第1章 质点运动学(2)汇总
质点运动学的总结和归纳
质点运动学的总结和归纳质点运动学是物理学中研究质点在空间中运动规律和性质的学科。
通过对质点在直线运动和曲线运动中的速度、加速度等物理量进行分析，可以揭示质点运动的规律和特性。
本文将对质点运动学的相关概念、公式和应用进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解质点运动学的基本原理。
一、质点运动学的基本概念质点是指物体在运动过程中无视其自身大小和形状，只考虑其位置坐标和质量的理想化模型。
在质点运动学中，我们假设质点可以沿直线或曲线轨迹运动，通过对质点位置、速度和加速度等物理量的描述，来分析质点的运动规律。
二、质点直线运动质点在直线上的运动可以以时间为自变量，通过位移、速度和加速度等物理量来进行描述。
其中，位移表示质点从初始位置到最终位置的位移量，速度是质点在单位时间内位移的变化率，而加速度则是速度在单位时间内的变化率。
质点直线运动的关键公式有以下几个：1. 位移公式：s = s0 + vt，其中s表示位移，s0表示初始位置，v表示速度，t表示时间；2. 平均速度公式：v = Δs/Δt，其中Δs表示位移变化量，Δt表示时间变化量；3. 瞬时速度公式：v = ds/dt，其中ds表示极小位移，dt表示极小时间间隔；4. 加速度公式：a = Δv/Δt = dv/dt，其中Δv表示速度变化量，dv表示极小速度变化量。
三、质点曲线运动质点在曲线上的运动相对复杂，需要通过坐标系和向量运算进行描述。
常见的曲线运动包括匀速圆周运动和抛体运动。
1. 匀速圆周运动：质点在同心圆轨道上以恒定的速度做圆周运动。
此时，我们需要通过极坐标系来描述质点的位置，以及角速度、角加速度等物理量。
2. 抛体运动：质点在重力作用下以抛体轨迹运动，实际上是由于自由落体运动和水平匀速运动的合成。
此时，我们需要通过平面直角坐标系来描述质点的运动，并使用矢量分解和运动学公式进行计算。
四、应用举例质点运动学在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 射击运动：通过研究质点在飞行过程中的速度和角度等参数，可以计算出射击运动的弹道和飞行轨迹，实现精确的打靶。
第1章-质点运动学
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
09物理(1)力学复习
例5:一长l=0.40m的均匀木棒,质量M=1.00 kg,可绕水 平轴O在竖直平面内转动,开始时棒自然竖直地悬垂. 现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点射入棒 中,假定A点与O点的距离为a=3l/4,如图.求: (1)棒开始运动时的角速度; (2)棒的最大偏转角.
l v o
Pi mi vi 常矢量
i i
Fi 0, p 0
注：动量守恒可在某一方向上成立！
下页 5
2.动能定理、功能原理、机械能守恒定律.
系统的外力和内力作功总和等于系统动能的增量。
1 1 2 2 A Ae Ai E kb E ka mvb mva 2 2
L L0
3mvl 8.89 rad/s 4J
(2)取系统不变,因摆动过程中只有重力作功,利用机 械能守恒定律可求最大偏转角. 设棒从竖直位置开始的最大偏转角为
下页 20
则棒的质心上升的高度为: h 1 l 1 l cos 1 2 2 子弹上升的高度为: 3 3 h2 l l cos
θ
a
下页 19
解: (1)取子弹和棒为系统.碰撞前系统对轴的角动量 即为作匀速直线运动的子弹对轴的角动量 3 L0 lmv 碰撞后系统对轴的角动量为: 4 3 2 1 2 L J [m( l ) Ml ] 4 3 为子弹射入棒后二者开始共同运动的角速度. 由角动量守恒定律, 可得
2 vy u vy 1 2 u c 1 2 vx c 2 vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c
27
vx u v x u 1 2 v x c
五. 狭义相对论时空观
1.同时性的相对性
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
大学物理知识点汇总
大学物理知识点汇总一、质点运动学1、描述质点运动的物理量位置、速度、加速度、动量、动能、角速度、角动量2、直线运动与曲线运动的分类直线运动：加速度与速度在同一直线上；曲线运动：加速度与速度不在同一直线上。
3、速度与加速度的关系速度与加速度方向相同，物体做加速运动；速度与加速度方向相反，物体做减速运动。
