g
n
n
C
g
2020/10/6
A
ag
a g sin
an g cos
v02
gcos
B
g
0
g
v02cos2
v
a3
a2 a1
2020/10/6
平面曲线运动
质点运动学
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连
接而成，每个无穷小线段都能与某个圆周“密切”。这样，一
个任意的平面曲线运动，就可以视为由一系列小段圆周运动所
组成。曲线在某点的曲率圆（密切圆，密接圆）半径ρ称为曲
线在该点的曲率半径。
a
dv dt
g
C g
g sin
g cos
v02
gcos
质点运动学
例: 某发动机工作时, 主轴边缘一点作圆周运动方程为：
t3 4t 3 (SI)
求：(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径D =40 cm，求t =1s时该点的速度和
加速度.
解: (1) d 3t 2 4
2.匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0 , 0
0t
0
0t
1t
2
2
2 02 2( 0)
2020/10/6
质点运动学
讨论: 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一
种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零 ； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
at 1.2(m s2 )
an 3 42 0.2 9.8(ms2)
此时，总加速度的大小为：
质点运动学
a
an 2
a
2 t
1.22 9.82 9.87 (ms2)
总加速度的方向： a与 v的夹角
arctan an 83.0
at
v
a
at an
2020/10/6
质点运动学
1.3 相对运动