二、牛顿运动定律1、牛顿第一定律：力是改变物体运动状态的原因。
2、牛顿第二定律：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体的质量成反比。
3、牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
三、动量1、动量的定义：物体的质量和速度的乘积。
2、动量的计算公式：p = mv。
3、动量守恒定律：在不受外力作用的系统中，动量守恒。
四、能量1、动能：物体由于运动而具有的能量。
表达式：1/2mv²。
2、重力势能：物体由于被举高而具有的能量。
表达式：mgh。
3、动能定理：合外力对物体做的功等于物体动能的改变量。
表达式：W = 1/2mv² - 1/2mv0²。
4、机械能守恒定律：在只有重力或弹力对物体做功的系统中，物体的动能和势能相互转化，机械能总量保持不变。
表达式：mgh + 1/2mv ² = EK0 + EKt。
五、刚体与流体1、刚体的定义：不发生形变的物体。
2、刚体的转动惯量：转动惯量是表示刚体转动时惯性大小的物理量，它与刚体的质量、形状和转动轴的位置有关。
大学物理电磁学知识点汇总一、电荷和静电场1、电荷：电荷是带电的基本粒子，有正电荷和负电荷两种，电荷守恒。
2、静电场：由静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场。
3、电场强度：描述静电场中某点电场强弱的物理量，称为电场强度。
4、高斯定理：在真空中，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内电荷的代数和除以真空介电常数。
5、静电场中的导体和电介质：导体是指电阻率为无穷大的物质，在静电场中会感应出电荷；电介质是指电阻率不为零的物质，在静电场中会发生极化现象。
大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结
运用
分
和
dv dv dx dv a= = ⋅ =v dt dx dt dx
3
知识点回顾
第二章 质点动力学
2、牛顿三定律？ 、牛顿三定律？
r ∑Fi = ma
i →
—— 为什么动？ 为什么动？ 力？
功是能量交换或转换的一种度量
v v 2、变力作功 、 元功： 元功： dW = F ⋅ dr = Fds cosθ b b v v b W = ∫ F cosθ ds = ∫ F ⋅ dr = ∫ (Fxdx + Fy dy + Fz dz)
a( L) a( L) a( L)
3、功率 、
v v dW F ⋅ dr v v P= = = F ⋅ v = Fv cosθ dt dt
隔离木块a在水平方向绳子张力t和木块b施于的摩擦力?根据牛顿第二定律列出木块a的运动方程?同样隔离木块b分析它在水平方向受力情况列出它的运动方程为17一个质量为m的梯形物体块置于水平面上另一质量为m的小物块自斜面顶端由静止开始下滑接触面间的摩擦系数均忽略不计图中hh均为已知试求m与m分离时m相对水平面的速度及此时m相对于m的速度
15
•解：以地面为参考系。隔离木块A，在水平方向 解 以地面为参考系。隔离木块 ， 绳子张力T 和木块B施于的摩擦力 绳子张力 和木块 施于的摩擦力
v t2 v v v v v 动量定理： 动量定理： I = ∫ ∑ F dt = ∑ p2 − ∑ p1 = ∑ mv2 − ∑ mv1
t1
v v v v 角动量定理： 角动量定理： M ⋅ dt = dL = d ( r × mv )
1-2 质点运动的描述-1
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
3. 平均速率 ——质点在 △t 时间内所走过的路程△s与时间 △t 的比值.
Δs v = Δt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
4. 瞬时速率： ——速度 v 的大小称为速率.
Δr Δs ds = lim = v v = lim = Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt dt
ds v= et = v et dt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
六、加速度 1） 平均加速度 ——单位时间内的速度增量。
y
A
O
vA
B
vB
Δv a = Δt
a 与 Δv 同方向 .
2）（瞬时）加速度
x
vA
Δv dv a = lim = Δt →0 Δt dt
Δv
vB
1-2 质点运动的描述
从中消去参数 t 得轨道方程
F(x, y, z) = 0
z
z (t )
o
x
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例1. 已知质点的运动方程 r = 2ti + ( 2 − t 2 ) j ( SI ) 求：(1) 质点的轨迹。 (2) t = 0 及t = 2s 时，质点的位置矢量。
⎧ x = 2t 解：(1) 先写参数方程：⎨ y = 2 − t2 ⎩
dv a= = −10 j dt
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g
y : v y = 15 − 10t
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
(完整版)大学物理知识点
y第一章质点运动学主要内容一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程由坐标原点到质点所在位置的矢量r r称为位矢位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程()r r t =r r运动方程的分量形式()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩位移是描述质点的位置变化的物理量△t 时间内由起点指向终点的矢量B Ar r r xi yj =-=∆+∆r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ∆是标量。
明确r∆r、r ∆、s ∆的含义(∆≠∆≠∆rr r s )2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量）平均速度 x y r x y i j i j t t tu u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt∆→∆==∆r r r(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ϖϖϖϖϖϖ+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==ϖϖds dr dt dt=r 速度的大小称速率。
3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量）平均加速度va t∆=∆rr瞬时加速度(加速度) 220limt d d ra t dt dtυυ→∆===∆r r rr △ a r方向指向曲线凹向j dty d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ϖϖϖϖρϖ2222+=+== 2222222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y xy x ϖ二.抛体运动 运动方程矢量式为 2012r v t gt =+rrr分量式为 020cos ()1sin ()2αα==-⎧⎪⎨⎪⎩水平分运动为匀速直线运动竖直分运动为匀变速直线运动x v t y v t gt 三.圆周运动(包括一般曲线运动) 1.线量：线位移s 、线速度dsv dt=切向加速度tdv a dt=(速率随时间变化率)法向加速度2n v a R=(速度方向随时间变化率)。
《新编大学物理》(上、下册)习题答案
（2） ， ，
题4.12：
答案：4
提示： ， ，
题4.13：
答案：
提示： ， ， ，解得
题4.14：
答案：
提示： ， ，则 ， ，
题4.15：
答案：3.73m
提示： ， ， ，
则
题4.16：
答案：
提示： 即 ，
题4.17：
答案：
提示： ， ，
三、计算题
题4.18：
解：（1）航程
提示： ， ，
三、计算题
题1.15：
解：（1）
又
（2）又
（3）当a与半径成 角时，
题1.16：
解：（1） ， （*）
当 时， ，
（2）由上式：
，
第2章质点动力学
一、选择题
题2.1：
答案：[C]
提示：A．错误，如：圆周运动
B．错误， ，力与速度方向不一定相同
D．后半句错误，如：匀速圆周运动
题2.2：
答案：[B]
题4.3：
答案：[B]
提示：在 系中X轴方向上，正方形边长为 ， 系观察 系X轴方向正方形边长 ， ，则从 系测得面积为
题4.4：
答案：[A]
提示：选飞船为一参考系，因为真空中光速C对任何惯性参考系都是常数，由于飞船匀速运动，是惯性系。则飞船固有长度为
题4.5：
答案：[A]
提示： ，
题4.6：
答案：[C]
二、填空题
题2.11:
答案：2mb
提示：
题2.12：
答案：2kg 4m/s2
提示：
由题意，
题2.13：
答案： ，
提示：由题意，
第一章 质点运动学小结
一、重要概念：
1.位矢、位移、速度、加速度等都是矢量。
2.上述物理量的大小、方向、分量表达式等。 3.切向加速度、法向加速度等概念，角量与线量
的关系。
4.矢量“增量的大小”与该矢量“大小的增量”。
1
二、基本规律 1.运动描述的相对性。 2.运动叠加性原理。 3.伽利略坐标变换。
三、重要公式
ds v et dt
5.速率：
dx dy dz v i j k dt dt dt
v v x i v y j vz k
ds v dt
3
dr v v dt
2 2 2 v v v x v y vz
6.加速度：
2 v dv d r a lim 2 dt dt t 0 t
dv dv d v dv x y z a i j k dt dt dt dt
2 2 2 2
d r d x d y d z a 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt
4
7.加速度的大小
a a a a a
2 x 2 y 2
vy vz vx cos , cos , cos v v v ay az ax cos , cos , cos a a a
6
9.切向加速度和法向加速度
v dv a e en a e an en dt
2
dv a , dt
2 z 2 2
dv x dv y dvz dt dt dt
2 2 2 2 2
d x d y d z 2 2 2 dt dt dt
大学物理第一章质点运动学讲义
质点运动学的重要概念
位移
质点的位移是指质点在某一时刻相对 于参考点的位置变化量。
速度
质点的速度是指质点在某一时刻相对 于参考点的位置变化率。
加速度
质点的加速度是指质点在某一时刻相 对于参考点的速度变化率。
相对速度和相对加速度
当存在多个质点时，需要引入相对速 度和相对加速度的概念，以描述不同 质点之间的相对运动关系。
伽利略变换适用于低速运动，即速度远小于光速的情况。在 高速运动或引力场中，需要使用爱因斯坦的相对论变换。
牛顿运动定律的相对性
01
牛顿第一定律
一个质点将保持其运动状态，除非受到外力作用。在相对运动的参考系
中，牛顿第一定律速度与作用力成正比，与质量成反比。在相对运动的参考系中，
质点的描述主要包括位置、速度和加速度等基本参数，这些参数随时间变化而变 化，描述质点的运动状态。
质点运动的基本参数
位置
质点的位置可以用空间坐标来表示，通常用三维 坐标系中的坐标值描述。
速度
质点的速度是描述质点运动快慢和方向的物理量， 用矢量表示，包括大小和方向。
加速度
质点的加速度是描述质点速度变化快慢的物理量， 也是矢量，包括大小和方向。
描述一个质点相对于另一个质点的运 动速度。当两个质点相对运动时，它 们的相对速度取决于它们各自的运动 状态和方向。
相对加速度
描述一个质点相对于另一个质点的加 速度。相对加速度的大小和方向与两 个质点的相对速度有关，并影响它们 之间的相对位置和运动轨迹。
伽利略变换
伽利略变换是描述两个相对运动的惯性参考系之间关系的数 学公式。通过伽利略变换，可以计算一个质点在另一个质点 的参考系中的位置、速度和加速度。
大学物理第一章质点运动 学讲义
大学物理第一章 质点运动学
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
大学物理学(上册)第1章 质点运动学
须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j
高一物理必修一第一、二章知识点汇总
高一物理必修一第一、二章知识点汇总第一章：《运动的描述》1.1质点、坐标系、参考系（1）质点：能否看成质点，取决于研究的问题，与具体的大小与形状无关；①大小与形状在研究的问题中，可以忽略，将物体看成一个有质量的点；②大小与形状在研究的问题中，不可以忽略，但是能用一个点的运动代替一个物体的运动；例题：空中加油的飞机------不能看成质点，芭蕾舞演员的舞姿-------不能看成质点；火车过桥问题灵活处理；乒乓球旋转轨迹------可以看成质点；研究乒乓球如何旋转，不能看成质点提示：平动的物体可以看成质点；质点是理想化的模型，实际不存在；质点有质量；同一个物体在不同的问题中，有时可以看成质点，有时不能看成质点；（2）参考系：要描述一个物体的运动，必须选择参考系，默认地面为参考系；①选谁为参考系，认为谁是静止的；②参考系的选择是任意的，选择其他物体为参考系必须作出说明；③比较两个物体的运动应选择同一物体为参考系；例题：相对速度，相对加速度的处理问题；（3）坐标系：一维坐标系：描述直线运动；点的坐标描述例如x=2m等，如x-t图像二维坐标系（x-y图像）：描述平面内物体的运动；坐标（x，y）；三维坐标系：描述空间内物体的运动；坐标（x ，y ，z ）；例如：火车的直线运动；------一维坐标系；粉笔抛出轨迹---------二维坐标系； 提醒：①二维坐标系：反映的是物体的运动轨迹②两点的连线表示位移的大小与方向；也表示平均速度的方向③某点切线方向表示：瞬时速度的方向；1.2时间、位移 （1）时间间隔：一个时间段，在时间轴上为一线段；与路程，位移，平均速度，平均速率相对应；（2）时刻：一个瞬间，在时间轴上用点表示；与位置、瞬时速度、瞬时速率相对应； 例题：三秒内？ 第三秒？ 第三秒初？ 第二秒末？考察方式1：大题中，求前三秒内速度？-平均速度；第三秒末的速度？指瞬时速度。
（3）路程：运动轨迹的长度；与物体的运动路径有关； 为标量（4）位移：初位置到末位置的有向线段；与运动路径无关，仅与初末位置有关； 矢量性：大小：初位置到末位置有向线段的长度； 方向：初位置指向末位置； 考察方式1：大题求位移，务必指明方向。
运动学-质点运动知识点汇总
m1、m2 组成一个系统
dW f 1 dr1 f 2 dr2
f1 f 2
dW f 2 (dr2 dr1) f 2 d(r2 r1)
dr1 r21
m1
f1
r1
r2
m2 f2
r 2 r1 r 21
o
dW f 2 dr21
➢ 系统内的质点间没有相对位移时，一对内力所作的功等于零；
➢ 系统内质点间有相对位移，则一对内力作的功之和等于第一个物
角量
角位置、角速度、角加速度
线量
位矢、速度、加速度
s R
v lim s lim R R d R
t0 t t0 t
dt
an
v2 R
(R)2
R
R 2
at
dv dt
R
d
dt
R
P(t t)
P(t) o
x
思考题
1. 质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的大小和方向都在变化 法向加速度的大小和方向都在变化 切向加速度的方向变化，大小不变 切向加速度的方向不变，大小变化
Li
mi ri 2
mi
ri
2
i
i
i
L J
二、刚体定轴转动的角动量定理
M J J d d (J) dL
dt dt dt
O ri
vi
mi
Mdt dL
t2 t1
Mdt
L2
L1
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
J2
J1
三、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
Mdt
刚体的转动惯性，其大小反映了改变刚体转动状态的难易
(完整版)物理学教程第三版第一章质点运动学
第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；t d d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -7 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =t x 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为 2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图 1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -11 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得 v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -20 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω== 则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -21 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s 2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t (2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt =t ＝0.55ｓ。
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
02质点运动学二解答
2 3
只适用于匀加速率运动
S υ 2υ1 3 2 2 a = 6t ,υ1 = 0, S1 = 0 υ 2 = 3t , S 2 = t υ = =t ≠ = t t 2 2
质点运动学二
第一章 质点运动学
4．下列说法中，哪一个是正确的？ ．下列说法中，哪一个是正确的？ (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是 一质点在某时刻的瞬时速度是2m/s，说明它 ， 在此后1s内一定要经过 的路程． 内一定要经过2m的路程 在此后 内一定要经过 的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小， 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小， 加速度最大． 加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向 物体作曲线运动时， 加速度为零． 加速度为零． (D) 物体加速度越大，则速度越大． 物体加速度越大，则速度越大．
0 = υ 3 + υ 2 + υ1
质点运动学二
第一章 质点运动学
υ 5. 两条直路交叉成α角，两辆汽车分别以速率υ1和υ2沿 两条路行驶，一车相对另一车的速度大小为_______. 两条路行驶，一车相对另一车的速度大小为 υ1 υ2-1 α α υ2 υ2 υ2-1 υ1
υ 21 = υ 2 υ 1
风-人 人
υ风-地 地
二、填空题
√1．在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹，发射后 ．在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹， 飞机的速度为υ0，炮弹相对于飞机的速度为υ．略去空 气阻力， 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为__， 气阻力，则(1) 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为 ， (2) 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为______． ． (设两种参考系中坐标原点均在发射处，x轴沿速度方向 设两种参考系中坐标原点均在发射处， 轴沿速度方向 设两种参考系中坐标原点均在发射处 向前， 轴竖直向下 轴竖直向下) 向前，y轴竖直向下
(完整版)大学物理质点运动学习题及答案(2)
第1章质点运动学习题及答案1．｜∆r ｜与∆r 有无不同?d r d v dr dv 和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．d t d t dt dt解:｜∆r ｜与∆r 不同.｜∆r ｜表示质点运动位移的大小,而∆r 则表示质点运动时其径向长度的增量;d r d r dr dr 和不同.表示质点运动速度的大小,而则表示质点运动速度的径向分d t d t dt dt量;d v d v dv dv 和不同.表示质点运动加速度的大小,而则表示质点运动加速度的切向分量.d t d t dt dt2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解:质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？解:由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.4．一物体做直线运动，运动方程为x =6t -2t ，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。
23x(t )=6t 2-2t 3解:由于:v(t )=dx =12t -6t 2dtdv a(t )==12-12t dtx (2)-x (1)=4(ms -1)2-12-1所以:（1）第二秒内的平均速度:v =（2）第三秒末的速度:v (3)=12⨯3-6⨯3=-18(ms )（3）第一秒末的加速度:a (1)=12-12⨯1=0(ms )（4）物体运动的类型为变速直线运动。
-2=10t i +5t j ，式中的r ,t 分别以m,s 为单位，试求；5．一质点运动方程的表达式为r (t ）（1）质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。
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C g
g sin
g cos
v02
gcos
质点运动学
例: 某发动机工作时, 主轴边缘一点作圆周运动方程为：
t3 4t 3 (SI)
求：(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径D =40 cm，求t =1s时该点的速度和
加速度.
解: (1) d 3t 2 4
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B .
地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测
量结果相同 .
v
B
A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对 的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关， 时间和长度的 的绝对性是经典力学（牛顿力学）的基础 .
2020/10/6
v
a3
a2 a1
2020/10/6
平面曲线运动
质点运动学
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连
接而成，每个无穷小线段都能与某个圆周“密切”。这样
组成。曲线在某点的曲率圆（密切圆，密接圆）半径ρ称为曲
线在该点的曲率半径。
a
dv dt
（（DE））若若物物体体的作加匀速速度率运a 动为，恒其矢总量加，速它度一必定为作零匀；
变速率运动 .
2020/10/6
质点运动学
练习: 一物体做抛体运动,已知 v0, 讨论：
v0
A
g
n
B
g
n
n
C
g
2020/10/6
A
ag
a g sin
an g cos
v02
gcos
B
g
0
g
v02cos2
r
或:
dv v2 a at an d t et R en
a
Ret
R 2en
变速率圆周运动中，由于速度的大小和方向都在 变化，所以加速度的方向不再指向圆心，其值和方 向为：
2020/10/6
质点运动学
问题：下图中a1、a2、a3 加速度各代表什么情形？ a4 的情形是否能存在？
a4
2
v2
2
an
an
an
ρ
曲率半径
tg an
at
a
dv dt
et
v2
en
2020/10/6
质点运动学
(3) 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动
速率 v 和角速度ω 都为常量，故角加速度 0
有切向加速度 at 0 ，法向加速度 an R2 v2 / R
a
an
R 2en
x
角速度单位：弧度每秒（rad·s-1） 角速度方向
速率与角速度之间的关系：
v lim s R lim
t0 t
t0 t
矢量形式： v r
v R
2020/10/6
质点运动学
(2) 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v vet
质点作变a 速 率ddvt圆周ddv运t e动t 时v ,dd加ett 速度为：
2.匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0 , 0
0t
0
0t
1t
2
2
2 02 2( 0)
2020/10/6
质点运动学
讨论: 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一
种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零 ； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
dt d 6t
dt
t 2 s : 16 rad s-1
12 rad s2
(2) v r 1 D
2
v r 1 D 0.2 3t 2 4 2
at r 6t 0.2 1.2t
an 2r 3t2 4 2 0.2
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t 1s时， v 0.2 (3 4) 1.4(m s1)
Q en
et
法向单位矢量
切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正.
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平面极坐标系
设一质点在 Oxy 平面内
运矢动r，与某时x刻轴它之位间于的点夹A 角.径
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 .
质点运动学
y
rA
o
r r'R
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S y S’ y’
质点运动学
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 速度的大小和方向依赖于参考系的选择
2020/10/6
S
S’
质点运动学
地面参考系S：
x，y，z，t
船的参考系S’：
x’，y’，z’，t’
假定：在t=t’=0时刻，两坐标系的原点OO’重合
船坐标系以恒定速度 沿着 的方向运动
从图中可见, 在任意时刻 t ：
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
x r cos y r sin
2020/10/6
质点运动学
2. 圆周运动 (1) 圆周运动的角速度
角坐标: (t) 角位移：△θ
角速度大小： lim d t0 t dt
角速度方向：右手螺旋法则
y
B
R A
o
切向单 位矢量
o
v
et
A R
切向加速度:
at
dv dt
et
,
at
dv dt
v R
dv R d
dt dt
at Ret
定义角加速度:
d
dt
d 2
dt 2
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v2
et 2
v1
B et1
o
R
A
质点运动学
det 表示切向单位矢量随时间的变化
dt
et
et1
et 2
et 1
at 1.2(m s2 )
an 3 42 0.2 9.8(ms2)
此时，总加速度的大小为：
质点运动学
a
an 2
a
2 t
1.22 9.82 9.87 (ms2)
总加速度的方向： a与 v的夹角
arctan an 83.0
at
v
a
at an
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质点运动学
1.3 相对运动
法向单位矢量
lim et t0 t
d et dt
d
dt
en
v det
dt
v d
dt
en
法向加速度:
an
v
d
dt
en
由 d , v R
dt
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an
R 2en
v2 R
en
an
R 2
v2 R
质点运动学
at 质点作变速率圆周运动时,加速度的表达式：
an
o
a
质点运动学
1.2.4 自然坐标系 切向加速度和法向加速度
1. 自然坐标系 切向和法向 自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统.
在质点的运动轨迹上, 任取一点O作为坐标的原点. 从原点O到轨迹曲线上任意 一点P的弧长定义为P点的 坐标s.
质点运动方程为:
s=s(t)
切向单位矢量
P
s
et
en
O